এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের পঞ্চম অধ্যায়, ‘অনুপাত ও সমানুপাত’ -এর ‘কষে দেখি – 5.3’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
1. a : b = c : d হলে, দেখাই যে,
(i) (a2 + b2) : (a2 – b2) = (ac + bd) : (ac – bd)
(ii) (a2 + ab + b2) : (a2 – ab + b2) = (c2 + cd + d2) : (c2 – cd + d2)
(iii) \(\sqrt{a^2+c^2}:\sqrt{b^2+d^2}=\left(pa+qc\right):\left(pb+qd\right)\)
(i) (a2 + b2) : (a2 – b2) = (ac + bd) : (ac – bd)
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac ab=\frac cd=k\) (k ≠ 0)
∴ a = bk, c = dk (এখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক)
এখন, \(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(bk\right)^2-b^2}=\frac{b^2\left(k^2+1\right)}{b^2\left(k^2-1\right)}=\frac{k^2+1}{k^2-1}\) (b ≠ 0)
আবার, \(\frac{ac+bd}{ac-bd}=\frac{bk\times dk+bd}{bk\times dk-bd}=\frac{bd\left(k^2+1\right)}{bd\left(k^2-1\right)}=\frac{k^2+1}{k^2-1}\) (bd ≠ 0)
সুতরাং প্রমাণিত হল যে, (a2 + b2) : (a2 – b2) = (ac + bd) : (ac – bd)
(ii) (a2 + ab + b2) : (a2 – ab + b2) = (c2 + cd + d2) : (c2 – cd + d2)
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac ab=\frac cd=k\) (k ≠ 0)
∴ a = bk, c = dk (এখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক)
\(\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}=\frac{\left(bk\right)^2+bk\times b+b^2}{\left(bk\right)^2-bk\times b+b^2}=\frac{b^2\left(k^2+k+1\right)}{b^2\left(k^2-k+1\right)}=\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}\)আবার, \(\frac{c^2+cd+d^2}{c^2-cd+d^2}=\frac{\left(dk\right)^2+dk\times d+d^2}{\left(dk\right)^2-dk\times d+d^2}=\frac{d^2\left(k^2+k+1\right)}{d^2\left(k^2-k+1\right)}=\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}\)
তাহলে প্রমাণিত হল যে, (a2 + ab + b2) : (a2 – ab + b2) = (c2 + cd + d2) : (c2 – cd + d2) (উত্তর)
(iii) \(\sqrt{a^2+c^2}:\sqrt{b^2+d^2}=\)
\(\left(pa+qc\right):\left(pb+qd\right)\)
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac ab=\frac cd=k\) (k ≠ 0)
∴ a = bk, c = dk (এখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক)
\(\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{a^2+d^2}}=\frac{\sqrt{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}}{\sqrt{b^2+d^2}}=\frac{\sqrt{b^2k^2+d^2k^2}}{\sqrt{b^2+d^2}}=\frac{k^2\sqrt{b^2+d^2}}{\sqrt{b^2+d^2}}=k\)আবার, \(\frac{pa+qc}{pb+qd}=\frac{p.bk+q.dk}{pb+qd}=\frac{k\left(pb+qd\right)}{pb+qd}=k\)
তাহলে প্রমাণিত হল যে, \(\sqrt{a^2+c^2}:\sqrt{b^2+d^2}=\left(pa+qc\right):\left(pb+qd\right)\) (উত্তর)
2. x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে,
(i) \(\frac{x^3}{a^2}+\frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
(ii) \(\frac{x^3+y^3+z^3}{a^3+b^3+c^3}=\frac{xyz}{abc}\)
(iii) (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2
(i) \(\frac{x^3}{a^2}+\frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
সমাধান –
\(\frac xa=\frac yb=\frac zc=k\) (k ≠ 0)
তাহলে x = ak, y = bk, z = ck
বামপক্ষ = \(\frac{x^3}{a^2}+\frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}\)
= \(\frac{\left(ak\right)^3}{a^2}+\frac{\left(bk\right)^3}{b^2}+\frac{\left(ck\right)^3}{c^2}\)
= \(\frac{a^3k^3}{a^2}+\frac{b^3k^3}{b^2}+\frac{c^3k^3}{c^2}\)
= ak3 + bk3 + ck3
= k3(a + b + c)
ডানপক্ষ = \(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{\left(a+b+c\right)^2}\)
= \(\frac{\left(ak+bk+ck\right)^3}{\left(a+b+c\right)^2}\)
= \(\frac{\left(ak+bk+ck\right)^3}{\left(a+b+c\right)^2}=k^3\left(a+b+c\right)\)
সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
(ii) \(\frac{x^3+y^3+z^3}{a^3+b^3+c^3}=\frac{xyz}{abc}\)
সমাধান –
\(\frac xa=\frac yb=\frac zc=k\) (k ≠ 0)
তাহলে x = ak, y = bk, z = ck
বামপক্ষ = \(\frac{x^3+y^3+z^3}{a^3+b^3+c^3}=\frac{\left(ak\right)^3+\left(bk\right)^3+\left(ck\right)^3}{a^3+b^3+c^3}=\frac{k^3\left(a^3+b^3+c^3\right)}{a^3+b^3+c^3}=k^3\)
ডানপক্ষ = \(\frac{xyz}{abc}=\frac{ak⋅bk⋅ck}{abc}=\frac{k^3abc}{abc^3}=k^3\)
সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
(iii) (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2
সমাধান –
\(\frac xa=\frac yb=\frac zc=k\) (k ≠ 0)
তাহলে x = ak, y = bk, z = ck
বামপক্ষ = (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2)
= (a2 + b2 + c2)(a2k2 + b2k2 + c2k2)
= (a2 + b2 + c2) × k2 × (a2 + b2 + c2)
= k2(a2 + b2 + c2)2
ডানপক্ষ = (ax + by + cz)2 = (a × ak + b × bk + c × ck)2
= {k(a2 + b2 + c2)}2 = k2(a2 + b2 + c2)2
সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমাণ করি যে,
(i) প্রত্যেকটি অনুপাত = \(\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}\)
(ii) (a2 + c2 + e2)(b2 + d2 + f2) = (ab + cd + ef)2
(i) প্রত্যেকটি অনুপাত = \(\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}\)
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac ab=\frac cd=\frac ef=k\) (k ≠ 0)
তাহলে, a = bk, c = dk এবং e = fk
এখন, \(\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}=\frac{5bk-7dk-13fk}{5b-7d-13f}=\frac{k\left(5a-7c-13e\right)}{\left(5b-7d-13f\right)}=k\)
আবার, ধরে নেওয়া হয়েছে যে, \(\frac ab=\frac cd=\frac ef=k\)
সুতরাং, \(\frac ab=\frac cd=\frac ef=k=\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}\)
(ii) (a2 + c2 + e2)(b2 + d2 + f2) = (ab + cd + ef)2
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac ab=\frac cd=\frac ef=k\) (k ≠ 0)
তাহলে, a = bk, c = dk এবং e = fk
বামপক্ষ = (a2 + c2 + e2)(b2 + d2 + f2)
= {(bk)2 + (dk)2 + (yk)2}(b2 + d2 + f2)
= (b2k2 + d2k2 + f2k2)(b2 + d2 + f2)
= k2(b2 + d2 + f2)(b2 + d2 + f2)
= k2(b2 + d2 + f2)2
ডানপক্ষ = (ab + cd + ef)2
= (bk × b + dk × d + fk × f)2
= {k(b2 + d2 + f2)}2
= k2(b2 + d2 + f2)2
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ করি যে,
(i) \(\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)
(ii) \(a^2b^2c^2\left(\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3\)
(iii) \(\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{\left(ab+bc+ca\right)^3}=1\)
(i) \(\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac ab=\frac bc=k\) (k ≠ 0)
∴ b = ck এবং a = bk = ck, k = ck2
বামপক্ষ = \(\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2=\left(\frac{ck^2+ck}{ck+c}\right)^2=\left\{\frac{ck\left(k+1\right)}{c\left(k+1\right)}\right\}^2=\frac{c^2k^2}{c^2}=k^2\)
ডানপক্ষ = \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{\left(ck^2\right)^2+\left(ck\right)^2}{\left(ck\right)^2+c^2}=\frac{c^2k^4+c^2k^2}{c^2k^2+c^2}=\frac{c^2k^2\left(k^2+1\right)}{c^2\left(k^2+1\right)}=k^2\)
সুতরাং বামপক্ষ ও ডানপক্ষ সমান (প্রমাণিত)।
(ii) \(a^2b^2c^2\left(\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3\)
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac ab=\frac bc=k\) (k ≠ 0)
∴ b = ck এবং a = bk = ck, k = ck2
বামপক্ষ = \(a^2b^2c^2\left(\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}\right)\)
= \(\left(ck^2\right)^2\times\left(ck\right)^2\times c^2\left\{\frac1{\left(ck^2\right)^3}+\frac1{\left(ck\right)^3}+\frac1{c^3}\right\}\)
= \(c^2k^4\times c^2k^2\times c^2\left\{\frac1{c^3k^6}+\frac1{c^3k^3}+\frac1{c^3}\right\}\)
= \(c^6k^6\left\{\frac1{c^3k^6}+\frac1{c^3k^3}+\frac1{c^3}\right\}\)
= c3 + c3k3 + c3k6
= c3(1 + k3 + k6)
ডানপক্ষ = a3 + b3 + c3 = (ck2)3 + (ck)3 + c3
= c3k6 + c3k3 + c3
= c3(k6 + k3 + 1)
= c3(1 + k3 + k6)
সুতরাং বামপক্ষ ডানপক্ষ সমান (প্রমাণিত)।
(iii) \(\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{\left(ab+bc+ca\right)^3}=1\)
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac ab=\frac bc=k\) (k ≠ 0)
∴ b = ck এবং a = bk = ck, k = ck2
বামপক্ষ = \(\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{\left(ab+bc+ca\right)^3}=\frac{ck^2\times ck\times c\left(ck^2+ck+c\right)^3}{\left(ck^2\times ck+ck\times c+c\times ck^2\right)^3}\)
= \(\frac{c^3k^3\left\{c\left(k^2+k+1\right)\right\}^3}{\left(c^2k^3+c^2k+c^2k^2\right)^3}=\frac{c^6k^3\left(k^2+k+1\right)^3}{\left\{c^2k\left(k^2+1+k\right)\right\}^3}\)
= \(\require{cancel}\frac{\cancel{c^6k^3\left(k^2+k+1\right)^3}}{\cancel{c^6k^3\left(k^2+1+k\right)^3}}=1\) (প্রমাণিত)।
5. a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,
(i) (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2
(ii) (b – c)2 + (c – a)2 + (b – d)2 = (a – d)2
(i) (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2
সমাধান –
যেহেতু, a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী,
\(\frac ab=\frac bc=\frac cd=k\) মনে করা যাক
∴ \(c = dk;\)
\(b = ck = (dk) \cdot k = dk^2;\)\(a = bk = (dk^2) \cdot k = dk^3;\)বামপক্ষ = (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2)
= {(dk3)2 + (dk2)2 + (dk)2} {(dk2)2 + (dk)2 + d2}
= {d2k6 + d2k4 + d2k2} {d2k4 + d2k2 + d2}
= d2k2(k4 + k2 + 1)⋅d2(k4 + k² + 1)
= d4k2(k4 + k2 + 1)2
ডানপক্ষ = (ab + bc + cd)2
= (dk3⋅dk2 + dk2⋅dk + dk⋅d}2
= (d2k5 + d2k3 + d2k)2
= {d2k(k4 + k2 + 1)}2
=d4k2(k4 + k2 + 1)2
সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
(ii) (b – c)2 + (c – a)2 + (b – d)2 = (a – d)2
সমাধান –
যেহেতু, a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী,
\(\frac ab=\frac bc=\frac cd=k\) মনে করা যাক
∴ c = dk; b = ck = dk, k = dk2, a = bk = dk2 = dk3
বামপক্ষ = (b – c)2 + (c – a)2 + (b – d)2
= (dk2 – dk)2 + (dk – dk3)2 + (dk2 – d)2
= {dk(k – 1)}2 + {dk(1 – k2)2 + {d(k2 – 1)}2
= d2k2(k2 – 2k + 1) + d2k2(1 – 2k2 + k4) + d2(k4 – 2k2 + 1)
= d2{k4 – 2k3 + k2 + k2 – 2k4 + k6 + k4 + 2k2 + 1}
= d2(k6 – 2k3 + 1)
= d2(k3 – 1)2
ডানপক্ষ = (a – d)2 = (dk3 – d)2 = {d(k3 – 1)}2 = d2(k3 – 1)2
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
6. (i) যদি \(\frac ma=\frac nb\) হয়, তবে দেখাই যে,
\(\left(m^2+n^2\right)\left(a^2+b^2\right)=
\)
\(\left(am+bn\right)^2\)
সমাধান –
\(\frac ma=\frac nb=k\) (k ≠ 0) ধরা যাক তাহলে, m = ak, n = bk
বামপক্ষ = (m2 + n2)(a2 + b2) = {(ak)2 + (bk)2}(a2 + b2)
= (a2k2 + b2k2)(a2 + b2)
= k²(a² + b²)(a² + b²)
= k2(a2 + b2)2
ডানপক্ষ = (am + bn)2 = (a × ak + b × bk)2
= {k(a2 + b2)}2
= k2(a2 + b2)2 ∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, (m2 + n2)(a2 + b2) = (am + bn)2 (প্রমাণিত)।
6. ii) যদি \(\frac{a}{b} = \frac{x}{y} \) হয়, তবে দেখাই যে,
\(\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)x^3 =\)
\(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)a^3 \)
সমাধান –
এখানে দেওয়া আছে, \(\frac ab=\frac xy=k\) বা, \(\frac ax=\frac by=k\) (k ≠ 0) (ধরা যাক)
∴ a = kx, b = ky
বামপক্ষ = (a + b)(a2 + b2)x3 = (kx + ky){(kx)2 + (ky)2}x3
= k(x + y){k2(x2 + y2)}x3
= k3(x + y)(x2 + y2)x3
= (x + y)(x2 + y2)(kx)3
= (x + y)(x2 + y2)(a)3
= (x + y)(x2 + y2)a3 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
6. (iii) যদি \(\frac x{lm-n^2}=\frac y{mn-l^2}=\frac z{nl-m^2}\) হয়, তবে দেখাই যে, lx + my + nz = 0
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac x{lm-n^2}=\frac y{mn-l^2}=\frac z{nl-m^2}=k\) (≠ 0)
∴ x = k(lm – n2), y = k(mn – l2), z = k(nl – m2)
এখন, lx + my + nz = lk(lm – n2) + km(mn – l2) + nk(nl – m2)
= k(l2m + n2l + m2n – n2l – m2n) = k × 0 = 0 (প্রমাণিত)।
6. (iv) যদি \(\frac x{b+c-a}=\frac y{c+a-b}=\frac z{a+b-c}\) হলে, দেখাই যে, (b – c)x + (c – a)y + (a – b)z = 0
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac x{b+c-a}=\frac y{c+a-b}=\frac z{a+b-c}=k\) (≠ 0)
∴ x = k(b + c – a), y = k(c + a – b), z = k(a + b – c)
এখন, (b – c)x + (c – a)y + (a – b)z
= (b – c)⋅k(b + c – a) + (c – a)⋅k(c + a – b) + (a – b)⋅k(a + b – c)
= k{(b – c)(b + c – a) + (c – a)(c + a – b) + (a – b)(a + b – c)}
= k{(b – c)(b + c) – a(b – c) + (c – a) (c + a) – b(c – a) + (a – b)(a + b) – c(a – b)}
\( b^{2} – c^{2} – ab + ca + c^{2} – a^{2} – bc + ab + a^{2} – b^{2} – ca + bc \)
= k × 0 = 0 (প্রমাণিত)।
6. (v) যদি \(\frac xy=\frac{a+2}{a-2}\) হলে, দেখাই যে, \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{4a}{a^2-4}\)
সমাধান –
দেওয়া আছে, \(\frac xy=\frac{a+2}{a-2}\)
দুদিকের বর্গ করলে, \(\frac{x^2}{y^2}=\frac{\left(a+2\right)^2}{\left(a-2\right)^2}\)
বা, \(\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=\frac{\left(a+2\right)^2+\left(a-2\right)^2}{\left(a+2\right)^2-\left(a-2\right)^2}=\frac{a^2+4a+4+a^2-4a+4}{a^2+4a+4-a^2+4a-4}\)
= \(\frac{2\left(a^2+4\right)}{8a}=\frac{a^2+4}{4a}\)
অথবা, \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{4a}{a^2+4}\)
6. (vi)\(x=\frac{8ab}{a+b}\) হলে, \(\left(\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}\right)\) -এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(x=\frac{8ab}{a+b}\)বা, \(\frac x{4a}=\frac{2b}{a+b}\) [উভয় পক্ষকে 4a দ্বারা ভাগ করে পাই]/p>
সুতরাং, \(\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{2b+a+b}{2b-a-b}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]
= \(\frac{3b+a}{b-a}\)
আবার, \(x=\frac{8ab}{a+b}\) বা, \(\frac x{4b}=\frac{2a}{a+b}\) [উভয় পক্ষকে 4b দ্বারা ভাগ করে পাই]
সুতরাং, \(\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{2a+a+b}{2a-a-b}=\frac{3a+b}{a-b}\)
∴ \(\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{3b+a}{b-a}+\frac{3b+a}{a-b}=\frac{3b+a}{b-a}-\frac{3b+a}{b-a}\)
= \(\frac{3b+a-3a-b}{b-a}=\frac{2b-2a}{b-a}=\frac{2\left(b-a\right)}{b-a}=2\)
7. (i) \(\frac a3=\frac b4=\frac c7\) হলে, দেখাই যে, \(\frac{a+b+c}c=2\)
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac a3=\frac b4=\frac c7=k\) (k ≠ 0)
তাহলে, a = 3k, b = 4k, c = 7k
এখন, \(\frac{a+b+c}c=\frac{3k+4k+7k}{7k}=\frac{14k}{7k}=2\) (∵ k ≠ 0) (প্রমাণিত)
7. (ii) \(\frac a{q-r}=\frac b{r-p}=\frac c{p-q}\) হলে, দেখাই যে, a + b + c = 0 = pa + qb + rc
সমাধান –
মনে করা যাক \(\frac a{q-r}=\frac b{r-p}=\frac c{p-q}=k\) (∵ k ≠ 0)
তাহলে, a = k(q – r), b = k(r – p), c = k(p – q)
এখন, a + b + c = k(q – r) + k(r – p) + k(p – q)
= k(q – r + r – p + p – q)
= k × 0
= 0
আবার, pa + qb + rc = p × k(q – r) + q × k(r – p) + r × (p – q)
= k{p(q – r) + q(r – p) + r(p – q)}
= k(pq – rp + qr – pq + rp – qr)
= k × 0
= 0
তাহলে দেখানো হল যে, a + b + c = 0 = 0 = pa + qb + rc
7. (iii) \(\frac{ax+by}a=\frac{bx-ay}b\) হলে, দেখাই যে প্রতিটি অনুপাত x-এর সমান।
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac{ax+by}a=\frac{bx-ay}b=k\) (k ≠ 0)
ak + by = ak —(i)
bx – ay = bk —(ii)
(i) এবং (ii) কে যথাক্রমে a এবং b দিয়ে গুণ করলে
a2x + aby = a2k
b2x – aby = b2k
যোগ করে, (a2 + b2)x = (a2 + b2)k ∴ k = x
তাহলে দেখা গেল যে, প্রদত্ত প্রতিটি অনুপাত x -এর সমান।
8. (i) যদি \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}\) হয়, তবে প্রমাণ করি যে, c = a অথবা a + b + c + d = 0
সমাধান –
যেহেতু, \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}\)
(a + b)(d + a) = (b + c)(c + d)
বা, ad + a2 + bd + ab = bc + bd + c2 + cd
বা, ad + a2 + bd + ab – bc – bd – c2 – cd = 0
বা, (ad – cd) + (a2 – c2) + (ab – bc) = 0
বা, d(a – c) + (a – c)(a+c) +b(a – c) = 0
বা, (a – c)(d + a + c + b) = 0
যেহেতু দুটি রাশির গুণফল 0, রাশিদুটির অন্ততঃ একটি অবশ্যই 0 হবে।
সুতরাং, হয় a – c = 0, না হয়, d + a + c + b = 0
a – c = 0 হলে a = c, বা, c = a
এবং d + a + c + b = 0 হলে a + b + c + d = 0
তাহলে, প্রমাণিত হল যে, c = a, অথবা, a + b + c + d = 0
8. (ii) যদি \(\frac x{b+c}=\frac y{c+a}=\frac z{a+b}\) হয়, দেখাই যে, \(\frac a{y+z-x}=\frac b{z+x-y}=\frac c{x+y-z}\)
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac x{b+c}=\frac y{c+a}=\frac z{a+b}=k\) (k ≠ 0)
তাহলে, x = k(b + c), y = k(c + a), z = k(a + b)
এখন, \(\frac a{y+z-x}=\frac a{k\left(c+a\right)+k\left(a+b\right)-k\left(b+c\right)}\)
= \(\frac a{k\left(c+a+a+b-b-c\right)}=\frac a{2ak}=\frac1{2k}\) (k ≠ 0)
আবার, \(\frac b{z+x-y}=\frac b{k\left(a+b\right)+k\left(b+c\right)-k\left(a+b\right)}\)
= \(\frac b{k\left(a+b+b+c-a-b\right)}=\frac c{2ck}=\frac1{2k}\) (k ≠ 0)
এবং \(\frac c{x+y-z}=\frac c{k\left(b+c\right)+k\left(c+a\right)-k\left(a+b\right)}\)
= \(\frac c{k\left(b+c+c+a-a-b\right)}=\frac c{2ck}=\frac1{2k}\) (k ≠ 0)
সুতরাং প্রমাণিত হল যে, \(\frac a{y+z-x}=\frac b{z+x-y}=\frac c{x+y-z}\)
8. (iii) \(\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}\) হলে, দেখাই যে, \(\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\)
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=k\) (k ≠ 0)
x + y = k(3a – b) —(1)
y + z = k(3b – c) —(2)
z + x = k(3c – b) —(3)
2(x + y + z) = k(3a – b + 3b – c + 3c – b) = 2k(a + b + c)
∴ x + y + c = k(a + b + c) —(4)
(4) এবং (2) থেকে
x = k(a + b + c – 3b + c) = k(a – 2b + 2c)
অনুরূপে, y= k(b – 2c + 2a), z = k(c – 2a + 2b)
এখন, \(\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{k\left(a-2b+2c+b-2c+2a+c-2a+2b\right)}{a+b+c}=\frac{k\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=k\)
আবার, \(\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a⋅k\left(a-2b+2c\right)+b⋅k\left(b-2c+2a\right)+c⋅k\left(c-2a+2b\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
= \(\require{cancel}\frac{k\left(a^2-\cancel{2ab}+\cancel{2ca}+b^2-\cancel{2bc}+\cancel{2ab}+c^2-\cancel{2ca}+\cancel{2bc}\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
= \(\require{cancel}\frac{k\cancel{\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{\cancel{a^2+b^2+c^2}}=k\)
সুতরাং প্রমাণিত হল যে, \(\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\)
8. (iv) \(\frac xa=\frac yb=\frac zc\) হলে, তবে দেখাই যে, \(\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ab}\)
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac xa=\frac yb=\frac zc=k\) (≠ 0)
∴ x = ak, y = bk, z = ck
এখন, \(\require{cancel}\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{\left(ak\right)^2-bk⋅ck}{a^2-bc}=\frac{k^2\cancel{\left(a^2-bc\right)}}{\cancel{a^2-bc}}=k^2\)
\(\require{cancel}\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{\left(bk\right)^2-ck⋅ak}{b^2-ca}=\frac{k^2\cancel{\left(b^2-ca\right)}}{\cancel{b^2-ca}}=k^2\)/p>
এবং, \(\require{cancel}\frac{z^2-xy}{c^2-ab}=\frac{\left(ck\right)^2-ak⋅bk}{c^2-ab}=\frac{k^2\cancel{\left(c^2-ab\right)}}{\cancel{c^2-ab}}=k^2\)
সুতরাং প্রমাণিত হল যে, \(\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ab}\)
9. (i) \(\frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}\) যদি হয়, তবে দেখাই যে, \(\frac xy=\frac uv\)
সমাধান –
\(\frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}\)/p>
বা, \(\frac{3x+4y}{3x-4y}=\frac{3u+4v}{3u-4v}\)
বা, \(\frac{3x+4y+3x-4y}{3x+4y-3x+4y}=\frac{3u+4v+3u-4v}{3u+4v-3u+4v}\)
বা, \(\frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}\)
বা, \(\frac xy=\frac uv\) [প্রমাণিত]
9. (ii) (a + b + c + d) : (a + b – c – d) = (a – b + c – d) : (a – b – c + d) হলে, প্রমাণ করি যে, a : b = c : d
সমাধান –
(a + b + c + d) : (a + b – c – d) = (a – b + c – d) : (a – b – c + d)
বা, \(\frac{a+b+c+d}{a+b-c-d}=\frac{a-b+c-d}{a-b-c+d}\)
বা, \(\frac{a+b+c+d+a+b-c-d}{a+b-c-d-a-b+c+d}=\frac{a-b+c-d+a-b-c+d}{a-b+c-d-a+b+c-d}\)
বা, \(\frac{2a+2b}{2c+2d}=\frac{2a-2b}{2c-2d}\)
বা, \(\require{cancel}\frac{\cancel2\left(a+b\right)}{\cancel2\left(c+d\right)}=\frac{\cancel2\left(a-b\right)}{\cancel2\left(c-d\right)}\)
বা, ac – ad + bc – bd = ac + ad – bc + bd
বা, 2bc = 2ad
বা, ad = bc
বা, \(\frac ab=\frac cd\)
∴ a : b = c : d (প্রমাণিত)
10. (i) \(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b^2}{c+a}=\frac{c^2}{a+b}=1\) হলে, প্রমাণ করি যে, \(\frac1{1+a}=\frac1{1+b}=\frac1{1+c}=1\)
সমাধান –
যেহেতু, \(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b^2}{c+a}=\frac{c^2}{a+b}=1\)
a2 = b + c, b2 = c + a, c2 = a + b —(1)
এখন, \(\frac1{1+a}=\frac1{1+b}=\frac1{1+c}=\frac a{a\left(1+a\right)}=\frac b{b\left(1+b\right)}=\frac c{c\left(1+c\right)}\)
= \(\frac a{a+a^2}=\frac b{b+b^2}=\frac c{c+c^2}\)
= \(\frac a{a+b+c}=\frac b{b+c+a}=\frac c{c+a+b}\) [(1) থেকে]
= \(\frac{\cancel{a+b+c}}{\cancel{a+b+c}}=1\) (প্রমাণিত)
10. (ii) \(x^2:\left(by+cz\right)=y^2:\left(cz+ax\right)=z^2:\left(ax+by\right)=1\) হলে, দেখাই যে, \(\frac a{a+x}+\frac b{b+y}+\frac c{c+z}=1\)
সমাধান –
যেহেতু, x2 : (by + cz) = y2 : (cz + ax) = z2 : (ax + by) = 1
\(\frac{x^2}{by+cz}=\frac{y^2}{cz+ax}=\frac{z^2}{ax+by}=1\)/p>
∴ x2 = by + cz, y2 = cz + ax, z2 = ax + by
এখন, \(\frac a{a+x}+\frac b{b+y}+\frac c{c+z}=\frac{ax}{\left(a+x\right)x}+\frac{by}{\left(b+y\right)y}=\frac{cz}{\left(c+z\right)z}\)
= \(\frac{ax}{ax+x^2}+\frac{by}{by+y^2}+\frac{cz}{cz+z^2}\)
= \(\require{cancel}\frac{ax}{ax+by+cz}+\frac{by}{by+cz+ax}+\frac{cz}{cz+by+cz}=\frac{\cancel{ax+by+cz}}{\cancel{ax+by+cz}}=1\) (প্রমাণিত)
11. (i) \(\frac x{xa+yb+zc}+\frac y{ya+zb+xc}+\frac z{za+xb+yc}\) এবং x + y + z ≠ 0 হলে, দেখাই যে, প্রতিটি \(\frac1{a+b+c}\)-এর সমান।
সমাধান –
যেহেতু, \(\frac x{xa+yb+zc}+\frac y{ya+zb+xc}+\frac z{za+xb+yc}\)
প্রতিটি অনুপাত = \(\frac{x+y+z}{\left(xa+yb+zc\right)+\left(ya+zb+xc\right)+\left(za+xb+yc\right)}\) [সংযোগ প্রক্রিয়া]
= \(\frac{x+y+z}{a\left(x+y+z\right)+b\left(x+y+z\right)+c\left(x+y+z\right)}\)
= \(\require{cancel}\frac{\cancel{x+y+z}}{\cancel{\left(x+y+z\right)}\left(a+b+c\right)}=\frac1{a+b+c}\) (প্রমাণিত)
11. (ii) \(\frac{z^2-yz}a=\frac{y^2-zx}b=\frac{z^2-xy}c\) হলে, প্রমাণ করি যে, (a + b + c)(x + y + z) = ax + by + cz
সমাধান –
মনে করা যাক, \(\frac{z^2-yz}a=\frac{y^2-zx}b=\frac{z^2-xy}c=\frac1k\) (k ≠ 0)
∴ a = k(x2 – zy), b = k(y2 – zx), c = k(z2 – xy)
বামপক্ষ = (a + b + c)(x + y + z)
= {k(x2 – yz + y2 – zx + z2 – xy)}(x + y + z)
= k(x2 + y2 + z2 – yz – zx – xy)(x + y + z)
= k(x3 + y3 + z3 – 3xyz)
ডানপক্ষ = ax + by + cz = k(x2 – yz)x + k(y2 – zx)y + k(z2 – xy)z
= k(x3 – xyz + y3 – zxy + z3 – xyz)
= k(x3 + y3 + z3 – 3xyz)
তাহলে প্রমাণিত হল যে, বামপক্ষ ডানপক্ষ।
11. (iii) \(\frac a{y+z}=\frac b{z+x}=\frac c{x+y}\) হলে, প্রমাণ করি যে, \(\frac{a\left(b-c\right)}{y^2-z^2}=\frac{b\left(c-a\right)}{z^2-x^2}=\frac{c\left(a-b\right)}{x^2-y^2}\)
সমাধান –
ধরি, \(\frac{a}{y+z}\) = \(\frac{b}{z+x}\) = \(\frac{c}{x+y}\) = \(k\) [\(k \neq 0\) একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক]
∴ \(a = k(y+z)\) এবং \(b = k(z+x)\) এবং \(c = k(x+y)\)
প্রথম পক্ষ –
\(\frac{a(b-c)}{y^2-z^2}\)= \(\frac{k(y+z){k(z+x)-k(x+y)}}{y^2-z^2}\)
= \(\frac{k^2(y+z)(k+x-x-y)}{y^2-z^2}\)
= \(\frac{k^2(y+z)(z-y)}{y^2-z^2}\)
= \(\frac{k^2(y+z)(-(y-z))}{(y-z)(y+z)}\)
= \(\frac{-k^2(y-z)(y+z)}{(y-z)(y+z)}\)
= \(-k^2\)
দ্বিতীয় পক্ষ –
\(\frac{b(c-a)}{z^2-x^2}\)= \(\frac{k(z+x){k(x+y)-k(y+z)}}{z^2-x^2}\)
= \(\frac{k^2(z+x)(x+y-y-z)}{z^2-x^2}\)
= \(\frac{k^2(z+x)(x-z)}{z^2-x^2}\)
= \(\frac{k^2(z+x)(-(z-x))}{(z-x)(z+x)}\)
= \(\frac{-k^2(z-x)(z+x)}{(z-x)(z+x)}\)
= \(-k^2\)
তৃতীয় পক্ষ –
\(\frac{c(a-b)}{x^2-y^2}\)= \(\frac{k(x+y){k(y+z)-k(z+x)}}{x^2-y^2}\)
= \(\frac{k^2(x+y)(y+z-z-x)}{x^2-y^2}\)
= \(\frac{k^2(x+y)(y-x)}{x^2-y^2}\)
= \(\frac{k^2(x+y)(-(x-y))}{(x-y)(x+y)}\)
= \(\frac{-k^2(x-y)(x+y)}{(x-y)(x+y)}\)
= \(-k^2\)
∴ \(\frac{a(b-c)}{y^2-z^2}\) = \(\frac{b(c-a)}{z^2-x^2}\) = \(\frac{c(a-b)}{x^2-y^2}\) [প্রমাণিত]
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) 3, 4 -এর 6 -এর চতুর্থ সমানুপাতী
(a) 8
(b) 10
(c) 12
(d) 24
উত্তর – (a) 8
সমাধান,
চতুর্থ সমানুপাতী = \(\require{cancel}\frac{4\times{\displaystyle\overset2{\cancel6}}}{\cancel3}=8\)
∴ (a) উত্তরটি ঠিক।
(ii) 8 ও 12 -এর তৃতীয় সমানুপাতী
(a) 12
(b) 16
(c) 18
(d) 20
উত্তর – (c) 18
সমাধান,
তৃতীয় সমানুপাতী = \(\require{cancel}\frac{{\displaystyle\overset3{\cancel{12}}}\times{\displaystyle\overset6{\cancel{12}}}}{\displaystyle\underset{\cancel2}{\cancel8}}=18\)
∴ (c) উত্তরটি ঠিক।
(iii) 16 এবং 25 -এর মধ্যসমানুপাতী
(a) 400
(b) 100
(c) 20
(d) 40
উত্তর – (c) 20
সমাধান,
মধ্য সমানুপাতী = \(\sqrt{16\times25}=4\times5=20\)
∴ (c) উত্তরটি ঠিক।
(iv) a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং \(a:\frac{27}{64}=\frac34:a\) হলে a -এর মান
(a) \(\frac{81}{256}\)
(b) 9
(c) \(\frac9{16}\)
(d) \(\frac{16}9\)
উত্তর – (c) \(\frac9{16}\)
সমাধান,
\(a=\sqrt{\frac{27}{64}\times\frac34}=\sqrt{\frac{81}{256}}=\frac9{16}\)/p>
(c) উত্তরটি ঠিক।
(v) 2a = 3b = 4c হলে a : b : c হবে
(a) 3 : 4 : 6
(b) 4 : 3 : 6
(c) 3 : 6 : 4
(d) 6 : 4 : 3
উত্তর – (d) 6 : 4 : 3
সমাধান,
মনেকরি 2a = 3b = 4c = k
∴ a = \(\frac k2\), b = \(\frac k3\), c = \(\frac k4\)
∴ a : b : c
= \(\frac k2:\frac k3:\frac k4\)
= \(\frac{k\times6}{2\times6}:\frac{k\times4}{3\times4}:\frac{k\times3}{4\times3}\)
= 6k : 4k : 3k
= 6 : 4 : 3
∴ (d) উত্তরটি ঠিক।
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –
(i) ab : c2, bc : a2 এবং ca : b2-এর যৌগিক অনুপাত 1 : 1.
উত্তর – সত্য।
(ii) x3y, x2y2 এবং xy3 ক্রমিক সমানুপাতী।
উত্তর – সত্য।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করো:
(i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুনফল 64 হলে তাদের মধ্য সমানুপাতী = ___।
উত্তর – তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুনফল 64 হলে তাদের মধ্য সমানুপাতী = 4.
(ii) a : 2 = b : 5 = c : 8 হলে a-এর 50% b-এর 20% = c-এর ___%।
উত্তর – a : 2 = b : 5 = c : 8 হলে a-এর 50% b-এর 20% = c-এর 12.5%।
(iii) (x + 2) এবং (x – 3)-এর মধ্যসমানুপাতী x হলে x-এর মান ___।
উত্তর – (iii) (x + 2) এবং (x – 3)-এর মধ্যসমানুপাতী x হলে x-এর মান \(\frac65\).
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) \(\frac a2=\frac b3=\frac c4=\frac{2a-3b+4c}p\) হলে p এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(\frac a2=\frac b3=\frac c4=\frac{2a-3b+4c}p=k\) (ধরি)
∴ a = 2k, b = 3k, c = 4k
∴ 2.2k – 3.3k + 4.4k = pk
বা, 11k = pk
বা, p = 11
: p-এর মান = 11.
(ii) \(\frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac12\) হলে \(\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2}\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(\frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac12\)বা, 6x – 10y = 3x + 5y
বা, 3x = 15y
বা, x = 5y
∴ \(\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2}=\frac{3\left(5y\right)^2-5y^2}{3\left(5y\right)^2+5y^2}=\frac{75y^2-5y^2}{75y^2+5y^2}=\frac{70y^2}{80y^2}=\frac78\)
(iii) a : b = 3 : 4 এবং x : y = 5 : 7 হলে (3ax – by) : (4by – 7ax) = কত?
সমাধান –
ধরি a = 3k, b = 4k এবং x = 5p ও y = 7p
∴ (3ax – by) : (4by – 7ax)
= (3 × 3k × 5p – 4k × 7p) : (4 × 4k × 7p – 7 × 3k × 5p)
=(45 – 28) : (112 – 105)
= 17 : 7
= \(\frac{17}7\)
(iv) x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী হলে x ও y -এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(\frac x{12}=\frac{12}y=\frac y{27}\)/p>
\(\frac x{12}=\frac y{27}\)/p>
বা, y2 = 27 × 12
বা, y = \(\sqrt{12\times27}=\sqrt{324}=18\)
\(\frac x{12}=\frac{12}y\)/p>
বা, xy = 12 × 12
বা, x = \(\require{cancel}\frac{12\times12}y=\frac{{\displaystyle\overset4{\cancel{12}}}\times{\displaystyle\overset2{\cancel{12}}}}{\displaystyle\underset{\cancel3}{\cancel{18}}}=8\)
∴ x -এর মান 8 ও y -এর মান 18
(v) a : b = 3 : 2 এবং b : c = 3 : 2 হলে a + b : b + c কত নির্ণয় করি।
সমাধান –
a : b = 3 : 2 = 9 : 6
b : c = 3 : 2 = 6 : 4
∴ a : b : c = 9 : 6 : 4
ধরি a = 9k, b = 6k, c = 4k
a + b : b + c = 9k + 6k : 6k + 4k
= 15k : 10k
= 3 : 2
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের পঞ্চম অধ্যায়, ‘অনুপাত ও সমানুপাত’ -এর ‘কষে দেখি – 5.3’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন