Madhyamik Mathematics Suggestion 2026 – Mark 5

এই আর্টিকেলে আমরা WBBSE বোর্ডের 2026 সালের মাধ্যমিক গণিত বিষয়ের সাজেশন নিয়ে আলোচনা করবো। এখানে দেওয়া রচনাধর্মী প্রশ্নগুলো (Long Answer Type Questions) আসন্ন মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ

Madhyamik Mathematics Suggestion 2026 – Mark 5

পাটিগণিত

1. ধুমপান বিরোধী প্রচারের ফলে প্রতি বছর ধুমপায়ীদের সংখ্যা \( 6\frac{1}{4}\% \) হারে হ্রাস পায় বর্তমানে কোন শহরে 22500 জন ধুমপায়ী থাকলে, 2 বছর পূর্বে ওই শহরে কতজন ধুমপায়ী ছিল। [M.P. 2023]

2. একটি যৌথ ব্যবসায় তিন বন্ধুর মূলধনের অনুপাত \( 6 : 4 : 3 \)। 4 মাস পরে প্রথম বন্ধু তার মূলধনের অর্ধেক তুলে নেন এবং তার 8 মাস পরে মোট লাভ হয় 61,050 টাকা। তাহলে কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবে। [M.P. 2023]

3. কোনো মূলধনের একই বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারে 7 বছরে সুদে-আসলে 7,100 টাকা এবং 4 বছরে সুদে আসলে 6,200 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করো। [M.P. 2022]

4. তিন বন্ধু যথাক্রমে 8,000 টাকা, 10,000 টাকা সংগ্রহ করে এবং ব্যাঙ্ক থেকে কিছু টাকা ঋণ নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করেন। বছরের শেষে এরা দেখলেন 13,400 টাকা লাভ হয়েছে। সেই লাভ থেকে ব্যাঙ্কের বছরের কিস্তি 5000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলেন। লভ্যাংশ থেকে কে কত টাকা পাবেন। [M.P. 2022]

5. 20000 টাকার বার্ষিক \( 5\% \) সুদের হারে 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য কতো হবে? [M.P. 2022]

6. তোমার কাকার কারখানায় একটি মেশিনের মূল্য প্রতি বছর \( 10\% \) হারে হ্রাস প্রাপ্ত হয়। মেশিনটির বর্তমান মূল্য 6000 টাকা হলে 3 বছর পরে ঐ মেশিনের মূল্য কত হবে? [M.P. 2020]

7. তিন বন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা, 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করে। প্রথম জন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করে। তারা ঠিক করে যে, সেই আয়ের \( \frac{2}{5} \) অংশ কাজের জন্য \( 3 : 2 : 2 \) অনুপাতে ভাগ করবে এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবে। কোনো এক মাসে যদি 29,260 টাকা আয় হয় তবে কে কত টাকা পাবে নির্ণয় করো। [M.P. 2020]

8. যদি 6 মাস অন্তর সুদ আসলের সঙ্গে যুক্ত হয় তাহলে বার্ষিক \( 10\% \) চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 8000 টাকার \( 1\frac{1}{2} \) বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি ও চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে? [M.P. 2019]

9. দুই বন্ধু যথাক্রমে 40000 টাকা ও 50000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারী ব্যবসা শুরু করে। তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের \( 50\% \) নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে। প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়। তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ কত? [M.P. 2019]

10. আমিনুর একটি ব্যাংক থেকে 64,000 টাকা ধার নিয়েছে। যদি ব্যাংকের সুদের হার প্রতি বছরে প্রতি টাকায় 2.5 পয়সা হয়, তবে ওই টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে? [M.P. 2018]

11. A, B ও C যথাক্রমে 6000 টাকা, 8000 টাকা ও 9000 টাকা মূলধন নিয়ে একত্রে ব্যবসা আরম্ভ করল। কয়েক মাস পর A আরো 3000 টাকা ব্যবসায় লগ্নি করল। বছরের শেষে মোট 30,000 টাকা লাভ হল এবং C তার ভাগে 10,800 টাকা লভ্যাংশ পেল। A কখন আরও 3000 টাকা লগ্নি করেছিল? [M.P. 2018]

12. বার্ষিক \( 4\% \) হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তর 80 টাকা হবে? [M.P. 2017]

13. A, B, C যৌথভাবে 180,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। A, B এর থেকে 20,000 টাকা বেশি এবং B, C এর থেকে 20,000 টাকা বেশি দিল। লাভের পরিমাণ 10,800 টাকা তাদের মধ্যে ভাগ করে দাও। [M.P. 2017]

14. রহমত চাচা একটি বাড়ি তৈরী করার জন্য বার্ষিক \( 12\% \) সরল সুদের হারে 240000 টাকা ব্যাঙ্ক থেকে ধার নেন। ধার নেওয়ার এক বছর পরে তিনি বাড়িটি প্রতিমাসে 5200 টাকায় ভাড়া দেন। ধার নেওয়ার কত বছর পরে তিনি বাড়িভাড়ার আয় থেকে ব্যাঙ্কের টাকা সুদসহ শোধ করবেন?

15. তাঁত শিল্পীদের এক সমবায় সমিতি যন্ত্রচালিত তাঁত ক্রয় করার সময় কেন্দ্রীয় সমবায় ব্যাঙ্ক থেকে এই শর্তে কিছু টাকা ধার করেছিলেন যে, প্রতি দুই বছর অন্তর বার্ষিক সরল সুদের হারে সুদ এবং আসলের \( \frac{1}{5} \) অংশ পরিশোধ করবে। যদি দুই বছর বাদে প্রথম কিস্তি বাবদ সমিতি 19000 টাকা পরিশোধ করে থাকে, তবে কত টাকা ধার করেছিলেন?

16. বিমল কাকু তার 12 বছরের ছেলে এবং 14 বছরের মেয়ের জন্য 187500 টাকা ব্যাংকে \( 5\% \) সরল সুদের হারে এমনভাবে জমা রাখলেন যাতে, উভয়ের বয়স যখন 18 বছর হবে তারা প্রত্যেকে সুদে আসলে সমান টাকা পাবে। তিনি তাঁর ছেলে এবং মেয়ের জন্য কত টাকা করে জমা রেখেছিলেন?

17. কোনো নির্দিষ্ট পরিমাণ মূলধনের 1 বছরের সরল সুদ 50 টাকা এবং 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 102 টাকা হলে, মূলধনের পরিমাণ ও বার্ষিক সুদের হার নির্ণয় করো।

18. বছরের প্রথমে অরুন ও অজয় যথাক্রমে 24000 টাকা ও 30000 টাকা দিয়ে যৌথভাবে ব্যবসা শুরু করেন। কিন্তু কয়েক মাস পরে অরুন আরও 12000 টাকা ওই ব্যবসায় মূলধন দেন। বছরের শেষে ওই ব্যবসায় 14030 টাকা লাভ হলো এবং অরুন 7130 টাকা লভ্যাংশ পেলেন। অরুন কত মাস পরে ব্যবসায় টাকা দিয়েছিলেন?

19. যদি বার্ষিক \( 10\% \) হারে কিছু টাকার 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 930 টাকা হয়, তবে ওই টাকার পরিমাণ কত?

20. বার্ষিক \( 10\% \) চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কত বছরে 4000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 5324 টাকা হবে?

21. ধুমপান বিরোধী প্রচারের ফলে প্রতি বছর ধুমপায়ীর সংখ্যা \( 6\frac{1}{4}\% \) হারে হ্রাস পায়। বর্তমান কোনো শহরে 33750 জন ধুমপায়ী থাকলে, 3 বছর পূর্বে শহরে কত জন ধুমপায়ী ছিল?

22. নিয়ামত চাচা ও করবী দিদি যথাক্রমে 30000 টাকা ও 50000 টাকা মূলধন দিয়ে যৌথভাবে একটি ব্যবসা আরম্ভ করলেন। 6 মাস পরে নিয়ামত চাচা আরও 40000 টাকা লগ্নি করলেন, কিন্তু করবী দিদি ব্যক্তিগত প্রয়োজনে 10000 টাকা তুলে নিলেন। বছরের শেষে যদি 19000 টাকা লাভ হয়ে থাকে, তাহলে কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবেন?

23. কোনো ব্যাঙ্ক বার্ষিক 5% হারে সরল সুদ দেয়। ওই ব্যাঙ্কে দীপু বাবু বছরের প্রথমে 15000 টাকা জমা দেওয়ার 3 মাস পর 3000 টাকা তুলে নিলেন এবং টাকা তুলে নেওয়ার 3 মাস পরে আবার তিনি 8000 টাকা জমা দিলেন। ওই বছরের শেষে দীপু বাবু সুদে আসলে কত টাকা পাবেন?

24. কোন একটি পরিবার আজ থেকে 3 বছর পূর্বে বিদ্যুৎ অপচয় বন্ধ করতে ইলেকট্রিক বিলের খরচ পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় 5% হ্রাস করার পরিকল্পনা গ্রহণ করে। 3 বছর পূর্বে ওই পরিবারকে বছরে 4000 টাকার ইলেকট্রিক বিল দিতে হয়েছিল। বর্তমান বছরে ইলেকট্রিক বিলে বিদ্যুৎ খরচ কত হবে?

25. বার্ষিক শতকরা কত চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 10000 টাকার 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 12100 টাকা হবে?

26. সর্বশিক্ষা অভিযানের ফলে বিদ্যালয় ছেড়ে চলে যাওয়া শিক্ষার্থীদের পুনরায় বিদ্যালয়ে ভর্তির ব্যবস্থা করা হয়েছে। এরূপ শিক্ষার্থীদের ভর্তির হার প্রতি বছর তার পূর্ববর্তী বছর অপেক্ষা 5% বৃদ্ধি পেয়েছে। কোনো এক জেলায় বর্তমান বছরে যদি 3528 জন এরূপ শিক্ষার্থী নতুন করে ভর্তি হয়ে থাকে, তবে 2 বছর পূর্বে এরূপ কতজন শিক্ষার্থী ভর্তি হয়েছিল?

27. পূজা, উত্তম ও মেহের যথাক্রমে 5000 টাকা, 7000 টাকা ও 10000 টাকা মূলধন নিয়ে অংশীদারি কারবার এই শর্তে শুরু করে যে (i) কারবার চালানোর মাসিক খরচ 125 টাকা, (ii) হিসাবপত্র রাখার জন্য পূজা ও উত্তম প্রত্যেকে মাসিক 200 টাকা পাবে। বছরের শেষে 6960 টাকা লাভ হলে, তা থেকে কে কত টাকা পাবে?

28. শোভা ও মাসুদ দুজনে মিলে 250,000 টাকার একটি গাড়ি কিনে 2,62,500 টাকায় বিক্রি করলেন। গাড়িটি কেনার সময়ে শোভা মাসুদের \( 1\frac{1}{2} \) গুণ টাকা দিয়ে থাকলে, কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবে?

বীজগণিত

1. সমাধান করো: \( \frac{x-3}{x+3}-\frac{x+3}{x-3}+6\frac{6}{7}=0, \quad [x\ne3,-3] \)

2. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কম হলে 30 টাকায় আরো 3 টি কলম বেশি পাওয়া যাবে। মূল্য কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করো।

3. সমাধান করো: \( \frac{1}{a+b+x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}, \quad [x\ne0, -(a+b)] \)

4. সমীকরণের বীজদ্বয় -4, 3 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো।

5. সমাধান করো: \( \frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6} \)

6. দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143 হলে সমীকরণটি গঠন করো এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে সংখ্যা দুটি নির্ণয় করো।

7. \( x^{2}+x+1=0 \) সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করো।

8. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম। সংখ্যাটির এককের অঙ্ক কী কী হতে পারে?

9. সমাধান করো: \( (\frac{x+4}{x-4})^{2}-5(\frac{x+4}{x-4})+6=0, \quad (x\ne4) \)

10. একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হলে সংখ্যাটি কত?

11. সমাধান করো: \( \frac{ax+b}{a+bx}=\frac{cx+d}{c+dx}, \quad [a\ne b,c\ne d], \quad x\ne-\frac{a}{b},-\frac{c}{d} \)

12. সমাধান করো: \( (\frac{x+a}{x-a})^{2}-5(\frac{x+a}{x-a})+6=0, \quad x\ne a \)

13. দুই স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি; এক স্থান হতে আর এক স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটর গাড়ি অপেক্ষা জিপগাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটর গাড়ির গতিবেগ নির্ণয় করো।

14. সমাধান করো: \( x^{2}-(\sqrt{3}+2)x+2\sqrt{3}=0 \)

15. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ নির্ণয় করো।

16. সমাধান করো: \( \frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x}=2\frac{1}{12}, \quad x\ne0,-1 \)

17. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করো।

18. আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মিটার কম প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের পার্কের ক্ষেত্রফল ওই বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গমিটার কম হলে, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

19. সমাধান করো: \( \frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{3}+\frac{3}{x+1}-\frac{5}{6}, \quad x\ne-1 \)

20. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি \( 11\frac{1}{9} \) মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নলদুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে?

21. আমাদের গ্রামের প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350 টি লঙ্কাচারা কিনলেন। সারি ধরে চারা লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে প্রত্যেক সারিতে যতগুলি করে গাছ লাগালেন তার থেকে আরও 24 টি সারি বেশি লাগানোর পর 10 টি চারাগাছ অতিরিক্ত থাকল। তিনি প্রত্যেক সারিতে কতগুলি করে চারাগাছ লাগিয়েছেন?

22. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুইটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্কটি কত?

23. \( (b-c)x^{2}+(c-a)x+(a-b)=0 \) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করো \( 2b=a+c \)।

24. \( ax^{2}+bx+c=0 \) সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাও যে \( 2b^{2}=9ac \)।

25. \( (a^{2}+b^{2})x^{2}-2(ac+bd)x+(c^{2}+d^{2})=0 \) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করো যে, \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \)।

26. \( 5x^{2}+2x-3=0 \) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \( \alpha \) ও \( \beta \) হলে, \( \frac{\alpha^{2}}{\beta}+\frac{\beta^{2}}{\alpha} \) এর মান নির্ণয় করো।

27. প্রমাণ কর যে \( 2(a^{2}+b^{2})x^{2}+2(a+b)x+1=0 \) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি \( a\ne b \) হয়। [cite: 878]

বীজগণিত ও ভেদ

1. \( x=\frac{1}{2-\sqrt{3}} \) এবং \( y=\frac{1}{2+\sqrt{3}} \) হয় তবে \( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1} \) এর মান নির্ণয় করো।

2. \( x \propto y \) এবং \( y \propto z \) হলে দেখাও যে \( \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy} \propto \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \)

3. \( m+\frac{1}{m}=\sqrt{3} \) হলে (a) \( m^{2}+\frac{1}{m^{2}} \) ও (b) \( m^{3}+\frac{1}{m^{3}} \) এদের সরলতম মান নির্ণয় করো।

4. সরল মান নির্ণয় করো: \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \)

5. যদি \( a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} \) এবং \( ab=1 \) হয়, তবে \( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \) এর মান নির্ণয় করো।

6. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন, তা নির্ণয় করো।

7. \( x = 2+\sqrt{3} \) এবং \( x+y = 4 \) হলে \( xy+\frac{1}{xy} \) এর সরলতম মান নির্ণয় করো।

8. \( a \propto b \) এবং \( b \propto c \) হলে প্রমাণ করো \( a^3+b^3+c^3 \propto 3abc \)

9. সরল করো: \( \frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}-\frac{30}{4\sqrt{3}-\sqrt{18}}-\frac{\sqrt{18}}{3-\sqrt{12}} \)

10. \( \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \propto \frac{1}{x-y} \) হয় তবে দেখাও যে, \( x^2+y^2 \propto xy \)

11. সরলতম মান নির্ণয় করো: \( \sqrt{7}(\sqrt{5}-\sqrt{2})-\sqrt{5}(\sqrt{7}-\sqrt{2})+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} \)

12. \( x \propto y \) এবং \( y \propto z \) হলে প্রমাণ করো, \( (x^{2}+y^{2}+z^{2}) \propto (xy+yz+zx) \)

13. সরল কর: \( \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}+1}{2+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{2}+1}{3+2\sqrt{2}} \)

14. যদি \( a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} \) ও \( b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} \) হয়, তবে \( \frac{3a^{2}+5ab+3b^{2}}{3a^{2}-5ab+3b^{2}} \) এর মান নির্ণয় করো।

15. \( x=\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \) হলে \( \frac{x+\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}+\frac{x+\sqrt{5}}{x-\sqrt{5}} \) এর মান নির্ণয় করো।

16. \( x+y=\sqrt{5} \) এবং \( x-y=\sqrt{3} \) হলে, \( (x^{2}-4xy+y^{2}) \) এর মান নির্ণয় করো।

17. একটি হোস্টেলের ব্যয় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ঐ হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরল ভেদে আছে। আবাসিক সংখ্যা 120 হলে ব্যয় 2000 টাকা এবং আবাসিক সংখ্যা 100 হলে ব্যয় 1700 টাকা হয়। ব্যয় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিক সংখ্যা কত?

18. সরল করো: \( \frac{x+\sqrt{x^{2}-1}}{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{x-\sqrt{x^{2}-1}}{x+\sqrt{x^{2}-1}} \)

19. \( x, y \) এর সঙ্গে সরলভেদে এবং \( z \) এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। \( y=5 \) ও \( z=9 \) হলে \( x=\frac{1}{6} \)। \( x, y \) ও \( z \) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করো, এবং \( y=6 \) ও \( z=\frac{1}{5} \) হলে \( x \) এর মান নির্ণয় করো।

20. \( A^{2}+B^{2} \propto A^{2}-B^{2} \) হলে, দেখাও যে \( A \propto B \)

21. যদি \( x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}} \) হয়, তাহলে দেখাও যে \( x^{2}-x-1=0 \)

22. \( A \propto \frac{1}{C} \) এবং \( C \propto \frac{1}{B} \) হলে, দেখাও যে \( A \propto B \)

23. \( a \propto b, b \propto c \) হলে দেখাও যে, \( a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3} \propto abc(a^{3}+b^{3}+c^{3}) \)

24. \( x^{3}+y^{3} \propto x^{3}-y^{3} \) হলে, প্রমাণ কর যে \( x+y \propto x-y \)

25. \( x+y \propto x-y \) হলে দেখাও যে, \( x^3 + y^3 \propto x^3 – y^3 \)

26. \( a \propto b, b \propto \frac{1}{c} \) এবং \( c \propto d \) হয়, তবে \( a \) ও \( d \) এর মধ্যে ভেদ সম্পর্কটি নির্ণয় করো।

27. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। \( 1\frac{1}{2}, 2 \) এবং \( 2\frac{1}{2} \) মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হলো। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

28. পাঁচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন জমিটি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় কর।

অনুপাত ও সমানুপাত

1. \( \frac{a^{2}}{b+c}=\frac{b^{2}}{c+a}=\frac{c^{2}}{a+b}=1 \) হলে দেখাও যে, \( \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1 \)

2. 5টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার চতুর্থটি 54 এবং পঞ্চমটি 162 হলে, প্রথমটি নির্ণয় করো।

3. যদি \( a:b=b:c \) হয় তবে প্রমাণ করো \( \frac{abc(a+b+c)^{3}}{(ab+bc+ca)^{3}}=1 \)

4. \( \frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=1 \) হলে, \( \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c} \) এর মান নির্ণয় করো।

5. \( x:a=y:b=z:c \) হলে দেখাও যে, \( \frac{x^{3}}{a^{3}}+\frac{y^{3}}{b^{3}}+\frac{z^{3}}{c^{3}}=\frac{3xyz}{abc} \)

6. যদি \( \frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a} \) হয় তবে প্রমাণ করো \( \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} \)

7. \( (3x-2y): (x+3y) = 5: 6 \) হলে, \( (2x+5y): (3x+4y) \) নির্ণয় করো।

8. \( \frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b-c}{x+y-z} \) , তবে প্রমাণ করো যে \( \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z} \)

9. \( \frac{a+b-c}{a+b}=\frac{b+c-a}{b+c}=\frac{c+a-b}{c+a} \) এবং \( a+b+c\ne0 \) হলে প্রমাণ করো, \( a=b=c \)

10. \( x:a=y:b=z:c \) হলে দেখাও যে, \( (a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2} \)

11. যদি \( \frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b} \) হয়, তবে প্রমাণ কর যে প্রতিটি অনুপাতের মান \( \frac{1}{2} \) অথবা \( (-1) \) এর সমান।

12. যদি \( (b+c-a)x=(c+a-b)y=(a+b-c)z=2 \) হয় তবে দেখাও যে \( (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})=abc \)

13. \( x=\frac{8ab}{a+b} \) হলে \( \frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b} \) এর মান নির্ণয় করো।

14. \( \frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2} \) হলে, দেখাও যে, \( \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{4a}{a^{2}+4} \)

15. \( a, b, c, d \) ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ কর যে, \( (a^{2}+b^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}+d^{2})=(ab+bc+cd)^{2} \)

16. \( \frac{x^{2}-yz}{a}=\frac{y^{2}-zx}{b}=\frac{z^{2}-xy}{c} \) হলে, প্রমাণ করো যে, \( (a+b+c)(x+y+z)=ax+by+cz \)

17. \( \frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc} \) এবং \( x+y+z\ne0 \) হলে দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাত \( \frac{1}{a+b+c} \) এর সমান।

18. যদি \( a:b=b:c \) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \( a^{2}b^{2}c^{2}(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})=a^{3}+b^{3}+c^{3} \)

জ্যামিতি (উপপাদ্য)

1. প্রমাণ করো বৃত্তস্থ চর্তুভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

2. প্রমাণ করো বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও ঐ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে থাকে।

3. প্রমাণ করো ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা-এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে, ঐ লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

4. প্রমাণ করো, একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণই সমান।

5. প্রমাণ করো, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুইটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শ বিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান।

6. অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ – প্রমাণ করো।

7. প্রমাণ করো যে, যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শ বিন্দুটি কেন্দ্রদুটির সংযোজক সরলরেখাংশের ওপর অবস্থিত হবে।

8. প্রমাণ করো, একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের দুপাশে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তারা মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ এবং তারা পরস্পর সদৃশ।

9. যে কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে প্রমাণ কর প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে। (অথবা, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য বিবৃতি করো এবং প্রমাণ করো।)

10. প্রমান করো, কোনো বৃত্তের একটি বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যে-কোনো বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

11. পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি বিবৃতি কর এবং প্রমাণ কর। (অথবা, প্রমাণ কর যে-কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।)

12. \( ABCD \) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। \( \angle DAB \) এবং \( \angle BCD \) এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বৃত্তকে যথাক্রমে \( X \) ও \( Y \) বিন্দুতে ছেদ করেছে। \( O \) বৃত্তের কেন্দ্র হলে \( \angle XOY \) এর মান নির্ণয় করো।

13. প্রমাণ করো বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

14. \( ABCD \) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। \( DE \) জ্যা \( \angle BDC \) এর বহিদ্বিখন্ডক। প্রমাণ করো যে \( AE \) (বা বর্ধিত \( AE \)) \( \angle BAC \) এর বহিদ্বিখন্ডক।

15. \( O \) কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের \( AB \) ও \( CD \) দুটি জ্যাকে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে \( P \) বিন্দুতে ছেদ করে, প্রমাণ করো যে \( \angle AOC – \angle BOD = 2\angle BPC \)।

16. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে \( P \) ও \( Q \) বিন্দুতে ছেদ করেছে। \( PA \) ও \( PB \) যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমাণ কর \( A, Q, B \) বিন্দুত্রয় সমরেখ।

17. সমকোণী ত্রিভুজ \( ABC \) এর \( \angle A=90^{\circ} \), \( BC \) এর উপর \( AD \) লম্ব। প্রমাণ করো \( \frac{\Delta ABC \text{ এর ক্ষেত্রফল}}{\Delta ACD \text{ এর ক্ষেত্রফল}} = \frac{BC^2}{AC^2} \)।

18. \( \Delta ABC \) এর \( \angle A \) সমকোণ এবং \( BP \) ও \( CQ \) দুটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, \( 5BC^{2}=4(BP^{2}+CQ^{2}) \)।

19. \( ABC \) ত্রিভুজের \( BC \) বাহুর ওপর \( AD \) লম্ব এবং \( AD^{2}=BD \cdot DC \)। প্রমাণ করো \( \angle BAC \) একটি সমকোণ।

20. একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে \( A \) ও \( B \) বিন্দুতে এবং অপরটিকে \( C \) ও \( D \) বিন্দুতে ছেদ করেছে, প্রমাণ করো \( AC=BD \)।

21. প্রমাণ কর যে, কোনো চতুর্ভুজের কোণ চারটির সমদ্বিখন্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে যে চতুর্ভুজ গঠন করে, সেটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

22. \( \Delta ABC \) এর পরিকেন্দ্র \( O \) এবং \( OD \perp BC \); প্রমাণ করো যে \( \angle BOD=\angle BAC \)।

23. \( O \) কেন্দ্রীয় বৃত্তের \( AB \) ব্যাস; বৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দু \( P \) থেকে \( AB \) ব্যাসের উপর একটি লম্ব \( PN \)। প্রমাণ কর যে \( PB^{2}=AB \cdot BN \)।

24. দুটি বৃত্তের কেন্দ্র \( P \) এবং \( Q \); বৃত্ত দুটি \( A \) এবং \( B \) বিন্দুতে ছেদ করে। \( A \) বিন্দু দিয়ে \( PQ \) সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে \( C \) ও \( D \) বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো, \( CD=2PQ \)।

25. যদি \( ABCD \) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের \( AB=DC \) হয় তবে প্রমাণ কর যে \( AC = BD \)।

26. প্রমাণ কর যে, বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র।

27. প্রমাণ কর যে, কোনো বৃত্তের দুটি সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।

28. \( ABCD \) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের \( AB \) ও \( DC \) বাহুদ্বয় পরস্পরকে \( P \) বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করো \( PA \cdot PB=PC \cdot PD \)।

29. একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান – প্রমাণ করো।

জ্যামিতিক সম্পাদ্য

1. একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 5 সেমি ও 6 সেমি। ঐ ত্রিভুজের একটি অন্তবৃত্ত অঙ্কন করো।

2. 7 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করো।

3. একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 4 সেমি ও 8 সেমি। ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন কর।

4. 2.6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন করো এবং ঐ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সেমি দূরে, ঐ বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক অঙ্কন কর।

5. 4 সেমি এবং 3 সেমি দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ দুটির মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করো।

6. 3 সেমি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন করো। বৃত্তের উপর একটি বিন্দু A-তে একটি স্পর্শক অঙ্কন করো।

7. ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার BC = 7 সেমি, AB = 5 সেমি এবং AC = 6 সেমি। ABC ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করো।

8. 4 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কন করো। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6.5 সেমি দূরে কোনো বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ওই বৃত্তের দুটি স্পর্শক অঙ্কন করো।

9. 4 সেমি ও 2 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করো যাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 7 সেমি। ওই বৃত্ত দুইটির একটি সরল সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করো।

10. একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি এবং 7 সেমি এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°, ত্রিভুজটির অন্তবৃত্ত অঙ্কন করো।

11. 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করো এবং ঐ ত্রিভুজটির অন্তবৃত্ত অঙ্কন করো।

12. 8 সেমি ও 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র অঙ্কন করো এবং ঐ আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করো।

ত্রিকোণমিতি – উচ্চতা ও দূরত্ব

1. একটি অসম্পূর্ণ স্তম্ভের পাদদেশ থেকে 50 মিটার দূরের কোনো বিন্দু থেকে তার অগ্রভাগের উন্নতি কোণ \( 30^{\circ} \)। স্তম্ভটি আর কত উচ্চতা বৃদ্ধি করলে ঐ বিন্দু থেকে তার শীর্ষের উন্নতি কোণ \( 45^{\circ} \) হবে?

2. একটি বাড়ির ছাদ থেকে একটি বাতিস্তম্ভের চূড়া ও পাদবিন্দুর অবনতি কোণ যথাক্রমে \( 30^{\circ} \) ও \( 60^{\circ} \); বাড়ি ও বাতিস্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় কর।

3. একটি হ্রদের \( h \) মিটার ওপর একটি বিন্দু থেকে কোনো মেঘের উন্নতি কোণ \( \alpha \) এবং হ্রদের ওপর তার প্রতিবিম্বের অবনতি কোণ \( \beta \)। প্রমাণ করো যে, যে বিন্দু থেকে মেঘ দেখা যাচ্ছে সেখান থেকে মেঘের দূরত্ব \( \frac{2h\sec\alpha}{\tan\beta-\tan\alpha} \)।

4. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার এবং 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভের গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ \( 60^{\circ} \) হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ নির্ণয় করো।

5. 600 মিটার চওড়া কোনো নদীর একটি ঘাট থেকে দুটি নৌকা দুটি ভিন্ন অভিমুখে নদীর ওপারে যাওয়ার জন্য রওনা দিল। যদি প্রথম নৌকাটি নদীর এপারের সঙ্গে \( 30^{\circ} \) কোণ এবং দ্বিতীয় নৌকাটি প্রথম নৌকার গতিপথের সঙ্গে \( 90^{\circ} \) কোণ করে চলে ওপারে পৌঁছায়, তাহলে ওপারে পৌঁছানোর পর নৌকা দুইটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

6. একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.6 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা দণ্ড আছে। রাস্তার কোনো একস্থান থেকে দেখলে পতাকা দণ্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে \( 50^{\circ} \) ও \( 45^{\circ} \) হয়। বাড়িটির উচ্চতা কত? (ধরে নাও \( \tan 50^{\circ}=1.2 \))

7. সূর্যের উন্নতি কোণ \( 45^{\circ} \) থেকে বৃদ্ধি পেয়ে \( 60^{\circ} \) হলে, একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয় করো।

8. \( 5\sqrt{3} \) মিটার উঁচু একটি রোপওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে এক ব্যক্তি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে \( 30^{\circ} \) অবনতি কোণে দেখলেন। কিন্তু 2 সেকেন্ড পরে ওই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে \( 45^{\circ} \) অবনতি কোণে দেখলেন। ট্রেনটির গতিবেগ কত?
(নোট: প্রশ্নে উচ্চতা শুধু \( \sqrt{3} \) থাকলেও সমাধান অংশে \( 5\sqrt{3} \) ব্যবহার করা হয়েছে, তাই এখানে \( 5\sqrt{3} \) উল্লেখ করা হলো)

9. দুটি স্তম্ভের দূরত্ব 150 মিটার; একটির উচ্চতা অন্যটির তিনগুণ। স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশ সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু থেকে তাদের শীর্ষের উন্নতি কোণদ্বয় পরস্পর পূরক। ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

10. একটি লাইটহাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের অবনতি কোণ যদি \( 60^{\circ} \) এবং \( 30^{\circ} \) হয় এবং কাছের জাহাজটি যদি লাইটহাউস থেকে 150 মিটার দূরে থাকে, তবে লাইটহাউস থেকে দূরের জাহাজটির দূরত্ব কত?

11. উড়োজাহাজের একজন যাত্রী কোনো এক সময় তাঁর এক পাশে হাওড়া স্টেশনটি এবং ঠিক বিপরীত পাশে শহীদ মিনারটি যথাক্রমে \( 60^{\circ} \) ও \( 30^{\circ} \) অবনতি কোণে দেখতে পান। ঐ সময় উড়োজাহাজটি যদি \( 545\sqrt{3} \) মিটার উঁচুতে থাকে, তাহলে হাওড়া স্টেশন থেকে শহীদ মিনারের দূরত্ব নির্ণয় করো।

12. 11 মিটার উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে একটি ল্যাম্পপোস্টের চূড়া ও পাদবিন্দুর অবনতি কোণ যথাক্রমে \( 30^{\circ} \) ও \( 60^{\circ} \); ল্যাম্পপোস্টের উচ্চতা নির্ণয় করো।

পরিমিতি

1. 1 সেমি ও 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দুইটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 9 সেমি বর্হিব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি ফাঁপা গোলকে পরিণত করা হল, নতুন গোলকের অন্তব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

2. একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা ভূমির ব্যাসের 7 গুণ হতো, তবে শঙ্কুটির আয়তন 539 ঘনসেমি বেশী হতো। শঙ্কুটির উচ্চতা নির্ণয় করো।

3. সমান ঘনত্বের একটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গডেসিমিটার। 1 ঘন ডেসিমিটার কাঠের ওজন 3 kg এবং গুঁড়িটির ওজন 18.48 কুইন্টাল হলে গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

4. 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চার আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে নির্ণয় করো।

5. একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা 6 গুণ হতো তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘনডেসিমি বেশী হতো, চোঙাটির উচ্চতা কত?

6. লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গমিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করো।

7. 4 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গোলাকার গুলি তৈরী করা যাবে তা নির্ণয় করো।

8. একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি, এবং 5.4 ডেসিমি। চা ভর্তী বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা 350 গ্রাম, কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা হলে, 1 ঘনডেসিমি চা-এর ওজন কত হবে তা নির্ণয় করো।

9. একটি ফাঁপা লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতি লোহার নলের বর্হিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি, এবং অন্তব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4 সেমি। নলটির সমতলের ক্ষেত্রফল 1188 বর্গসেমি হলে নলটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10. 9 সেমি অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি অর্ধগোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে। এই জল 3 সেমি ব্যাস এবং 4 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তী করে রাখা হবে, পাত্রটি খালি করতে এইরূপ কতগুলি বোতল দরকার হবে?

11. একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গমিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রঙ করতে কত টাকা খরচ পড়বে?

12. ঘনাকৃতি একটি জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির $\frac{1}{3}$ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চাটির বাহুর দৈর্ঘ্য যদি 1.2 মিটার হয়, তবে প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে? (1 ঘন ডেসিমিটার $=1$ লিটার)

13. একটি তারের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস $50\%$ কমানো হলো। আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য কত শতাংশ বাড়াতে হবে?

14. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরী করতে 77 বর্গমিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল কত?

15. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে $50\%$ কমানো হলো, মূলঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কত?

16. ঢাকনাবিহীন একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গসেমি। পাত্রটির ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে?

17. 21 ডেসিমি দীর্ঘ, 11 ডেসিমি প্রশস্ত ও 6 ডেসিমি গভীর একটি চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি ব্যাসের 100 টি নিরেট গোলক ডুবিয়ে দেওয়া যায়, তার জলতল কত ডেসিমি উঠে আসবে?

18. 4.2 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের ধার বিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবথেকে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় কর।

19. একটি ঢাকনা সমেত চোঙাকৃতি জলের ট্যাঙ্কের ভূমির ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার এবং উচ্চতা 21 মিটার। ঐ ট্যাঙ্কের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

20. 2.8 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের অর্ন্তব্যাস বিশিষ্ট এবং 7.5 ডেসিমি লম্বা একটি জ্বালানি গ্যাস সিলিন্ডারে 15.015 কিগ্রা গ্যাস থাকলে, প্রতি ঘনডেসিমি গ্যাসের ওজন কত?

21. একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত $3:2:1$ এবং উহার আয়তন 384 ঘনসেমি হলে, বাক্সটির সমপ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

22. 7 সেমি ব্যাসের একটি লম্বা গ্যাস জারে কিছু জল আছে। ওই জলে যদি 5.6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 5 সেমি লম্বা একটি নিরেট লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরো সম্পূর্ণ ডোবানো হয়, তবে জলতল কতটুকু উপরে উঠবে?

23. যদি কোনো ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল, অপর ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফলের $4$ গুণ হয়, তবে প্রথম ঘনকের ঘনফল দ্বিতীয় ঘনকটির ঘনফলের কতগুণ হবে?

24. একটি দুই মুখ খোলা লোহার লম্ব বৃত্তকার ফাঁপা চোঙের উচ্চতা 2.8 মিটার। চোঙটির অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4.6 ডেসিমি এবং চোঙটি 84.48 ঘনডেসিমি লোহা দিয়ে তৈরী হলে, চোঙটির বহ্যিাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো?

25. শোলা দিয়ে তৈরী একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকে ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গসেমি 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে। টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা নির্ণয় কর।

26. 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরী করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর?

27. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দন্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি। দন্ডটি গলিয়ে 4 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট কতগুলি নিরেট শঙ্কু তৈরী করা যাবে?

28. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গমিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে?

29. গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার এবং উচ্চতা 3.5 মিটার, মোট গমের আয়তন কত? গমের ওই স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গমিটার চাদর প্রয়োজন হবে? [ধর, $\pi=3.14$ এবং $\sqrt{130}=11.4$]

30. একটি নিরেট অর্ধগোলক ও একটি নিরেট শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান ও উচ্চতা সমান হলে তাদের আয়তনের অনুপাত এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

রাশিবিজ্ঞান

1. ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করো যদি তাদের প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নিম্নরূপ হয়:

2. নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যটির মধ্যমা নির্ণয় করো:

3. নীচের শ্রেণী বিন্যাসিত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো:

4. যদি নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার যৌগিক গড় 54 হয়, তবে K এর মান নির্ণয় করো:

5. নীচের প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন ছক তৈরী করে তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করো:

6. নীচের তালিকা থেকে একটি বিদ্যালয়ের দশম শ্রেণীর 52 জন ছাত্রের গড় নম্বর প্রত্যক্ষ পদ্ধতি ও কল্পিত গড় পদ্ধতিতে নির্ণয় করো:

7. নিম্নে পদত্ত প্রবেশিকা পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর বয়সের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করো:

8. নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করো:

9. নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ অঙ্কন করো:

10. নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করো (এখানে অজানা রাশি X ও Y এর মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে):

11. নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় কর:

12. নীচের তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরী করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন কর:

2026 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের গণিত বিষয়ের রচনাধর্মী প্রশ্নের সাজেশন এখানেই শেষ হলো। এই প্রশ্নগুলি ও অঙ্কগুলি তোমাদের কতটা সাহায্য করলো বা অন্য কোনো বিষয়ের সাজেশন প্রয়োজন কিনা, তা অবশ্যই আমাদের কমেন্ট করে জানিও। আর্টিকেলটি ভালো লাগলে বন্ধুদের সাথে শেয়ার করতে ভুলো না!

এছাড়াও, টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।