এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের নবম অধ্যায়, ‘দ্বিঘাত করণী’ -এর ‘কষে দেখি – 9.1’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
1. মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার গুনফল আকারে লিখি
(i) \(\sqrt{175}\)
(ii) \(2\sqrt{112}\)
(iii) \(\sqrt{108}\)
(iv) \(\sqrt{125}\)
(v) \(5\sqrt{119}\)
সমাধান –
(i) \(\sqrt{175}\)
\(\sqrt{175} = \sqrt{5 \times 5 \times 7} = 5\sqrt{7}\)এক্ষেত্রে মূলদ সংখ্যা 5 এবং অমূলদ সংখ্যা \(\sqrt{7}\)।
(ii) \(2\sqrt{112}\)
\(2\sqrt{112} = 2\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7} = 2 \times 2 \times 2\sqrt{7} = 8\sqrt{7}\)এক্ষেত্রে মূলদ সংখ্যা 8 এবং অমূলদ সংখ্যা \(\sqrt{7}\)।
(iii) \(\sqrt{108}\)
\(\sqrt{108} = \sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3} = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)এক্ষেত্রে মূদ সংখ্যা 6 এবং অমূলদ সংখ্যা \(\sqrt{3}\)।
(iv) \(\sqrt{125}\)
\(\sqrt{125} = \sqrt{5 \times 5 \times 5} = 5\sqrt{5}\)এক্ষেত্রে মূলদ সংখ্যা 5 এবং অমূলদ সংখ্যা \(\sqrt{5}\)।
(v) \(5\sqrt{119}\)
এক্ষেত্রে 5 মূলদ সংখ্যা এবং \(\sqrt{119}\) অমূলদ সংখ্যা।
2. প্রমাণ করি যে, \(\sqrt{108} – \sqrt{75} = \sqrt{3}\)
সমাধান –
\(\sqrt{108} – \sqrt{75}\)= \( \sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3} – \sqrt{3 \times 5 \times 5}\)
= \( 2 \times 3\sqrt{3} – 5\sqrt{3}\)
= \( 6\sqrt{3} – 5\sqrt{3}\)
= \( \sqrt{3}\)
\(∴\sqrt{108} – \sqrt{75} = \sqrt{3}\) [প্রমাণিত]
3. দেখাই যে, \(\sqrt{98} + \sqrt{8} – 2\sqrt{32} = \sqrt{2}\)
সমাধান –
= \( \sqrt({2 \times 7 \times 7}) + \sqrt({2 \times 2 \times 2}) – 2\sqrt({2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2})\)
= \( 7\sqrt{2} + 2\sqrt{2} – 8\sqrt{2}\)
= \( 9\sqrt{2} – 8\sqrt{2}\)
= \( \sqrt{2}\)
\(∴ \sqrt{98} + \sqrt{8} – 2\sqrt{32} = \sqrt{2}\) [প্রমাণিত]
4. দেখাই যে, \(3\sqrt{48} – 4\sqrt{75} + \sqrt{192} = 0\)
সমাধান –
\(3\sqrt{48} – 4\sqrt{75} + \sqrt{192}\)= \( 3\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3} – 4\sqrt{3 \times 5 \times 5} + \sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3}\)
\(= 3 \times 4\sqrt{3} – 4 \times 5\sqrt{3} + 8\sqrt{3}\)= \( 12\sqrt{3} – 20\sqrt{3} + 8\sqrt{3}\)
\(= 12\sqrt{3} – 12\sqrt{3}\)= \( 0\)
5. সরলতম মান নির্ণয় করি – \(\sqrt{12} + \sqrt{18} + \sqrt{27} – \sqrt{32}\)
সমাধান –
= \( \sqrt{2 \times 2 \times 3} + \sqrt{2 \times 3 \times 3} + \sqrt{3 \times 3 \times 3} – \sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}\)
\(= 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} – 4\sqrt{2}\)= \( 5\sqrt{3} – \sqrt{2}\)
6. (a) \(5+\sqrt{3}\) এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল \(2\sqrt{5}\) হবে, হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(5+\sqrt{3}\) এর সঙ্গে \(x\) যোগ করলে যোগফল \(2\sqrt{5}\) হবে।
∴ \( 5+\sqrt{3} + x = 2\sqrt{5}\)
বা, \(x = 2\sqrt{5} – (5+\sqrt{3})\)
বা, \(x = 2\sqrt{5} – 5 – \sqrt{3}\)
∴ \(5+\sqrt{3}\) এর সঙ্গে \((2\sqrt{5} – 5 – \sqrt{3})\) যোগ করলে যোগফল \(2\sqrt{5}\) হবে।
6. (b) \(7 – \sqrt{3}\) থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল \(3+\sqrt{3}\) হবে, নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, \(7-\sqrt{3}\) থেকে \(x\) বিয়োগ করলে বিয়োগফল \(3+\sqrt{3}\) হবে।
শর্তানুসারে,
\(7-\sqrt{3} – x = 3+\sqrt{3}\)বা, \(7-3 – \sqrt{3} – \sqrt{3} = x\)
বা, \(4 – 2\sqrt{3} = x\)
∴ \( 7-\sqrt{3}\) থেকে \(4 – 2\sqrt{3}\) বিয়োগ করলে বিয়োগফল \(3+\sqrt{3}\) হবে।
6. (c) \(2+\sqrt{3}\), \(3+\sqrt{5}\) এবং \(2+\sqrt{7}\) –এর যোগফল লিখি।
সমাধান –
\(2+\sqrt{3}\), \(3+\sqrt{5}\) এবং \(2+\sqrt{7}\) –এর যোগফল
= \( 2+\sqrt{3} + 3+\sqrt{5} + 2+\sqrt{7}\)
= \( 4+2\sqrt{3}+ \sqrt{5} + \sqrt{7}\) [উত্তর]
6. (d) \((10 – \sqrt{11})\) থেকে \(-5+3\sqrt{11}\) বিয়োগ করি ও বিয়োগফল লিখি।
সমাধান –
\((10 – \sqrt{11}) – (-5+3\sqrt{11})\)= \( 10 – \sqrt{11} + 5 – 3\sqrt{11}\)
= \( 15-4\sqrt{11}\)
∴ বিয়োগফল = \( 15-4\sqrt{11}\)
6. (e) \(-5+\sqrt{7}\) এবং \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) –এর যোগফল থেকে \(5+\sqrt{2}+\sqrt{7}\) বিয়োগ করে বিয়োগফল নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(-5+\sqrt{7}\) এবং \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) –এর যোগফল
= \( (-5+\sqrt{7}) + (\sqrt{7}+\sqrt{2})\)
= \( -5+\sqrt{7}+\sqrt{7}+\sqrt{2}\)
= \( -5+2\sqrt{7}+\sqrt{2}\)
আবার,
\(-5+2\sqrt{7}+\sqrt{2} – (5+\sqrt{2}+\sqrt{7})\)= \( -5+2\sqrt{7}+\sqrt{2} – 5-\sqrt{2}-\sqrt{7}\)
= \( -10+\sqrt{7}\)
= \( \sqrt{7}-10\) [উত্তর]
6. (f) দুটি দ্বিঘাত করনী লিখি যাদের সমষ্টি একটি মূলদ সংখ্যা।
সমাধান –
\( 2+\sqrt{3}\) এবং \(2-\sqrt{3}\) হল দুটি দ্বিঘাত করনী যাদের সমষ্টি একটি মূলদ সংখ্যা।
\( 2+\sqrt{3} + (2-\sqrt{3})\)\(= 2 + \sqrt{3} + 2 – \sqrt{3}\)\(= 4\) ( একটি মূলদ সংখ্যা )
∴মূলদ সংখ্যা দুটি হল \( 2+\sqrt{3}\) এবং \(2-\sqrt{3}\)
এই অঙ্কটির উত্তর ভিন্ন হতে পারে।
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের নবম অধ্যায়, ‘দ্বিঘাত করণী’ -এর ‘কষে দেখি – 9.1’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন