এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের নবম অধ্যায়, ‘দ্বিঘাত করণী’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
প্রয়োগ 1. \(\sqrt8\) ও \(\sqrt{\frac{25}2}\) কি সদৃশ করণী? হিসাব করে দেখি?
সমাধান –
\(\sqrt8=\sqrt{2\times2\times2}=2\sqrt2\)এবং \(\sqrt{\frac{25}2}=\sqrt{\frac{25\times2}{2\times2}}=\frac{\sqrt{25}\times\sqrt2}{\sqrt4}=\frac52\sqrt2\)
∴ \(\sqrt8\) ও \(\sqrt{\frac{25}2}\) সদৃশ করণী।
প্রয়োগ 2. \(\sqrt{12}\) ও \(\sqrt{28}\) সদৃশ করণী কিনা হিসাব করি।
সমাধান –
\(\sqrt{12}=\sqrt{2\times2\times3}=2\sqrt3\)এবং \(\sqrt{28}=\sqrt{2\times2\times7}=2\sqrt7\)
∴ \(\sqrt{12}\) ও \(\sqrt{28}\) শুদ্ধ করণীদ্বয় একই করণীর মূলদ গুণিতক নয়।
অসদৃশ করণী কী?
যে সকল শূদ্ধ দ্বিঘাত করণী সদৃশ করণী নয় তারা অসদৃশ করণী।
যেমন – \(\sqrt{12}\) ও \(\sqrt{28}\) অসদৃশ করণী।
অর্থাৎ যদি m এবং n দুটি এমন পরস্পর মৌলিক সংখ্যা [অর্থাৎ m ও n -এর গ.সা.গু 1] হয় যারা পূর্ণবর্গ নয়, তাহলে \(\sqrt m\) এবং \(\sqrt n\) অসদৃশ করণী হবে।
প্রয়োগ 3. নীচের দ্বিঘাত করণীগুলির মধ্যে সদৃশ করণীগুলি একটি ঘরে লিখি \(\sqrt{45},\sqrt{80},\sqrt{147},\sqrt{180}\) ও \(\sqrt{500}\)
সমাধান –
- \(\sqrt{45}=\sqrt{3\times3\times5}=3\sqrt5\)
- \(\sqrt{80}=\sqrt{4\times4\times5}=4\sqrt5\)
- \(\sqrt{147}=\sqrt{7\times7\times3}=7\sqrt3\)
- \(\sqrt{180}=\sqrt{6\times6\times5}=6\sqrt5\)
- \(\sqrt{500}=\sqrt{10\times10\times5}=10\sqrt5\)
∴ সদৃশ করণীগুলি হলো \(\sqrt{45},\sqrt{80},\sqrt{180}\) ও \(\sqrt{500}\)
প্রয়োগ 4. \(\sqrt{48},\sqrt{27},\sqrt{20}\) ও \(\sqrt{75}\) দ্বিঘাত করণীগুলির মধ্যে সদৃশ করণীগুলি লিখি।
সমাধান –
- \(\sqrt{48}=\sqrt{2\times2\times2\times2\times3}=4\sqrt3\)
- \(\sqrt{27}=\sqrt{3\times3\times3}=3\sqrt3\)
- \(\sqrt{20}=\sqrt{2\times2\times5}=2\sqrt5\)
- \(\sqrt{75}=\sqrt{5\times5\times3}=5\sqrt3\)
∴ \(\sqrt{48}\) ও \(\sqrt{27}\) সদৃশকরণী।
প্রয়োগ 5. \(\left(\sqrt{50}+\sqrt{18}\right)\) ও \(\left(\sqrt{50}-\sqrt{18}\right)\) এদের শুদ্ধ দ্বিঘাত করণীতে পরিণত করা যাবে কিনা দেখি।
সমাধান –
\(\sqrt{50}=\sqrt{5\times5\times2}=5\sqrt2\) এবং \(\sqrt{18}=\sqrt{3\times3\times2}=3\sqrt2\)
∴ \(\sqrt{50}\) ও \(\sqrt{18}\) সদৃশ করণী।
যেহেতু, 5x + 3x = 8x এবং 5x – 3x = 2x
∴ \(\sqrt{50}+\sqrt{18}=5\sqrt2+3\sqrt2=8\sqrt2\)
\(\sqrt{50}-\sqrt{18}=5\sqrt2-3\sqrt2=2\sqrt2\)∴ \(\left(\sqrt{50}+\sqrt{18}\right)\) এবং \(\left(\sqrt{50}-\sqrt{18}\right)\) -এদের শুদ্ধ করণীতে পরিণত করা যাচ্ছে।
প্রয়োগ 6. \(\left(\sqrt2+\sqrt8\right)\) এবং \(\left(\sqrt2-\sqrt8\right)\) -এর মান হিসাব করে লিখি এবং দেখি তাদের শুদ্ধ করণীতে পরিণত করা যায় কিনা।
সমাধান –
∴ \(\sqrt2+\sqrt8=\sqrt2+\sqrt{2\times2\times2}\)
= \(\sqrt2+2\sqrt2\)
= \(3\sqrt2\)
এবং \(\sqrt2-\sqrt8=\sqrt2+\sqrt{2\times2\times2}\)
= \(\sqrt2-2\sqrt2\)
= \(-\sqrt2\)
∴ \(\left(\sqrt2-\sqrt8\right)\) শুদ্ধ করণী।
প্রয়োগ 7. \(\left(\sqrt{12}+\sqrt{45}\right)\) এবং \(\left(\sqrt{12}-\sqrt{45}\right)\) এদের মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(\sqrt{12}=\sqrt{2\times2\times3}=2\sqrt3\)এবং \(\sqrt{45}=\sqrt{3\times3\times5}=3\sqrt5\)
\(\sqrt{12}\) ও \(\sqrt{45}\) অসদৃশ করণী।
যেহেতু, 2x ও 3y -এর যোগফল = 2x + 3y
∴ \(\sqrt{12}+\sqrt{45}=2\sqrt3+3\sqrt5\)
একইভাবে, \(\sqrt{12}-\sqrt{45}=2\sqrt3-3\sqrt5\)
∴ \(\left(\sqrt{12}+\sqrt{45}\right)\) এবং \(\left(\sqrt{12}-\sqrt{45}\right)\) অমূলদ সংখ্যা, কিন্তু তাদের শুদ্ধ করণীর আকারে লেখা যাচ্ছে না।
প্রয়োগ 8. \(2\sqrt3,3\sqrt3\) ও \(4\sqrt3\) -এর যোগফল নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(2\sqrt3,3\sqrt2\) ও \(4\sqrt3\) -এর যোগফল
= \(2\sqrt3+3\sqrt2+4\sqrt3\)
= \(6\sqrt3+3\sqrt2\)
∴ \(2\sqrt3,3\sqrt2\) ও \(4\sqrt3\) -এর যোগফল = \(6\sqrt3+3\sqrt2\)
প্রয়োগ 9. \(\sqrt{12},-4\sqrt3\) ও \(6\sqrt3\) -এর সমষ্টি হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(\sqrt{12},-4\sqrt3\) ও \(6\sqrt3\) -এর সমষ্টি
= \(\sqrt{12}+\left(-4\sqrt3\right)+6\sqrt3\)
= \(\sqrt{12}-4\sqrt3+6\sqrt3\)
= \(\sqrt{2\times2\times3}-4\sqrt3+6\sqrt3\)
= \(2\sqrt3-4\sqrt3+6\sqrt3\)
= \(8\sqrt3-4\sqrt3\)
= \(4\sqrt3\)
∴ \(\sqrt{12},-4\sqrt3\) ও \(6\sqrt3\) -এর সমষ্টি = \(4\sqrt3\)
প্রয়োগ 10. দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী \(\left(2+\sqrt3\right)\) ও \(\left(2-2\sqrt3\right)\) -এর সমষ্টি নির্ণয় করি।
সমাধান –
30 ও 2x -এর যোগফল = 30 + 2x এবং (30 + 2x) + (30 – 4x) = 30 + 2x + 30 – 4x = 60 – 2x হয়।
∴ \(\left(2+\sqrt3\right)+\left(2-2\sqrt3\right)\)
= \(2+\sqrt3+2-2\sqrt3\)
= \(4-\sqrt3\)
∴ \(\left(2+\sqrt3\right)\) ও \(\left(2-2\sqrt3\right)\) -এর সমষ্টি = \(4-\sqrt3\)।
প্রয়োগ 11. \((9-2\sqrt{5})+(12+7\sqrt{5})\) = ?
সমাধান –
\((9-2\sqrt{5})+(12+7\sqrt{5})\)= \(9-2\sqrt5+12+7\sqrt5\)
= \(21+5\sqrt5\)
∴ \(\left(9-2\sqrt5\right)+\left(12+7\sqrt5\right)=21+5\sqrt5\)
প্রয়োগ 12. \(\left(2+\sqrt3\right)\) ও \(\left(2-\sqrt3\right)\) -এর সমষ্টি নির্ণয় করি।
সমাধান –
∴ \(\left(2+\sqrt3\right)\) ও \(\left(2-\sqrt3\right)\) -এর সমষ্টি
= \(\left(2+\sqrt3\right)+\left(2-\sqrt3\right)\)
= \(2+\sqrt3+2-\sqrt3\)
= 4
∴ দুটি দ্বিঘাত করণীর সমষ্টি মূলদ সংখ্যা পেলাম।
প্রয়োগ 13. যে-কোনো দুটি দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের সমষ্টি মূলদ সংখ্যা।
সমাধান –
ধরি, যে-কোনো দুটি দ্বিঘাত করণী \(\left(3+\sqrt5\right)\) ও \(\left(3-\sqrt5\right)\)
∴ \(\left(3+\sqrt5\right)\) ও \(\left(3-\sqrt5\right)\) -এর সমষ্টি
= \(\left(3+\sqrt5\right)+\left(3-\sqrt5\right)\)
= \(3+\sqrt5+3-\sqrt5\)
= 6
প্রয়োগ 14. নীচের দ্বিঘাত করণীগুলির গুণফল নির্ণয় করি –
(i) \(2\sqrt{5}\times3\sqrt{2}\)
(ii) \(7\sqrt{3}\times2\sqrt{3}\)
(iii) \(\left(2+\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)\)
(iv) \(\left(5-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)\)
সমাধান –
(i) \(2\sqrt{5}\times3\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{5}\times3\sqrt{2}\)= \(2\times3\times\sqrt{5\times2}\)
= \(6\sqrt{10}\)
(ii) \(7\sqrt{3}\times2\sqrt{3}\)
\(7\sqrt{3}\times2\sqrt{3}\)= \(7\times2\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}\)
= \(14\sqrt{3^{2}}\)
= \(14\left(3^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\)
= \(14\times3^{\left(2\times\frac{1}{2}\right)}\)
= \(14\times3\)
= \(42\) [∵ \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}\), a ≠ 0 এবং m, n মূলদ সংখ্যা]
(iii) \(\left(2+\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)\)
\(\left(2+\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)\)= \(8+4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\)
= \(8+6\sqrt{3}+3\)
= \(11+6\sqrt{3}\) [∵ \((x + y)(a + b) = ax + ay + bx + by\)]
(iv) \(\left(5-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)\)
\(\left(5-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)\)= \(5\times2-2\sqrt{3}-5\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\)
= \(10-2\sqrt{3}-5\sqrt{3}+3\)
= \(13-7\sqrt{3}\)
প্রয়োগ 15. \(\left(2+\sqrt3+\sqrt5\right)\times\left(3-\sqrt5\right)\) -এর গুণফল নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(\left(2+\sqrt3+\sqrt5\right)\times\left(3-\sqrt5\right)\)= \(2\times\left(3-\sqrt5\right)+\sqrt3\times\left(3-\sqrt5\right)+\sqrt5\times\left(3-\sqrt5\right)\)
= \(6-2\sqrt5+3\sqrt3-\sqrt{15}+3\sqrt5-5\)
= \(6-5+\sqrt5+3\sqrt3-\sqrt{15}\)
= \(1+\sqrt5+3\sqrt3-\sqrt{15}\)
প্রয়োগ 16. \(\left(3+\sqrt7-\sqrt5\right)\times\left(2\sqrt2-1\right)\) -এর গুণফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(\left(3+\sqrt7-\sqrt5\right)\times\left(2\sqrt2-1\right)\)= \(3\times\left(2\sqrt2-1\right)+\sqrt7\times\left(2\sqrt2-1\right)-\sqrt5\times\left(2\sqrt2-1\right)\)
= \(6\sqrt2-3+2\sqrt{14}-\sqrt7-2\sqrt{10}+\sqrt5\)
= \(6\sqrt2+2\sqrt{14}-2\sqrt{10}-3-\sqrt7+\sqrt5\)
প্রয়োগ 17. \(\sqrt{13}\div\sqrt5\) -এর ভাগফল কী হবে হিসাব করে দেখি।
সমাধান –
\(\sqrt{13}\div\sqrt5\)= \(\frac{\sqrt{13}}{\sqrt5}\)
= \(\frac{\sqrt{13}\times\sqrt5}{\sqrt5\times\sqrt5}\) [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= \(\frac{\sqrt{65}}5\)
∴ \(\sqrt{13}\div\sqrt5\) -এর ভাগফল = \(\frac{\sqrt{65}}5\)
প্রয়োগ 18. \(\sqrt{7}\)-এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক লেখো।
সমাধান –
\(\sqrt{7}\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক হল \(\sqrt{7}\) এবং \(k\sqrt{7}\) (যেখানে \(k\) একটি মূলদ সংখ্যা)।
প্রয়োগ 19. আমি \((5+\sqrt{7})\)-এর করণী নিরসক উৎপাদক কী পাব দেখি।
সমাধান –
\((5+\sqrt{7}) \times (5-\sqrt{7})\)= \( 5^2 – (\sqrt{7})^2\) \(\quad [\ (a+b)(a-b) = a^2-b^2\ ]\)
= \( 25 – 7\)
= \( 18\)
আবার,
\((5+\sqrt{7}) \times (-5+\sqrt{7})\)= \( (\sqrt{7}+5) \times (\sqrt{7}-5)\)
= \( (\sqrt{7})^2 – (5)^2\)
= \( -18\)
∴ দেখছি, \(5+\sqrt{7}\)-এর করণী নিরসক উৎপাদক পেলাম \((5-\sqrt{7})\) এবং \((-5+\sqrt{7})\)
প্রয়োগ 20. \((7-\sqrt{3})\)-এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক লিখি।
সমাধান –
\((7-\sqrt{3})\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক হল \((7+\sqrt{3})\) এবং \((-7+\sqrt{3})\)
প্রয়োগ 21. \((\sqrt{11} – \sqrt{6})\) অমূলদ সংখ্যাটির করণী নিরসক উৎপাদক কী কী পাব দেখি।
সমাধান –
\((\sqrt{11} – \sqrt{6})(\sqrt{11} + \sqrt{6})\)= \( (\sqrt{11})^2 – (\sqrt{6})^2\)
= \( 11 – 6\)
\(= 5\)আবার, \((\sqrt{11} – \sqrt{6})(-\sqrt{11} – \sqrt{6})\)
\(= -[(\sqrt{11} – \sqrt{6})(\sqrt{11} + \sqrt{6})]\)= \( -5\)
প্রয়োগ 22. \((\sqrt{15}+\sqrt{3})\)-এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক লিখি।
সমাধান –
\((\sqrt{15}+\sqrt{3})\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক হল \((\sqrt{15}-\sqrt{3})\) এবং \((-\sqrt{15}+\sqrt{3})\)
প্রয়োগ 23. আমি \((7 + \sqrt{2})\) মিশ্র দ্বিঘাত করণীর একটি করণী নিরসক উৎপাদক লিখি যা \((7 + \sqrt{2})\)-এর সঙ্গে যোগ করলে মূলদ সংখ্যা পাব।
সমাধান –
\((7 + \sqrt{2}) \times (7 – \sqrt{2})\)= \( 7^2 – (\sqrt{2})^2\)
\(= 49 – 2\)\(= 47\)আবার, \((7 + \sqrt{2}) + (7 – \sqrt{2})\)
= \( 7 + 7\)
\(= 14\)∴ দেখছি, \(7 – \sqrt{2}\) উৎপাদকটির সঙ্গে \((7 + \sqrt{2})\) মিশ্র দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল মূলদ সংখ্যা।
প্রয়োগ 24. আমি \((\sqrt{5} – 1)\), \(\sqrt{3}\), \((\sqrt{3} – 2)\)-এদের অনুবন্ধী করণীগুলি লিখি।
সমাধান –
\((\sqrt{5} – 1)\)-এর অনুবন্ধী করণী \(-\sqrt{5} – 1\)
\(\sqrt{3}\)-এর অনুবন্ধী করণী \(-\sqrt{3}\)
\((\sqrt{3} – 2)\)-এর অনুবন্ধী করণী \((-\sqrt{3} – 2)\)
প্রয়োগ 25. নিচের মিশ্র এবং শুদ্ধ দ্বিঘাত করণীগুলির অনুবন্ধী করণীগুলি লেখ।
(i) \(2+\sqrt{3}\)
(ii) \(5-\sqrt{2}\)
(iii) \(\sqrt{5}-7\)
(iv) \(\sqrt{11}+6\)
(v) \(\sqrt{5}\)
সমাধান –
অনুবন্ধী করণী – কোনো মিশ্র দ্বিঘাত করণীর করণী নিরসক উৎপাদকের সঙ্গে ওই করণীর যোগফল ও গুণফল উভয়ই যদি মূলদ সংখ্যা হয় তবে তাকে ওই মিশ্র দ্বিঘাত করণীর অনুবন্ধী করণী বা পূরক করণী (Conjugate Surds) বলা হয়।
(i) \(2+\sqrt{3}\)
অনুবন্ধী করণী = \(2-\sqrt{3}\)
কারণ – \(2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3} = 4\) (মূলদ সংখ্যা)
\((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})\)= \( (2)^2 – (\sqrt{3})^2\)
= \( 4-3\)
= \( 1\) (মূলদ সংখ্যা)
(ii) \(5-\sqrt{2}\)
অনুবন্ধী করণী = \(5+\sqrt{2}\)
কারণ – \(5-\sqrt{2}+5+\sqrt{2} = 10\) (মূলদ সংখ্যা)
আবার, \((5-\sqrt{2})(5+\sqrt{2})\)
= \( (5)^2 – (\sqrt{2})^2\)
= \( 25-2\)
= \( 23\) (মূলদ সংখ্যা)
(iii) \(\sqrt{5}-7\)
অনুবন্ধী করণী = \(-\sqrt{5}-7\)
কারণ – \((\sqrt{5}-7)+(-\sqrt{5}-7)\)= \( \sqrt{5}-7-\sqrt{5}-7\)
= \( -14\) (মূলদ সংখ্যা)
আবার, \((\sqrt{5}-7)(-\sqrt{5}-7)\)
= \( -(\sqrt{5}-7)(\sqrt{5}+7)\)
= \( -\{(\sqrt{5})^2 – (7)^2\}\)= \( -(5-49)\)
= \( -(-44)\)
= \( 44\) (মূলদ সংখ্যা)
(iv) \(\sqrt{11}+6\)
অনুবন্ধী করণী = \(-\sqrt{11}+6\)
কারণ – \((\sqrt{11}+6)+(-\sqrt{11}+6)\)
= \( \sqrt{11}+6-\sqrt{11}+6\)
= \( 12\) (মূলদ সংখ্যা)
\((\sqrt{11}+6)(-\sqrt{11}+6)\)= \( (6)^2 – (\sqrt{11})^2\)
= \( 36-11\)
= \( 25\) (মূলদ সংখ্যা)
(v) \(\sqrt{5}\)
অনুবন্ধী করণী = \(-\sqrt{5}\)
কারণ – \((\sqrt{5})+(-\sqrt{5})\)
= \( \sqrt{5}-\sqrt{5}\)
= \( 0\) (মূলদ সংখ্যা)
আবার, \((\sqrt{5})(-\sqrt{5}) = -5\) (মূলদ সংখ্যা)
প্রয়োগ 26. আমি \((2\sqrt{2} \div \sqrt{5})\)-এর হরের করণী নিরসন করি।
সমাধান –
\(2\sqrt{2} \div \sqrt{5} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\)\(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}\)= \( \frac{2\sqrt{10}}{(\sqrt{5})^2}\)
= \( \frac{2\sqrt{10}}{5}\)
∴ পেলাম, \(2\sqrt{2} \div 5 = 2\sqrt{10} \div 5\)
প্রয়োগ 27. আমি হরের করণী নিরসন করি : (i) \(6 \div \sqrt{7}\) (ii) \(5\sqrt{2} \div 6\sqrt{3}\)
সমাধান –
(i) \(6 \div \sqrt{7}\)
= \( \frac{6 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}\)
= \( \frac{6\sqrt{7}}{(\sqrt{7})^2}\)
= \( \frac{6\sqrt{7}}{7}\)
= \( 6\sqrt{7} \div 7\)
(ii) \(5\sqrt{2} \div 6\sqrt{3}\)
= \( \frac{5\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{6\sqrt{3} \times \sqrt{3}}\)
= \( \frac{5\sqrt{6}}{6(\sqrt{3})^2}\)
= \( \frac{5\sqrt{6}}{6 \times 3}\)
= \( \frac{5\sqrt{6}}{18}\)
= \( 5\sqrt{6} \div 18\)
প্রয়োগ 28. হরের করণী নিরসন করি।
(i) \(\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{3}}\)
(ii) \(\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{6}}\)
সমাধান –
(i) \(\frac{4\sqrt{5}}{5\sqrt{3}}\)
= \( \frac{4\sqrt{5} \times \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \times \sqrt{3}}\)
= \( \frac{4\sqrt{15}}{5 \times 3}\)
= \( \frac{4\sqrt{15}}{15}\) (উত্তর)
(ii) \(\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{6}}\)
= \( \frac{3\sqrt{7} \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}}\)
= \( \frac{3\sqrt{42}}{6}\)
= \( \frac{\sqrt{42}}{2}\) (উত্তর)
প্রয়োগ 29. আমি হরের করণী নিরসন করি।
(i) \(4 \div (3-\sqrt{2})\)
(ii) \((\sqrt{5}+2) \div (\sqrt{3}-1)\)
(iii) \((\sqrt{2}+\sqrt{3}) \div (\sqrt{2}-\sqrt{3})\)
সমাধান –
(i) \(4 \div (3-\sqrt{2})\)
= \( \frac{4(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}\)
= \( \frac{4(3+\sqrt{2})}{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\)
= \( \frac{4(3+\sqrt{2})}{9-2}\)
= \( \frac{12+4\sqrt{2}}{7}\)
(ii) \((\sqrt{5}+2) \div (\sqrt{3}-1)\)
= \( \frac{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\)
= \( \frac{\sqrt{15}+2\sqrt{3}+\sqrt{5}+2}{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}\)
= \( \frac{\sqrt{15}+2\sqrt{3}+\sqrt{5}+2}{2}\)
(iii) \((\sqrt{2}+\sqrt{3}) \div (\sqrt{2}-\sqrt{3})\)
= \( \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}\)
= \( \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\)
= \( \frac{2+3+2\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{2-3}\)
= \( \frac{5+2\sqrt{6}}{-1}\)
প্রয়োগ 30. হরের করণী নিরসন করি
(i) \((4+2\sqrt{3}) \div (2-\sqrt{3})\)
(ii) \((\sqrt{5}+\sqrt{3}) \div (\sqrt{5}-\sqrt{3})\)
সমাধান –
(i) \((4+2\sqrt{3}) \div (2-\sqrt{3})\)
= \( \frac{4+2\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)
= \( \frac{(4+2\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\)
= \( \frac{8+4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+6}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\)
= \( \frac{14+8\sqrt{3}}{4-3}\)
= \( 14+8\sqrt{3}\) (উত্তর)
(ii) \((\sqrt{5}+\sqrt{3}) \div (\sqrt{5}-\sqrt{3})\)
= \( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\)
= \( \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}\)
= \( \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\)
= \( \frac{(\sqrt{5})^{2}+2\sqrt{5}.\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}{5-3}\)= \( \frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}\)
= \( \frac{8+2\sqrt{15}}{2}\)
= \( \frac{2(4+\sqrt{15})}{2}\)
= \( 4+\sqrt{15}\) (উত্তর)
প্রয়োগ 31. সরল করি – \(\frac{3\sqrt{4 \cdot 2}-2\sqrt{4 \cdot 3}+\sqrt{4 \cdot 5}}{3\sqrt{9 \cdot 2}-2\sqrt{9 \cdot 3}+\sqrt{9 \cdot 5}}\)
সমাধান –
\(\frac{3\sqrt{4 \cdot 2}-2\sqrt{4 \cdot 3}+\sqrt{4 \cdot 5}}{3\sqrt{9 \cdot 2}-2\sqrt{9 \cdot 3}+\sqrt{9 \cdot 5}}\)= \( \frac{3 \cdot 2\sqrt{2}-2 \cdot 2\sqrt{3}+2\sqrt{5}}{3 \cdot 3\sqrt{2}-2 \cdot 3\sqrt{3}+3\sqrt{5}}\)
= \( \frac{6\sqrt{2}-4\sqrt{3}+2\sqrt{5}}{9\sqrt{2}-6\sqrt{3}+3\sqrt{5}}\)
= \( \frac{2(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5})}\)
\(= \frac{2}{3}\)∴ নির্ণেয় সরলফল = \(\frac{2}{3}\)
প্রয়োগ 32. সরল করি – \(\frac{3\sqrt{20}+2\sqrt{28}+\sqrt{12}}{5\sqrt{45}+2\sqrt{175}+\sqrt{75}}\)
সমাধান –
\(\frac{3\sqrt{20}+2\sqrt{28}+\sqrt{12}}{5\sqrt{45}+2\sqrt{175}+\sqrt{75}}\)\(=\frac{3\sqrt{4\times5}+2\sqrt{4\times7}+\sqrt{4\times3}}{5\sqrt{9\times5}+2\sqrt{7\times25}+\sqrt{3\times25}}\)= \(\frac{3\times2\sqrt5+2\times2\sqrt7+2\sqrt3}{5\times3\sqrt5+2\times5\sqrt7+5\sqrt3}\)
= \( \frac{6\sqrt{5}+4\sqrt{7}+2\sqrt{3}}{15\sqrt{5}+10\sqrt{7}+5\sqrt{3}}\)
= \( \frac{2(3\sqrt{5}+2\sqrt{7}+\sqrt{3})}{5(3\sqrt{5}+2\sqrt{7}+\sqrt{3})}\)
= \( \frac{2}{5}\) (উত্তর)
প্রয়োগ 34. সরল করি – \(\frac{5}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} – \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\)
সমাধান –
\(\frac{5}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} – \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\)= \( \frac{5(\sqrt{2}-\sqrt{3})-(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}\)
= \( \frac{5\sqrt{2}-5\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\)
= \( \frac{4\sqrt{2}-6\sqrt{3}}{2-3}\)
= \( \frac{4\sqrt{2}-6\sqrt{3}}{-1}\)
= \( 6\sqrt{3}-4\sqrt{2}\)
প্রয়োগ 35. \(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\) হলে, (i)\(x-\frac{1}{x}\), (ii) \(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\) এবং (iii) \(x^{3}-\frac{1}{x^{3}}\)-এর সরলতম মানগুলি নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)∴ \( \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
= \( \frac{1(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\)
= \( \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\)
= \( \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}\)
= \( \sqrt{3}-\sqrt{2}\)
(i) \(x-\frac{1}{x}\)
= \( \sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
= \( 2\sqrt{2}\)
(ii) \(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\)
= \( (2\sqrt{2})^{2} + 2.1\)
= \( 8+2\)
= \( 10\)
(iii) \(x^{3}-\frac{1}{x^{3}}\)
= \( (2\sqrt{2})^{3} + 3 \times 1 \times 2\sqrt{2}\)
= \( 16\sqrt{2} + 6\sqrt{2}\)
= \( 22\sqrt{2}\)
প্রয়োগ 36. \(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\) হলে, \((x-\frac{1}{x})\), \((x^{3}+\frac{1}{x^{3}})\) এবং \((x^{2}-\frac{1}{x^{2}})\)-এর সরলতম মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)\(∴ \frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)= \( \frac{1(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\)
= \( \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\)
= \( \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}\)
= \( \sqrt{3}-\sqrt{2}\)
(i) \(x-\frac{1}{x}\)
= \( (\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})\)
= \( \sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
= \( 2\sqrt{2}\) (উত্তর)
(ii) \( x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\)
\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\), \(\frac{1}{x}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
\(∴ x+\frac{1}{x} = \sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\)= \( 2\sqrt{3}\)
\(∴ x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\)= \( (x+\frac{1}{x})^{3}-3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot (x+\frac{1}{x})\)
= \( (2\sqrt{3})^{3}-3 \cdot 1 \cdot (2\sqrt{3})\)
= \( 24\sqrt{3}-6\sqrt{3}\)
= \( 18\sqrt{3}\) (উত্তর)
(iii) \((x^{2}-\frac{1}{x^{2}})\)
= \( (x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})\)
= \( 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2}\)
= \( 4\sqrt{6}\) (উত্তর)
প্রয়োগ 37. যদি \(x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\) এবং \(y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\) হয়, তবে
(a) দেখাই যে, \(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}} = \frac{7\sqrt{3}}{12}\)
(b) \(\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}\)-এর সরলতম মান নির্ণয় করি।
(c) \(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\)-এর সরলতম মান নির্ণয় করি।
(d) \(x^{3}-y^{3}\)-এর সরলতম মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(x+y = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} + \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\)= \( \frac{(\sqrt{3}+1)^{2}+(\sqrt{3}-1)^{2}}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\)
= \( \frac{(3+1+2\sqrt{3})+(3+1-2\sqrt{3})}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}\)
= \( \frac{3+1+2\sqrt{3}+3+1-2\sqrt{3}}{3-1}\)
= \( \frac{8}{2}\)
\(= 4\)\(x-y = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} – \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\)= \( \frac{(\sqrt{3}+1)^{2}-(\sqrt{3}-1)^{2}}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\)
= \( \frac{(3+1+2\sqrt{3})-(3+1-2\sqrt{3})}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}\)
= \( \frac{3+1+2\sqrt{3}-3-1+2\sqrt{3}}{3-1}\)
= \( \frac{4\sqrt{3}}{2}\)
\(= 2\sqrt{3}\)\(x \times y = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\)\(= 1\)(a) \(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}\)
= \( \frac{(x+y)^{2}-2xy}{(x+y)(x-y)}\)
= \( \frac{(4)^{2}-2\times1}{4\times2\sqrt{3}}\)
= \( \frac{14}{8\sqrt{3}}\)
= \( \frac{7}{4\sqrt{3}}\)
= \( \frac{7\times\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\)
\(= \frac{7\sqrt{3}}{12}\)(b) \(\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}\)
= \( \frac{(x^{2}+y^{2})-xy}{(x^{2}+y^{2})+xy}\)
= \( \frac{((x+y)^{2}-2xy)-xy}{((x+y)^{2}-2xy)+xy}\)
= \( \frac{(x+y)^{2}-3xy}{(x+y)^{2}-xy}\)
= \( \frac{4^{2}-3\times1}{4^{2}-1}\)
= \( \frac{16-3}{16-1}\)
\(= \frac{13}{15}\)(c) \(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\)
= \( \frac{x^{3}+y^{3}}{xy}\)
= \( \frac{(x+y)^{3}-3xy(x+y)}{xy}\)
= \( \frac{4^{3}-3\times1\times4}{1}\)
= \( \frac{64-12}{1}\)
\(= 52\)(d) \(x^{3}-y^{3}\)
= \((x-y)^{3}+3xy(x-y)\)
= \((2\sqrt{3})^{3}+3\times1\times(2\sqrt{3})\)
= \(24\sqrt{3}+6\sqrt{3}\)
\(=30\sqrt{3}\)প্রয়োগ 38. \((\sqrt{5}+\sqrt{3})\) এবং \((\sqrt{6}+\sqrt{2})\)-এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি।
সমাধান –
\((\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}\)= \( (\sqrt{5})^{2}+2\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}\)
= \( 5+2\sqrt{15}+3\)
= \( 8+2\sqrt{15}\)
\((\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}\)= \( (\sqrt{6})^{2}+2\times\sqrt{6}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}\)
= \( 6+2\sqrt{12}+2\)
= \( 8+2\sqrt{12}\)
যেহেতু, \(\sqrt{15}>\sqrt{12}\), সুতরাং \(8+2\sqrt{15} > 8+2\sqrt{12}\)
∴ \( (\sqrt{5}+\sqrt{3})\) সংখ্যাটি বড়ো।
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের নবম অধ্যায়, ‘দ্বিঘাত করণী’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন