পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) অষ্টম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের ত্রয়োদশ অধ্যায় হলো ‘বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ’। এই পোস্টে আমরা ‘কষে দেখি – 13.2’-এর সমস্ত প্রশ্নের সহজ ও নির্ভুল সমাধান নিয়ে আলোচনা করেছি। আশা করি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত শিখতে এবং পরীক্ষার প্রস্তুতিতে দারুণভাবে সহায়তা করবে।
1. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি
(i) \(2a^2 +5a+2\)
সমাধান –
\(2a^2 +5a+2\)= \( 2a^2 +4a+a+2\)
= \( 2a(a+2) +1(a+2)\)
= \( (a+2)(2a+1)\) [উত্তর]
(ii) \(3x^2 +14x+8\)
সমাধান –
\(3x^2 +14x+8\)= \( 3x^2 + 12x+2x +8\)
= \( 3x (x+4) +2(x+4)\)
= \( (x+4) (3x+2)\) [উত্তর]
(iii) \(2m^2 +7m+6\)
সমাধান –
\(2m^2 +7m+6\)= \( 2m^2 + 4m+3m +6\)
= \( 2m (m+2) +3(m+2)\)
= \( (m+2) (2m+3)\) [উত্তর]
(iv) \(6x^2 – x -15\)
সমাধান –
\(6x^2 – x -15\)= \( 6x^2 – 10x+9x -15\)
= \( 2x (3x-5) +3(3x-5)\)
= \( (3x-5) (2x+3)\) [উত্তর]
(v) \(9r^2 + r -8\)
সমাধান –
\(9r^2 + r -8\)= \( 9r^2 +9r-8r -8\)
= \( 9r (r+1) -8(r+1)\)
= \( (r+1) (9r-8)\) [উত্তর]
(vi) \(6m^2 -11mn -10n^2\)
সমাধান –
\(6m^2 -11mn -10n^2\)= \( 6m^2 – (15-4) mn -10n^2\)
= \( 6m^2 -15mn +4mn -10n^2\)
= \( 3m (2m -5n) +2n(2m -5n)\)
= \( (2m-5n)(3m+2n)\) [উত্তর]
(vii) \(7x^2 +48xy -7y^2\)
সমাধান –
\(7x^2 +48xy -7y^2\)= \( 7x^2 + 49xy – xy -7y^2\)
= \( 7x(x+7y) – y (x+7y)\)
= \( (x+7y)(7x-y)\) [উত্তর]
(viii) \(12 + x – 6x^2\)
সমাধান –
\(12 + x – 6x^2\)= \( 12 + 9x – 8x – 6x^2\)
= \( 3(4+ 3x) – 2x(4+3x)\)
= \( (4+3x) (3-2x)\) [উত্তর]
(ix) \(6 + 5a – 6a^2\)
সমাধান –
\(6 + 5a – 6a^2\)= \( 6 + 9a – 4a – 6a^2\)
= \( 3(2+3a) – 2a(2+3a)\)
= \( (2+3a) (3-2a)\) [উত্তর]
(x) \(6x^2 -13x +6\)
সমাধান –
\(6x^2 -13x +6\)= \( 6x^2 – 9x – 4x + 6\)
= \( 3x (2x-3) – 2(2x-3)\)
= \( (2x-3) (3x -2)\) [উত্তর]
(xi) \(99a^2 -202ab +99b^2\)
সমাধান –
\(99a^2 -202ab +99b^2\)= \( 99a^2 – 121ab -81ab +99b^2\)
= \( 11a (9a -11b) – 9b(9a -11b)\)
= \( (9a-11b)(11a-9b)\) [উত্তর]
(xii) \(2a^6 -13a^3 -24\)
সমাধান –
\(2a^6 -13a^3 -24\)= \( 2a^6 – 16a^3 +3a^3 -24\)
= \( 2a^3 (a^3 -8) +3(a^3 -8)\)
= \( (a^3 -8) (2a^3+3)\)
= \( \{(a)^3 -(2)^3\}(2a^3+3)\)
= \( (a-2)(a^2+2a+4)(2a^3+3)\) [উত্তর]
(xiii) \(8a^4 +2a^2-45\)
সমাধান –
\(8a^4 +2a^2-45\)= \( 8a^4 + 20a^2-18a^2 -45\)
= \( 4a^2 (2a^2 +5) – 9(2a^2 +5)\)
= \( (2a^2 +5) (4a^2-9)\)
= \( (2a^2 +5) \{(2a)^2 -(3)^2\}\)
= \( (2a^2 +5) (2a+3)(2a-3)\) [উত্তর]
(xiv) \(6 (x-y)^2 -x+y -15\)
সমাধান –
\(6 (x-y)^2 -x+y -15\)= \( 6(x-y)^2 -(x-y) -15\)
= \( 6a^2 -a -15\) [\(x-y = a\) ধরে পাই]
= \( 6a^2 – 10a +9a -15\)
= \( 2a(3a-5) +3(3a-5)\)
= \( (3a-5) (2a+3)\)
= \( \{3(x-y) -5\}\{2(x-y) +3\}\)
= \( (3x-3y -5) (2x-2y +3)\) [উত্তর]
(xv) \(3(a+b)^2 -2a-2b-8\)
সমাধান –
\(3(a+b)^2 -2a-2b-8\)= \( 3(a+b)^2 -2(a+b) -8\)
= \( 3x^2 -2x – 8\) [\(a+b = x\) ধরে পাই]
= \( 3x^2 -6x +4x -8\)
= \( 3x(x-2) +4(x-2)\)
= \( (x-2)(3x+4)\)
= \( (a+b-2) \{3(a+b) +4\}\) [\(x\)-এর মান বসিয়ে পাই]
= \( (a+b-2)(3a+3b+4)\) [উত্তর]
(xvi) \(6 (a+b)^2 +5(a^2-b^2)-6(a-b)^2\)
সমাধান –
\(6 (a+b)^2 +5(a^2-b^2)-6(a-b)^2\)= \( 6 (a+b)^2 +5(a+b)(a-b) -6(a-b)^2\)
= \( 6x^2 +5xy -6y^2\) [\(a+b = x\) এবং \(a-b = y\) ধরে পাই]
= \( 6x^2 +9xy -4xy -6y^2\)
= \( 3x(2x+3y) -2y(2x +3y)\)
= \( (2x+3y)(3x-2y)\)
= \( \{2(a+b) +3(a-b)\} \{3(a+b) -2(a-b)\}\) [\(x\) ও \(y\)-এর মান বসিয়ে পাই]
= \( (2a+2b+3a-3b) (3a+3b -2a+2b)\)
= \( (5a-b)(a+5b)\) [উত্তর]
2. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি দুটি বর্গের অন্তরূপে প্রকাশ করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি
(i) \(x^2 – 2x – 3\)
সমাধান –
\(x^2 – 2x – 3\)= \( x^2 – 2x + 1 – 4\)
= \( x^2 – 2 \cdot x \cdot 1 + (1)^2 – (2)^2\)
= \( (x-1)^2 – (2)^2\)
= \( (x-1+2)(x-1-2)\)
= \( (x+1)(x-3)\) [উত্তর]
(ii) \(x^2 + 5x + 6\)
সমাধান –
\(x^2 + 5x + 6\)= \( x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{5}{2} + \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 6 – \left(\frac{5}{2}\right)^2\)
= \( \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 + 6 – \frac{25}{4}\)
= \( \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{24-25}{4}\)
= \( \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 – \frac{1}{4}\)
= \( \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2\)
= \( \left(x + \frac{5}{2} + \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{5}{2} – \frac{1}{2}\right)\)
= \( \left(x + \frac{5+1}{2}\right)\left(x + \frac{5-1}{2}\right)\)
= \( \left(x + \frac{6}{2}\right)\left(x + \frac{4}{2}\right)\)
= \( (x+3)(x+2)\) [উত্তর]
(iii) \(3x^2 – 7x – 6\)
সমাধান –
\(3x^2 – 7x – 6\)= \( 3\left(x^2 – \frac{7}{3}x – 2\right)\)
= \( 3\left\{x^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{7}{6} + \left(\frac{7}{6}\right)^2 – 2 – \left(\frac{7}{6}\right)^2\right\}\)
= \( 3\left\{\left(x – \frac{7}{6}\right)^2 – 2 – \frac{49}{36}\right\}\)
= \( 3\left\{\left(x – \frac{7}{6}\right)^2 – \left(2 + \frac{49}{36}\right)\right\}\)
= \( 3\left\{\left(x – \frac{7}{6}\right)^2 – \left(\frac{72+49}{36}\right)\right\}\)
= \( 3\left\{\left(x – \frac{7}{6}\right)^2 – \left(\frac{121}{36}\right)\right\}\)
= \( 3\left\{\left(x – \frac{7}{6}\right)^2 – \left(\frac{11}{6}\right)^2\right\}\)
= \( 3\left(x – \frac{7}{6} + \frac{11}{6}\right)\left(x – \frac{7}{6} – \frac{11}{6}\right)\)
= \( 3\left(\frac{6x – 7 + 11}{6}\right)\left(\frac{6x – 7 – 11}{6}\right)\)
= \( 3\left(\frac{6x+4}{6}\right)\left(\frac{6x-18}{6}\right)\)
= \( \left(\frac{6x+4}{2}\right)\left(\frac{6x-18}{6}\right)\)
= \( (3x+2)(x-3)\) [উত্তর]
(iv) \(3a^2 – 2a – 5\)
সমাধান –
\(3a^2 – 2a – 5\)= \( 3\left(a^2 – \frac{2}{3}a – \frac{5}{3}\right)\)
= \( 3\left\{a^2 – 2 \cdot a \cdot \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 – \frac{5}{3} – \left(\frac{1}{3}\right)^2\right\}\)
= \( 3\left\{a^2 – 2 \cdot a \cdot \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 – \frac{5}{3} – \frac{1}{9}\right\}\)
= \( 3\left\{\left(a – \frac{1}{3}\right)^2 – \left(\frac{5}{3} + \frac{1}{9}\right)\right\}\)
= \( 3\left\{\left(a – \frac{1}{3}\right)^2 – \left(\frac{15+1}{9}\right)\right\}\)
= \( 3\left\{\left(a – \frac{1}{3}\right)^2 – \left(\frac{16}{9}\right)\right\}\)
= \( 3\left\{\left(a – \frac{1}{3}\right)^2 – \left(\frac{4}{3}\right)^2\right\}\)
= \( 3\left(a – \frac{1}{3} + \frac{4}{3}\right)\left(a – \frac{1}{3} – \frac{4}{3}\right)\)
= \( 3\left(\frac{3a-1+4}{3}\right)\left(\frac{3a-1-4}{3}\right)\)
= \( 3\left(\frac{3a+3}{3}\right)\left(\frac{3a-5}{3}\right)\)
= \( (a+1)(3a-5)\) [উত্তর]
3. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি
(i) \(ax^2+(a^2+1)x+a\)
সমাধান –
\(ax^2+(a^2+1)x+a\)= \( ax^2 + a^2x + x + a\)
= \( ax(x+a) + 1(x+a)\)
= \( (x+a)(ax+1)\) [উত্তর]
(ii) \(x^2+2ax+(a+b)(a-b)\)
সমাধান –
\(x^2+2ax+(a+b)(a-b)\)= \( x^2 + \{(a+b) + (a-b)\}x + (a+b)(a-b)\)
= \( x^2 + (a+b)x + (a-b)x + (a+b)(a-b)\)
= \( x(x+a+b) + (a-b)(x+a+b)\)
= \( (x+a+b)(x+a-b)\) [উত্তর]
(iii) \(ax^2-(a^2+1)x+a\)
সমাধান –
\(ax^2-(a^2+1)x+a\)= \( ax^2 – a^2x – x + a\)
= \( ax(x-a) – 1(x-a)\)
= \( (x-a)(ax-1)\) [উত্তর]
(iv) \(ax^2+(a^2-1)x-a\)
সমাধান –
\(ax^2+(a^2-1)x-a\)= \( ax^2 + a^2x – x – a\)
= \( ax(x+a) – 1(x+a)\)
= \( (x+a)(ax-1)\) [উত্তর]
(v) \(ax^2 – (a^2-2)x – 2a\)
সমাধান –
\(ax^2 – (a^2-2)x – 2a\)= \( ax^2 – a^2x + 2x – 2a\)
= \( ax(x-a) + 2(x-a)\)
= \( (x-a)(ax+2)\) [উত্তর]
(vi) \(a^2 + 1 – \frac{6}{a^2}\)
সমাধান –
\(a^2 + 1 – \frac{6}{a^2}\)= \( a^2 + 3 – 2 – \frac{6}{a^2}\)
= \( a^2 + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a} – 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} – \frac{6}{a^2}\)
= \( a\left(a + \frac{3}{a}\right) – \frac{2}{a}\left(a + \frac{3}{a}\right)\)
= \( \left(a + \frac{3}{a}\right)\left(a – \frac{2}{a}\right)\) [উত্তর]
এই আর্টিকেলে অষ্টম শ্রেণির গণিতের ‘বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 13.2‘-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরেছি। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে। কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন