এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের প্রথম অধ্যায়, ‘একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ’ -এর ‘কষে দেখি – 1.2’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
নিচের প্রতি ক্ষেত্রে প্রদত্ত মান দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হবে কিনা যাচাই করে লিখি।
(i) \(x^2 + x + 1 = 0\), 1 ও -1
(ii) \(8x^2 + 7x = 0\), 0 ও -2
(iii) \(x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}\), \(\frac{5}{6}\) ও \(\frac{4}{3}\)
(iv) \(x^2 – \sqrt{3}x – 6 = 0\), \(-\sqrt{3}\) ও \(2\sqrt{3}\)
(i) \(x^2 + x + 1 = 0\), 1 ও -1
সমাধান –
1 এবং -1 প্রদত্ত সমীকরণের বীজ হলে সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।
এখন, \(x^2 + x + 1 = 0\) সমীকরণে x স্থানে 1 বসিয়ে পাই,
আবার, x স্থানে -1 বসিয়ে পাই, \((-1)^2 + (-1) + 1 = 1 – 1 + 1 = 1 \neq 0\)
সমীকরণটি 1 এবং -1 কোনটিই দ্বারা সিদ্ধ নয়।
সুতরাং 1 এবং -1 প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হবে না।
(ii) \(8x^2 + 7x = 0\), 0 ও -2
0 এবং -2 প্রদত্ত সমীকরণের বীজ হলে সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।
এখন, \(8x^2 + 7x = 0\) সমীকরণটিতে x স্থানে 0 বসিয়ে পাই,
সুতরাং 0 প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।
আবার, x স্থানে -2 বসিয়ে পাই,
\(8(-2)^2 + 7(-2) = 8(4) – 14 = 32 – 14 = 18 \neq 0\)-2 প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না।
সুতরাং -2 প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ নয়।
(iii) \(x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}\), \(\frac{5}{6}\) ও \(\frac{4}{3}\)
\(\frac{5}{6}\) এবং \(\frac{4}{3}\) প্রদত্ত সমীকরণের বীজ হলে সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।
এখন, \(x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}\) সমীকরণটিতে x স্থানে \(\frac{5}{6}\) বসিয়ে পাই,
\(\frac{5}{6} + \frac{1}{\frac{5}{6}}\)আবার, x স্থানে \(\frac{4}{3}\) বসিয়ে পাই,
\(\frac{4}{3} + \frac{1}{\frac{4}{3}}\)সুতরাং \(\frac{5}{6}\) এবং \(\frac{4}{3}\) কোনটিই প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজ নয়।
(iv) \(x^2 – \sqrt{3}x – 6 = 0\), \(-\sqrt{3}\) ও \(2\sqrt{3}\)
\(-\sqrt{3}\) এবং \(2\sqrt{3}\) প্রদত্ত সমীকরণের বীজ হলে সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।
এখন, \(x^2 – \sqrt{3}x – 6 = 0\) সমীকরণটিতে x স্থানে \(-\sqrt{3}\) বসিয়ে পাই,
আবার, x স্থানে \(2\sqrt{3}\) বসিয়ে পাই,
\((2\sqrt{3})^2 – \sqrt{3}(2\sqrt{3}) – 6\)\(= 12 – 6 – 6\)\(= 12 – 12\)সুতরাং \(-\sqrt{3}\) এবং \(2\sqrt{3}\) প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হবে।
(i) K এর কোন মানের জন্য \(7x^2 + kx – 3 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(\frac{2}{3}\) হবে?
সমাধান –
\(7x^2 + kx – 3 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(\frac{2}{3}\) হলে, অবশ্যই \(\frac{2}{3}\) সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।
∴ \(7\left(\frac{2}{3}\right)^2 + k\left(\frac{2}{3}\right) – 3 = 0\)
বা, \(7\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{2k}{3} – 3 = 0\)
বা, \(\frac{28}{9} + \frac{2k}{3} – 3 = 0\)
বা, \(\frac{28}{9} + \frac{6k}{9} – \frac{27}{9} = 0\)
বা, \(\frac{28 + 6k – 27}{9} = 0\)
বা, \(28 + 6k – 27 = 0\)
বা, \(6k + 1 = 0\)
বা, \(6k = -1\)
বা, \(k = -\frac{1}{6}\)
∴ K এর মান \(-\frac{1}{6}\) হলে \(7x^2 + kx – 3 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(\frac{2}{3}\) হবে।
(ii) K এর কোন মানের জন্য \(x^2 + 3ax + k = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ হবে -a?
সমাধান –
\(x^2 + 3ax + k = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a হলে, -a সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।
X এর স্থানে -a বসিয়ে পাই,
\((-a)^2 + 3a(-a) + k = 0\)বা, \(a^2 – 3a^2 + k = 0\)
বা, \(-2a^2 + k = 0\)
বা, \(k = 2a^2\)
∴ k এর মান \(2a^2\) হলে দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ হবে -a।
3. যদি \(ax^2 + 7x + b = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \(\frac{2}{3}\) এবং -3 হয় তবে a ও b এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(\frac{2}{3}\) এবং -3 উভয়ই প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।
x এর স্থানে \(\frac{2}{3}\) বসিয়ে পাই,
বা, \(a \cdot \frac{4}{9} + \frac{14}{3} + b = 0\)
বা, \(\frac{4a}{9} + \frac{42}{9} + \frac{9b}{9} = 0\)
বা, \(\frac{4a + 42 + 9b}{9} = 0\)
বা, \(4a + 9b + 42 = 0\) — (i)
x এর স্থানে -3 বসিয়ে পাই,
\(a(-3)^2 + 7(-3) + b = 0\)বা, \(9a – 21 + b = 0\)
বা, \(9a + b = 21\) — (ii)
সমীকরণ (ii) থেকে পাই,
b এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
\(4a + 9(21 – 9a) + 42 = 0\)বা, \(4a + 189 – 81a + 42 = 0\)
বা, \(-77a + 231 = 0\)
বা, \(-77a = -231\)
বা, \(a = \frac{231}{77}\)
বা, \(a = 3\)
a এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,
\(9(3) + b = 21\)বা, \(27 + b = 21\)
বা, \(b = 21 – 27\)
বা, \(b = -6\)
∴ \(ax^2 + 7x + b = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \(\frac{2}{3}\) এবং -3 হলে, a = 3 এবং b = -6 হবে।
সমাধান করি –
(i) \(3y^2 – 20 = 160 – 2y^2\)
\(3y^2 – 20 = 160 – 2y^2\)বা, \(3y^2 + 2y^2 = 160 + 20\)
বা, \(5y^2 = 180\)
বা, \(y^2 = \frac{180}{5} = 36\)
বা, \(y = \pm \sqrt{36}\)
বা, \(y = \pm 6\)
∴ নির্ণেয় সমাধান \(y = 6\) এবং \(y = -6\)
(ii) \((2x + 1)^2 + (x + 1)^2 = 6x + 47\)
\((2x + 1)^2 + (x + 1)^2 = 6x + 47\)বা, \(4x^2 + 4x + 1 + x^2 + 2x + 1 = 6x + 47\)
বা, \(5x^2 + 6x + 2 = 6x + 47\)
বা, \(5x^2 + 6x + 2 – 6x – 47 = 0\)
বা, \(5x^2 – 45 = 0\)
বা, \(5x^2 = 45\)
বা, \(x^2 = \frac{45}{5} = 9\)
বা, \(x = \pm \sqrt{9}\)
বা, \(x = \pm 3\)
∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = 3\) এবং \(x = -3\)
(iii) \((x – 7)(x – 9) = 195\)
\((x – 7)(x – 9) = 195\)বা, \(x(x – 9) – 7(x – 9) = 195\)
বা, \(x^2 – 9x – 7x + 63 = 195\)
বা, \(x^2 – 16x + 63 – 195 = 0\)
বা, \(x^2 – 16x – 132 = 0\)
বা, \(x^2 – (22 – 6)x – 132 = 0\)
বা, \(x^2 – 22x + 6x – 132 = 0\)
বা, \(x(x – 22) + 6(x – 22) = 0\)
বা, \((x – 22)(x + 6) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \((x – 22) = 0\) অথবা \((x + 6) = 0\)
\((x – 22) = 0\)বা, \(x = 22\)
\((x + 6) = 0\)বা, \(x = -6\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 22\) এবং \(x = -6\)
(iv) \(3x – \frac{24}{x} = \frac{x}{3}\)
\(3x – \frac{24}{x} = \frac{x}{3}\)বা, \(\frac{3x^2 – 24}{x} = \frac{x}{3}\)
বা, \(3(3x^2 – 24) = x^2\)
বা, \(9x^2 – 72 = x^2\)
বা, \(9x^2 – x^2 = 72\)
বা, \(8x^2 = 72\)
বা, \(x^2 = \frac{72}{8} = 9\)
বা, \(x = \pm \sqrt{9} = \pm 3\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 3\) এবং \(x = -3\)
(v) \(\frac{x}{3} + \frac{3}{x} = \frac{15}{x}\)
\(\frac{x}{3} + \frac{3}{x} = \frac{15}{x}\)বা, \(\frac{x^2 + 9}{3x} = \frac{15}{x}\)
বা, \(x(x^2 + 9) = 45x\)
বা, \(x^2 + 9 = 45\)
বা, \(x^2 = 45 – 9 = 36\)
বা, \(x = \pm \sqrt{36} = \pm 6\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 6\) এবং \(x = -6\)
(vi) \(10x – \frac{1}{x} = 3\)
\(10x – \frac{1}{x} = 3\)বা, \(\frac{10x^2 – 1}{x} = 3\)
বা, \(10x^2 – 1 = 3x\)
বা, \(10x^2 – 3x – 1 = 0\)
বা, \(10x^2 – 5x + 2x – 1 = 0\)
বা, \(5x(2x – 1) + 1(2x – 1) = 0\)
বা, \((2x – 1)(5x + 1) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় (2x – 1) = 0 অথবা (5x + 1) = 0
\(2x – 1 = 0 \)বা, \(x = \frac{1}{2}\)
\(5x + 1 = 0\)বা, \(x = -\frac{1}{5}\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = \frac{1}{2}\) এবং \(x = -\frac{1}{5}\)
(vii) \(\frac{2}{x^2} – \frac{5}{x} + 2 = 0\), [x ≠ 0]
\(\frac{2}{x^2} – \frac{5}{x} + 2 = 0\)বা, \(\frac{2 – 5x + 2x^2}{x^2} = 0\)
বা, \(2x^2 – 5x + 2 = 0\) [∵x≠0]
বা, \(2x^2 – 4x – x + 2 = 0\)
বা, \(2x(x – 2) – 1(x – 2) = 0\)
বা, \((x – 2)(2x – 1) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় (x – 2) = 0 অথবা (2x – 1) = 0
\(x – 2 = 0 \)বা, \(x = 2\)
\(2x – 1 = 0\)বা,\( x = \frac{1}{2}\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 2\) এবং \(x = \frac{1}{2}\)
(viii) \(\frac{x – 2}{x + 2} + 6\left(\frac{x – 2}{x – 6}\right) = 1\)
\(\frac{x – 2}{x + 2} + 6\left(\frac{x – 2}{x – 6}\right) = 1\)বা, \(\frac{(x – 2)(x – 6) + 6(x – 2)(x + 2)}{(x + 2)(x – 6)} = 1\)
বা, \(\frac{x^2 – 8x + 12 + 6x^2 – 12x + 12}{(x + 2)(x – 6)} = 1\)
বা, \(\frac{7x^2 – 20x + 24}{x^2 – 4x – 12} = 1\)
বা, \(7x^2 – 20x + 24 = x^2 – 4x – 12\)
বা, \(6x^2 – 16x + 36 = 0\)
বা, \(3x^2 – 8x + 18 = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয়, x = 0 অথবা 3x – 2 = 0
∴ \(x = 0\)
অথবা, 3x – 2 = 0
বা, \(x = \frac{2}{3}\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 0\) এবং \(x = \frac{2}{3}\)
(ix) \(\frac{1}{x-3} – \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\), x≠3, -5
\(\frac{1}{x-3} – \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\)বা, \(\frac{(x+5)-(x-3)}{(x-3)(x+5)} = \frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{8}{(x-3)(x+5)} = \frac{1}{6}\)
বা, \(x^2 + 5x – 3x – 15 = 48\)
বা, \(x^2 + 2x – 63 = 0\)
বা, \(x^2 + 9x – 7x – 63 = 0\)
বা, \(x(x + 9) – 7(x + 9) = 0\)
বা, \((x + 9)(x – 7) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x + 9 = 0\) অথবা \(x – 7 = 0\)
হয়, \(x + 9 = 0\)
বা, \(x + 9 = 0\)
বা, \(x = -9\)
অথবা, \(x – 7 = 0\)
বা, \(x = 7\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = -9\) এবং \(x = 7\)
(x) \(\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x} = 2\frac{1}{12}\), x≠0, -1
\(\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x} = \frac{25}{12}\)বা, \(\frac{x^2 + (x + 1)^2}{x(x + 1)} = \frac{25}{12}\)
বা, \(\frac{x^2 + x^2 + 2x + 1}{x^2 + x} = \frac{25}{12}\)
বা, \(\frac{2x^2 + 2x + 1}{x^2 + x} = \frac{25}{12}\)
বা, \(12(2x^2 + 2x + 1) = 25(x^2 + x)\)
বা, \(24x^2 + 24x + 12 = 25x^2 + 25x\)
বা, \(-x^2 – x + 12 = 0\)
বা, \(x^2 + x – 12 = 0\)
বা, \(x^2 + 4x – 3x – 12 = 0\)
বা, \(x(x + 4) – 3(x + 4) = 0\)
বা, \((x + 4)(x – 3) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x + 4 = 0\) অথবা \(x – 3 = 0\)
\(x + 4 = 0\)বা, \(x = -4\)
অথবা \(x – 3 = 0\)
বা, \(x = 3\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 3\) এবং \(x = -4\)
(xi) \(\frac{ax + b}{a + bx} = \frac{cx + d}{c + dx}\), [a≠b, c≠d], x≠-a/b, x≠-c/d
\(\frac{ax + b}{a + bx} = \frac{cx + d}{c + dx}\)বা, \((ax + b)(c + dx) = (cx + d)(a + bx)\)
বা, \(acx + adx^2 + bc + bdx = acx + bcx^2 + da + dbx\)
বা, \(adx^2 – bcx^2 + bc – da + bdx – dbx = 0\)
বা, \(x^2(ad – bc) – (ad – bc) = 0\)
বা, \((ad – bc)(x^2 – 1) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
কিন্তু \(ad – bc ≠ 0\) কারণ \(a ≠ b\) এবং \(c ≠ d\)
∴ \((x^2 – 1) = 0\)
বা, \(x^2 – 1 = 0\)
বা, \(x^2 = 1\)
বা, \(x = \pm 1\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 1\) এবং \(x = -1\)
(xii) \((2x + 1) + \frac{3}{(2x + 1)} = 4\), [x ≠ -1/2]
\((2x + 1) + \frac{3}{(2x + 1)} = 4\)বা, \(\frac{(2x + 1)^2 + 3}{(2x + 1)} = 4\)
বা, \(\frac{4x^2 + 4x + 1 + 3}{(2x + 1)} = 4\)
বা, \(\frac{4x^2 + 4x + 4}{(2x + 1)} = 4\)
বা, \(4x^2 + 4x + 4 = 4(2x + 1)\)
বা, \(4x^2 + 4x + 4 = 8x + 4\)
বা, \(4x^2 – 4x = 0\)
বা, \(4x(x – 1) = 0\)
বা, \(x(x – 1) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x = 0\),
অথবা \(x – 1 = 0\)
বা, \(x = 1\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 0\) এবং \(x = 1\)
(xiii) \(\frac{x + 1}{2} + \frac{2}{x + 1} = \frac{x + 1}{3} + \frac{3}{x + 1} – \frac{5}{6}\), x ≠ -1
\(\frac{x + 1}{2} + \frac{2}{x + 1} = \frac{x + 1}{3} + \frac{3}{x + 1} – \frac{5}{6}\)বা, \(\frac{x + 1}{2} – \frac{x + 1}{3} + \frac{2}{x + 1} – \frac{3}{x + 1} = -\frac{5}{6}\)
বা, \(\frac{3(x + 1) – 2(x + 1)}{6} + \frac{2 – 3}{x + 1} = -\frac{5}{6}\)
বা, \(\frac{x + 1}{6} – \frac{1}{x + 1} = -\frac{5}{6}\)
বা, \(\frac{(x + 1)^2 – 6}{6(x + 1)} = -\frac{5}{6}\)
বা, \(\frac{(x + 1)^2 – 6}{x + 1} = -5\)
বা, \((x + 1)^2 – 6 = -5(x + 1)\)
বা, \(x^2 + 2x + 1 – 6 = -5x – 5\)
বা, \(x^2 + 7x = 0\)
বা, \(x(x + 7) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x = 0\),
অথবা \(x + 7 = 0\)
বা, \(x = -7\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 0\) এবং \(x = -7\)
(xiv) \(\frac{12x + 17}{3x + 1} – \frac{2x + 15}{x + 7} = 3\frac{1}{5}\), [x ≠ -1/3, -7]
\(\frac{12x + 17}{3x + 1} – \frac{2x + 15}{x + 7} = \frac{16}{5}\)বা, \(\frac{(12x + 17)(x + 7) – (2x + 15)(3x + 1)}{(3x + 1)(x + 7)} = \frac{16}{5}\)
বা, \(\frac{12x^2 + 84x + 119 – 6x^2 – 17x – 15}{3x^2 + 22x + 7} = \frac{16}{5}\)
বা, \(\frac{6x^2 + 67x + 104}{3x^2 + 22x + 7} = \frac{16}{5}\)
বা, \(5(6x^2 + 67x + 104) = 16(3x^2 + 22x + 7)\)
বা, \(30x^2 + 335x + 520 = 48x^2 + 352x + 112\)
বা, \(-18x^2 – 17x + 408 = 0\)
বা, \(9x^2 + 8.5x – 204 = 0\)
বা, \(9x^2 + 68x – 27x – 204 = 0\)
বা, \(x(9x + 68) – 3(9x + 68) = 0\)
বা, \((9x + 68)(x – 3) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(9x + 68 = 0\) অথবা \(x – 3 = 0\)
\(9x + 68 = 0\)বা, \(x = -\frac{68}{9}\)
অথবা \(x – 3 = 0\)
বা, \(x = 3\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 3\) এবং \(x = -\frac{68}{9}\)
(xv) \(\frac{x + 3}{x – 3} + 6\left(\frac{x – 3}{x + 3}\right) = 5\), x ≠ 3, -3
ধরি, \(\frac{x + 3}{x – 3} = a\)
∴ \(\frac{x – 3}{x + 3} = \frac{1}{a}\)
∴ সমীকরণ হলো –
\(a + \frac{6}{a} = 5\)বা, \(\frac{a^2 + 6}{a} = 5\)
বা, \(a^2 + 6 = 5a\)
বা, \(a^2 – 5a + 6 = 0\)
বা, \(a^2 – 3a – 2a + 6 = 0\)
বা, \(a(a – 3) – 2(a – 3) = 0\)
বা, \((a – 3)(a – 2) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(a – 3 = 0\) অথবা \(a – 2 = 0\)
বা, \(a = 3\) বা \(a = 2\)
যখন, a = 3
\(\frac{x + 3}{x – 3} = 3\)বা, \(x + 3 = 3(x – 3)\)
বা, \(x + 3 = 3x – 9\)
বা, \(x – 3x = -9 – 3\)
বা, \(-2x = -12\)
বা, \(x = \frac{-12}{-2} = 6\)
যখন, a = 2
\(\frac{x + 3}{x – 3} = 2\)বা, \(x + 3 = 2(x – 3)\)
বা, \(x + 3 = 2x – 6\)
বা, \(x – 2x = -6 – 3\)
বা, \(-x = -9\)
বা, \(x = 9\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 6\) এবং \(x = 9\)
(xvi) \(\frac{1}{a + b + x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{x}\), [x ≠ 0, -(a + b)]
\(\frac{1}{a + b + x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{x}\)বা, \(\frac{1}{a + b + x} – \frac{1}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)
বা, \(\frac{x – (a + b + x)}{x(a + b + x)} = \frac{a + b}{ab}\)
বা, \(\frac{- (a + b)}{x(a + b + x)} = \frac{a + b}{ab}\)
বা, \(\frac{-1}{x(a + b + x)} = \frac{1}{ab}\)
বা, \(-ab = x(a + b + x)\)
বা, \(x(a + b + x) + ab = 0\)
বা, \(ax + bx + x^2 + ab = 0\)
বা, \(x^2 + ax + bx + ab = 0\)
বা, \(x(x + a) + b(x + b) = 0\)
বা, \((x + a)(x + b) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x + a = 0\) অথবা \(x + b = 0\)
\(x + a = 0\)বা, \(x = -a\)
অথবা, \(x + b = 0\)
বা, \(x = -b\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = -a\) এবং \(x = -b\)
(xvii) \(\left(\frac{x + a}{x – a}\right)^2 – 5\left(\frac{x + a}{x – a}\right) + 6 = 0\), x ≠ -a
\(\left(\frac{x + a}{x – a}\right)^2 – 5\left(\frac{x + a}{x – a}\right) + 6 = 0\)ধরি, \(\frac{x + a}{x – a} = m\)
∴ সমীকরণ হয় \(m^2 – 5m + 6 = 0\)
বা, \(m^2 – 3m – 2m + 6 = 0\)
বা, \(m(m – 3) – 2(m – 3) = 0\)
বা, \((m – 3)(m – 2) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(m – 3 = 0\) অথবা \(m – 2 = 0\)
বা, \(m = 3\) বা \(m = 2\)
যখন m = 3
\(\frac{x + a}{x – a} = 3\)বা, \(x + a = 3(x – a)\)
বা, \(x + a = 3x – 3a\)
বা, \(x – 3x = -3a – a\)
বা, \(-2x = -4a\)
বা, \(x = 2a\)
যখন m = 2
\(\frac{x + a}{x – a} = 2\)বা, \(x + a = 2(x – a)\)
বা, \(x + a = 2x – 2a\)
বা, \(x – 2x = -2a – a\)
বা, \(-x = -3a\)
বা, \(x = 3a\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 2a\) এবং \(x = 3a\)
(xviii) \(\frac{1}{x} – \frac{1}{x + b} = \frac{1}{a} – \frac{1}{a + b}\), x ≠ 0, -b
\(\frac{1}{x} – \frac{1}{x + b} = \frac{1}{a} – \frac{1}{a + b}\)বা, \(\frac{x + b – x}{x(x + b)} = \frac{a + b – a}{a(a + b)}\)
বা, \(\frac{b}{x(x + b)} = \frac{b}{a(a + b)}\)
বা, \(x(x + b) = a(a + b)\)
বা, \(x^2 + bx = a^2 + ab\)
বা, \(x^2 + bx – a^2 – ab = 0\)
বা, \(x^2 + bx – a(a + b) = 0\)
বা, \((x – a)(x + a + b) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x – a = 0\) অথবা \(x + a + b = 0\)
\(x – a = 0\)বা, \(x = a\)
অথবা, \(x + a + b = 0\)
বা, \(x = – (a + b)\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = a\) এবং \(x = – (a + b)\)
(xix) \(\frac{1}{(x – 1)(x – 2)} + \frac{1}{(x – 2)(x – 3)} + \frac{1}{(x – 3)(x – 4)} = \frac{1}{6}\), x ≠ 1, 2, 3, 4
\(\frac{1}{(x – 1)(x – 2)} + \frac{1}{(x – 2)(x – 3)} + \frac{1}{(x – 3)(x – 4)} = \frac{1}{6}\)বা, \(\frac{1}{x – 2} – \frac{1}{x – 1} + \frac{1}{x – 3} – \frac{1}{x – 2} + \frac{1}{x – 4} – \frac{1}{x – 3} = \frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{1}{x – 4} – \frac{1}{x – 1} = \frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{1}{x – 4} – \frac{1}{x – 1} = \frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{x – 1 – (x – 4)}{(x – 4)(x – 1)} = \frac{1}{6}\)
বা, \(\frac{3}{(x – 4)(x – 1)} = \frac{1}{6}\)
বা, \(6 \times 3 = (x – 4)(x – 1)\)
বা, \(18 = x^2 – 5x + 4\)
বা, \(x^2 – 5x – 14 = 0\)
বা, \(x^2 – 7x + 2x – 14 = 0\)
বা, \(x(x – 7) + 2(x – 7) = 0\)
বা, \((x – 7)(x + 2) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x – 7 = 0\) অথবা \(x + 2 = 0\)
\(x – 7 = 0\)বা, \(x = 7\)
অথবা, \(x + 2 = 0\)
বা, \(x = -2\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 7\) এবং \(x = -2\)
(xx) \(\frac{a}{x – a} + \frac{b}{x – b} = \frac{2c}{x – c}\), x ≠ a, b, c
\(\frac{a}{x – a} + \frac{b}{x – b} = \frac{2c}{x – c}\)বা, \(\frac{a}{x – a} + 1 + \frac{b}{x – b} + 1 = \frac{2c}{x – c} + 2\)
বা, \(\frac{x}{x – a} + \frac{x}{x – b} = \frac{2x}{x – c}\)
বা, \(\frac{x}{x – a} + \frac{x}{x – b} – \frac{2x}{x – c} = 0\)
বা, \(x\left(\frac{1}{x – a} + \frac{1}{x – b} – \frac{2}{x – c}\right) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x = 0\)
অথবা,
\(\frac{1}{x – a} + \frac{1}{x – b} – \frac{2}{x – c} = 0\)বা, \(\frac{(x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) – 2(x – a)(x – b)}{(x – a)(x – b)(x – c)} = 0\)
বা, \((x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) – 2(x – a)(x – b) = 0\)
বা, \(x^2 – bx – cx + bc + x^2 – ax – cx + ac – 2x^2 + 2ax + 2bx – 2ab = 0\)
বা, \(ax + bx – 2cx + bc + ac – 2ab = 0\)
বা, \(x(a + b – 2c) = 2ab – bc – ac\)
বা, \(x = \frac{2ab – bc – ac}{a + b – 2c}\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 0\) এবং \(x = \frac{2ab – bc – ac}{a + b – 2c}\)
(xxi) \(x^2 – (\sqrt{3} + 2)x + 2\sqrt{3} = 0\)
\(x^2 – (\sqrt{3} + 2)x + 2\sqrt{3} = 0\)বা, \(x^2 – \sqrt{3}x – 2x + 2\sqrt{3} = 0\)
বা, \(x(x – \sqrt{3}) – 2(x – \sqrt{3}) = 0\)
বা, \((x – \sqrt{3})(x – 2) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x – \sqrt{3} = 0\) অথবা \(x – 2 = 0\)
বা, \(x = \sqrt{3}\) বা \(x = 2\)
নির্ণেয় সমাধান: \(x = \sqrt{3}\) এবং \(x = 2\)
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের প্রথম অধ্যায়, ‘একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ’ -এর ‘কষে দেখি – 1.2’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন