পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) অষ্টম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের উনবিংশ অধ্যায় হলো ‘সমীকরণ গঠন ও সমাধান’। এই পোস্টে আমরা ‘কষে দেখি – 19’-এর সমস্ত প্রশ্নের সহজ ও নির্ভুল সমাধান নিয়ে আলোচনা করেছি। আশা করি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত শিখতে এবং পরীক্ষার প্রস্তুতিতে দারুণভাবে সহায়তা করবে।
1. সীমা একটি সংখ্যা লিখেছে যার দ্বিগুণের সঙ্গে 2 যোগ করলে যা হয় তা সংখ্যাটির তিনগুণের চেয়ে 5 ছোটো। সীমার লেখা সংখ্যাটি লিখি।
সমাধান –
ধরি, সীমার লেখা সংখ্যাটি হল \(x\)
শর্তানুসারে,
\(2x+2 = 3x-5\)বা, \(2x-3x = -2-5\)
বা, \(-x = -7\)
বা, \(x = 7\)
\(\therefore\) সীমার লেখা সংখ্যাটি হল \(7\)।
2. তিনটি ক্রমিক সংখ্যা লিখি যাদের যোগফল থেকে 5 বিয়োগ করলে বিয়োগফলটি মাঝের সংখ্যার দ্বিগুণের চেয়ে 11 বেশি হয়। ক্রমিক সংখ্যা তিনটি লিখি।
সমাধান –
ধরি, তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হল \(x\), \(x+1\) এবং \(x+2\)
শর্তানুসারে,
\((x+x+1+x+2) -5 = 2(x+1)+11\)বা, \((3x+3) -5 = 2x+2 +11\)
বা, \(3x -2 = 2x+13\)
বা, \(3x -2x = 2+13\)
বা, \(x = 15\)
\(\therefore\) ক্রমিক সংখ্যা তিনটি হল \(15\), \(15+1 = 16\) এবং \(15 +2 = 17\)
3. আমি এমন একটি সংখ্যা খুঁজি যার এক তৃতীয়াংশ থেকে তার এক চতুর্থাংশ 1 কম।
সমাধান –
ধরি, সংখ্যাটি হল \(x\)
শর্তানুসারে,
\(\frac{x}{3} – \frac{x}{4} = 1\)বা, \(\frac{4x-3x}{12} = 1\)
বা, \(\frac{x}{12} = 1\)
বা, \(x = 12\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সংখ্যাটি হল \(12\)।
4. আমি এমন একটি ভগ্নাংশ খুঁজি যার হর তাঁর লব থেকে 2 বড় এবং লবের সঙ্গে 3 যোগ ও হর থেকে 3 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি \(\frac{7}{3}\) হয়।
সমাধান –
ধরি, ভগ্নাংশটির লব \(x\) এবং হর \(x+2\)
\(\therefore\) ভগ্নাংশটি হল = \(\frac{x}{x+2}\)
শর্তানুসারে,
বা, \(\frac{x+3}{x-1} = \frac{7}{3}\)
বা, \(3(x+3) = 7(x-1)\)
বা, \(3x+9 = 7x-7\)
বা, \(3x-7x = -9-7\)
বা, \(-4x = -16\)
বা, \(x = \frac{16}{4}\)
বা, \(x = 4\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ভগ্নাংশটি হল \(\frac{4}{4+2} = \frac{4}{6}\)
5. সুচেতা একটি ভগ্নাংশ লিখল যার হর তার লবের চেয়ে 3 বড়ো। আবার ভগ্নাংশটির লবের সঙ্গে 2 যোগ ও হর থেকে 1 বিয়োগ এবং লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সঙ্গে 2 যোগ করলে যে দুটি নতুন ভগ্নাংশ তৈরি হয় তাদের গুণফল \(\frac{2}{5}\)। সুচেতার লেখা ভগ্নাংশটি লিখি।
সমাধান –
ধরি, ভগ্নাংশটির লব \(x\)
\(\therefore\) ভগ্নাংশটির হর \((x+3)\)
সুতরাং, ভগ্নাংশটি হল \(\frac{x}{x+3}\)
শর্তানুসারে,
\(\frac{x+2}{(x+3)-1} \times \frac{x-1}{(x+3)+2} = \frac{2}{5}\)বা, \(\frac{x+2}{x+2} \times \frac{x-1}{x+5} = \frac{2}{5}\)
বা, \(\frac{x-1}{x+5} = \frac{2}{5}\)
বা, \(5(x-1) = 2(x+5)\)
বা, \(5x -5 = 2x+10\)
বা, \(5x-2x = 5+10\)
বা, \(3x= 15\)
বা, \(x = \frac{15}{3}\)
বা, \(x = 5\)
\(\therefore\) ভগ্নাংশটি হল \(\frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}\)
6. রাজু দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা লিখল যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ এবং অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করে লিখলে যে সংখ্যাটি তৈরি হবে তা মূল সংখ্যাটি থেকে 36 কম। রাজুর লেখা দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাটি কি?
সমাধান –
ধরি, রাজুর লেখা সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক হল \(x\)
\(\therefore\) দশক স্থানীয় অঙ্ক হবে \(3x\)
\(\therefore\) সংখ্যাটি হবে = \(10(3x) +x = 30x+x =31x\)
সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে লিখলে সংখ্যাটি হবে = \(10(x) +3x = 10x+3x=13x\)
শর্তানুসারে,
\(31x -13x = 36\)বা, \(18x = 36\)
বা, \(x = \frac{36}{18}\)
বা, \(x =2\)
\(\therefore\) রাজুর লেখা সংখ্যাটি হল \(31x = 31\times 2 = 62\)
7. দুটি সংখ্যার যোগফল 89 এবং অন্তর 15 হলে সংখ্যা দুটির মান খুঁজি।
সমাধান –
ধরি, বড়ো সংখ্যা হল \(x\)
\(\therefore\) ছোট সংখ্যা হবে \((89-x)\)
শর্তানুসারে,
\(x –(89-x) = 15\)বা, \(x -89+x =15\)
বা, \(2x = 89+15\)
বা, \(2x = 104\)
বা, \(x = \frac{104}{2}\)
বা, \(x = 52\)
\(\therefore\) বড়ো সংখ্যাটি হল \(52\) এবং ছোট সংখ্যা হল \((89-52) = 37\)
8. 830 কে এমন দুটি অংশে ভাগ করি যেন একটি অংশের 30% অপর অংশের 40% অপেক্ষা 4 বেশি হয়।
সমাধান –
ধরি, একটি অংশ \(x\)
\(\therefore\) অপর অংশ \((830-x)\)
প্রশ্নানুসারে,
বা, \(\frac{3x}{10} = (830-x) \times \frac{4}{10} + 4\)
বা, \(\frac{3x}{10} = 332 – \frac{4x}{10} + 4\)
বা, \(\frac{3x}{10} + \frac{4x}{10} = 336\)
বা, \(\frac{7x}{10} = 336\)
বা, \(x = \frac{336 \times 10}{7}\)
বা, \(x = 480\)
\(\therefore\) একটি অংশ \(480\) এবং অপর অংশ \((830-480) = 350\)
9. 56 কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যেন প্রথম অংশের তিনগুণ, দ্বিতীয় অংশের এক তৃতীয়াংশ অপেক্ষা 48 বেশি হয়।
সমাধান –
ধরি, একটি অংশ \(x\)
\(\therefore\) দ্বিতীয় অংশ \((56-x)\)
শর্তানুসারে,
\(3x = \frac{1}{3} (56 – x) + 48\)বা, \(3x = \frac{56-x+144}{3}\)
বা, \(9x = 200-x\)
বা, \(9x+x = 200\)
বা, \(10x = 200\)
বা, \(x = \frac{200}{10}\)
বা, \(x = 20\)
\(\therefore\) প্রথম অংশ \(20\) এবং দ্বিতীয় অংশ \((56-20) = 36\)
10. একটি দণ্ডের \(\frac{1}{5}\) অংশ কাদায়, \(\frac{3}{5}\) অংশ জলে এবং অবশিষ্ট 5 মিটার জলের উপরে আছে। দণ্ডটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য \(x\) মিটার।
\(\therefore\) কাদায় আছে = \(\frac{x}{5}\) মিটার এবং জলে আছে \(\frac{3x}{5}\) মিটার এবং জলের ওপরে আছে \(5\) মিটার।
\(\frac{x}{5} + \frac{3x}{5} + 5 = x\)বা, \(\frac{x+3x+25}{5} = x\)
বা, \(\frac{4x+25}{5} = x\)
বা, \(4x+25 = 5x\)
বা, \(4x -5x = -25\)
বা, \(-x = -25\)
বা, \(x = 25\)
\(\therefore\) দণ্ডটির দৈর্ঘ্য \(25\) মিটার।
11. আমার বাবার বর্তমান বয়স আমার বর্তমান বয়সের 7 গুণ। 10 বছর পরে বাবার বয়স আমার বয়সের 3 গুণ হবে। আমার ও বাবার বর্তমান বয়স লিখি।
সমাধান –
ধরি, আমার বর্তমান বয়স \(x\) বছর।
\(\therefore\) আমার বাবার বর্তমান বয়স \(7x\) বছর।
10 বছর পরে আমার বয়স হবে \((x+10)\) বছর।
10 বছর পরে আমার বাবার বয়স হবে \((7x+10)\) বছর।
শর্তানুসারে,
\(7x+10 = 3(x+10)\)বা, \(7x+10 = 3x+30\)
বা, \(7x -3x = 30 – 10\)
বা, \(4x = 20\)
বা, \(x = \frac{20}{4}\)
বা, \(x = 5\)
\(\therefore\) আমার বর্তমান বয়স \(5\) বছর এবং আমার বাবার বর্তমান বয়স \(7 \times 5\) বছর = \(35\) বছর।
12. আমার মামা 1000 টাকার একটি চেক ব্যাঙ্ক থেকে ভাঙালেন। তিনি কয়েকটি পাঁচ টাকার নোট ও কয়েকটি দশ টাকার নোট পেলেন। যদি মামা মোট 137 টি নোট পেয়ে থাকেন তাহলে কতগুলি 5 টাকার নোট পেলেন দেখি।
সমাধান –
ধরি, মামা পাঁচ টাকার নোট পেলেন \(x\) টি।
\(\therefore\) মামা দশ টাকার নোট পেলেন \((137 – x)\) টি।
শর্তানুসারে,
\(5x + 10(137 – x) = 1000\)বা, \(5x + 1370 – 10x = 1000\)
বা, \(-5x = 1000 – 1370\)
বা, \(-5x = -370\)
বা, \(x = \frac{370}{5}\)
বা, \(x = 74\)
\(\therefore\) মামা \(74\) টি পাঁচ টাকার নোট পেলেন।
13. আমাদের গ্রামের সালেম চাচা সরকারি চাকুরি থেকে অবসর গ্রহণের সময় তাঁর সঞ্চয়ের \(\frac{1}{2}\) অংশ দিয়ে একটি বাড়ি কেনেন। হঠাৎ বিপদে পড়ে তিনি বাড়িটি বিক্রি করে কেনা দামের 5% বেশি পান। যদি তিনি বাড়িটি 3450 টাকায় বিক্রি করতেন তাহলে কেনা দামের উপর 8% বেশি পেতেন। সালেম চাচা কত টাকায় বাড়িটি কিনেছিলেন এবং তাঁর সঞ্চয় কত ছিল দেখি।
সমাধান –
ধরি, সালেম চাচা মোট সঞ্চয় করেছিল \(x\) টাকা।
\(\therefore\) তিনি বাড়িটি কিনেছিলেন \(\frac{x}{2}\) টাকায়।
5% বেশি দামে বিক্রি করলে তিনি বেশি পাবেন = \(\frac{x}{2} \times \frac{5}{100}\) টাকা
8% বেশি দামে বিক্রি করলে তিনি বেশি পেতেন = \(\frac{x}{2} \times \frac{8}{100}\) টাকা
শর্তানুসারে,
\(\frac{x}{2} \times \frac{5}{100} + 3450 = \frac{x}{2} \times \frac{8}{100}\)\(\frac{x}{40} + 3450 = \frac{x}{25}\)বা, \(\frac{x}{25} – \frac{x}{40} = 3450\)
বা, \(\frac{8x – 5x}{200} = 3450\)
বা, \(\frac{3x}{200} = 3450\)
বা, \(3x = 3450 \times 200\)
বা, \(x = \frac{3450 \times 200}{3}\)
বা, \(x = 1150 \times 200\)
বা, \(x = 230000\)
\(\therefore\) সালেম চাচা মোট সঞ্চয় ছিল \(230000\) টাকা এবং তিনি বাড়িটি কিনেছিলেন \(\frac{230000}{2}\) টাকায় = \(115000\) টাকায়।
14. গোপালপুর গ্রামের আশ্রয় শিবিরে আশ্রয়প্রার্থীদের জন্য 20 দিনের খাবার মজুদ ছিল। 7 দিন পর আরও 100 জন সেই শিবিরে আশ্রয় নিলে 11 দিনের মাথায় সব খাবার শেষ হয়ে যায়। প্রথমে কতজন আশ্রয়প্রার্থী ছিল?
সমাধান –
ধরি, প্রথমে আশ্রয়শিবিরে মোট \(x\) জন ছিল।
7 দিন পর আশ্রয়প্রার্থীর জন্য \((20 – 7) = 13\) দিনের খাবার মজুদ ছিল। কিন্তু নতুন 100 জন আশ্রয়প্রার্থী আশ্রয় নেওয়ায় নতুন আশ্রয়প্রার্থীর সংখ্যা = \((x + 100)\) জন।
অর্থাৎ, \(x\) জনের 13 দিনের খাবার = \((x + 100)\) জনের 11 দিনের খাবার
শর্তানুসারে,
\(13x = 11(x + 100)\)বা, \(13x = 11x + 1100\)
বা, \(13x – 11x = 1100\)
বা, \(2x = 1100\)
বা, \(x = \frac{1100}{2}\)
বা, \(x = 550\)
\(\therefore\) প্রথমে আশ্রয়শিবিরে \(550\) জন আশ্রয়প্রার্থী ছিল।
15. নীচের সমীকরণের বীজ লিখি (সমাধান করি)
(i) \(\frac{3}{x+3} = \frac{5}{x+2}\)
সমাধান –
\(\frac{3}{x+3} = \frac{5}{x+2}\)বা, \(3(x+2) = 5(x+3)\)
বা, \(3x+6 = 5x+15\)
বা, \(3x-5x = 15-6\)
বা, \(-2x = 9\)
বা, \(x = -\frac{9}{2}\)
বা, \(x = -4\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বীজটি হল \(-4\frac{1}{2}\)
(ii) \(\frac{5}{3x+4} = \frac{4}{5(x-3)}\)
সমাধান –
\(\frac{5}{3x+4} = \frac{4}{5(x-3)}\)বা, \(25(x-3) = 4(3x+4)\)
বা, \(25x – 75 = 12x + 16\)
বা, \(25x-12x = 75+16\)
বা, \(13x = 91\)
বা, \(x = \frac{91}{13}\)
বা, \(x = 7\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বীজটি হল \(7\)
(iii) \(14(x-2) + 3(x+5) = 3(x+8) + 5\)
সমাধান –
\(14(x-2) + 3(x+5) = 3(x+8) + 5\)বা, \(14x – 28 + 3x + 15 = 3x + 24 + 5\)
বা, \(17x – 13 = 3x + 29\)
বা, \(17x-3x = 13+29\)
বা, \(14x = 42\)
বা, \(x = \frac{42}{14}\)
বা, \(x = 3\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বীজটি হল \(3\)
(iv) \(\frac{x}{2} + 5 = \frac{x}{3} + 7\)
সমাধান –
\(\frac{x}{2} + 5 = \frac{x}{3} + 7\)বা, \(\frac{x}{2} – \frac{x}{3} = 7 – 5\)
বা, \(\frac{3x – 2x}{6} = 2\)
বা, \(\frac{x}{6} = 2\)
বা, \(x = 12\)
∴ নির্ণেয় বীজটি হল \(12\)
(v) \(\frac{x+1}{8} + \frac{x-2}{5} = \frac{x+3}{10} + \frac{3x-1}{20}\)
সমাধান –
\(\frac{x+1}{8} + \frac{x-2}{5} = \frac{x+3}{10} + \frac{3x-1}{20}\)বা, \(\frac{5(x+1) + 8(x-2)}{40} = \frac{2(x+3) + 3x-1}{20}\)
বা, \(\frac{5x+5+8x-16}{40} = \frac{2x+6+3x-1}{20}\)
বা, \(\frac{13x-11}{40} = \frac{5x+5}{20}\)
বা, \(\frac{13x-11}{2} = \frac{5x+5}{1}\)
বা, \(13x – 11 = 2 (5x+5)\)
বা, \(13x – 11 = 10x + 10\)
বা, \(13x – 10x = 11 + 10\)
বা, \(3x = 21\)
বা, \(x = \frac{21}{3}\)
বা, \(x = 7\)
∴ নির্ণেয় বীজটি হল \(7\)
(vi) \(\frac{x+1}{4} + 3 = \frac{2x+4}{5} + 2\)
সমাধান –
\(\frac{x+1}{4} + 3 = \frac{2x+4}{5} + 2\)বা, \(\frac{x+1}{4} – \frac{2x+4}{5} = 2 – 3\)
বা, \(\frac{5(x+1) – 4(2x+4)}{20} = -1\)
বা, \(\frac{5x+5 – 8x – 16}{20} = -1\)
বা, \(\frac{-3x – 11}{20} = -1\)
বা, \(-3x – 11 = -20\)
বা, \(-3x = 11 – 20\)
বা, \(-3x = -9\)
বা, \(x = \frac{9}{3}\)
বা, \(x = 3\)
∴ নির্ণেয় বীজটি হল \(3\)
(vii) \(\frac{x+1}{7} + x = \frac{3x-4}{14} + 6\)
সমাধান –
\(\frac{x+1}{7} + x = \frac{3x-4}{14} + 6\)বা, \(\frac{x+1}{7} + x – \frac{3x-4}{14} = 6\)
বা, \(\frac{2(x+1) + 14x – (3x-4)}{14} = 6\)
বা, \(\frac{2x+2+14x-3x+4}{14} = 6\)
বা, \(13x + 6 = 84\)
বা, \(13x = 84 – 6\)
বা, \(13x = 78\)
বা, \(x = \frac{78}{13}\)
বা, \(x = 6\)
∴ নির্ণেয় বীজটি হল \(6\)
(viii) \(\frac{3}{5}(x – 4) – \frac{1}{3}(2x – 9) = \frac{1}{4}(x – 1) – 2\)
সমাধান –
\(\frac{3}{5}(x – 4) – \frac{1}{3}(2x – 9) = \frac{1}{4}(x – 1) – 2\)বা, \(\frac{3(x-4)}{5} – \frac{2x-9}{3} = \frac{x-1}{4} – 2\)
বা, \(\frac{9(x-4) – 5(2x-9)}{15} = \frac{x-1-8}{4}\)
বা, \(\frac{9x-36-10x+45}{15} = \frac{x-9}{4}\)
বা, \(\frac{-x+9}{15} = \frac{x-9}{4}\)
বা, \(4(-x+9) = 15(x-9)\)
বা, \(-4x + 36 = 15x – 135\)
বা, \(-4x – 15x = -36 – 135\)
বা, \(-19x = -171\)
বা, \(x = \frac{171}{19}\)
বা, \(x = 9\)
∴ নির্ণেয় বীজটি হল \(9\)
(ix) \(\frac{x+5}{3} + \frac{2x-1}{7} = 4\)
সমাধান –
\(\frac{x+5}{3} + \frac{2x-1}{7} = 4\)বা, \(\frac{7(x+5) + 3(2x-1)}{21} = 4\)
বা, \(\frac{7x+35+6x-3}{21} = 4\)
বা, \(13x + 32 = 84\)
বা, \(13x = 84 – 32\)
বা, \(13x = 52\)
বা, \(x = \frac{52}{13}\)
বা, \(x = 4\)
∴ নির্ণেয় বীজটি হল \(4\)
(x) \(25 + 3(4x-5) + 8(x+2) = x+3\)
সমাধান –
\(25 + 3(4x-5) + 8(x+2) = x+3\)বা, \(25 + 12x – 15 + 8x + 16 = x + 3\)
বা, \(20x + 26 = x + 3\)
বা, \(20x – x = -26 + 3\)
বা, \(19x = -23\)
বা, \(x = -\frac{23}{19}\)
বা, \(x = -1\frac{4}{19}\)
(xi) \(\frac{x-8}{3} + \frac{2x+2}{12} + \frac{2x-1}{18} = 3\)
সমাধান –
\(\frac{x-8}{3} + \frac{2x+2}{12} + \frac{2x-1}{18} = 3\)বা, \(\frac{12(x-8) + 3(2x+2) + 2(2x-1)}{36} = 3\)
বা, \(\frac{12x-96+6x+6+4x-2}{36} = 3\)
বা, \(22x – 92 = 108\)
বা, \(22x = 108 + 92\)
বা, \(22x = 200\)
বা, \(x = \frac{200}{22}\)
বা, \(x = \frac{100}{11}\)
বা, \(x = 9\frac{1}{11}\)
∴ নির্ণেয় বীজটি হল \(9\frac{1}{11}\)
(xii) \(\frac{t+12}{6} – t = 6\frac{1}{2} – \frac{1}{12}\)
সমাধান –
\(\frac{t+12}{6} – t = 6\frac{1}{2} – \frac{1}{12}\)বা, \(\frac{t+12-6t}{6} = \frac{13}{2} – \frac{1}{12}\)
বা, \(\frac{12-5t}{6} = \frac{78-1}{12}\)
বা, \(\frac{12-5t}{6} = \frac{77}{12}\)
বা, \(\frac{12-5t}{1} = \frac{77}{2}\)
বা, \(2(12 – 5t) = 77\)
বা, \(24 – 10t = 77\)
বা, \(-10t = 77 – 24\)
বা, \(-10t = 53\)
বা, \(t = -\frac{53}{10}\)
বা, \(t = -5\frac{3}{10}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বীজটি হল \(-5\frac{3}{10}\)
(xiii) \(\frac{x+1}{2} – \frac{5x+9}{28} = \frac{x+6}{21} + 5 – \frac{x-12}{3}\)
সমাধান –
\(\frac{x+1}{2} – \frac{5x+9}{28} = \frac{x+6}{21} + 5 – \frac{x-12}{3}\)বা, \(\frac{14(x+1)-(5x+9)}{28} = \frac{x+6+105-7(x-12)}{21}\)
বা, \(\frac{14x+14-5x-9}{28} = \frac{x+6+105-7x+84}{21}\)
বা, \(\frac{9x+5}{4} = \frac{-6x+195}{3}\)
বা, \(3(9x+5) = 4(-6x+195)\)
বা, \(27x + 15 = -24x + 780\)
বা, \(27x + 24x = 780 – 15\)
বা, \(51x = 765\)
বা, \(x = \frac{765}{51}\)
বা, \(x = 15\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বীজটি হল \(15\)
(xiv) \(\frac{9x+5}{14} + \frac{8x-7}{7} = \frac{18x+11}{28} + \frac{5}{4}\)
সমাধান –
\(\frac{9x+5}{14} + \frac{8x-7}{7} = \frac{18x+11}{28} + \frac{5}{4}\)বা, \(\frac{9x+5+2(8x-7)}{14} = \frac{18x+11+35}{28}\)
বা, \(\frac{9x+5+16x-14}{14} = \frac{18x+46}{28}\)
বা, \(\frac{25x-9}{1} = \frac{18x+46}{2}\)
বা, \(2(25x-9) = 18x+46\)
বা, \(50x – 18 = 18x + 46\)
বা, \(50x – 18x = 18 + 46\)
বা, \(32x = 64\)
বা, \(x = \frac{64}{32}\)
বা, \(x = 2\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বীজটি হল \(2\)
(xv) \(\frac{3y+1}{16} + \frac{2y-3}{7} = \frac{y+3}{8} + \frac{3y-1}{14}\)
সমাধান –
\(\frac{3y+1}{16} + \frac{2y-3}{7} = \frac{y+3}{8} + \frac{3y-1}{14}\)বা, \(\frac{3y+1}{16} – \frac{y+3}{8} = \frac{3y-1}{14} – \frac{2y-3}{7}\)
বা, \(\frac{3y+1-2(y+3)}{16} = \frac{3y-1-2(2y-3)}{14}\)
বা, \(\frac{3y+1-2y-6}{16} = \frac{3y-1-4y+6}{14}\)
বা, \(\frac{y-5}{8} = \frac{-y+5}{7}\)
বা, \(7(y-5) = 8(-y+5)\)
বা, \(7y – 35 = -8y + 40\)
বা, \(7y + 8y = 35 + 40\)
বা, \(15y = 75\)
বা, \(y = \frac{75}{15}\)
বা, \(y = 5\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বীজটি হল \(5\)
(xvi) \(5x – (4x-7)(3x-5) = 6 – 3(4x-9)(x-1)\)
সমাধান –
\(5x – (4x-7)(3x-5) = 6 – 3(4x-9)(x-1)\)বা, \(5x – (12x^2 – 21x – 20x + 35) = 6 – 3(4x^2 – 9x – 4x + 9)\)
বা, \(5x – (12x^2 – 41x + 35) = 6 – 3(4x^2 – 13x + 9)\)
বা, \(5x – 12x^2 + 41x – 35 = 6 – 12x^2 + 39x – 27\)
বা, \(5x + 41x – 12x^2 + 12x^2 – 39x = 6 – 27 + 35\)
বা, \(7x = 14\)
বা, \(x = \frac{14}{7}\)
বা, \(x = 2\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বীজটি হল \(2\)
(xvii) \(3(x-4)^2 + 5(x-3)^2 = (2x-5)(4x-1) – 40\)
সমাধান –
\(3(x-4)^2 + 5(x-3)^2 = (2x-5)(4x-1) – 40\)বা, \(3\{x^2 – 2 \cdot 4 \cdot x + (4)^2\} + 5\{x^2 – 2 \cdot x \cdot 3 + (3)^2\} = (8x^2 – 20x – 2x + 5) – 40\)
বা, \(3(x^2 – 8x + 16) + 5(x^2 – 6x + 9) = (8x^2 – 22x + 5) – 40\)
বা, \(3x^2 – 24x + 48 + 5x^2 – 30x + 45 = 8x^2 – 22x + 5 – 40\)
বা, \(8x^2 – 54x + 93 = 8x^2 – 22x – 35\)
বা, \(8x^2 – 8x^2 – 54x + 22x + 93 + 35 = 0\)
বা, \(-32x + 128 = 0\)
বা, \(-32x = -128\)
বা, \(x = \frac{-128}{-32}\)
বা, \(x = 4\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বীজটি হল \(4\)
(xviii) \(3(y-5)^2 + 5y = (2y-3)^2 – (y+1)^2 + 1\)
সমাধান –
\(3(y-5)^2 + 5y = (2y-3)^2 – (y+1)^2 + 1\)বা, \(3\{y^2 – 2 \cdot y \cdot 5 + (5)^2\} + 5y = \{(2y)^2 – 2 \cdot (2y) \cdot 3 + (3)^2\} – (y^2 + 2y + 1) + 1\)
বা, \(3(y^2 – 10y + 25) + 5y = (4y^2 – 12y + 9) – (y^2 + 2y + 1) + 1\)
বা, \(3y^2 – 30y + 75 + 5y = 4y^2 – 12y + 9 – y^2 – 2y – 1 + 1\)
বা, \(3y^2 – 25y + 75 = 3y^2 – 14y + 9\)
বা, \(3y^2 – 25y – 3y^2 + 14y = -75 + 9\)
বা, \(-11y = -66\)
বা, \(y = \frac{-66}{-11}\)
বা, \(y = 6\)
\(\therefore\) নির্ণেয় বীজটি হল \(6\)
16. সমীকরণ তৈরি করি ও গণিতের গল্প লিখি।
[গণিতের গল্প ও সমীকরণ ভিন্ন হতে পারে]
(i) \(x = 5\)
সমাধান –
\(x = 5\)বা, \(4x = 20\)
বা, \(4x + 5 = 20 + 5\)
বা, \(4x + 5 = 25\)
গণিতের গল্প –
আমার কাছে যতগুলি পেয়ারা আছে, মালার কাছে আমার চারগুণ অপেক্ষা 5 টি পেয়ারা বেশি আছে। যদি মালার কাছে 25 টি পেয়ারা থাকে, তবে আমার কাছে কতগুলি পেয়ারা আছে হিসাব করে লিখি।
(ii) \(y = -11\)
সমাধান –
\(y = -11\)বা, \(y + 11 = 0\)
গণিতের গল্প – রহিম একটি সংখ্যা লিখেছে, যার সঙ্গে 11 যোগ করলে যোগফল শূন্য হয়। সুমিতের লেখা সংখ্যাটি লিখি।
(iii) \(t = \frac{7}{8}\)
সমাধান –
\(t = \frac{7}{8}\)বা, \(8t = 7\)
বা, \(8t – 7 = 0\)
গণিতের গল্প – এমন একটি মূলদ সংখ্যা লিখি, যার 8 গুণের সঙ্গে 7 বিয়োগ করলে বিয়োগফল শূন্য হয়।
(iv) \(x = 24\)
সমাধান –
\(x = 24\)বা, \(2x – x = 14 + 10\)
বা, \(2x – 14 = x + 10\)
গণিতের গল্প – সুমিত এমন একটি সংখ্যা লিখেছে, যার দ্বিগুণের সঙ্গে 14 বিয়োগ করলে যা হয়, তা সংখ্যাটির থেকে 10 বেশি। সুমিতের লেখা সংখ্যাটি কত?
(v) \(x =\) ___________ (নিজে সংখ্যা বসাই)
সমাধান –
\(x = 10\)বা, \(2x – x = 10\)
বা, \(2x – 7 = x + 3\)
গণিতের গল্প – একটি সংখ্যার দ্বিগুণের সঙ্গে 7 বিয়োগ করলে যা হয়, সংখ্যাটি থেকে 3 যোগ করলে যোগফল একই হয়। সংখ্যাটি কত?
এই আর্টিকেলে অষ্টম শ্রেণির গণিতের ‘সমীকরণ গঠন ও সমাধান’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 19’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরেছি। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে। কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন