মাধ্যমিক গণিত – বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য – কষে দেখি – 7.2

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের সপ্তম অধ্যায়, ‘বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য’ -এর ‘কষে দেখি – 7.2’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।

1. পাশের ছবিতে ∠DBA = 40°, ∠BAC = 60° এবং ∠CAD = 20°; ∠DCA ও ∠BCA -এর মান নির্ণয় করি। ∠BAD ও ∠DCB -এর মানের সমষ্টি কত হবে হিসাব করে দেখি।

∠DBA = 40°, BAC = 60° এবং ∠CAD = 20°

∠DBA = ∠DCA = 40° [∵ একই বৃত্যাংশস্থ সকল কোণের মাণ সমান।]

ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রে,

∠ABD + ∠ADB + ∠BAD = 180° [∵ ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°]

বা, ∠ABD + ∠BAC + ∠CAD + ∠ADB = 180°

বা, 40° + 60° + 20° + ∠ADB = 180°

বা, ∠ADB = 180° – 120°

বা, ∠ADB = 60° 

আবার, ∠ADB = ∠BCA = 60° [∵ একই বৃত্যাংশস্থ সকল কোণের মাণ সমান।

∴ ∠DCA = 40° এবং ∠BCA = 60°

এখন, ∠BAD + ∠DCB

= ∠BAC + ∠CAD + ∠DCA + ∠ACB

= 60° + 20° + 40° + 60°

= 180°

∴ ∠BAD + ∠DCB = 180°

2. পাশের চিত্রে AOB বৃত্তের ব্যাস এবং O বৃত্তের কেন্দ্র। OC ব্যাসার্ধ AB -এর উপর লম্ব। যদি উপচাপ CB -এর উপর কোনো বিন্দু P হয়, তবে ∠BAC ও ∠APC -এর মান হিসাব করে লিখি।

AB ⊥ ОС

∴ ∠AOC = ∠BOC = 90°

আবার, ∠AOC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

সুতরাং, AO = OC

∴ ∠OAC = ∠OCA

এখন ∠OAC + ∠OCA = 90° [∵ ∠AOC = 90°]

বা, ∠OAC + ∠OAC = 90°

∴ 2∠OAC = 90°

বা, ∠OAC = ∠BAC = 45°

অনুরূপ, ∠ABC = 45°

আবার, ∠ABC ও ∠APC একই বৃত্তাস্থ কোণ

∴ ∠APC = ∠ABC = 45°

3. ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC -এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD -কে বর্ধিত করলে ΔABC -এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, OD = DG

দেওয়া আছে – ΔABC -এর লম্ববিন্দু O; অর্থাৎ, ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু A, B এবং C থেকে বিপরীত বাহুগুলির উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটি যথাক্রমে AD, BE এবং CF, O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

বর্ধিত AD, ΔABC -এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে – OD = DG

অঙ্কন – B, G এবং C, G যুক্ত করা হল।

প্রমাণ – ΔABC -এর পরিবৃত্তের AB বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ

∠ACB = ∠AGB

বা, ∠ACB = ∠OGB

বা, ∠ECD = ∠OGB = ∠BGO —(i)

আবার, BE ⊥ AC এবং AD ⊥ BC

সেজন্য, ∠OEC = ∠ODC = 90°

বা, ∠OEC + ∠ODC = 90° + 90° = 180°

ODCE চতুর্ভুজে ∠OEC + ∠ECD + ∠ODC + ∠DOE = 4 সমকোণ

বা, ∠ECD + ∠DOE = 4 সমকোণ – (∠OEC + ∠ODC) = 4 সমকোণ – 2 সমকোণ

বা, ∠ECD + ∠EOD = 2 সমকোণ

আবার BE সরলরেখার সঙ্গে OD সরলরেখা বিন্দুতে মিলিত হয়েছে,

সেজন্য ∠EOD + ∠BOD = 2 সমকোণ

∴ ∠ECD + ∠EOD = ∠EOD + ∠BOD

অর্থাৎ, ∠ECD = ∠BOD = ∠BOG —(ii)

(i) এবং (ii) থেকে ∠BGO = ∠BOG

∴ BG = BO

এখন, ΔBDG এবং ΔBDO সমকোণী ত্রিভুজ দুটির মধ্যে

অতিভুজ BG = অতিভুজ BO [পূর্বে প্রমাণিত] BD বাহু সাধারণ

সেজন্য ΔBDG ≅ ΔBDO

∴ OD = অনুরূপ বাহু DG

∴ OD = DG (প্রমাণিত)।

4. ΔABC -এর অন্তবৃত্তের কেন্দ্র I, বর্ধিত AI ত্রিভুজের পরিবৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PB = PC = PI

ΔABC -এর অন্তবৃত্তের কেন্দ্র। A। কে বর্ধিত করলে তা পরিবৃত্ত কে বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে, PB = PC = PI

অঙ্কন – AI, BI, CI, PB এবং PC অঙ্কন করা হল।

প্রমাণ – I, ABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।

∴ AI, BI ও CI ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমদ্বিখণ্ডক।

∴ ∠PBC = ∠PAC [একই বৃত্যাংশস্থ কোণ।]

আবার ∠PAC = \(\frac12\)∠BAC [যেহেতু, AI, ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক।

∴ ∠PBC = \(\frac12\)∠BAC [∵ ∠PBC = ∠PAC]

এখন ∠IBP = ∠IBC + ∠PBC

বা ∠IBP = \(\frac12\)∠ABC + \(\frac12\)∠BAC —(i)

আবার ∠ABI এর বহিঃস্থ কোণ ∠BIP

এবং ত্রিভুজের কোনো বহিঃস্থ কোণ, অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

∴ ∠BIP

= ∠IBA + ∠IAB

= \(\frac12\)∠ABC + \(\frac12\)∠BAC —(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই,

∠IBP = ∠BIP

∴ ΔBIP এর PI = PB —(iii)

অনুরূপে, ΔCIP থেকে পাই,

PC = PI —(iv)

(iii) ও (iv) থেকে পাই,

PB = PC = PI [প্রমাণিত]

5. তিমির দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা টানলাম যারা একটি বৃত্ত কে A, B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে ∠AQC = ∠BQD

ধরি, X ও Y কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দুটি সরলরেখা M কেন্দ্রীয় বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে এবং N কেন্দ্রীয় বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AQC = ∠BQD

প্রমাণ – M কেন্দ্রীয় বৃত্তের ক্ষেত্রে,

∠PAQ = ∠PBQ [একই বৃত্যাংশস্থ সকল কোণের মাণ সমান।

আবার, N কেন্দ্রীয় বৃত্তের ক্ষেত্রে,

∠PCQ = ∠PDQ [∵ একই বৃত্যাংশস্থ সকল কোণের মাণ সমান।

∴ ∠PAQ + ∠PCQ = ∠PBQ + ∠PDQ —(i)

ΔAQC এর ক্ষেত্রে,

∠AQC = 180° – (∠PAQ + ∠PCQ)

= 180° – (∠PBQ + ∠PDQ) [(i) থেকে পাই]

= ∠BQD

∴ ∠AQC = ∠BQD [প্রমাণিত]

6. একটি বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। AB ও CD জ্যা দুটির ছেদবিন্দু P থেকে AD -এর উপর অঙ্কিত লম্বকে বর্ধিত করলে সেটি BC -কে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, E, BC -এর মধ্যবিন্দু।

দেওয়া আছে, কোনও বৃত্তের AB এবং CD এই পরস্পর লম্ব জ্যা দুটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে। O বিন্দু থেকে AD জ্যার উপর অঙ্কিত লম্বকে বর্ধিত করলে সেই বর্ধিত লম্বটি BC জ্যাকে E বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে – E বিন্দুটি BC -এর মধ্যবিন্দু।

প্রমাণ – ΔAFD -এর ∠AFO = 90°, কারণ OF ⊥ AD

সেজন্য ΔAFO -এর ∠FAO + ∠AOF = 90°

অর্থাৎ, ∠DAO + ∠AOF = 90° —(i)

আবার, ΔAOD -এর ∠AOD = 90°, কারণ AO ⊥ DO

সেজন্য ∠DAO + ∠ADO = 90° —(ii)

(i) এবং (ii) থেকে, ∠AOF = ∠ADO

বা, ∠ADO = ∠EOB কারণ ∠AOF = ∠EOB [বিপ্রতীপ কোণ]

∴ ∠EOB = ∠ADO

বা, ∠EOB = ∠ADC

বা, ∠EOB = ∠ABC

কারণ, একই বৃত্তাংশস্থ কোণ বলে ∠ADC = ∠ABC

অর্থাৎ ∠EOB = ∠OBC = ∠ΟΒΕ, ΔΟΕB -এর

∠EOB = ∠OBE

সেজন্য BE = OE —(iii)

∠AOF + ∠DOF = 90° [কারণ ∠AOD = 90°]

এবং ∠AOF + ∠DAO = 90° [∠COE = বিপ্রতীপ ∠DOF] 

 ∠DOF = ∠DAO

বা, ∠COE = ∠DAB

বা, ∠COE + ∠DCB [∠COE এবং ∠DCB একই বৃক্তংশ]

অর্থাৎ, ∠COE = ∠OCE

∠OCE-এর ∠COE = ∠OCE

সেজন্য CE = OE —(iv)

(iii) এবং (iv) থেকে BE = CE

অর্থাৎ F বিন্দুটি BC রেখাংশের মধ্যবিন্দু। (প্রমাণিত)। 

7. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC তবে প্রমাণ করি যে, AC = BD হবে।

অঙ্কন – AC এবং BD যুক্ত করা হল। মনে করা যাক AC এবং BD পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করল।

প্রমাণ – যেহেতু ∠CAB এবং ∠DAB একই বৃত্তাংশস্থ কোণ, ∠CAB = ∠CBD

অর্থাৎ, ∠EAB = ∠CDE এখন, ΔAEB এবং ΔDEC -এর মধ্যে

∠EAB = ∠CDE [পূর্বে প্রমাণিত]

∠AEB = ∠DEC [বিপ্রতীপ কোণ]

এবং AB = DC [দেওয়া আছে]

সুতরাং ΔAEB ≅ ΔDCB [কোণ-কোণ-বাহু সর্বসমতা]

AE = DE [অনুরূপ বাহু] এবং BE = CE [অনুরূপ বাহু]

AC = AE + CE = DE + BE = BD প্রমাণিত হল যে,

∴ AC = BD

8. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা-কে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CP = PQ

O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ OQ একটি জ্যা। বৃত্তের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা কে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, CP = PQ

অঙ্কন – O, Q; O, C; C, Q যুক্ত করা হল।

প্রমান – ΔOAQ এর

OA = OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴ ∠OAQ = ∠QOA

বা, ∠PAO = ∠OQP —(i)

আবার, O, A, C বিন্দুগামী বৃত্তের OP চাপের ওপর দুটি বৃত্তস্থ কোণ ∠OCP এবং ∠PAO

∴ ∠OCP = ∠PAO —(ii)

এখন, ΔOCQ এর

OC = OQ [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

∴ ∠OCQ = ∠OQC —(iii)

অর্থাৎ, ∠OCP + ∠PCQ = ∠OQP + ∠PQC —(iv)

(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,

∠OQP = ∠OCP —(v)

(iv) ও (v) নং সম্পর্ক থেকে পাই,

∴ ∠PCQ = ∠PQC

∴ ΔPCQ সমবাহু ত্রিভুজ

∴ CP = CQ [প্রমাণিত]

9. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তর্লিখিত। AX, BY এবং CZ যথাক্রমে ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB -এর সমদ্বিখণ্ডক এবং বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, AX, YZ -এর উপর লম্ব।

ত্রিভুজ ABC বৃত্তে অন্তর্লিখিত। AX BY এবং CZ যথাক্রমে BAC, ABC ও ACB এর সমদ্বিখণ্ডক ত্রয় যথাক্রমে X, Y, Z বিন্দুতে মিলিত হয়। ধরা হল AX এবং YZ পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমান করতে হবে যে, AX, YZ -এর ওপর লম্ব।

অঙ্কন – X,Y যুক্ত করা হল।

প্রমান – AY চাপের ওপর অবস্থিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ

∠AXY এবং ∠ABY

∴ ∠AXY = ∠ABY —(i)

আবার, BZ চাপের ওপর অবস্থিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ

∠BYZ এবং ∠BCZ

∴∠BYZ = ∠BCZ —(ii)

আবার, BX চাপের ওপর অবস্থিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ

∠BYX এবং ∠BAX

∴ ∠BYX = ∠BAX —(iii)

এখন ΔPXY এর

∠PYX + ∠PXY

= ∠BYZ + ∠BYX + ∠AXY

= ∠BCZ + ∠BAX + ∠ABY [(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণে মান বসিয়ে পাই।

= \(\frac12\)∠BCA + \(\frac12\)∠BAC + \(\frac12\)∠ABC [∵ AX, BY এবং CZ যথাক্রমে ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক]

= \(\frac12\) × (∠BCA + ∠BAC + ∠ABC)

= \(\frac12\times180^\circ\)

= 90°

∴ ∠PYX + ∠PXY = 90°

∴ ΔPXY এর

বহিঃস্থ কোণ ∠APY= বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি

বা, ∠APY = ∠PXY + ∠PYX

বা, ∠APY = 90° [যেহেতু, ∠PXY + ∠PYX = 90°]

∴ AP ⊥ YZ

∴ AX, YZ এর ওপর লম্ব [প্রমাণিত]

10. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তর্লিখিত। ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি AXYZ-এর, ∠YXZ = 90° – \(\frac{\angle BAC}2\)

ΔABC একটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত ত্রিভুজ। ∠A, ∠B, ∠C কোণের অন্তর্দিখণ্ডক যথাক্রমে AX, BY, CZ, AX, BY, CZ পরিধিকে যথাক্রমে X, Y, Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। YZ, ZX, XY যুক্ত করা হল।

প্রমাণ করতে হবে XYZ ত্রিভুজের

∠X = 90°, ∠Y = 90°, ∠Z = 90°

প্রমাণ – একই চাপ AZ এর উপরিস্থ ∠AXZ ও ∠ACZ পরিধিস্থ কোণ।

∴ ∠AXZ ও ∠ACZ = \(\frac12\)∠C [∵ CZ, ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক।]

আবার, একই চাপ AY এর উপর দণ্ডায়মান ∠AXY ও ∠ABY পরিধিস্থ কোণ।

∠ABY = ∠AXY = \(\frac12\)∠B. (∵ BY, ∠B এর সমদ্বিখণ্ডক)।

∴ ∠AXZ + ∠AXY = \(\frac12\)∠C + \(\frac12\)∠B,

∴ সমগ্র ∠X = \(\frac12\)(∠B + ∠C) = \(\frac12\)(180° – ∠A) = 90° – \(\frac A2\)

∴ ∠YXZ = 90° – \(\frac12\)∠BAC [প্রমাণিত]

11. ΔABC -এর A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব BC বাহুকে D বিন্দুতে এবং B বিন্দু থেকে CA বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব CA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

ΔABC এর A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব BC বাহুকে D বিন্দুতে এবং B বিন্দু থেকে CA বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব CA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমান করতে হবে যে, A,B,C,D সমবৃত্তস্থ।

অঙ্কন – D, E যুক্ত করা হল।

প্রমান – ΔEBC এবং ΔADC থেকে পাই,

∠BEC = ∠ADC = 1 সমকোণ

∠EDC সাধারণ কোণ

∴ অবশিষ্ট ∠EBC = অবশিষ্ট ∠DAC

অর্থাৎ, ∠EBC=∠DAE

যেহেতু, DE রেখাংশের একই পার্শ্বে অপর দুই বিন্দু B এবং A তে দুটি সমান কোণ উৎপন্ন করেছে, তাই A, B, D, E সমবৃত্তস্থ। [প্রমাণিত]

12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) –

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র; ∠ACB = 30°, ∠ABC = 60°, ∠DAB = 35° এবং ∠DBC = x° হলে, x -এর মান

(a) 35°
(b) 70°
(c) 65°
(d) 55°

উত্তর – (d) 55°

(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BAD = 65°, ∠BDC = 45° হলে, ∠CBD -এর মান

(a) 65°
(b) 45°
(c) 40°
(d) 20°

উত্তর – (d) 20°

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠AEB = 110° এবং ∠CBE = 30° হলে, ∠ADB -এর মান

(a) 70°
(b) 60°
(c) 80°
(d) 90°

উত্তর – (c) 80°

(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BCD = 28°, ∠AEC = 38° হলে, ∠AXB -এর মান

(a) 56°
(b) 86°
(c) 38°
(d) 28°

উত্তর – (b) 86°

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB || CD. ∠ABC = 25° হলে, ∠CED -এর মান

(a) 80°
(b) 50°
(c) 25°
(d) 40°

উত্তর – (d) 40°

সমাধান

অঙ্কন – A, E; B, E যুক্ত করা হল।

প্রমান – ∠AEB = 90° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ]

আবার, ∠AEC = ∠ABC = 25° [∵ একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান।]

এবং, ∠ABC = ∠BCD = 25° [∵ একান্তর কোণ, AB || CD এবং CB ভেদক]

আবার, ∠BCD = ∠BED = 25°[∵ একই বৃত্তাংসস্থ সকল কোণের মান সমান]

∴ ∠CED

= ∠AEB – (∠AEC + ∠BED)

= 90° – (25° + 25°)

= 90° – 50°

= 40°

∴ ∠CED = 40°

(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি –

(i) পাশের চিত্রে AD ও BE যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC ও AC বাহুর উপর লম্ব। A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

উত্তর – বিবৃতিটি সত্য।

(ii) ABC ত্রিভুজের AB = AC; BE ও CF যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB -এর সমদ্বিখণ্ডক এবং AC ও AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ নয়।

উত্তর – বিবৃতিটি মিথ্যা।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্ত কোণ ___।

উত্তর – সমান।

(ii) দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তার একই পার্শ্বে অপর দুটি বিন্দুতে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করলে বিন্দু চারটি ___ হবে।

উত্তর – সমবৃত্তস্থ।

(iii) একই বৃত্তে দুটি চাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ দুটি সমান হলে চাপ দুটির দৈর্ঘ্য ___।

উত্তর – সমান।

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র, AC ব্যাস এবং জ্যা DE ও ব্যাস AC সমান্তরাল। ∠CBD = 60° হলে, ∠CDE -এর মান নির্ণয় করি।

অঙ্কন – AB অঙ্কন করা হল।

এখন ∠ABC = 90° [∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 1 সমকোণ]

আবার, ∠CBD = 60°

∴ ∠ABD

= ∠ABC – ∠CBD

= 90° – 60°

=30°

∠ABD = ∠ACD [∵ একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মাণ সমান]

∴ ∠ACD = 30°

আবার, ∠ACD = ∠CDE [একান্তর কোণ]

∴ ∠CDE = 30°

(ii) পাশের চিত্রে ∠PQR -এর সমদ্বিখণ্ডক QS; ∠SQR = 35° এবং ∠PRQ = 32° হলে, ∠QSR-এর মান নির্ণয় করি।

∠PQR এর সমদ্বিখণ্ডক QS

∴ ∠PQS = ∠SQR

∠SQR = 35°

∴ ∠PQS = 35°

আবার, ∠PQR = ∠PQS + ∠SQR

= 35° + 35°

= 70°

এবং, ∠QPR

= 180° – (∠PQR + ∠PRQ)

= 180° – (70° + 32°)

= 180° – 102°

= 78°

আবার, ∠QPR = ∠QSR = 78° [∵ একই বৃত্তস্থ সকল কোণের মাণ সমান।]

∴ ∠QSR = 78°

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB ও CD পরস্পর লম্ব এবং ∠ADC= 50°; ∠CAD-এর মান নির্ণয় করি।

AC বৃত্তচাপের ওপর ∠ABC এবং ∠ADC উভয়ই বৃত্তস্থ কোণ

∴ ∠ADC = ∠ABC

∴ ∠ABC = 50°

আবার, ∠ACB = 90° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ] এবং ∠ABC = 50°

∴ ∠CAB = 180° – (90° + 50°)

= 180° – 140°

= 40°

∴ ∠BCD = 40° [∵ AB⊥CD]

∠BAD = 40°

∴ ∠CAD = ∠CAB + ∠BAD

= 40° + 40°

= 80°

∴ ∠CAD = 80°

(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB = AC; ∠ABC = 32° হলে, ∠BDC -এর মান নির্ণয় করি।

AB = AC এবং ∠ABC = 32°

∴ ∠ACB = 32°

∴ ∠ADB = 32° [∵ একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান।]

আবার, ∠ABC = 32 ADC = 32° [একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মাণ সমান।]

∴ ∠BDC = ∠ADB + ∠ADC

= 32° + 32°

= 64°

∴ ∠BDC = 64°

(v) পাশের চিত্রে BX ও CY যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB -এর সমদ্বিখণ্ডক। AB = AC এবং BY = 4সেমি. হলে, AX -এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

AB=AC

∴ ∠ABC = ∠ACB

বা, ∠ABX + ∠CBX = ∠ACY + ∠BCY

বা, ∠ABX + ∠ABX = ∠BCY + ∠BCY [∵ BX ও CY যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক,

∴ ∠ABX = ∠CBX

আবার, ∠BCY = ∠ACY]

বা, 2∠ABX = 2∠BCY

বা, ∠ABX = ∠BCY

∴ BY = AX = 4 সেমি.

∴ AX = 4 সেমি.

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের সপ্তম অধ্যায়, ‘বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য’ -এর ‘কষে দেখি – 7.2’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।

আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।