মাধ্যমিক গণিত – একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ – কষে দেখি – 1.5

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের প্রথম অধ্যায়, ‘একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ’ -এর ‘কষে দেখি – 1.5’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।

1. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি

(i) \(2x^2 + 7x + 3 = 0\)

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

\(a = 2\), \(b = 7\) এবং \(c = 3\)

∴ নিরূপক = \(b^2 – 4ac\)

= \((7)^2 – 4(2)(3)\)

= \(49 – 24\)

= \(25 > 0\)

∴ সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান।

(ii) \(3x^2 – 2\sqrt{6}x + 2 = 0\)

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

\(a = 3\), \(b = -2\sqrt{6}\), \(c = 2\)

∴ নিরূপক = \(b^2 – 4ac\)

= \((-2\sqrt{6})^2 – 4(3)(2)\)

= \(24 – 24\)

= \(0\)

∴ সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।

(iii) \(2x^2 – 7x + 9 = 0\)

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

\(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 9\)

∴ নিরূপক = \(b^2 – 4ac\)

= \((-7)^2 – 4(2)(9)\)

= \(49 – 72\)

= \( -23 < 0\)

∴ সমীকরণটির বীজদ্বয় কাল্পনিক।

(iv) \(\frac{2}{5}x^2 – \frac{2}{3}x + 1 = 0\)

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

\(a = \frac{2}{5}\), \(b = -\frac{2}{3}\) এবং \(c = 1\)

∴ নিরূপক = \(b^2 – 4ac\)

= \(\left(-\frac{2}{3}\right)^2 – 4 \times \frac{2}{5} \times 1\)

= \(\frac{4}{9} – \frac{8}{5}\)

= \(\frac{20 – 72}{45} = -\frac{52}{45} < 0\)

∴ সমীকরণটির বীজদ্বয় কাল্পনিক।

2. k এরকোন মান বা মানগুলির জন্য নিচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি।

(i) \(49x^2 + kx + 1 = 0\)

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণ টিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,

\(a = 49\), \(b = k\), \(c = 1\)

যেহেতু সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান

∴ \(b^2 – 4ac = 0\)

বা, \(k^2 – 4(49)(1) = 0\)

বা, \(k^2 – 196 = 0\)

বা, \(k^2 = 196\)

বা, \(k = \pm \sqrt{196}\)

বা, \(k = \pm 14\)

∴ \(k\) এর মান \(\pm 14\)।

(ii) \(3x^2 – 5x + 2k = 0\)

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণ টিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,

\(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 2k\)

যেহেতু সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান

∴ \(b^2 – 4ac = 0\)

বা, \((-5)^2 – 4(3)(2k) = 0\)

বা, \(25 – 24k = 0\)

বা, \(24k = 25\)

বা, \(k = \frac{25}{24}\)

∴ \(k\) এর মান \(\frac{25}{24}\)

(iii) \(9x^2 – 24x + k = 0\)

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণ টিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,

\(a = 9\), \(b = -24\), \(c = k\)

যেহেতু সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

∴ \(b^2 – 4ac = 0\)

বা, \((-24)^2 – 4(9)(k) = 0\)

বা, \(576 – 36k = 0\)

বা, \(36k = 576\)

বা, \(k = \frac{576}{36}\)

বা, \(k = 16\)

∴ \(k\) এর মান \(16\)।

(iv) \(2x^2 + 3x + k = 0\)

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,

\(a = 2\), \(b = 3\), \(c = k\)

যেহেতু সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

∴ \(b^2 – 4ac = 0\)

বা, \(3^2 – 4(2)(k) = 0\)

বা, \(9 – 8k = 0\)

বা, \(8k = 9\)

বা, \(k = \frac{9}{8}\)

∴ \(k\) এর মান \(\frac{9}{8}\)

(v) \(x^2 – 2(5+2k)x + 3(7+10k) = 0\)

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,

\(a = 1\), \(b = -2(5+2k)\), \(c = 3(7+10k)\)

যেহেতু সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

∴ \(b^2 – 4ac = 0\)

বা, \([-2(5+2k)]^2 – 4(1)[3(7+10k)] = 0\)

বা, \(4(5+2k)^2 – 12(7+10k) = 0\)

বা, \(4[(5+2k)^2 – 3(7+10k)] = 0\)

বা, \((5+2k)^2 – 3(7+10k) = 0\)

বা, \(25 + 20k + 4k^2 – 21 – 30k = 0\)

বা, \(4k^2 – 10k + 4 = 0\)

বা, \(2k^2 – 5k + 2 = 0\)

বা, \(2k^2 – 4k – k + 2 = 0\)

বা, \(2k(k-2) – 1(k-2) = 0\)

বা, \((k-2)(2k-1) = 0\)

দুটি রাশির গুনফল শূন্য ,

হয় \(k-2 = 0\)

বা, \(k = 2\)

অথবা, \(2k-1 = 0\)

বা, \(k = \frac{1}{2}\)

∴ \(k\) এর মান \(2\) এবং \(\frac{1}{2}\)।

(vi) \((3k+1)x^2 + 2(k+1)x + k = 0\)

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,

\(a = (3k+1)\), \(b = 2(k+1)\), \(c = k\)

যেহেতু, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,

∴ নিরূপক \(= 0\)

বা, \(b^2 – 4ac = 0\)

বা, \([2(k+1)]^2 – 4(3k+1)(k) = 0\)

বা, \(4(k+1)^2 – 4(3k^2 + k) = 0\)

বা, \(4(k^2 + 2k + 1) – 12k^2 – 4k = 0\)

বা, \(4k^2 + 8k + 4 – 12k^2 – 4k = 0\)

বা, \(-8k^2 + 4k + 4 = 0\)

বা, \(2k^2 – k – 1 = 0\)

বা, \(2k^2 – 2k + k – 1 = 0\)

বা, \(2k(k-1) + 1(k-1) = 0\)

বা, \((k-1)(2k+1) = 0\)

দুটি রাশির গুনফল শূন্য,

∴ \(k-1 = 0\)

বা, \(k = 1\)

অথবা, \(2k+1 = 0\)

বা, \(k = -\frac{1}{2}\)

∴ \(k\) এর মান \(1\) এবং \(-\frac{1}{2}\)

3. নিচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :-

(i) 4, 2

সমাধান –

কোনও দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ প্রদত্ত থাকলে সমীকরণ টি হবে – \(x^2\) – (বীজদ্বয়ের যোগফল)\(x\) + বীজদ্বয়ের গুনফল = \(0\)

∴এক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

\(x^2 – (4 + 2)x + 4 \times 2 = 0\)

বা, \(x^2 – 6x + 8 = 0\)

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল \(x^2 – 6x + 8 = 0\)।

(ii) -4, -3

সমাধান –

কোনও দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ প্রদত্ত থাকলে সমীকরণ টি হবে – \(x^2\) – (বীজদ্বয়ের যোগফল)\(x\) + বীজদ্বয়ের গুনফল = \(0\)

∴এক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে –

\(x^2 – (-4 + (-3))x + (-4)(-3) = 0\)

বা, \(x^2 + 7x + 12 = 0\)

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল \(x^2 + 7x + 12 = 0\)।

(iii) -4, 3

সমাধান –

কোনও দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ প্রদত্ত থাকলে সমীকরণ টি হবে – \(x^2\) – (বীজদ্বয়ের যোগফল)\(x\) + বীজদ্বয়ের গুনফল = \(0\)

∴এক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে –

\(x^2 – (-4 + 3)x + (-4)(3) = 0\)

বা, \(x^2 + x – 12 = 0\)

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল \(x^2 + x – 12 = 0\)।

(iv) 5, -3

সমাধান –

কোনও দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ প্রদত্ত থাকলে সমীকরণ টি হবে – \(x^2\) – (বীজদ্বয়ের যোগফল)\(x\) + বীজদ্বয়ের গুনফল = \(0\)

∴এক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে –

\(x^2 – (5 + (-3))x + 5 \times (-3) = 0\)

বা, \(x^2 – 2x – 15 = 0\)

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে \(x^2 – 2x – 15 = 0\)。

4. m এর মান কত হলে, 4x² + 4(3m – 1)x + (m + 7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে?

সমাধান –

ধরি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় \(a\) এবং \(\frac{1}{a}\)।

বীজদ্বয়ের গুনফল = (ধ্রুবক পদ)/ (x² এর সহগ)

∴ \(a \times \frac{1}{a} = \frac{m + 7}{4}\)

বা, \(1 = \frac{m + 7}{4}\)

বা, \(m + 7 = 4\)

বা, \(m = 4 – 7\)

বা, \(m = -3\)

∴ \(m\) এর মান -3 হলে প্রদত্ত সমীকরণটির বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হবে।

5. (b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমান করি যে 2b = a + c।

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(Ax^2 + Bx + C = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

\(A = b – c\), \(B = c – a\), \(C = a – b\)

যেহেতু সমীকরণটির বীজদ্বয় সমান,

∴ নিরূপক = \(B^2 – 4AC = 0\)

বা, \((c – a)^2 – 4(b – c)(a – b) = 0\)

বা, \(c^2 – 2ca + a^2 – 4ab + 4ac + 4b^2 – 4bc = 0\)

বা, \(a^2 + 4b^2 + c^2 – 4ab – 4bc + 2ac = 0\)

বা, \((a – 2b + c)^2 = 0\)

বা, \(a – 2b + c = 0\)

বা, \(a + c = 2b\)

∴ \(2b = a + c\) [প্রমানিত]

6. (a² + b²)x² – 2(ac + bd)x + (c² + d²) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমান করি যে \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)।

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(Ax^2 + Bx + C = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

\(A = a^2 + b^2\)\(B = -2(ac + bd)\)\(C = c^2 + d^2\)

যেহেতু সমীকরণের বীজদ্বয় সমান,

∴ নিরূপক = \(B^2 – 4AC = 0\)

বা, \([-2(ac + bd)]^2 – 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0 \)

বা, \(4(ac + bd)^2 – 4(a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2) = 0\)

বা, \(4(a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 – a^2c^2 – b^2c^2 – a^2d^2 – b^2d^2) = 0\)

বা, \((bc – ad)^2 = 0\)

বা, \(bc – ad = 0\)

বা, \(bc = ad\)

বা, \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

∴ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) [প্রমানিত]

7. প্রমান করো যে \((a^2 + b^2)x^2 + 2(a + b)x + 1 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনও বাস্তব বীজ থাকবে না যদি \(a \neq b\) হয়।

সমাধান –

প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(Ax^2 + Bx + C = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

\(A = a^2 + b^2\)

\(B = 2(a + b)\)

\(C = 1\)

এখন নিরূপক = \(B^2 – 4AC\)

= \([2(a + b)]^2 – 4(a^2 + b^2) \times 1\)

= \(4(a + b)^2 – 4(a^2 + b^2)\)

= \(4(a^2 + 2ab + b^2) – 4(a^2 + b^2)\)

= \(4a^2 + 8ab + 4b^2 – 4a^2 – 4b^2\)

= \(8ab\)

= \(8ab\)

এখন, যদি \(a \neq b\), তাহলে নিরূপকের মান ঋণাত্মক হতে পারে। সুতরাং, সমীকরণটির বীজগুলি কাল্পনিক হবে।

সুতরাং, \(a \neq b\) হলে দ্বিঘাত সমীকরণটির কোনও বাস্তব বীজ থাকবে না [প্রমানিত]।

8.5x² +2x -3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α এবং β হলে ,

সমাধান –

5x² +2x -3=0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β।

∴\( \alpha + \beta = -\frac{2}{5} \) —(i)

এবং \( \alpha \beta = -\frac{3}{5} \) —(ii)

(i) \( \alpha^2 + \beta^2 \)

সমাধান –

\( \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2\alpha \beta \)

\( = \left(-\frac{2}{5}\right)^2 – 2 \times \left(-\frac{3}{5}\right) \)

\( = \frac{4}{25} + \frac{6}{5} = \frac{34}{25} \)

(ii)\( \alpha^3 + \beta^3 \)

সমাধান –

\( \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 – 3\alpha \beta (\alpha + \beta) \)

\( = \left(-\frac{2}{5}\right)^3 – 3 \times \left(-\frac{3}{5}\right) \times \left(-\frac{2}{5}\right) \)

\( = -\frac{8}{125} – \frac{18}{25} = -\frac{98}{125} \)

(iii)\( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \)

সমাধান –

\( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \)

\( = \frac{-2/5}{-3/5} \)

\( = \frac{-2}{5} \div \frac{-3}{5} \)

\( = \frac{-2}{5} \times \frac{5}{-3} \)

\( = \frac{10}{15} \)

\( = \frac{2}{3} \)

(iv)\( \frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} \)

সমাধান –

\( \frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha \beta} \)

\( = \frac{-98/125}{-3/5} \)

\( = \frac{-98}{125} \div \frac{-3}{5} \)

\( = \frac{-98}{125} \times \frac{5}{-3} \)

\( = \frac{98 \times 5}{125 \times 3} \)

\( = \frac{490}{375} \)

\( = \frac{98}{75} \)

9. ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে 2b² = 9ac।

সমাধান –

ধরি, প্রদত্ত সমীকরণটির একটি বীজ \(\alpha\)।

∴ অন্য বীজটি হবে \(2\alpha\)।

বীজদ্বয়ের যোগফল = \(\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{b}{a}\)

বা, \(\alpha = -\frac{b}{3a}\)

বীজদ্বয়ের গুনফল = \(\alpha \times 2\alpha = 2\alpha^2 = \frac{c}{a}\)

বা, \(2\left(-\frac{b}{3a}\right)^2 = \frac{c}{a}\)

বা, \(2\left(\frac{b^2}{9a^2}\right) = \frac{c}{a}\)

বা, \(\frac{2b^2}{9a^2} = \frac{c}{a}\)

বা, \(2b^2 = 9a^2 \times \frac{c}{a}\)

বা, \(2b^2 = 9ac\) [প্রমানিত]

10. যে সমীকরণের বীজগুলি x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।

সমাধান –

ধরি, প্রদত্ত সমীকরণের দুটি বীজ \(a\) ও \(b\)।

∴ \(a + b = -p\) [যেহেতু, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল = -{(x-এর সহগ)/x² এর সহগ} ]

এবং \(ab = 1\) [যেহেতু, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ /x² এর সহগ ]

নতুন সমীকরণের বীজদ্বয় হল \(\frac{1}{a}\) এবং \(\frac{1}{b}\)।

নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল = \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = \frac{-p}{1} = -p\)

নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = \(\frac{1}{a} \times \frac{1}{b} = \frac{1}{ab} = 1\)

∴ নির্ণেয় সমীকরণটি হল

\(x^2 – \) (বীজদ্বয়ের যোগফল)\(x\) + বীজদ্বয়ের গুনফল = \(0\)

বা, \(x^2 – (-p)x + 1 = 0\)

বা, \(x^2 + px + 1 = 0\)

এই সমীকরণটি হল নির্ণেয় সমীকরণ যার বীজদ্বয়, প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয়ের অন্যোন্যক।

11. x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় কর।

সমাধান –

ধরি, x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলি হল \(a\) এবং \(b\)। আমাদের যে সমীকরণটি নির্ণয় করতে হবে তার বীজগুলি প্রদত্ত সমীকরণের বীজগুলির বর্গ হবে, অর্থাৎ \(a^2\) এবং \(b^2\) বীজ বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।

x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলি হল \(a\) এবং \(b\)।

∴ \(a + b = -1\) এবং \(ab = 1\)

এখন, \(a^2 + b^2\)

\( = (a + b)^2 – 2ab \)

\( = (-1)^2 – 2 \times 1 \) [∵ \(a + b = -1\) এবং \(ab = 1\)]

\( = 1 – 2 \)

\( = -1 \)

এবং \(a^2 b^2 = (ab)^2 = 1^2 = 1\) [∵ \(ab = 1\)]

নির্ণেয় সমীকরণটি হল,

\(x^2 – (a^2 + b^2)x + a^2 b^2 = 0\)

\( = x^2 – (-1)x + 1 = 0\)

\( = x^2 + x + 1 = 0\)

∴ \(x^2 + x + 1 = 0\) – এই সমীকরণটি হল সেই সমীকরণ যার বীজগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজগুলির বর্গ।

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)

(A) বহুবিকল্পী প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) \(x^2 – 6x + 2 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমস্টি

(a) 2
(b) -2
(c) 6
(d) -6

উত্তর – (c) 6

সমাধান – \(x^2 – 6x + 2 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমস্টি = x এর সহগ)/ (x² এর সহগ) =\(\frac{-(-6)}{1} = 6\)

(ii) \(x^2 – 3x + k = 10\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল -2 হলে, k এর মান

(a) -2
(b) -8
(c) 8
(d) 12

উত্তর – (c) 8

সমাধান –

\(x^2 – 3x + k = 10\)

বা, \(x^2 – 3x + (k – 10) = 0\)

∴ \((k – 10) = -2\) [যেহেতু প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল -2 প্রদত্ত]

বা, \(k = 10 – 2\)

বা, \(k = 8\)

(iii) \(ax^2 + bx + c = 0\) (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান হলে, \(b^2 – 4ac\) হবে,

(a) > 0
(b) = 0
(c) < 0
(d) কোনোটিই নয়

উত্তর – (a) > 0

(iv) \(ax^2 + bx + c = 0\) (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে,

(a) \(c = -\frac{b}{2a}\)
(b) \(c = \frac{b}{2a}\)
(c) \(c = -\frac{b^2}{4a}\)
(d) \(c = \frac{b^2}{4a}\)

উত্তর – (d) \(c = \frac{b^2}{4a}\)

সমাধান – \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, নিরূপক শূন্য, অর্থাৎ,

\(b^2 – 4ac = 0\)

বা, \(b^2 = 4ac\)

বা, \(c = \frac{b^2}{4a}\)

(v) \(3x^2 + 8x + 2 = 0\) সমীকরণের বীজ দুজন \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, \(\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right)\) এর মান কত?

সমাধান –

\(3x^2 + 8x + 2 = 0\) সমীকরণের বীজ দুজন \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে,

\(\alpha + \beta = -\frac{8}{3} \quad \text{—(i)}\) [যেহেতু, বীজদ্বয়ের যোগফল = – (x এর সহগ)/(x² এর সহগ)]

এবং \(\alpha \times \beta = \frac{2}{3} \quad \text{—(ii)}\) [যেহেতু, বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ / x² এর সহগ ]

∴ \(\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right) = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta}\)

\( = \frac{-\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}\)

\( = \frac{-8}{3} \div \frac{2}{3}\)

\( = \frac{-8}{3} \times \frac{3}{2}\)

\( = -4\)

উত্তর – (c) -4

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি

(i) x²+x+1 সমীকরণের বীজগুলি বাস্তব।

উত্তর – বিবৃতিটি মিথ্যা।

সমাধান –

\(x^2 + x + 1 = 0\) সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, \(a = 1\), \(b = 1\) এবং \(c = 1\)

নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (1)^2 – 4(1)(1) = 1 – 4 = -3 < 0\)

সুতরাং প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজগুলি কাল্পনিক।

∴ বিবৃতিটি মিথ্যা

(ii) x²-x+2=0 সমীকরণের বীজগুলি বাস্তব নয়।

উত্তর – বিবৃতিটি সত্য।

সমাধান –

\(x^2 – x + 2 = 0\) সমীকরণটিকে \(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, \(a = 1\), \(b = -1\) এবং \(c = 2\)

নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (-1)^2 – 4(1)(2) = 1 – 8 = -7 < 0\)

সুতরাং প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজগুলি কাল্পনিক।

∴ বিবৃতিটি সত্য

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি

(i) 7x² – 12x + 18 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফলের অনুপাত ______।

উত্তর – 2:3

সমাধান – প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি হল \(7x^2 – 12x + 18 = 0\)

বীজদ্বয়ের সমষ্টি = \(-\frac{\text{ও x এর সহগ}}{\text{x}^2 \text{এর সহগ}} = -\left(\frac{-12}{7}\right) = \frac{12}{7}\)

বীজদ্বয়ের গুনফল = \(\frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{\text{x}^2 \text{এর সহগ}} = \frac{18}{7}\)

সমষ্টি ও গুনফলের অনুপাত = \(\frac{12/7}{18/7} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} = 2:3\)

(ii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, C = ______।

উত্তর – a

সমাধান –

ধরি, সমীকরণের একটি বীজ \(\alpha\), অপর বীজ \(\frac{1}{\alpha}\)

বীজদ্বয়ের গুনফল = \(\alpha \times \frac{1}{\alpha} = 1 = \frac{c}{a}\)

∴ \(c = a\)

(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে, a + c = ______।

উত্তর – 0

সমাধান –

ধরি, সমীকরণের একটি বীজ \(\alpha\), অপর বীজ \(-\frac{1}{\alpha}\)

বীজদ্বয়ের গুনফল = \(\alpha \times -\frac{1}{\alpha} = -1 = \frac{c}{a}\)

∴ \(c = -a\)

∴ \(a + c = a – a = 0\)

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুনফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।

সমাধান – দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুনফল 24

দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

\(x^2\) – (বীজদ্বয়ের যোগফল)\(x\) + বীজদ্বয়ের গুনফল = 0

বা, \(x^2 – 14x + 24 = 0\)

∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল \(x^2 – 14x + 24 = 0\)

(ii) \(kx^2 + 2x + 3k = 0\) (k ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফল সমান হলে, k এর মান লিখি।

সমাধান – \(kx^2 + 2x + 3k = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি = \(-\frac{\text{ x এর সহগ}}{\text{x}^2 \text{এর সহগ}} = -\frac{2}{k}\)

\(kx^2 + 2x + 3k = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ / \({x}^2\) এর সহগ = \(\frac{3k}{k} = 3\)

\(kx^2 + 2x + 3k = 0\) (k ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফল সমান

∴ \(-\frac{2}{k} = 3\)

বা, \(3k = -2\)

বা, \(k = -\frac{2}{3}\)

(iii) \(x^2 – 22x + 105 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, \((\alpha – \beta)\) এর মান লিখি।

সমাধান – \(x^2 – 22x + 105 = 0\) সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)

\(\alpha + \beta = 22\) [বীজদ্বয়ের যোগফল = – (x এর সহগ)/ (x² এর সহগ)]

\(\alpha \beta = 105\) [বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ / x² এর সহগ]

\((\alpha – \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 – 4\alpha\beta\)\( = 22^2 – 4 \times 105\)\( = 484 – 420\)\( = 64\)

∴ \( \alpha – \beta = \pm 8\)

(iv) \( x^2 – x = k(2x – 1) \) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k এর মান লিখি।

সমাধান – প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি হল –

\(x^2 – x = k(2x – 1)\)

বা, \(x^2 – x – 2kx + k = 0\)

বা, \(x^2 – (1 + 2k)x + k = 0\)

\(x^2 – (1 + 2k)x + k = 0\), এই সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি

= – (\(x \) এর সহগ)/ \(x^2 \) এর সহগ

= \(-( -(1 + 2k))/1 = (1 + 2k)\)

শর্তানুসারে,

\(1 + 2k = 0\)

বা, \(2k = -1\)

বা, \(k = -\frac{1}{2}\)

(v) \(x^2 + bx + 12 = 0\) এবং \(x^2 + bx + q = 0\) সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান – যেহেতু \(x^2 + bx + 12 = 0\) সমীকরণের একটি বীজ 2

∴ 2, সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে

\(2^2 + 2b + 12 = 0\)

বা, \(4 + 2b + 12 = 0\)

বা, \(2b + 16 = 0\)

বা, \(b = -8\) —(i)

আবার, \(x^2 + bx + q = 0\) সমীকরণটির একটি বীজ 2

∴ 2, \(x^2 + bx + q = 0\) সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে

\(2^2 + 2b + q = 0\)

বা, \(4 + 2b + q = 0\)

বা, \(4 + 2(-8) + q = 0\) [(i) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত b এর মান বসিয়ে পাই]

বা, \(4 – 16 + q = 0\)

বা, \(q – 12 = 0\)

বা, \(q = 12\)

---

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের প্রথম অধ্যায়, ‘একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ’ -এর ‘কষে দেখি – 1.5’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।

আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।