এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের প্রথম অধ্যায়, ‘একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ’ -এর ‘কষে দেখি – 1.1’ বিভাগের সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক গণিত পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
(i) \(x^2 – 7x + 2\)
(ii) \(7x^5 – x(x + 2)\)
(iii) \(2x(x + 5) + 1\)
(iv) \(2x – 1\)
(i) \(x^2 – 7x + 2\)
সমাধান –
\(x^2 – 7x + 2\) বহুপদী সংখ্যামালাটির \(x\)-এর সর্বোচ্চ ঘাত \(2\), তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(ii) \(7x^5 – x(x + 2)\)
সমাধান –
\(7x^5 – x(x + 2) = 7x^5 – x^2 – 2x\) বহুপদী সংখ্যামালাটির \(x\)-এর সর্বোচ্চ ঘাত \(5\), তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(iii) \(2x(x + 5) + 1\)
সমাধান –
\(2x(x + 5) + 1 = 2x^2 + 10x + 1\) বহুপদী সংখ্যামালাটির \(x\)-এর সর্বোচ্চ ঘাত \(2\), তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(iv) \(2x – 1\)
সমাধান –
\(2x – 1\) বহুপদী সংখ্যামালাটির \(x\)-এর সর্বোচ্চ ঘাত \(1\), তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি \( ax^2 + bx + c = 0 \) আকারে প্রকাশ করা যায় তা লিখি (যেখানে \( a, b, c \) বাস্তব সংখ্যা এবং \( a \neq 0 \))
(i) \( x – 1 + \frac{1}{x} = 6 \) \( (x \neq 0) \)
(ii) \( x + \frac{3}{x} = x^2 \), \( (x \neq 0) \)
(iii) \( x^2 – 6\sqrt{x} + 2 = 0 \)
(iv) \( (x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4 \)
(i) \( x – 1 + \frac{1}{x} = 6 \) \( (x \neq 0) \)
সমাধান –
\( x – 1 + \frac{1}{x} = 6 \)বা, \( x^2 – x + 1 = 6x \)
বা, \( x^2 – 7x + 1 = 0 \)
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে \( ax^2 + bx + c \) আকারে প্রকাশ করা যায়।
(ii) \( x + \frac{3}{x} = x^2 \), \( (x \neq 0) \)
সমাধান –
\( x + \frac{3}{x} = x^2 \)বা, \( x^2 + 3 = x^3 \)
বা, \( x^3 – x^2 – 3 = 0 \)
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে \( ax^2 + bx + c \) আকারে প্রকাশ করা যায় না।
(iii) \( x^2 – 6\sqrt{x} + 2 = 0 \)
সমাধান –
\( x^2 – 6\sqrt{x} + 2 = 0 \)∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে \( ax^2 + bx + c \) আকারে প্রকাশ করা যায় না।
(iv) \( (x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4 \)
সমাধান –
বা, \( x^2 – 4x + 4 = x^2 – 4x + 4 \)
বা, \( 0x^2 + 0x + 0 = 0 \)
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে \( ax^2 + bx + c \) আকারে প্রকাশ করা যায় না, কারণ এটি সর্বত্র সত্য।
3. \(x^6 – x^3 – 2 = 0\) সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
সমাধান –
বা, \((x^3)^2 – x^3 – 2 = 0\)
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে \(x^3\) এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। প্রদত্ত সমীকরণটি \(x^3\) এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
4(i) \( (a – 2)^2 + 3x + 5 = 0 \) সমীকরণটি \( a \) এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে যদি \( a – 2 = 0 \) হয়।
∴ \( a = 2 \) হলে প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে।
4(ii) \( \frac{x}{4 – x} = \frac{1}{3x} \) \( (x \neq 0, x \neq 4) \) কে \( ax^2 + bx + c = 0 \) \( (a \neq 0) \) আকারে প্রকাশ করলে \( x \) এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান –
\( \frac{x}{4 – x} = \frac{1}{3x} \)বা, \( 3x^2 = 4 – x \)
বা, \( 3x^2 + x – 4 = 0 \)
∴ \( x \) এর সহগ \( 1 \)।
4(iii) \( 3x^2 + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2 \) কে \( ax^2 + bx + c = 0 \) \( (a \neq 0) \) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি।
সমাধান –
\( 3x^2 + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2 \)বা, \( 3x^2 + 7x + 23 = x^2 + 7x + 14 \)
বা, \( 2x^2 + 9 = 0 \)
বা, \( 2x^2 + 0x + 9 = 0 \)
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে \( ax^2 + bx + c = 0 \) আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে \( a \neq 0 \)।
4. (iv) \((x + 2)^3 = x(x^2 – 1)\) কে \(ax^2 + bx + c = 0\) [a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং \(x^2\), \(x\) ও \(x^0\) এর সহগ লিখি।
সমাধান –
\((x + 2)^3 = x(x^2 – 1)\)বা, \(x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = x^3 – x\)
বা, \(6x^2 + 13x + 8 = 0\)
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে \(a ≠ 0\) এবং
- \(x^2\) এর সহগ = 6
- \(x\) এর সহগ = 13
- \(x^0\) এর সহগ = 8
সমীকরণ – \(6x^2 + 13x + 8 = 0\)
5. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42 কে দুটি অংশে বিভক্ত করা যাতে একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
সমাধান –
ধরি, একটি অংশ \(x\)
∴ অপর অংশ \((42 – x)\)
শর্তানুসারে, \(x^2 = (42 – x)\)
বা, \(x^2 + x – 42 = 0\)
∴ \(x^2 + x – 42 = 0\) হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143
সমাধান –
ধরি, একটি সংখ্যা \(x\)
∴ অপর সংখ্যা হবে \((x + 2)\) [ যেহেতু ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা ]
শর্তানুসারে, \(x(x + 2) = 143\)
বা, \(x^2 + 2x – 143 = 0\)
∴ \(x^2 + 2x – 143 = 0\) হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313।
সমাধান –
ধরি, একটি সংখ্যা \(x\)
∴ অপর সংখ্যা \((x + 1)\)
শর্তানুসারে,
\(x^2 + (x + 1)^2 = 313\)বা, \(x^2 + x^2 + 2x + 1 = 313\)
বা, \(2x^2 + 2x + 1 = 313\)
বা, \(2x^2 + 2x + 1 – 313 = 0\)
বা, \(2x^2 + 2x – 312 = 0\)
বা, \(x^2 + x – 156 = 0\) [উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই]
∴ \(x^2 + x – 156 = 0\) হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
6. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থের চে ঢাকা 3 মিটার বেশি।
সমাধান –
ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ \(x\) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \((x + 3)\) মিটার
শর্তানুসারে,
\(\sqrt{x^2+(x+3)^2}=15\)উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,
\(x^2 + (x + 3)^2 = 225\)বা, \(x^2 + x^2 + 6x + 9 = 225\)
বা, \(2x^2 + 6x + 9 = 225\)
বা, \(2x^2 + 6x + 9 – 225 = 0\)
বা, \(2x^2 + 6x – 216 = 0\)
বা, \(x^2 + 3x – 108 = 0\) [উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই]
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল \(x^2 + 3x – 108 = 0\)।
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় ক্রয় করেন কিছু চিনি। যদি ওই টাকায় তিনি আর 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন তাহলে তার ক্রয় মূল্য প্রতি কিগ্রা চিনির দাম 1 টাকা কম হত।
সমাধান –
ধরি, প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য \(x\) টাকা
∴ 80 টাকায় পাওয়া চিনির পরিমাণ \(\frac{80}{x}\) কিগ্রা
এখন প্রতি কিগ্রা চিনির দাম \((x – 1)\) টাকা হলে, 80 টাকায় পাওয়া চিনির পরিমাণ \(\frac{80}{x – 1}\) কিগ্রা
শর্তানুসারে,
\(\frac{80}{x – 1} – \frac{80}{x} = 4\)বা, \(\frac{80x – 80(x – 1)}{x(x – 1)} = 4\)
বা, \(\frac{80x – 80x + 80}{x^2 – x} = 4\)
বা, \(\frac{80}{x^2 – x} = 4\)
বা, \(4(x^2 – x) = 80\)
বা, \(x^2 – x – 20 = 0\)
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল \(x^2 – x – 20 = 0\)।
(iii) দুটি স্টেশন এর মধ্যে দূরত্ব 300 km। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশন এ গেল। ট্রেন টির গতিবেগ যদি 5km বেশি হলে ট্রেন টির দ্বিতীয় স্টেশন এ যেতে 2 ঘন্টা সময় কম লাগত।
সমাধান –
ধরি , ট্রেন টির গতিবেগ xকিমি/ঘন্টা
∴ 300 কিমি যেতে ট্রেনটির সময় লাগবে \(\frac{300}{x}\) ঘন্টা [ যেহেতু , সময় = দূরত্ব /গতিবেগ ]
ট্রেনটির গতিবেগ (x+5) কিমি প্রতি ঘন্টা হলে, 300 কিমি যেতে সময় লাগবে \(\frac{300}{x+5}\) ঘন্টা [ যেহেতু , সময় = দূরত্ব /গতিবেগ ]।
শর্তানুসারে ,
\(\frac{300}{x} – \frac{300}{x+5} = 2\)বা, \(\frac{300(x+5) – 300x}{x(x+5)} = 2\)
বা, \(\frac{300x + 1500 – 300x}{x(x+5)} = 2\)
বা, \(\frac{1500}{x(x+5)} = 2\)
বা, \(2x(x+5) = 1500\)
বা, \(2x² + 10x – 1500 = 0\)
বা, \(x² +5x -750 =0\) [উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল \(x² +5x -750=0\)
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়ি টি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল।
সমাধান –
ধরি, ঘড়িটি তিনি x টাকায় ক্রয় করেছিলেন।
এবং ঘড়িটি বিক্রি করেছেন 336 টাকায়।
∴ লাভ = ক্রয় মূল্য – বিক্রয় মূল্য = \((336 – x)\) টাকা
∴ শতকরা লাভ = (লাভ/ক্রয় মূল্য)×100 = \((336-x)/x × 100\)%
শর্তানুসারে,
\(\frac{336 – x}{x} \times 100 = x\)বা, \(\frac{(336 – x) \times 100}{x} = x\)
বা, \((336 – x) \times 100 = x^2\)
বা, \(33600 – 100x = x^2\)
বা, \(x^2 + 100x – 33600 = 0\)
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল \(x^2 + 100x – 33600 = 0\)
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায়ে 2km হলে রতন মাঝি স্রোতের অনুকূলে 21km গিয়ে ওই দুরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
সমাধান –
ধরি, নৌকার বেগ x কি.মি./ঘণ্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ \(=(x+2)\) কি.মি./ঘণ্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ \(=(x-2)\) কি.মি./ঘণ্টা
সময় = দুরত্ব/গতিবেগ
∴ স্রোতের অনুকূলে 21 কি.মি. যেতে সময় লাগে \(\frac{21}{x+2}\) ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে 21 কি.মি. ফিরে আসতে সময় লাগে \(\frac{21}{x-2}\) ঘণ্টা।
শর্তানুসারে,
\(\frac{21}{x+2} + \frac{21}{x-2} = 10\)বা, \(\frac{21(x-2)+21(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 10\)
বা, \(\frac{21x-42+21x+42}{x^2-2^2} = 10\) \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
বা, \(\frac{42x}{x^2-4} = 10\)
বা, \(42x = 10(x^2-4)\)
বা, \(42x = 10x^2-40\)
বা, \(10x^2-42x-40=0\)
বা, \(5x^2-21x-20=0\)
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল \(5x^2-21x-20=0\)
(vi) আমাদের বাবির বাগান পরিষ্কার করতে মহিমা অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়েকে কাজটি 2 ঘণ্টায়ে সম্পন্ন করতে পারে।
সমাধান –
ধরি, মহিমার বাগান পরিষ্কার করতে সময় লাগে x ঘণ্টা
∴ মজিদের সময় লাগে (x + 3) ঘণ্টা
আরও ধরাযাক মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ।
∴ মহিমা x ঘণ্টায় কাজ করে 1 অংশ
∴ মহিমা 1 ঘণ্টায় কাজ করে 1/x অংশ
মজিদ (x + 3) ঘণ্টায় কাজ করে 1 অংশ
∴ মজিদ 1 ঘণ্টায় কাজ করে 1/(x + 3) অংশ
তারা একত্রে 1 ঘণ্টায় কাজ করে \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3}\) অংশ
এবং তারা একত্রে 2 ঘণ্টায় কাজ করে \(2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3}\right)\) অংশ
শর্তানুসারে,
\(2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3}\right) = 1\)বা, \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{2}\)
বা, \(\frac{(x + 3) + x}{x(x + 3)} = \frac{1}{2}\)
বা, \(\frac{2x + 3}{x^2 + 3x} = \frac{1}{2}\)
বা, \(2(2x + 3) = x^2 + 3x\)
বা, \(4x + 6 = x^2 + 3x\)
বা, \(x^2 + 3x – 4x – 6 = 0\)
বা, \(x^2 – x – 6 = 0\)
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল \(x^2 – x – 6 = 0\)
(vii) দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্ক দ্বায়ের গুণফল সংখ্যাটি থেকে 12 কম।
সমাধান –
ধরি, দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক x
∴ একক স্থানীয় অঙ্ক হবে (x + 6)
∴ দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাটি হল \(10x + (x + 6) = 11x + 6\)
শর্তানুসারে,
\(x(x + 6) = (11x + 6) – 12\)বা, \(x^2 + 6x = 11x – 6\)
বা, \(x^2 + 6x – 11x + 6 = 0\)
বা, \(x^2 – 5x + 6 = 0\)
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল \(x^2 – 5x + 6 = 0\)
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের প্রথম অধ্যায়, ‘একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ’ -এর ‘কষে দেখি – 1.1’ বিভাগের সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন