এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের প্রথম অধ্যায়, ‘একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ’ -এর ‘কষে দেখি – 1.4’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
1(i) \(4x^2+(2x-1)(2x+1)= 4x(2x-1)\) এই সমীকরণটির সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব কিনা বুঝে লিখি।
সমাধান –
\(4x^2 + (2x – 1)(2x + 1) = 4x(2x – 1)\)বা, \(4x^2 + (2x)^2 – (1)^2 = 8x^2 – 4x\)
বা, \(4x^2 + 4x^2 – 1 = 8x^2 – 4x\)
বা, \(8x^2 – 1 = 8x^2 – 4x\)
বা, \(4x – 1 = 0\)
∴ প্রদত্ত সমীকরণ টি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয় সুতরাং সমীকরণটিতে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব নয়।
1(ii) শ্রীধর আচার্যের সুত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি ?
উত্তর – একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।
1(iii) \(5x^2+2x-7=0\) সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে \(x=\frac{k\pm12}{10}\) পাওয়া গেলে \(k\) এর মান কত হবে ?
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণ টি হলও, \(5x^2 + 2x – 7 = 0\)
প্রদত্ত সমীকরণ টিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
\(a = 5\), \(b = 2\) এবং \(c = -7\)
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)বা, \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 – 4(5)(-7)}}{2(5)}\)
বা, \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 140}}{10}\)
বা, \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{10}\)
বা, \(x = \frac{-2 \pm 12}{10}\)
\(\frac{k + 12}{10} = \frac{-2 + 12}{10}\)বা, \(k = -2\)
\(\frac{k – 12}{10} = \frac{-2 – 12}{10}\)বা, \(k = -2\)
∴ \(k\) এর মান \(-2\)।
2. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণ গুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে সমাধান করো।
(i) \(3x^2 + 11x – 4 = 0\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণ টিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
\(a = 3\), \(b = 11\) এবং \(c = -4\)
এখন ,
নিরূপক, \(b^2 – 4ac = (11)^2 – 4(3)(-4) \)
∴ সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই ,
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)বা, \(x = \frac{-11 \pm \sqrt{(11)^2 – 4(3)(-4)}}{2(3)}\)
বা, \(x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 48}}{6}\)
বা, \(x = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{6}\)
\(x = \frac{-11 \pm 13}{6}\)∴ \(x = \frac{-11 + 13}{6} \)
বা, \(x= \frac{2}{6} \)
বা, \(x= \frac{1}{3}\)
এবং \(x = \frac{-11 – 13}{6} \)
বা, \(x = \frac{-24}{6} \)
বা, \(x = -4\)
নির্ণেয় সমাধান \(x = \frac{1}{3}\) এবং \(x = -4\)
(ii) \((x – 2)(x + 4) + 9 = 0\)
সমাধান –
\((x – 2)(x + 4) + 9 = 0\)বা, \(x(x + 4) – 2(x + 4) + 9 = 0\)
বা, \(x^2 – 2x + 4x – 8 + 9 = 0\)
বা, \(x^2 + 2x + 1 = 0\)
সমীকরণ টিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
\(a = 1\), \(b = 2\) এবং \(c = 1\)
নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (2)^2 – 4(1)(1) \)
\(= 4 – 4 \)\(= 0\)∴ প্রদত্ত সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে এবং তারা সমান।
এখন শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে সমাধান করে পাই ,
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)বা, \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 – 4(1)(1)}}{2(1)}\)
বা, \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 – 4}}{2}\)
বা, \(x = \frac{-2 \pm 0}{2}\)
∴ \(x = \frac{-2}{2}\)
বা, \(x = -1\)
নির্ণেয় সমাধান \(x = -1\) এবং \(x = -1\)
(iii) \((4x – 3)^2 – 2(x + 3) = 0\)
সমাধান –
\((4x – 3)^2 – 2(x + 3) = 0\)বা, \( (4x)^2 – 2(4x)(3) + (3)^2 – 2x – 6 = 0\)
বা, \(16x^2 – 24x + 9 – 2x – 6 = 0\)
বা, \(16x^2 – 26x + 3 = 0\)
সমীকরণ টিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
\(a = 16\), \(b = -26\), \(c = 3\)
নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (-26)^2 – 4(16)(3) = 676 – 192 = 484 > 0\)
∴ প্রদত্ত সমীকরণের বীজ গুলি বাস্তব।
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই ,
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)বা, \(x = \frac{26 \pm \sqrt{676 – 192}}{32}\)
বা, \(x = \frac{26 \pm \sqrt{484}}{32}\)
বা, \(x = \frac{26 \pm 22}{32}\)
∴ \(x = \frac{26 + 22}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\)
এবং \(x = \frac{26 – 22}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\)
নির্ণেয় সমাধান \(x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\) এবং \(x = \frac{1}{8}\)
(iv) \(3x^2 + 2x – 1 = 0\)
সমাধান –
\(3x^2 + 2x – 1 = 0\)সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
\(a = 3\), \(b = 2\), \(c = -1\)
নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (2)^2 – 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 > 0\)
∴ প্রদত্ত সমীকরণটির বীজগুলি বাস্তব।
এখন শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই ,
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)বা, \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}\)
বা, \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6}\)
বা, \(x = \frac{-2 \pm 4}{6}\)
∴ \(x = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
এবং \(x = \frac{-2 – 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1\)
নির্ণেয় সমাধান \(x = \frac{1}{3}\) এবং \(x = -1\)
(v) \(3x^2 + 2x + 1 = 0\)
সমাধান –
\(3x^2 + 2x + 1 = 0\)প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
\(a = 3\), \(b = 2\) এবং \(c = 1\)
নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (2)^2 – 4(3)(1) = 4 – 12 = -8 < 0\)
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণটির কোনও বাস্তব বীজ নেই
(vi) \(10x^2 – x – 3 = 0\)
সমাধান –
\(10x^2 – x – 3 = 0\)প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
\(a = 10\), \(b = -1\), \(c = -3\)
নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (-1)^2 – 4(10)(-3) = 1 + 120 = 121 > 0\)
∴ প্রদত্ত সমীকরণের বীজগুলি বাস্তব।
শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে পাই ,
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)বা, \(x = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{20}\)
বা, \(x = \frac{1 \pm 11}{20}\)
∴ \(x = \frac{1 + 11}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\)
এবং \(x = \frac{1 – 11}{20} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}\)
নির্ণেয় সমাধান \(x = -\frac{1}{2}\) এবং \(x = \frac{3}{5}\)
(vii) \(10x^2 – x + 3 = 0\)
সমাধান –
\(10x^2 – x + 3 = 0\)প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
\(a = 10\), \(b = -1\), \(c = 3\)
নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (-1)^2 – 4(10)(3) = 1 – 120 = -119 < 0\)
∴ সমীকরণের বীজগুলি কাল্পনিক।
(viii) \(25x^2 – 30x + 7 = 0\)
সমাধান –
\(25x^2 – 30x + 7 = 0\)প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
\(a = 25\), \(b = -30\) এবং \(c = 7\)
নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (-30)^2 – 4(25)(7) = 900 – 700 = 200 > 0\)
∴ সমীকরণটির বীজগুলি বাস্তব।
শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে পাই ,
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)বা, \(x = \frac{30 \pm \sqrt{200}}{50}\)
বা, \(x = \frac{30 \pm 10\sqrt{2}}{50}\)
বা, \(x = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{5}\)
∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = \frac{3 + \sqrt{2}}{5}\) এবং \(x = \frac{3 – \sqrt{2}}{5}\)
(ix) \((4x – 2)^2 + 6x = 25\)
সমাধান –
\((4x – 2)^2 + 6x = 25\)বা, \(16x^2 – 16x + 4 + 6x – 25 = 0\)
বা, \(16x^2 – 10x – 21 = 0\)
সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
\(a = 16\), \(b = -10\), \(c = -21\)
নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (-10)^2 – 4(16)(-21) = 100 + 1344 = 1444 > 0\)
∴ সমীকরণটির বীজগুলি বাস্তব
শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে পাই ,
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)বা, \(x = \frac{10 \pm \sqrt{1444}}{32}\)
বা, \(x = \frac{10 \pm 38}{32}\)
∴ \(x = \frac{48}{32} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\)
এবং \(x = \frac{-28}{32} = -\frac{7}{8}\)
নির্ণেয় সমাধান \(x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\) এবং \(x = -\frac{7}{8}\)
3. নিচের গানিতিক সমস্যা গুলি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করি।
(i) সাথি একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুন অপেক্ষা 6 সেন্টিমিটার বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্য এর থেকে 2 সেন্টিমিটার কম হয় তবে সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) সেন্টিমিটার।
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য = \((2x + 6)\) সেন্টিমিটার।
এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = \((2x + 6 – 2) = (2x + 4)\) সেন্টিমিটার।
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
\((2x + 6)^2 = x^2 + (2x + 4)^2\)বা, \(4x^2 + 24x + 36 = x^2 + 4x^2 + 16x + 16\)
বা, \(4x^2 + 24x + 36 = 5x^2 + 16x + 16\)
বা, \(4x^2 + 24x + 36 – 5x^2 – 16x – 16 = 0\)
বা, \(-x^2 + 8x + 20 = 0\)
বা, \(x^2 – 8x – 20 = 0\)
বা, \(x^2 – 10x + 2x – 20 = 0\)
বা, \(x(x – 10) + 2(x – 10) = 0\)
বা, \((x – 10)(x + 2) = 0\)
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় \((x – 10) = 0\)
বা, \(x = 10\)
অথবা, \((x + 2) = 0\)
বা, \(x = -2\)
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হওয়া অসম্ভব।
∴ \(x = 10\)
অতিভুজের দৈর্ঘ্য = \(2x + 6 = 26\) সেন্টিমিটার
তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = \(2x + 4 = 24\) সেন্টিমিটার
সুতরাং ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেন্টিমিটার, 24 সেন্টিমিটার এবং 26 সেন্টিমিটার।
(ii) যদি দুই অঙ্কের দুটি ধনাত্মক সংখ্যা সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুন করলে গুনফল 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয়। তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, এককের ঘরের অঙ্কটি হল \(x\)।
যেহেতু দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ,
∴ দশকের ঘরের অঙ্কটি হবে = \(2x\)
∴ সংখ্যাটি হবে = \(10(2x) + x = 21x\)
শর্তানুসারে,
\(21x^2 = 189\)বা, \(x^2 = \frac{189}{21}\)
বা, \(x^2 = 9\)
বা, \(x^2 – 9 = 0\)
বা, \(x^2 – 3^2 = 0\)
বা, \((x + 3)(x – 3) = 0\)
দুটি রাশির গুনফল শূন্য।
∴ হয় \(x + 3 = 0\)
বা, \(x = -3\)
অথবা, \(x – 3 = 0\)
বা, \(x = 3\)
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক,
এক্ষেত্রে \(x\) এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না
∴ \(x = 3\)
∴ এককের ঘরের অঙ্কটি হল \(3\)।
(iii) সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে 1 মিটার/সেকেন্ড বেশি। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অনিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌঁছে। অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ড এ কত মিটার হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, অনিকের গতিবেগ \(x\) মিটার/সেকেন্ড।
যেহেতু সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে 1 মিটার/সেকেন্ড বেশি,
∴ সালমার গতিবেগ \((x + 1)\) মিটার/সেকেন্ড
শর্তানুসারে,
\(\frac{180}{x} – \frac{180}{x + 1} = 2\)বা, \(\frac{180(x + 1) – 180x}{x(x + 1)} = 2\)
বা, \(\frac{180x + 180 – 180x}{x(x + 1)} = 2\)
বা, \(\frac{180}{x(x + 1)} = 2\)
বা, \(x(x + 1) = 90\)
বা, \(x^2 + x – 90 = 0\)
বা, \(x^2 + 10x – 9x – 90 = 0\)
বা, \(x(x + 10) – 9(x + 10) = 0\)
বা, \((x + 10)(x – 9) = 0\)
দুটি রাশির গুনফল শূন্য।
∴ হয় \(x + 10 = 0\)
বা, \(x = -10\)
অথবা, \(x – 9 = 0\)
বা, \(x = 9\)
এক্ষেত্রে গতিবেগের মান ঋণাত্মক হতে পারে না
∴ \(x = 9\)
∴ অনিকের গতিবেগ = 9 মিটার/সেকেন্ড।
(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গ ক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মিটার কম প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ঐ বর্গ ক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গ মিটার কম হলে বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) মিটার।
∴ বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল \(x^2\) বর্গমিটার।
∴ আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের দৈর্ঘ্য \((x + 5)\) মিটার এবং প্রস্থ \((x – 3)\) মিটার।
∴ আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল \((x + 5)(x – 3)\) বর্গমিটার।
শর্তানুসারে,
\((x + 5)(x – 3) = 2x^2 – 78\)বা, \(x^2 + 2x – 15 = 2x^2 – 78\)
বা, \(-x^2 + 2x + 63 = 0\)
বা, \(x^2 – 2x – 63 = 0\)
বা, \(x^2 – 9x + 7x – 63 = 0\)
বা, \(x(x – 9) + 7(x – 9) = 0\)
বা, \((x – 9)(x + 7) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য।
∴ হয় \(x – 9 = 0\)
বা, \(x = 9\)
অথবা, \(x + 7 = 0\)
বা, \(x = -7\)
যেহেতু বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারেনা,
∴ \(x = 9\)
অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার।
(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350 লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারা গাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে প্রতি সারিতে সারির সংখ্যার থেকে 24 টি করে বেশি গাছ লাগালে আরও দশটি গাছ অতিরিক্ত থাকে। সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, জমিতে সারির সংখ্যা \(x\) টি।
মোট চারা গাছের সংখ্যা 350 টি।
প্রতি সারিতে সারির সংখ্যা থেকে 24 করে বেশি গাছ লাগালে আরও 10 টি গাছ অতিরিক্ত থাকে।
∴ প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা = \((x + 24)\) টি
শর্তানুসারে,
\(\frac{350 – 10}{x} = x + 24\)বা, \(\frac{340}{x} = x + 24\)
বা, \(x(x + 24) = 340\)
বা, \(x^2 + 24x = 340\)
বা, \(x^2 + 24x – 340 = 0\)
বা, \(x^2 + 34x – 10x – 340 = 0\)
বা, \(x(x + 34) – 10(x + 34) = 0\)
বা, \((x + 34)(x – 10) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য,
∴ হয় \(x + 34 = 0\)
বা, \(x = -34\)
অথবা, \(x – 10 = 0\)
বা, \(x = 10\)
যেহেতু সারির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারেনা,
∴ \(x = 10\)
অর্থাৎ সারির সংখ্যা 10 টি।
(vi) জোসেফ ও কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তল এর চেয়ে 5 মিনিট সময় কম নেয়। 6 ঘণ্টা কাজ করে জোসেফ কুন্তলের চেয়ে 6 টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই একই সময়ে কয়টি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের সময় লাগে \(x\) মিনিট।
∴ জোসেফের সময় লাগে \((x – 5)\) মিনিট।
শর্তানুসারে,
\(\frac{360}{x – 5} – \frac{360}{x} = 6\)বা, \(\frac{360x – 360(x – 5)}{x(x – 5)} = 6\)
বা, \(\frac{360x – 360x + 1800}{x(x – 5)} = 6\)
বা, \(\frac{1800}{x(x – 5)} = 6\)
বা, \(x(x – 5) = 300\)
বা, \(x^2 – 5x – 300 = 0\)
বা, \(x^2 – 20x + 15x – 300 = 0\)
বা, \(x(x – 20) + 15(x – 20) = 0\)
বা, \((x – 20)(x + 15) = 0\)
দুটি রাশির গুনফল শূন্য,
∴ হয় \(x – 20 = 0\)
বা, \(x = 20\)
অথবা, \(x + 15 = 0\)
বা, \(x = -15\)
যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না,
∴ \(x = 20\)
সুতরাং 1 টি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের সময় লাগে 20 মিনিট।
∴ কুন্তল 6 ঘণ্টা অর্থাৎ 360 মিনিটে তৈরি করে \(\frac{360}{20} = 18\) টি জিনিস।
উত্তর – কুন্তল 6 ঘণ্টায় 18 টি জিনিস তৈরি করে।
(vii) স্থির জলে একটি নৌকার গতিবেগ 8 কিমি প্রতি ঘন্টা। নৌকাটি 5 ঘণ্টায় স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি গেলে স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, স্রোতের গতিবেগ \(x\) কিমি/ঘন্টা।
স্থির জলে নৌকার গতিবেগ 8 কিমি/ঘন্টা।
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার গতিবেগ \((8 + x)\) কিমি/ঘণ্টা।
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতিবেগ \((8 – x)\) কিমি/ঘণ্টা।
শর্তানুসারে,
\(\frac{15}{8 + x} + \frac{22}{8 – x} = 5\)বা, \(\frac{15(8 – x) + 22(8 + x)}{(8 + x)(8 – x)} = 5\)
বা, \(\frac{120 – 15x + 176 + 22x}{64 – x^2} = 5\)
বা, \(\frac{296 + 7x}{64 – x^2} = 5\)
বা, \(296 + 7x = 5(64 – x^2)\)
বা, \(296 + 7x = 320 – 5x^2\)
বা, \(5x^2 + 7x – 24 = 0\)
বা, \(5x^2 + 15x – 8x – 24 = 0\)
বা, \(5x(x + 3) – 8(x + 3) = 0\)
বা, \((x + 3)(5x – 8) = 0\)
দুটি রাশির গুনফল শূন্য,
∴ হয় \(x + 3 = 0\)
বা, \(x = -3\)
অথবা, \(5x – 8 = 0\)
বা, \(x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}\)
গতিবেগ এক্ষেত্রে ঋণাত্মক হতে পারে না,
∴ \(x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}\)
অর্থাৎ স্রোতের বেগ = \(1\frac{3}{5}\) কিমি/ঘণ্টা।
(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘন্টায় 15 কিমি বেশি বেগে যায়। একই সঙ্গে একটি স্টেশন থেকে ছেড়ে 180 কিমি দূরে অন্য একটি স্টেশনে সুপারফাস্ট ট্রেনটি 1 ঘন্টা আগে পৌঁছালো। সুপারফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, সুপারফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ \(x\) কিমি/ঘণ্টা।
∴ এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ \((x – 15)\) কিমি/ঘণ্টা।
শর্তানুসারে,
\(\frac{180}{x – 15} – \frac{180}{x} = 1\)বা, \(\frac{180x – 180(x – 15)}{x(x – 15)} = 1\)
বা, \(\frac{180x – 180x + 2700}{x(x – 15)} = 1\)
বা, \(\frac{2700}{x(x – 15)} = 1\)
বা, \(x(x – 15) = 2700\)
বা, \(x^2 – 15x = 2700\)
বা, \(x^2 – 15x – 2700 = 0\)
বা, \(x^2 – 60x + 45x – 2700 = 0\)
বা, \(x(x – 60) + 45(x – 60) = 0\)
বা, \((x – 60)(x + 45) = 0\)
দুটি রাশির গুনফল শূন্য,
∴ হয় \(x – 60 = 0\)
বা, \(x = 60\)
অথবা, \(x + 45 = 0\)
বা, \(x = -45\)
এক্ষেত্রে গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না,
∴ \(x = 60\)
সুতরাং সুপারফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় 60 কিমি।
(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল প্রতি কিগ্রা মাছের যা দাম, ডালের দাম তা থেকে প্রতি কিগ্রা 20 টাকা কম এবং চালের দাম প্রতি কেজি 40 টাকা কম। রেহানা 240 টাকার মাছ ও 240 টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমান মাছ ও ডাল পেল তা 280 টাকায় চাল কেনার পরিমানের সমান। রেহানা প্রতি কিগ্রা মাছ কি দামে কিনেছিল হিসাব করি।
সমাধান –
ধরি, প্রতি কিগ্রা মাছের দাম \(x\) টাকা।
অর্থাৎ, 1 টাকায় পাওয়া যায় \(\frac{1}{x}\) কিগ্রা মাছ।
240 টাকায় পাওয়া যায় \(\frac{240}{x}\) কিগ্রা মাছ।
আবার, প্রতি কিগ্রা ডালের দাম \((x – 20)\) টাকা।
অর্থাৎ, 1 টাকায় পাওয়া যায় \(\frac{1}{x – 20}\) কিগ্রা ডাল।
240 টাকায় পাওয়া যায় \(\frac{240}{x – 20}\) কিগ্রা ডাল।
এবং প্রতি কিগ্রা চালের দাম \((x – 40)\) টাকা।
অর্থাৎ, 1 টাকায় পাওয়া যায় \(\frac{1}{x – 40}\) কিগ্রা চাল।
280 টাকায় পাওয়া যায় \(\frac{280}{x – 40}\) কিগ্রা চাল।
শর্তানুসারে,
\(\frac{240}{x} + \frac{240}{x – 20} = \frac{280}{x – 40}\)বা, \(\frac{240(x – 20) + 240x}{x(x – 20)} = \frac{280}{x – 40}\)
বা, \(\frac{240x – 4800 + 240x}{x(x – 20)} = \frac{280}{x – 40}\)
বা, \(\frac{480x – 4800}{x(x – 20)} = \frac{280}{x – 40}\)
বা, \(\frac{480(x – 10)}{x(x – 20)} = \frac{280}{x – 40}\)
বা, \(480(x – 10)(x – 40) = 280x(x – 20)\)
বা, \(12(x – 10)(x – 40) = 7x(x – 20)\)
বা, \(12(x^2 – 50x + 400) = 7x^2 – 140x\)
বা, \(12x^2 – 600x + 4800 = 7x^2 – 140x\)
বা, \(5x^2 – 460x + 4800 = 0\)
বা, \(x^2 – 92x + 960 = 0\)
বা, \(x^2 – 80x – 12x + 960 = 0\)
বা, \(x(x – 80) – 12(x – 80) = 0\)
বা, \((x – 80)(x – 12) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য,
∴ হয় \(x – 80 = 0\)
বা, \(x = 80\)
অথবা, \(x – 12 = 0\)
বা, \(x = 12\)
কিন্তু এক্ষেত্রে \(x\) এর মান 12 হতে পারে না, অর্থাৎ প্রতি কিগ্রা মাছের দাম 12 টাকা হতে পারে না।
সুতরাং \(x = 80\)
∴ প্রতি কিগ্রা মাছের দাম 80 টাকা।
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের প্রথম অধ্যায়, ‘একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ’ -এর ‘কষে দেখি – 1.4’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন