এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের প্রথম অধ্যায়, ‘একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ’ -এর ‘কষে দেখি – 1.3’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
1. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117। সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর 3
ধরি, একটি সংখ্যা x
তবে অন্য সংখ্যাটি হবে \(x + 3\)
শর্তানুসারে,
\(x^2 + (x + 3)^2 = 117\)বা, \(x^2 + x^2 + 6x + 9 = 117\)
বা, \(2x^2 + 6x + 9 – 117 = 0\)
বা, \(2x^2 + 6x – 108 = 0\)
বা, \(x^2 + 3x – 54 = 0\)
বা, \(x^2 + 9x – 6x – 54 = 0\)
বা, \(x(x + 9) – 6(x + 9) = 0\)
বা, \((x + 9)(x – 6) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x + 9 = 0\) অথবা, \(x – 6 = 0\)
\(x + 9 = 0\)বা, \(x = -9\)
অথবা, \(x – 6 = 0\)
বা, \(x = 6\)
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক অতএব x এর ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়,
∴ সংখ্যা দুটি 6 এবং 9।
উত্তর – সংখ্যা দুটি 6 এবং 9।
2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতা দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 300 বর্গমিটার হলে তার উচ্চতা নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, ত্রিভুজের উচ্চতা \(x\) মিটার।
∴ ত্রিভুজের ভূমি = \((2x + 18)\) মিটার এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 300 বর্গমিটার
শর্তানুসারে,
\(\frac{1}{2} \times (2x + 18) \times x = 300\) [যেহেতু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times\) ভূমি \(\times\) উচ্চতা]
বা, \(x(2x + 18) = 2 \times 300\)
বা, \(2x^2 + 18x = 600\)
বা, \(2x^2 + 18x – 600 = 0\)
বা, \(x^2 + 9x – 300 = 0\) [উভয় পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই]
বা, \(x^2 + 24x – 15x – 300 = 0\)
বা, \(x(x + 24) – 15(x + 24) = 0\)
বা, \((x + 24)(x – 15) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x + 24 = 0\), অথবা \(x – 15 = 0\)
\(x + 24 = 0\)বা, \(x = -24\)
অথবা \(x – 15 = 0\)
বা, \(x = 15\)
যেহেতু ত্রিভুজের উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না,
∴ নির্ণেয় ত্রিভুজের উচ্চতা \(15\) মিটার।
উত্তর – ত্রিভুজের উচ্চতা \(15\) মিটার।
3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচ গুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
সমাধান –
ধরি, সংখ্যাটি হল x [ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা]
শর্তানুসারে,
বা, \(2x^2 – 5x – 3 = 0\)
বা, \(2x^2 – 6x + x – 3 = 0\)
বা, \(2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0\)
বা, \((x – 3)(2x + 1) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x – 3 = 0\) অথবা \(2x + 1 = 0\)
\(x – 3 = 0\)বা, \(x = 3\)
অথবা \(2x + 1 = 0\)
বা, \(x = -\frac{1}{2}\)
যেহেতু সংখ্যাটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা,
\(x = 3\)নির্ণেয় সংখ্যাটি হল 3।
উত্তর – সংখ্যাটি হল 3।
4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি; এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপ গাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটরগাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, মোটরগাড়ির গতিবেগ \(x\) কিমি/ঘণ্টা
∴ জিপ গাড়ির গতিবেগ \((x + 5)\) কিমি/ঘণ্টা
এবং, অতিক্রান্ত দূরত্ব = 200 কিমি
∴ 200 কিমি অতিক্রম করতে মোটর গাড়ির সময় লাগে \(\frac{200}{x}\) ঘণ্টা
এবং, 200 কিমি অতিক্রম করতে জিপ গাড়ির সময় লাগে \(\frac{200}{x + 5}\) ঘণ্টা
শর্তানুসারে,
\(\frac{200}{x} – \frac{200}{x + 5} = 2\)বা, \(\frac{200(x + 5) – 200x}{x(x + 5)} = 2\)
বা, \(\frac{1000}{x(x + 5)} = 2\)
বা, \(2x(x + 5) = 1000\)
বা, \(2x^2 + 10x – 1000 = 0\)
বা, \(x^2 + 5x – 500 = 0\)
বা, \(x^2 + 25x – 20x – 500 = 0\)
বা, \(x(x + 25) – 20(x + 25) = 0\)
বা, \((x + 25)(x – 20) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x – 20 = 0\) অথবা \(x + 25 = 0\)
\(x – 20 = 0\)বা, \(x = 20\)
অথবা, \(x + 25 = 0\)
বা, \(x = -25\)
এখন গতিবেগের মান ঋণাত্মক হতে পারেনা,
∴ নির্ণেয় মোটরগাড়ির গতিবেগ \(20\) কিমি/ঘণ্টা।
উত্তর – মোটরগাড়ির গতিবেগ \(20\) কিমি/ঘণ্টা।
5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করে লিখি।
সমাধান –
অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার।
ধরি, আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য \(x\) মিটার
∴ প্রস্থ \(\left(\frac{180}{2} – x\right)\) মিটার = \((90-x)\) মিটার
শর্তানুসারে,
\(x(90 – x) = 2000\)বা, \(90x – x^2 = 2000\)
বা, \(x^2 – 90x + 2000 = 0\)
বা, \(x^2 – 50x – 40x + 2000 = 0\)
বা, \(x(x – 50) – 40(x – 50) = 0\)
বা, \((x – 50)(x – 40) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য তাহলে,
হয় \(x – 50 = 0\), অথবা \(x – 40 = 0\)
\(x – 50 = 0\)বা, \(x = 50\)
\(x – 40 = 0\)বা, \(x = 40\)
যেহেতু আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ সমান হতে পারে,
নির্ণেয় সমাধান – দৈর্ঘ্য \(50\) মিটার এবং প্রস্থ \(40\) মিটার
উত্তর – আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য 50 মিটার এবং প্রস্থ 40 মিটার।
6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরে রঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক \(x\)
∴ সংখ্যাটির দশকের ঘরের অঙ্ক \((x-3)\)
∴ সংখ্যাটি হবে =\(10(x-3)+x =11x-30\)
যেহেতু সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্কদ্বয়ের গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়
∴ \((11x-30)-(x(x-3))=15\)
বা, \(11x-30-x^2+3x-15=0\)
বা, \(-x^2+14x-45=0\)
বা, \(x^2-14x+45=0\)
বা, \(x^2-(9+5)x+45=0\)
বা, \(x^2-9x-5x+45=0\)
বা, \(x(x-9)-5(x-9)=0\)
বা, \((x-9)(x-5)=0\)
দুটি সংখ্যার গুণফল শূন্য
হয় \((x-9)=0\)
বা, \(x=9\)
অথবা, \((x-5)=0\)
বা, \(x=5\)
∴ এককের ঘরের অঙ্ক হল 5 অথবা 9।
উত্তর – এককের ঘরের অঙ্ক হল 5 অথবা 9।
7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি \(11\frac{1}{9}\) মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নল দুটি আলাদা ভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়, প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে সময় কত সময় লাগে তা নির্ণয় করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে একটি নলের সময় লাগে \(x\) মিনিট অপর নলের সময় লাগে \((x+5)\) মিনিট।
ধরি, চৌবাচ্চার ধারকক্ষমতা \(=1\) অংশ
∴ প্রথম নল \(x\) মিনিটে পূর্ণ করে \(1\) অংশ
প্রথম নল \(1\) মিনিটে পূর্ণ করে \(\frac{1}{x}\) অংশ
আবার, দ্বিতীয় নল \((x+5)\) মিনিটে পূর্ণ করে \(1\) অংশ
দ্বিতীয় নল \(1\) মিনিটে পূর্ণ করে \(\frac{1}{x+5}\) অংশ
∴ দুটি নল একত্রে \(1\) মিনিটে পূর্ণ করে \(\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} \right)\) অংশ
অতএব দুটি নল একত্রে \(11\frac{1}{9}\) মিনিটে পূর্ণ করে \(11\frac{1}{9} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} \right)\) অংশ
শর্তানুসারে,
\(11\frac{1}{9} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} \right) = 1\)বা, \(\frac{100}{9} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} \right) = 1\)
বা, \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{9}{100}\)
বা, \(\frac{x+5 + x}{x(x+5)} = \frac{9}{100}\)
বা, \(\frac{2x +5}{x(x+5)} = \frac{9}{100}\)
বা, \(100(2x +5) =9x(x+5)\)
বা, \(200x +500 =9x^2 +45x\)
বা, \(9x^2 +45x -200x -500=0\)
বা, \(9x^2 -155x -500=0\)
বা, \(9x^2 -180x +25x -500=0\)
বা, \(9x(x -20) +25(x -20)=0\)
বা, \((x -20)(9x +25)=0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য,
∴ যদি \((x -20)=0\)
বা, \(x=20\)
অথবা, \((9x +25)=0\)
বা, \(x= -\frac{25}{9}\)
সময় ঋণাত্মক হওয়া অসম্ভব।
∴ \(x=20\)
অতএব প্রথম নল চৌবাচ্চা পূর্ণ করে \(20\) মিনিটে।
অপর নল চৌবাচ্চা পূর্ণ করে \((20+5)\) মিনিটে \(=25\) মিনিটে।
উত্তর – প্রথম নল চৌবাচ্চা পূর্ণ করে \(20\) মিনিটে। অপর নল চৌবাচ্চা পূর্ণ করে \((20+5)\) মিনিটে \(=25\) মিনিটে।
8. পর্ণা ও পীযুষ কোন একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্নার যে সময় লাগবে, পীযুষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্না একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, পর্না একাকী কাজটি করতে পারে \(x\) দিনে
∴ প্রদত্ত শর্তানুসারে পীযুষের সময় লাগবে \((x + 6)\) দিন
ধরি, সমগ্র কাজ = 1 অংশ
পর্না \(x\) দিনে কাজ করে 1 অংশ
পর্না 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{x}\) অংশ
এবং, পীযুষ \((x + 6)\) দিনে কাজ করে 1 অংশ
পীযুষ 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{x + 6}\) অংশ
∴ তারা একত্রে একদিনে কাজ করে \(\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} \right)\) অংশ
∴ তারা একত্রে 4 দিনে কাজ করে \(4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} \right)\) অংশ
শর্তানুসারে,
\(4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} \right) = 1\)বা, \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4}\)
বা, \(\frac{x + 6 + x}{x(x + 6)} = \frac{1}{4}\)
বা, \(\frac{2x + 6}{x(x + 6)} = \frac{1}{4}\)
বা, \(4(2x + 6) = x(x + 6)\)
বা, \(8x + 24 = x^2 + 6x\)
বা, \(x^2 + 6x – 8x – 24 = 0\)
বা, \(x^2 – 2x – 24 = 0\)
বা, \(x^2 – 6x + 4x – 24 = 0\)
বা, \(x(x – 6) + 4(x – 6) = 0\)
বা, \((x – 6)(x + 4) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য –
∴ হয় \((x – 6) = 0\)
বা, \(x = 6\)
অথবা, \((x + 4) = 0\)
বা, \(x = -4\)
যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারেনা।
∴ \(x = 6\)
∴ পর্না একাকী কাজটি করতে পারবে 6 দিনে।
উত্তর – পর্না একাকী কাজটি করতে পারবে 6 দিনে।
9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরো তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, প্রতি ডজন কলমের মূল্য \(x\) টাকা।
দাম হ্রাস পাওয়ার পরে প্রতি ডজন কলমের মূল্য \((x – 6)\) টাকা।
শর্তানুসারে,
\(\frac{360}{x – 6} – \frac{360}{x} = 3\)বা, \(360 \left( \frac{1}{x – 6} – \frac{1}{x} \right) = 3\)
বা, \(\frac{1}{x – 6} – \frac{1}{x} = \frac{3}{360}\)
বা, \(\frac{x – (x – 6)}{x(x – 6)} = \frac{1}{120}\)
বা, \(\frac{6}{x(x – 6)} = \frac{1}{120}\)
বা, \(720 = x(x – 6)\)
বা, \(x^2 – 6x – 720 = 0\)
বা, \(x^2 – 30x + 24x – 720 = 0\)
বা, \(x(x – 30) + 24(x – 30) = 0\)
বা, \((x – 30)(x + 24) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য
∴ হয় \((x – 30) = 0\)
বা, \(x = 30\)
অথবা, \((x + 24) = 0\)
বা, \(x = -24\)
কলমের মূল্য ঋণাত্মক হতে পারেনা, সুতরাং \(x = 30\)
অর্থাৎ প্রতি ডজন কলমের মূল্য 30 টাকা।
উত্তর – প্রতি ডজন কলমের মূল্য 30 টাকা।
10. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
10. (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ এর সংখ্যা
- একটি
- দুটি
- তিনটি
- কোনোটিই নয়
উত্তর – 2. দুটি
(ii) \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণ হলে
- \(b \neq 0\)
- \(c \neq 0\)
- \(a \neq 0\)
- কোনোটিই নয়
উত্তর – 3. \(a \neq 0\)
(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত
- 1
- 2
- 3
- কোনোটিই নয়
উত্তর – 2. 2
(iv) \(4(5x^2 – 7x + 2) = 5(4x^2 – 6x + 3)\) সমীকরণটি
- রৈখিক
- দ্বিঘাত
- ত্রিঘাত
- কোনোটিই নয়
উত্তর – 1. রৈখিক
উত্তর সংকেত –
\(4(5x^2 – 7x + 2) = 5(4x^2 – 6x + 3)\)বা, \(20x^2 – 28x + 8 = 20x^2 – 30x + 15\)
বা, \(20x^2 – 20x^2 – 28x + 30x + 8 – 15 = 0\)
বা, \(2x – 7 = 0\) [এটি একটি রৈখিক সমীকরণ]
(v) \(\frac{x^2}{x} = 6\) সমীকরণের বীজ/বীজদ্বয়
(a) 0
(b) 6
(c) 0 ও 6
(d) -6
উত্তর – (b) 6
(B) নিচের বিবৃতি গুলোর সত্য না মিথ্যা লিখি
(i) \((x – 3)^2 = x^2 – 6x + 9\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
উত্তর – প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা।
\((x – 3)^2 = x^2 – 6x + 9\)বা, \(x^2 – 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 – 6x + 9\)
বা, \(x^2 – 6x + 9 = x^2 – 6x + 9\)
∴ এটি একটি অভেদ।
(ii) \(x^2 = 25\) সমীকরণের একটি মাত্র বীজ 5
উত্তর – প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা।
সমীকরণ \(x^2 = 25\) এর বীজ হল \(x = 5\) এবং \(x = -5\)।
11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A)
(i) \(x^2 + ax + 3 = 0\) সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, \(a\)-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(x^2 + ax + 3 = 0\) সমীকরণের একটি বীজ 1
∴\((1)^2 + a(1) + 3 = 0\)
বা, \(1 + a + 3 = 0\)
বা, \(a = -4\)
(ii) \(x^2 – (2 + b)x + 6 = 0\) সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
সমাধান –
\(x^2 – (2 + b)x + 6 = 0\) সমীকরণের একটি বীজ 2
ধরি, অপর বীজ = \(a\)
∴ \(2a = 6\) [∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ/\(x^2\)-এর সহগ]
বা, \(a = \frac{6}{2}\)
বা, \(a = 3\)
∴ অপর বীজটির মান = 3
(iii) \(2x^2 + kx + 4 = 0\) সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
সমাধান –
ধরি, অপর বীজ = \(a\)
∴ \(2a = \frac{4}{2}\) [∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ/\(x^2\)-এর সহগ]
বা, \(2a = 2\)
বা, \(a = 1\)
∴ অপর বীজটির মান = 1
(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অনুন্যকের অন্তর \(\frac{9}{20}\); সমীকরণটি লিখি।
সমাধান –
ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি হল \(x\)
∴ তার অনুন্যক হবে \(\frac{1}{x}\)
শর্তানুসারে,
\(x – \frac{1}{x} = \frac{9}{20}\)বা, \(20x^2 – 20 = 9x\)
বা, \(20x^2 – 9x – 20 = 0\)
∴ সমীকরণটি হল \(20x^2 – 9x – 20 = 0\)
(v) \(ax^2 + bx + 35 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, \(a\) এবং \(b\)-এর মান লিখি।
সমাধান –
\(-5 \times -7 = \frac{35}{a}\) [∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ/\(x^2\)-এর সহগ]
বা, \(35 = \frac{35}{a}\)
বা, \(a = \frac{35}{35}\)
বা, \(a = 1\)
আবার \(-5 + (-7) = -\frac{b}{a}\) [∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল = -(\(x\)-এর সহগ/\(x^2\)-এর সহগ)]
বা, \(-12 = -\frac{b}{1}\)
বা, \(b = 12\)
∴ \(a\) -এর মান 1 এবং \(b\)-এর মান 12।
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের প্রথম অধ্যায়, ‘একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ’ -এর ‘কষে দেখি – 1.3’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন