পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) অষ্টম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের সপ্তদশ অধ্যায় হলো ‘সময় ও কার্য’। এই পোস্টে আমরা ‘কষে দেখি – 17.2’-এর সমস্ত প্রশ্নের সহজ ও নির্ভুল সমাধান নিয়ে আলোচনা করেছি। আশা করি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত শিখতে এবং পরীক্ষার প্রস্তুতিতে দারুণভাবে সহায়তা করবে।
1. প্রিয়া ও দেবু প্রত্যেকে একই কাজ যথাক্রমে 10 ঘণ্টায় ও 12 ঘণ্টায় করতে পারে। তারা যদি একসঙ্গে ওই কাজটি করে তবে কত ঘণ্টায় কাজটি শেষ করতে হবে হিসাব করে দেখি।
সমাধান – ধরি, মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ।
প্রিয়া 10 ঘণ্টায় কাজ করে 1 অংশ
প্রিয়া 1 ঘণ্টায় কাজ করে \(\frac{1}{10}\) অংশ
আবার, দেবু 12 ঘণ্টায় কাজ করে 1 অংশ
দেবু 1 ঘণ্টায় কাজ করে \(\frac{1}{12}\) অংশ
∴ প্রিয়া ও দেবু একত্রে 1 ঘণ্টায় কাজ করে \((\frac{1}{10} + \frac{1}{12})\) অংশ = \(\frac{6+5}{60}\) অংশ = \(\frac{11}{60}\) অংশ
∴ প্রিয়া ও দেবু একত্রে \(\frac{11}{60}\) অংশ কাজ করে 1 ঘণ্টায়
প্রিয়া ও দেবু একত্রে 1 অংশ কাজ করে \((1 \div \frac{11}{60})\) ঘণ্টায়
= \( (1 \times \frac{60}{11})\) ঘণ্টায়
= \( 5\frac{5}{11}\) ঘণ্টায়
∴ তারা যদি একত্রে কাজটি করে তবে তাদের কাজটি শেষ করতে সময় লাগবে \(5\frac{5}{11}\) ঘণ্টা।
2. আমি, আমার দাদা ও আমার দিদি তিনজনে মিলে বাড়ির জানালা রঙ করব। আমার দাদা, দিদি ও আমি আলাদাভাবে এই কাজটি যথাক্রমে 12, 4 ও 6 দিনে করতে পারি। আমরা তিনজনে যদি একসাথে কাজটি করি তবে কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারব হিসাব করে লিখি।
সমাধান – ধরি, মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ।
আমি 12 দিনে করি 1 অংশ
আমি 1 দিনে করতে পারি \(\frac{1}{12}\) অংশ।
আমার দাদা 4 দিনে কাজ করে 1 অংশ
আমার দাদা 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{4}\) অংশ
আমার দিদি 6 দিনে কাজ করে 1 অংশ
আমার দিদি 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{6}\) অংশ
∴ আমরা তিনজনে 1 দিনে করি মোট কাজের \((\frac{1}{12} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6})\) অংশ
= \( \frac{1+3+2}{12}\) অংশ
= \( \frac{6}{12}\) অংশ
= \( \frac{1}{2}\) অংশ
∴ আমরা তিনজনে 1 দিনে করি সম্পূর্ণ কাজের \(\frac{1}{2}\) অংশ
তিনজনে সম্পূর্ণ কাজের \(\frac{1}{2}\) অংশ করি 1 দিনে
তিনজনে সম্পূর্ণ কাজের 1 অংশ করি \(\frac{1}{\frac{1}{2}}\) দিনে = \((1 \div \frac{1}{2})\) দিনে = \((1 \times 2)\) দিনে = 2 দিনে।
∴ তিনজনে সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করতে পারব 2 দিনে।
3. কোনো একটি কাজ অবনী ও আনোয়ার আলাদাভাবে যথাক্রমে 20 ও 25 দিনে করতে পারে। তারা একসাথে কাজ শুরু করার 10 দিন পর দুজনেই চলে গেল। সুখেন এসে বাকি কাজটি 3 দিনে শেষ করল। যদি সুখেন পুরো কাজটি একা করত তবে কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, সমগ্র কাজের পরিমাণ 1 অংশ।
অবনী 20 দিনে সম্পূর্ণ করে 1 অংশ
অবনী 1 দিনে সম্পূর্ণ করে কাজটির \(\frac{1}{20}\) অংশ
আনোয়ার 25 দিনে কাজ করে 1 অংশ
আনোয়ার 1 দিনে কাজ করে কাজটির \(\frac{1}{25}\) অংশ
∴ অবনী ও আনোয়ার একত্রে 1 দিনে কাজ করে কাজটির \((\frac{1}{20} + \frac{1}{25})\) অংশ
= \( \frac{5+4}{100}\) অংশ
= \( \frac{9}{100}\) অংশ
অবনী ও আনোয়ার একত্রে 10 দিনে কাজ করে কাজটির \((\frac{9}{100} \times 10)\) অংশ = \(\frac{9}{10}\) অংশ
∴ বাকি কাজ = \((1 – \frac{9}{10})\) অংশ = \(\frac{1}{10}\) অংশ
∴ সুখেন 3 দিনে করে কাজটির \(\frac{1}{10}\) অংশ
∴ সুখেন কাজটির \(\frac{1}{10}\) অংশ সম্পন্ন করে 3 দিনে সুখেন কাজটির 1 অংশ সম্পন্ন করে \(\frac{3}{\frac{1}{10}}\) দিনে
= \( (3 \div \frac{1}{10})\) দিনে
= \( (3 \times 10)\) দিনে
= \( 30\) দিনে
∴ সুখেন সম্পূর্ণ কাজটি সম্পন্ন করে 30 দিনে।
4. পৌরসভার একটি জলের ট্যাঙ্ক থেকে জল নেওয়ার দুটি নল আছে। নলদুটি আলাদাভাবে 4 ঘণ্টায় ট্যাঙ্কটি খালি করা যায়। দুটি নলকে একই সঙ্গে খুলে রাখলে কতক্ষণে জলপূর্ণ ট্যাঙ্কটি খালি হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান – ধরি, সমগ্র ট্যাঙ্কটির পরিমাণ 1 অংশ।
প্রত্যেক নল 4 ঘণ্টায় খালি করে 1 অংশ
প্রত্যেক নল 1 ঘণ্টায় খালি করে \(\frac{1}{4}\) অংশ
∴ দুটি নল 1 ঘণ্টায় খালি করে \((2 \times \frac{1}{4})\) অংশ = \(\frac{1}{2}\) অংশ
∴ দুটি নল \(\frac{1}{2}\) অংশ খালি করে 1 ঘণ্টায়
দুটি নল 1 অংশ খালি করে \(\frac{1}{\frac{1}{2}}\) ঘণ্টায় = \((1 \div \frac{1}{2})\) ঘণ্টায় = \((1 \times 2)\) ঘণ্টায় = 2 ঘণ্টায়।
∴ দুটি নল একসঙ্গে খোলা থাকলে সমগ্র ট্যাঙ্কটি খালি করতে সময় লাগবে 2 ঘণ্টা।
5. আমাদের চৌবাচ্চায় 3 টি নল আছে। ওই তিনটি নল দিয়ে আলাদা আলাদাভাবে যথাক্রমে 18, 21 ও 24 ঘণ্টায় চৌবাচ্চা পূর্ণ করা যায়।
(a) একমাত্র তিনটি নল খোলা থাকলে কতক্ষণে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হবে হিসাব করে লিখি।
(b) যদি প্রথম দুটি নল খোলা থাকত তাহলে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে কত সময় লাগত হিসাব করে লিখি।
(c) যদি শেষের দুটি নল খোলা থাকত তাহলে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে কত সময় লাগত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, সমগ্র চৌবাচ্চার আয়তন 1 অংশ।
প্রথম নল 18 ঘণ্টায় পূর্ণ করে 1 অংশ
প্রথম নল 1 ঘণ্টায় পূর্ণ করে \(\frac{1}{18}\) অংশ
দ্বিতীয় নল 21 ঘণ্টায় পূর্ণ করে 1 অংশ
দ্বিতীয় নল 1 ঘণ্টায় পূর্ণ করে \(\frac{1}{21}\) অংশ
তৃতীয় নল 24 ঘণ্টায় পূর্ণ করে 1 অংশ
তৃতীয় নল 1 ঘণ্টায় পূর্ণ করে \(\frac{1}{24}\) অংশ
∴ তিনটি নল একত্রে 1 ঘণ্টায় পূর্ণ করে \(= \left(\frac{1}{18} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24}\right)\) অংশ
\(= \left(\frac{28+24+21}{504}\right)\) অংশ
\(= \left(\frac{73}{504}\right)\) অংশ
(a) গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –
| জলের পরিমাণ (অংশ) | সময় (ঘণ্টা) |
| \(\frac{73}{504}\) | \(1\) |
| \(1\) | নির্ণেয় সময় ? |
জলের পরিমাণ ও সময় সরল সমানুপাতে আছে।
সরল সমানুপাতটি হল –
\(\frac{73}{504} : 1 :: 1 : ? \) নির্ণেয় সময়
বা, নির্ণেয় সময় \( = \frac{504}{73}\)
বা, নির্ণেয় সময় \( = 6\frac{66}{73}\)
∴ তিনটি নল খোলা থাকলে সমগ্র চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগবে \(6\frac{66}{73}\) ঘণ্টা।
(b) প্রথম দুটি নল একত্রে 1 ঘণ্টায় জলপূর্ণ করে \(\left(\frac{1}{18} + \frac{1}{21}\right)\) অংশ
\(= \frac{7+6}{126}\) অংশ
\(= \frac{13}{126}\) অংশ
∴ প্রথম দুটি নল 1 ঘণ্টায় পূর্ণ করে \(\frac{13}{126}\) অংশ
∴ প্রথম দুটি নল \(\frac{13}{126}\) অংশ পূর্ণ করে 1 ঘণ্টায়
প্রথম দুটি নল 1 অংশ পূর্ণ করে \(\frac{1}{\frac{13}{126}}\) ঘণ্টায় \(= \frac{126}{13}\) ঘণ্টায় \(= 9\frac{9}{13}\) ঘণ্টায়
∴ প্রথম দুটি নল খোলা থাকলে সমগ্র চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগবে \(9\frac{9}{13}\) ঘণ্টা।
(c) শেষের দুটি নল একত্রে 1 ঘণ্টায় জলপূর্ণ করে \(\left(\frac{1}{21} + \frac{1}{24}\right)\) অংশ \(= \frac{8+7}{168}\) অংশ
\(= \frac{15}{168}\) অংশ
∴ শেষের দুটি নল \(\frac{15}{168}\) অংশ জলপূর্ণ করে 1 ঘণ্টায়
শেষের দুটি নল 1 অংশ জলপূর্ণ করে \(\frac{1}{\frac{15}{168}}\) ঘণ্টায় \(= \frac{168}{15}\) ঘণ্টায় \(= \frac{56}{5}\) ঘণ্টায় \(= 11\frac{1}{5}\) ঘণ্টায়।
∴ শেষের দুটি নল খোলা থাকলে সমগ্র চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে সময় লাগবে \(11\frac{1}{5}\) ঘণ্টা।
6. পৌরসভার জল সরবরাহের নলটি দিয়ে রেহানাদের বাড়ির চৌবাচ্চাটি 30 মিনিটে পূর্ণ করা যায়। ওদের বাড়ির সব নলের কল খুলে ওরা 4 ঘণ্টায় ওই চৌবাচ্চা সমস্ত জল দিয়ে কাজ করতে পারে। কোনো একদিন যদি জল সরবরাহের নলটি মাত্র 25 মিনিট খোলা থাকে তাহলে ওই জল দিয়ে কতক্ষণ ওরা বাড়ির কাজ করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, রেহানাদের বাড়ির চৌবাচ্চাটির আয়তন 1 অংশ।
পৌরসভার নলটি চৌবাচ্চাটিকে জলপূর্ণ করে 30 মিনিটে
\(\therefore\) 30 মিনিটে চৌবাচ্চাটির জলপূর্ণ হয় 1 অংশ
1 মিনিটে চৌবাচ্চাটির জলপূর্ণ হয় \(\frac{1}{30}\) অংশ
25 মিনিটে চৌবাচ্চাটির জলপূর্ণ হয় \(\frac{25}{30}\) অংশ = \(\frac{5}{6}\) অংশ
এখন, বাড়ির নলগুলি সমগ্র চৌবাচ্চাটি খালি করে 4 ঘণ্টায়
\(\therefore\) বাড়ির নলগুলি \(\frac{5}{6}\) অংশ খালি করে \((\frac{5}{6} \times 4)\) ঘণ্টায় = \(\frac{10}{3}\) ঘণ্টায় = \(3\frac{1}{3}\) ঘণ্টায়
= 3 ঘণ্টা \((\frac{1}{3} \times 60)\) মিনিটে = 3 ঘণ্টা 20 মিনিটে
\(\therefore\) ওই জল দিয়ে তারা 3 ঘণ্টা 20 মিনিট কাজ করতে পারবে।
7. কোনো একটি কাজ রমা ও রোহিত 20 দিনে, রোহিত ও সাব্বা 15 দিনে এবং রমা ও সাব্বা 20 দিনে করতে পারে। হিসাব করে লিখি তিনজনে একত্রে কতদিনে কাজটি শেষ করবে। রমা, রোহিত ও সাব্বা প্রত্যেকে আলাদা আলাদাভাবে কাজ করলে কে কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ।
রমা ও রোহিত 20 দিনে কাজ করে 1 অংশ
রমা ও রোহিত 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{20}\) অংশ
রোহিত ও সাব্বা 15 দিনে কাজ করে 1 অংশ
রোহিত ও সাব্বা 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{15}\) অংশ
রমা ও সাব্বা 20 দিনে কাজ করে 1 অংশ
রমা ও সাব্বা 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{20}\) অংশ
\(\therefore\) রমা ও রোহিত, রোহিত ও সাব্বা এবং রমা ও সাব্বা একত্রে 1 দিনে কাজ করে
\(= (\frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20})\) অংশ
\(= \frac{3+4+3}{60}\) অংশ
\(= \frac{10}{60}\) অংশ
\(= \frac{1}{6}\) অংশ
\(\therefore 2\) (রমা + রোহিত + সাব্বা) একত্রে 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{6}\) অংশ
\(\therefore\) (রমা + রোহিত + সাব্বা) একত্রে 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{6 \times 2}\) অংশ = \(\frac{1}{12}\) অংশ
অর্থাৎ, (রমা + রোহিত + সাব্বা) একত্রে \(\frac{1}{12}\) অংশ কাজ করে 1 দিনে
\(\therefore\) (রমা + রোহিত + সাব্বা) একত্রে 1 অংশ কাজ করে 12 দিনে।
\(\therefore\) রমা একা 1 দিনে কাজ করে \((\frac{1}{12} – \frac{1}{15})\) অংশ
\(= \frac{5-4}{60}\) অংশ = \(\frac{1}{60}\) অংশ
অর্থাৎ, রমা \(\frac{1}{60}\) অংশ কাজ করে 1 দিনে
রমা 1 অংশ কাজ করে \(\frac{1}{\frac{1}{60}}\) দিনে
\(= 60\) দিনে
\(\therefore\) রমা একা কাজটি সম্পন্ন করে 60 দিনে।
আবার, রোহিত একা 1 দিনে সম্পন্ন করে \((\frac{1}{12} – \frac{1}{20})\) অংশ
\(= \frac{5-3}{60}\) অংশ
\(= \frac{2}{60}\) অংশ
\(= \frac{1}{30}\) অংশ
রোহিত একা কাজটির \(\frac{1}{30}\) অংশ সম্পন্ন করে 1 দিনে
রোহিত একা কাজটির 1 অংশ সম্পন্ন করে \(\frac{1}{\frac{1}{30}}\) দিনে
\(= 30\) দিনে
সাব্বা একা 1 দিনে সম্পন্ন করে \((\frac{1}{12} – \frac{1}{20})\) অংশ
\(= \frac{5-3}{60}\) অংশ
\(= \frac{2}{60}\) অংশ
\(= \frac{1}{30}\) অংশ
অর্থাৎ সাব্বা কাজটির \(\frac{1}{30}\) অংশ সম্পন্ন করে 1 দিনে
সাব্বা কাজটির 1 অংশ সম্পন্ন করে \(\frac{1}{\frac{1}{30}}\) দিনে
\(= (1 \div \frac{1}{30})\) দিনে
\(= (1 \times 30)\) দিনে
\(= 30\) দিনে
8. অলোক, কালাম ও জোসেফ প্রত্যেকে কোনো একটি কাজ যথাক্রমে 10, 12 ও 15 দিনে করতে পারে। তারা একসাথে কাজটি শুরু করল। 3 দিন পরে কালামকে চলে যেতে হলো। বাকি কাজটি অলোক ও জোসেফ কতদিনে শেষ করতে পারবে সমানুপাত তৈরি করে হিসাব করি।
সমাধান –
ধরি সমগ্র কাজের পরিমাণ 1 অংশ
অলোক 10 দিনে কাজ করে 1 অংশ
অলোক 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{10}\) অংশ
কালাম 12 দিনে কাজ করে 1 অংশ
কালাম 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{12}\) অংশ
জোসেফ 15 দিনে কাজ করে 1 অংশ
জোসেফ 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{15}\) অংশ
অলোক, কালাম ও জোসেফ একত্রে 1 দিনে কাজ করে \((\frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15})\) অংশ
\(= \frac{6+5+4}{60}\) অংশ
\(= \frac{15}{60}\) অংশ
\(= \frac{1}{4}\) অংশ
\(\therefore\) অলোক, কালাম ও জোসেফ একত্রে 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{4}\) অংশ
অলোক, কালাম ও জোসেফ একত্রে 3 দিনে কাজ করে \(\frac{3}{4}\) অংশ
\(\therefore\) বাকি কাজ \(= (1 – \frac{3}{4})\) অংশ = \(\frac{1}{4}\) অংশ
3 দিন পর কালাম চলে যাওয়ায় বাকি কাজটি অলোক ও জোসেফ মিলে করবে।
অলোক ও জোসেফ একত্রে 1 দিনে কাজ করে \((\frac{1}{10} + \frac{1}{15})\) অংশ
\(= \frac{3+2}{30}\) অংশ
\(= \frac{5}{30}\) অংশ
\(= \frac{1}{6}\) অংশ
\(\therefore\) অলোক ও জোসেফ একত্রে \(\frac{1}{6}\) অংশ কাজ করে 1 দিনে
অলোক ও জোসেফ একত্রে 1 অংশ কাজ করে \(\frac{1}{\frac{1}{6}}\) দিনে = \((1 \times 6)\) দিনে = 6 দিনে
অলোক ও জোসেফ একত্রে \(\frac{1}{4}\) অংশ কাজ করে \((\frac{1}{4} \times 6)\) দিনে = \(\frac{3}{2}\) দিনে = \(1\frac{1}{2}\) দিনে।
\(\therefore\) বাকি কাজটি অলোক ও জোসেফ \(1\frac{1}{2}\) দিনে শেষ করতে পারে।
9. একটি কাজ মেরি ও ডেভিড একা একা যথাক্রমে 10 দিন ও 15 দিনে করতে পারে। প্রথমে মেরি একা 4 দিন ও পরে ডেভিড একা 5 দিন কাজ করে চলে গেল। মারিয়া এসে একা বাকি কাজটি 4 দিনে শেষ করল। যদি মেরি, ডেভিড ও মারিয়া একসাথে কাজটি করত তবে কতদিনে কাজটি শেষ করত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, সমগ্র কাজের পরিমাণ 1 অংশ।
মেরি একা 10 দিনে করে 1 অংশ
মেরি একা 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{10}\) অংশ
মেরি একা 4 দিনে কাজ করে \(\frac{4}{10}\) অংশ = \(\frac{2}{5}\) অংশ
ডেভিড একা 15 দিনে করে কাজ করে 1 অংশ
ডেভিড একা 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{15}\) অংশ
ডেভিড একা 5 দিনে কাজ করে \(\frac{5}{15}\) অংশ = \(\frac{1}{3}\) অংশ
মেরি 4 দিন ও ডেভিড 5 দিন কাজ করে চলে যাওয়ার পর অবশিষ্ট কাজ = \((1 – \frac{2}{5} – \frac{1}{3})\) অংশ = \((\frac{15-6-5}{15})\) অংশ = \(\frac{4}{15}\) অংশ
মারিয়া বাকি কাজটি 4 দিনে সম্পন্ন করে
\(\therefore\) মারিয়া \(\frac{4}{15}\) অংশ কাজ করে 4 দিনে
মারিয়া 1 অংশ কাজ করে \((4 \times \frac{15}{4})\) দিনে = 15 দিনে
মারিয়া 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{15}\) অংশ
\(\therefore\) মেরি, ডেভিড ও মারিয়া একসাথে 1 দিনে কাজ করে \((\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15})\) অংশ = \(\frac{3+2+2}{30}\) অংশ = \(\frac{7}{30}\) অংশ
\(\therefore\) তিনজনে সম্পূর্ণ কাজটি করে \((1 \times \frac{30}{7})\) অংশ = \(4\frac{2}{7}\) দিনে।
\(\therefore\) মেরি, ডেভিড ও মারিয়া একত্রে কাজটি করলে, কাজটি শেষ করতে সময় লাগত \(4\frac{2}{7}\) দিন।
10. একটি পৌরসভা পানীয় জল সংরক্ষণের জন্য একটি জলাধারের নির্মাণ করে তাতে পাম্প যুক্ত করেছে। পাম্পগুলি আলাদা আলাদাভাবে যথাক্রমে 16, 20 ও 30 ঘণ্টায় খালি জলাধারটি পূর্ণ করতে পারে। আজ সকাল 7 টায় তিনটি পাম্প যখন একসঙ্গে চালু করা হলো, তখন জলাধারটির \(\frac{1}{3}\) অংশ জলপূর্ণ ছিল। 1 ঘণ্টা 36 মিনিট পর প্রথম পাম্পটি এবং তারও 2 ঘণ্টা পর তৃতীয় পাম্পটি বন্ধ হয়ে গেল। (a) হিসাব করে দেখি জলাধারটি কখন জলপূর্ণ হয়েছিল। (b) হিসাব করে দেখি দ্বিতীয় পাম্পটি জলাধারের কত অংশ পূর্ণ করেছিল। (c) তৃতীয় পাম্পটি যখন বন্ধ হয়, তখন জলাধারটির কত অংশ জলপূর্ণ ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, সমগ্র জলাধারের জলের পরিমাণ 1 অংশ।
প্রথম পাম্পটি 16 ঘণ্টায় পূর্ণ করে 1 অংশ
প্রথম পাম্পটি 1 ঘণ্টায় পূর্ণ করে \(\frac{1}{16}\) অংশ
দ্বিতীয় পাম্পটি 20 ঘণ্টায় পূর্ণ করে 1 অংশ
দ্বিতীয় পাম্পটি 1 ঘণ্টায় পূর্ণ করে \(\frac{1}{20}\) অংশ
তৃতীয় পাম্পটি 30 ঘণ্টায় পূর্ণ করে 1 অংশ
তৃতীয় পাম্পটি 1 ঘণ্টায় পূর্ণ করে \(\frac{1}{30}\) অংশ
তিনটি পাম্প একত্রে 1 ঘণ্টায় পূর্ণ করে \((\frac{1}{16} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30})\) অংশ
\(= \frac{15+12+8}{240}\) অংশ
\(= \frac{35}{240}\) অংশ
\(= \frac{7}{48}\) অংশ
1 ঘণ্টা 36 মিনিট = \(1\frac{36}{60}\) ঘণ্টা = \((1 + \frac{36}{60})\) ঘণ্টা = \((1 + \frac{3}{5})\) ঘণ্টা = \(\frac{8}{5}\) ঘণ্টা
\(\therefore\) তিনটি পাম্প একত্রে \(\frac{8}{5}\) ঘণ্টায় পূর্ণ করে \(\frac{7}{48}\) অংশ।
তিনটি পাম্প একত্রে \(\frac{8}{5}\) ঘণ্টায় কাজ করে \((\frac{7}{48} \times \frac{8}{5}) = \frac{7}{30}\) অংশ।
আবার, \(\frac{8}{5}\) ঘণ্টা পর প্রথম পাম্প বন্ধ হয়ে যায়।
দ্বিতীয় ও তৃতীয় পাম্প একত্রে 1 ঘণ্টায় পূর্ণ করে \((\frac{1}{20} + \frac{1}{30})\) অংশ
\(= \frac{3+2}{60}\) অংশ
\(= \frac{5}{60}\) অংশ
\(= \frac{1}{12}\) অংশ
\(\therefore\) দ্বিতীয় ও তৃতীয় পাম্প একত্রে 2 ঘণ্টায় পূর্ণ করে \((2 \times \frac{1}{12})\) অংশ = \(\frac{1}{6}\) অংশ।
\(\therefore\) তৃতীয় পাম্পটি বন্ধ হওয়ার সময় জলাধারটি পূর্ণ হয় \((\frac{1}{3} + \frac{7}{30} + \frac{1}{6})\) অংশ
\(= (\frac{10+7+5}{30})\) অংশ
\(= \frac{22}{30}\) অংশ
\(= \frac{11}{15}\) অংশ
\(\therefore\) অবশিষ্ট জলের পরিমাণ = \((1 – \frac{11}{15})\) অংশ = \((\frac{15-11}{15})\) অংশ = \(\frac{4}{15}\) অংশ
দ্বিতীয় পাম্পটির অবশিষ্ট অংশ ভর্তি করতে সময় লাগবে = \((20 \times \frac{4}{15})\) ঘণ্টা = \(\frac{16}{3}\) ঘণ্টা।
(a) জলাধারটি জলপূর্ণ হতে সময় লাগবে = \((\frac{8}{5} + 2 + \frac{16}{3})\) ঘণ্টা = \((\frac{24+30+80}{15})\) ঘণ্টা = \(\frac{134}{15}\) ঘণ্টা = \(8\frac{14}{15}\) ঘণ্টা = \((8 + \frac{14}{15})\) ঘণ্টা = 8 ঘণ্টা + \((\frac{14}{15} \times 60)\) মিনিট = 8 ঘণ্টা 56 মিনিট।
\(\therefore\) জলাধারটি জলপূর্ণ হয়েছিল সকাল 7 টা + 8 ঘণ্টা 56 মিনিট = 15 ঘণ্টা 56 মিনিট = বিকেল 3 টে বেজে 56 মিনিটে।
(b) দ্বিতীয় পাম্পটি 1 ঘণ্টায় জলপূর্ণ করে \(\frac{1}{20}\) অংশ
\(\therefore\) দ্বিতীয় পাম্পটি \(8\frac{14}{15}\) ঘণ্টায় জলপূর্ণ করে \((\frac{1}{20} \times 8\frac{14}{15})\) অংশ = \((\frac{1}{20} \times \frac{134}{15})\) অংশ = \(\frac{67}{150}\) অংশ
\(\therefore\) দ্বিতীয় পাম্পটি জলাধারের \(\frac{67}{150}\) অংশ পূর্ণ করেছিল।
(c) তৃতীয় পাম্পটি বন্ধ হওয়ার সময় জলাধারটি জলপূর্ণ ছিল –
\((\frac{1}{3} + \frac{7}{30} + \frac{1}{6})\) অংশ = \(\frac{10+7+5}{30}\) অংশ = \(\frac{22}{30}\) অংশ = \(\frac{11}{15}\) অংশ
\(\therefore\) তৃতীয় পাম্পটি জলাধারের \(\frac{11}{15}\) অংশ পূর্ণ করেছিল।
11. আমার বন্ধু রীণা বাগানের কাজ একা করতে পারে। আমি ওই কাজ একা ____ ঘণ্টায় করতে পারি। কিন্তু দুজনে একসাথে বাগানের ওই কাজ করলে কত সময় লাগবে হিসাব করে লিখি। (ফাঁকা ঘরে নিজে সংখ্যা বসাই)
সমাধান –
আমি ফাঁকা ঘরে 3 বসিয়ে পাই
রীণা 1 ঘন্টায় করে মোট কাজের \(\frac{1}{4}\) অংশ
আমি 1 ঘন্টায় কাজ করি মোট কাজের \(\frac{1}{3}\) অংশ
দুজনে একসাথে 1 ঘন্টায় কাজ করি \((\frac{1}{4} + \frac{1}{3})\) অংশ
\(= \frac{3+4}{12}\) অংশ
\(= \frac{7}{12}\) অংশ
\(\therefore\) দুজনে একসঙ্গে কাজটির \(\frac{7}{12}\) অংশ করে 1 ঘণ্টায়
দুজনে একসঙ্গে 1 অংশ কাজ করে = \((1 \div \frac{7}{12})\) ঘণ্টায় = \((1 \times \frac{12}{7})\) ঘণ্টায় = \(\frac{12}{7}\) ঘণ্টায় = \(1\frac{5}{7}\) ঘণ্টায়
\(\therefore\) দুজনে একসঙ্গে কাজটি করলে \(1\frac{5}{7}\) ঘণ্টায় কাজটি শেষ হবে। [এই অঙ্কের উত্তর ভিন্ন হতে পারে]
এই আর্টিকেলে অষ্টম শ্রেণির গণিতের ‘সময় ও কার্য’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 17.2’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরেছি। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে। কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন