পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) অষ্টম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের চতুর্দশ অধ্যায় হলো ‘বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গসাগু ও লসাগু’। এই পোস্টে আমরা ‘কষে দেখি – 14’-এর সমস্ত প্রশ্নের সহজ ও নির্ভুল সমাধান নিয়ে আলোচনা করেছি। আশা করি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত শিখতে এবং পরীক্ষার প্রস্তুতিতে দারুণভাবে সহায়তা করবে।
1. নিচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গ.সা.গু নির্ণয় করি
(i) \(4a^{2}b^{2}\), \(20ab^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(4a^{2}b^{2}=2\times 2\times a\times a\times b\times b\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(20ab^{2}=2\times 2\times 5\times a\times b\times b\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \(2\times 2\times a\times b\times b=4ab^{2}\)
(ii) \(5p^{2}q^{2}\), \(10p^{2}q^{2}\), \(25p^{4}q^{3}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(5p^{2}q^{2}=5\times p\times p\times q\times q\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(10p^{2}q^{2}=5\times 2\times p\times p\times q\times q\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(25p^{4}q^{3}=5\times 5\times p\times p\times p\times p\times q\times q\times q\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \(5\times p\times p\times q\times q=5p^{2}q^{2}\)
(iii) \(7y^{3}z^{6}\), \(21y^{2}\), \(14z^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(7y^{3}z^{6}=7\times y\times y\times y\times z\times z\times z\times z\times z\times z\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(21y^{2}=3\times 7\times y\times y\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(14z^{2}=2\times 7\times z\times z\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \(7\)
(iv) \(3a^{2}b^{2}c\), \(12a^{2}b^{4}c^{2}\), \(9a^{5}b^{4}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(3a^{2}b^{2}c=3\times a\times a\times b\times b\times c\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(12a^{2}b^{4}c^{2}=3\times 2\times 2\times a\times a\times b\times b\times b\times b\times c\times c\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(9a^{5}b^{4}=3\times 3\times a\times a\times a\times a\times a\times b\times b\times b\times b\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \(3\times a\times a\times b\times b=3a^{2}b^{2}\)
2. নিচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালার ল.সা.গু নির্ণয় করি
(i) \(2x^{2}y^{3}\), \(10x^{3}y\)
সমাধান –
\(2x^{2}y^{3}=2\times x\times x\times y\times y\times y\)\(10x^{3}y=5\times 2\times x\times x\times x\times y\)∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \(2\times 5\times x\times x\times x\times y\times y\times y=10x^{3}y^{3}\)
(ii) \(7p^{2}q^{3}\), \(35p^{3}q\), \(42pq^{4}\)
সমাধান –
নির্ণেয় ল.সা.গু = \(7\times 5\times 3\times 2\times p\times p\times p\times q\times q\times q\times q=210p^{3}q^{4}\)
(iii) \(5a^{5}b\), \(15ab^{2}c\), \(25a^{2}b^{2}c^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(5a^{5}b=5\times a\times a\times a\times a\times a\times b\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(15ab^{2}c=5\times 3\times a\times b\times b\times c\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(25a^{2}b^{2}c^{2}=5\times 5\times a\times a\times b\times b\times c\times c\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \(5\times 5\times 3\times a\times a\times a\times a\times a\times b\times b\times c\times c=75a^{5}b^{2}c^{2}\)
(iv) \(11a^{2}bc^{2}\), \(33a^{2}b^{2}c\), \(55a^{2}bc^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(11a^{2}bc^{2}=11\times a\times a\times b\times c\times c\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(33a^{2}b^{2}c=3\times 11\times a\times a\times b\times b\times c\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(55a^{2}bc^{2}=5\times 11\times a\times a\times b\times c\times c\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \(3\times 5\times 11\times a\times a\times b\times b\times c\times c=165a^{2}b^{2}c^{2}\)
3. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির গ.সা.গু নির্ণয় করি
(i) \(5x(x+y)\), \(x^{3} -xy^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(5x(x+y)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(x^{3} -xy^{2}\)
= \( x(x^{2}-y^{2})\)
= \(x(x+y)(x-y)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \(x (x+y)\)
(ii) \(x^{3}-3x^{2}y\), \(x^{2}-9y^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(x^{3}-3x^{2}y\)
= \(x^{2} (x-3y)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(x^{2}-9y^{2}\)
= \( (x)^{2} -(3y)^{2}\)
= \((x+3y) (x-3y)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \((x -3y)\)
(iii) \(2ax(a-x)^{2}\), \(4a^{2}x (a-x)^{3}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(2ax(a-x)^{2}\)
= \( 2ax(a-x)(a-x)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(4a^{2}x (a-x)^{3}\)
= \(2 \times 2 \times a \times a \times x \times (a-x) \times (a-x) \times (a-x)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \(2ax(a-x)^{2}\)
(iv) \(x^{2}-1\), \(x^{2}-2x+1\), \(x^{3}+x^{2}-2x\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(x^{2}-1\)
= \( (x+1)(x-1)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(x^{2}-2x+1\)
= \( (x-1)^{2}\)
= \((x-1)(x-1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(x^{3} +x^{2}-2x\)
= \( x(x^{2} +x-2)\)
= \( x(x^{2} +2x-x-2)\)
= \( x\{x(x+2)-1(x+2) \}\)
= \( x(x+2)(x-1)\)
নির্ণেয় গ.সা.গু = \((x-1)\)
(v) \(a^{2}-1\), \(a^{3}-1\), \(a^{2}+a-2\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা –
\(a^{2}-1\)= \((a+1)(a-1)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা –
= \( (a-1)(a^{2}+a+1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(a^{2}+a-2\)
= \( a^{2}+2a-a -2\)
= \( a(a+2) -1(a+2)\)
= \((a+2)(a-1)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \((a-1)\)
(vi) \(x^{2}+3x+2\), \(x^{2}+4x+3\), \(x^{2}+5x+6\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(x^{2}+3x+2\)
= \( x^{2}+2x+x+2\)
= \( x(x+2) +1(x+2)\)
= \((x+2)(x+1)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(x^{2}+4x+3\)
= \( x^{2}+3x+x +3\)
= \(x(x+3) +1(x+3)\)
= \((x+3)(x+1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(x^{2}+5x+6\)
= \( x^{2}+3x+2x+6\)
= \(x(x+3)+2(x+3)\)
= \((x+3) (x+2)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \(1\)
(vii) \(x^{2}+xy\), \(xz+yz\), \(x^{2}+2xy+y^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(x^{2} +xy\)
= \(x(x+y)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(xz +yz\)
= \( z(x+y)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(x^{2}+2xy+y^{2}\)
= \((x+y)^{2}\)
= \( (x+y)(x+y)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \((x+y)\)
(viii) \(8(x^{2}-4)\), \(12(x^{3}+8)\), \(36(x^{2}-3x-10)\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(8(x^{2}-4)\)
= \( 2\times2\times2\times\{(x)^{2} -(2)^{2}\}\)
= \( 2\times2\times2\times(x+2) (x-2)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(12(x^{3}+8)\)
= \( 2\times2\times3\times\{(x)^{3}+(2)^{3}\}\)
= \( 2\times2\times3\times(x+2)\{x^{2} -2x+4\}\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(36 (x^{2}-3x-10)\)
= \( 2\times2\times3\times3\times \{x^{2}-5x+2x-10\}\)
= \( 2\times2\times3\times3 \times\{x(x-5)+2(x-5)\}\)
= \( 2\times2\times3\times3\times(x-5)(x+2)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \(2 \times 2 \times (x+2)= 4(x+2)\)
(ix) \(a^{2} – b^{2} – c^{2} + 2bc\), \(b^{2} – c^{2} – a^{2} + 2ac\), \(c^{2} – a^{2} – b^{2} + 2ab\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(a^{2} – b^{2} – c^{2} + 2bc\)
= \( a^{2} – (b^{2} – 2bc + c^{2})\)
= \( a^{2} – (b – c)^{2}\)
= \( (a + b – c)(a – b + c)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(b^{2} – c^{2} – a^{2} + 2ac\)
= \( b^{2} – (c^{2} – 2ac + a^{2})\)
= \( b^{2} – (c – a)^{2}\)
= \( (b + c – a)(b – c + a)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(c^{2} – a^{2} – b^{2} + 2ab\)
= \( c^{2} – (a^{2} – 2ab + b^{2})\)
= \( c^{2} – (a – b)^{2}\)
= \( (c + a – b)(c – a + b)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \(1\)
(x) \(x^{3} – 16x\), \(2x^{3} + 9x^{2} + 4x\), \(2x^{3} + x^{2} – 28x\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(x^{3} – 16x\)
= \( x(x^{2} – 16)\)
= \( x\{(x)^{2} – (4)^{2}\}\)
= \( x(x + 4)(x – 4)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(2x^{3} + 9x^{2} + 4x\)
= \( x(2x^{2} + 9x + 4)\)
= \( x(2x^{2} + 8x + x + 4)\)
= \( x\{2x(x + 4) + 1(x + 4)\}\)
= \( x(x + 4)(2x + 1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(2x^{3} + x^{2} – 28x\)
= \( x(2x^{2} + x – 28)\)
= \( x\{2x^{2} + 8x – 7x – 28\}\)
= \( x\{2x(x + 4) – 7(x + 4)\}\)
= \( x(2x – 7)(x + 4)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \(x(x + 4)\)
(xi) \(4x^{2} – 1\), \(8x^{3} – 1\), \(4x^{2} – 4x + 1\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা –
\(4x^{2} – 1\)= \( (2x)^{2} – (1)^{2}\)
= \( (2x + 1)(2x – 1)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা –
\(8x^{3} – 1\)= \( (2x)^{3} – (1)^{3}\)
= \( (2x – 1)\{(2x)^{2} + 2x \cdot 1 + (1)^{2}\}\)
= \( (2x – 1)(4x^{2} + 2x + 1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(4x^{2} – 4x + 1\)
= \( (2x)^{2} – 2 \cdot 2x \cdot 1 + (1)^{2}\)
= \( (2x – 1)^{2}\)
= \( (2x – 1)(2x – 1)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \((2x – 1)\)
(xii) \(x^{3} – 3x^{2} – 10x\), \(x^{3} + 6x^{2} + 8x\), \(x^{4} – 5x^{3} – 14x^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(x^{3} – 3x^{2} – 10x\)
= \( x(x^{2} – 3x – 10)\)
= \( x(x^{2} – 5x + 2x – 10)\)
= \( x\{x(x – 5) + 2(x – 5)\}\)
= \( x(x – 5)(x + 2)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(x^{3} + 6x^{2} + 8x\)
= \( x(x^{2} + 6x + 8)\)
= \( x\{x^{2} + 4x + 2x + 8\}\)
= \( x\{x(x + 4) + 2(x + 4)\}\)
= \( x(x + 4)(x + 2)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(x^{4} – 5x^{3} – 14x^{2}\)
= \( x^{2}(x^{2} – 5x – 14)\)
= \( x^{2}(x^{2} – 7x + 2x – 14)\)
= \( x^{2}\{x(x – 7) + 2(x – 7)\}\)
= \( x^{2}(x – 7)(x + 2)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \(x(x + 2)\)
(xiii) \(6x^{2} – 13xa + 6a^{2}\), \(6x^{2} + 11xa – 10a^{2}\), \(6x^{2} + 2xa – 4a^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(6x^{2} – 13xa + 6a^{2}\)
= \( 6x^{2} – 9xa – 4xa + 6a^{2}\)
= \( 3x(2x – 3a) – 2a(2x – 3a)\)
= \( (2x – 3a)(3x – 2a)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(6x^{2} + 11xa – 10a^{2}\)
= \( 6x^{2} + 15xa – 4xa – 10a^{2}\)
= \( 3x(2x + 5a) – 2a(2x + 5a)\)
= \( (2x + 5a)(3x – 2a)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(6x^{2} + 2xa – 4a^{2}\)
= \( 6x^{2} + 6xa – 4xa – 4a^{2}\)
= \( 6x(x + a) – 4a(x + a)\)
= \( (x + a)(6x – 4a)\)
= \( 2(x + a)(3x – 2a)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \((3x – 2a)\)
4. নিচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালার ল.সা.গু নির্ণয় করি
(i) \(p^{2} – q^{2}\), \((p+q)^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(p^{2} – q^{2}\)
= \( (p+q)(p-q)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \((p+q)^{2}\)
= \( (p+q)(p+q)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \((p+q)^{2}(p-q)\)
(ii) \((x^{2}y^{2}-x^{2})\), \((xy^{2}-2xy+x)\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \((x^{2}y^{2}-x^{2})\)
= \( x^{2}(y^{2}-1)\)
= \( x^{2}(y+1)(y-1)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \((xy^{2}-2xy+x)\)
= \( x(y^{2}-2y+1)\)
= \( x(y-1)^{2}\)
= \( x(y-1)(y-1)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \(x^{2}(y+1)(y-1)^{2}\)
(iii) \((p+q)(q+r)\), \((q+r)(r+p)\), \((r+p)(p+q)\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \((p+q)(q+r)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \((q+r)(r+p)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \((r+p)(p+q)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \((p+q)(q+r)(r+p)\)
(iv) \(ab^{4} – 8ab\), \(a^{2}b^{4} + 8a^{2}b\), \(ab^{4} – 4ab^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(ab^{4} – 8ab\)
= \( ab(b^{3} – 8)\)
= \( ab(b^{3} – 2^{3})\)
= \( ab(b-2)(b^{2} + 2b + 4)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(a^{2}b^{4} + 8a^{2}b\)
= \( a^{2}b(b^{3} + 8)\)
= \( a^{2}b(b^{3} + 2^{3})\)
= \( a^{2}b(b+2)(b^{2} – 2b + 4)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(ab^{4} – 4ab^{2}\)
= \( ab^{2}(b^{2} – 4)\)
= \( ab^{2}(b^{2} – 2^{2})\)
= \( ab^{2}(b+2)(b-2)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \(a^{2}b^{2}(b+2)(b-2)(b^{2} – 2b + 4)(b^{2} + 2b + 4)\)
(v) \(x^{4} + x^{2}y^{2} + y^{4}\), \(x^{3}y + y^{4}\), \((x^{2} – xy)^{3}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা –
\(x^{4} + x^{2}y^{2} + y^{4}\)= \( (x^{2})^{2} + 2x^{2}y^{2} + (y^{2})^{2} – x^{2}y^{2}\)
= \( (x^{2} + y^{2})^{2} – (xy)^{2}\)
= \( (x^{2} + y^{2} + xy)(x^{2} + y^{2} – xy)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(x^{3}y + y^{4}\)
= \( y(x^{3} + y^{3})\)
= \( y(x + y)(x^{2} – xy + y^{2})\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \((x^{2} – xy)^{3}\)
= \( [x(x – y)]^{3}\)
= \( x^{3}(x – y)^{3}\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \(x^{3}y(x + y)(x – y)^{3}(x^{2} + xy + y^{2})(x^{2} – xy + y^{2})\)
(vi) \(p^{2} + 2p\), \(2p^{4} + 3p^{3} – 2p^{2}\), \(2p^{3} – 3p^{2} – 14p\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা –
\(p^{2} + 2p\)= \( p(p + 2)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(2p^{4} + 3p^{3} – 2p^{2}\)
= \( p^{2}(2p^{2} + 3p – 2)\)
= \( p^{2}(2p^{2} + 4p – p – 2)\)
= \( p^{2}[2p(p + 2) – 1(p + 2)]\)
= \( p^{2}(p + 2)(2p – 1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(2p^{3} – 3p^{2} – 14p\)
= \( p(2p^{2} – 3p – 14)\)
= \( p(2p^{2} – 7p + 4p – 14)\)
= \( p[p(2p – 7) + 2(2p – 7)]\)
= \( p(2p – 7)(p + 2)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \(p^{2}(p + 2)(2p – 1)(2p – 7)\)
(vii) \(x^{2} – y^{2} + z^{2} – 2xz\), \(x^{2} – y^{2} – z^{2} + 2yz\), \(xy + zx + y^{2} – z^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(x^{2} – y^{2} + z^{2} – 2xz\)
= \( (x^{2} – 2xz + z^{2}) – y^{2}\)
= \( (x – z)^{2} – y^{2}\)
= \( (x – z + y)(x – z – y)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(x^{2} – y^{2} – z^{2} + 2yz\)
= \( x^{2} – (y^{2} – 2yz + z^{2})\)
= \( x^{2} – (y – z)^{2}\)
= \( (x + y – z)(x – y + z)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(xy + zx + y^{2} – z^{2}\)
= \( x(y + z) + (y + z)(y – z)\)
= \( (y + z)(x + y – z)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \((y + z)(x + y – z)(x – y + z)(x – y – z)\)
(viii) \(x^{2} – xy – 2y^{2}\), \(2x^{2} – 5xy + 2y^{2}\), \(2x^{2} + xy – y^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(x^{2} – xy – 2y^{2}\)
= \( x^{2} – 2xy + xy – 2y^{2}\)
= \( x(x – 2y) + y(x – 2y)\)
= \( (x – 2y)(x + y)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(2x^{2} – 5xy + 2y^{2}\)
= \( 2x^{2} – 4xy – xy + 2y^{2}\)
= \( 2x(x – 2y) – y(x – 2y)\)
= \( (x – 2y)(2x – y)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(2x^{2} + xy – y^{2}\)
= \( 2x^{2} + 2xy – xy – y^{2}\)
= \( 2x(x + y) – y(x + y)\)
= \( (x + y)(2x – y)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \((x + y)(x – 2y)(2x – y)\)
(ix) \(3x^{2} – 15x + 18\), \(2x^{2} + 2x – 24\), \(4x^{2} + 36x + 80\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা –
\(3x^{2} – 15x + 18\)= \( 3(x^{2} – 5x + 6)\)
= \( 3(x^{2} – 3x – 2x + 6)\)
= \( 3\{x(x – 3) – 2(x – 3)\}\)
= \( 3(x – 3)(x – 2)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা –
\(2x^{2} + 2x – 24\)= \( 2(x^{2} + x – 12)\)
= \( 2(x^{2} + 4x – 3x – 12)\)
= \( 2\{x(x + 4) – 3(x + 4)\}\)
= \( 2(x + 4)(x – 3)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা –
\(4x^{2} + 36x + 80\)= \( 4(x^{2} + 9x + 20)\)
= \( 2 \times 2 \times (x^{2} + 5x + 4x + 20)\)
= \( 2 \times 2 \times \{x(x + 5) + 4(x + 5)\}\)
= \( 2 \times 2 \times (x + 5)(x + 4)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \(2 \times 2 \times 3 \times (x + 5)(x + 4)(x – 3)(x – 2) = 12(x + 5)(x + 4)(x – 3)(x – 2)\)
(x) \((a^{2} + 2a)^{2}\), \((2a^{3} + 3a^{2} – 2a)\), \((2a^{4} – 3a^{3} – 14a^{2})\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \((a^{2} + 2a)^{2}\)
= \( \{a(a + 2)\}^{2}\)
= \( a^{2}(a + 2)^{2}\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \((2a^{3} + 3a^{2} – 2a)\)
= \( a(2a^{2} + 3a – 2)\)
= \( a(2a^{2} + 4a – a – 2)\)
= \( a\{2a(a + 2) – 1(a + 2)\}\)
= \( a(a + 2)(2a – 1)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \((2a^{4} – 3a^{3} – 14a^{2})\)
= \( a^{2}(2a^{2} – 3a – 14)\)
= \( a^{2}(2a^{2} – 7a + 4a – 14)\)
= \( a^{2}\{a(2a – 7) + 2(2a – 7)\}\)
= \( a^{2}(2a – 7)(a + 2)\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \(a^{2}(a + 2)^{2}(2a – 1)(2a – 7)\)
(xi) \(3a^{2} – 5ab – 12b^{2}\), \(a^{5} – 27a^{2}b^{3}\), \(9a^{2} + 24ab + 16b^{2}\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(3a^{2} – 5ab – 12b^{2}\)
= \( 3a^{2} – 9ab + 4ab – 12b^{2}\)
= \( 3a(a – 3b) + 4b(a – 3b)\)
= \( (a – 3b)(3a + 4b)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(a^{5} – 27a^{2}b^{3}\)
= \( a^{2}(a^{3} – 27b^{3})\)
= \( a^{2}\{a^{3} – (3b)^{3}\}\)= \( a^{2}(a – 3b)\{a^{2} + a \cdot 3b + (3b)^{2}\}\)
= \( a^{2}(a – 3b)(a^{2} + 3ab + 9b^{2})\)
তৃতীয় সংখ্যামালা – \(9a^{2} + 24ab + 16b^{2}\)
= \( (3a)^{2} + 2 \cdot 3a \cdot 4b + (4b)^{2}\)
= \( (3a + 4b)^{2}\)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = \(a^{2}(a – 3b)(3a + 4b)^{2}(a^{2} + 3ab + 9b^{2})\)
5. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির গ.সা.গু ও ল.সা.গু নির্ণয় করি
(i) \(x^{3}-8\), \(x^{2}+3x-10\), \(x^{3}+2x^{2}-8x\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা –
\(x^{3}-8\)= \( (x)^{3} – (2)^{3}\)
= \( (x-2)\{(x)^{2} + 2x + (2)^{2}\}\)
= \( (x-2)(x^{2}+2x+4)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা –
\(x^{2}+3x-10\)= \( x^{2} + 5x – 2x – 10\)
= \( x(x+5) – 2(x+5)\)
= \( (x+5)(x-2)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা –
\(x^{3}+2x^{2}-8x\)= \( x(x^{2} + 2x – 8)\)
= \( x(x^{2} + 4x – 2x – 8)\)
= \( x\{x(x+4) – 2(x+4)\}\)
= \( x(x+4)(x-2)\)
নির্ণেয় গ.সা.গু = \((x-2)\)
নির্ণেয় ল.সা.গু = \(x(x-2)(x+4)(x+5)(x^{2}+2x+4)\)
(ii) \(3y^{2} -15y+18\), \(2y^{2}+2y -24\), \(4y^{2} +36y+80\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা –
\(3y^{2} -15y+18\)= \( 3(y^{2} – 5y + 6)\)
= \( 3(y^{2} – 3y – 2y + 6)\)
= \( 3\{y(y-3) – 2(y-3)\}\)
= \( 3(y-3)(y-2)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা –
\(2y^{2}+2y -24\)= \( 2(y^{2} + y – 12)\)
= \( 2(y^{2} + 4y – 3y – 12)\)
= \( 2\{y(y+4) – 3(y+4)\}\)
= \( 2(y+4)(y-3)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা –
\(4y^{2} +36y+80\)= \( 4(y^{2} + 9y + 20)\)
= \( 2 \times 2 \times (y^{2} + 5y + 4y + 20)\)
= \( 2 \times 2 \times \{y(y+5) + 4(y+5)\}\)
= \( 2 \times 2 \times (y+5)(y+4)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \(1\)
নির্ণেয় ল.সা.গু = \(3 \times 2 \times 2 \times (y-2)(y-3)(y+4)(y+5) = 12(y-2)(y-3)(y+4)(y+5)\)
(iii) \(a^{3} -4a^{2} +4a\), \(a^{2}+a-6\), \(a^{3}-8\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা –
\(a^{3} -4a^{2} +4a\)= \( a(a^{2} – 4a + 4)\)
= \( a\{(a)^{2} – 2 \cdot a \cdot 2 + (2)^{2}\}\)
= \( a(a-2)^{2}\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা –
\(a^{2}+a-6\)= \( a^{2} + 3a – 2a – 6\)
= \( a(a+3) – 2(a+3)\)
= \( (a+3)(a-2)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা –
\(a^{3} -8\)= \( (a)^{3} – (2)^{3}\)
= \( (a-2)\{(a)^{2} + a \cdot 2 + (2)^{2}\}\)
= \( (a-2)(a^{2} + 2a + 4)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \((a-2)\)
নির্ণেয় ল.সা.গু = \(a(a-2)^{2}(a+3)(a^{2} + 2a + 4)\)
(iv) \(a^{2}+b^{2}-c^{2} +2ab\), \(c^{2}+a^{2}-b^{2}+2ca\), \(b^{2}+c^{2}-a^{2}+2bc\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা –
\(a^{2}+b^{2}-c^{2} +2ab\)= \( a^{2} + 2ab + b^{2} – c^{2}\)
= \( (a+b)^{2} – c^{2}\)
= \( (a+b+c)(a+b-c)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা –
\(c^{2}+a^{2}-b^{2}+2ca\)= \( c^{2} + 2ca + a^{2} – b^{2}\)
= \( (c+a)^{2} – b^{2}\)
= \( (c+a+b)(c+a-b)\)
= \( (a+b+c)(a-b+c)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা –
\(b^{2}+c^{2}-a^{2}+2bc\)= \( b^{2} + 2bc + c^{2} – a^{2}\)
= \( (b+c)^{2} – a^{2}\)
= \( (b+c+a)(b+c-a)\)
= \( (a+b+c)(b+c-a)\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \((a+b+c)\)
নির্ণেয় ল.সা.গু = \((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)\)
(v) \(x^{3}-4x\), \(4(x^{2}-5x+6)\), \((x^{2}-4x+4)\)
সমাধান –
প্রথম সংখ্যামালা – \(x^{3}-4x\)
= \( x(x^{2}-4)\)
= \( x\{(x)^{2} – (2)^{2}\}\)
= \( x(x-2)(x+2)\)
দ্বিতীয় সংখ্যামালা – \(4(x^{2}-5x+6)\)
= \( 4(x^{2} – 3x – 2x + 6)\)
= \( 4\{x(x-3) – 2(x-3)\}\)
= \( 4(x-3)(x-2)\)
তৃতীয় সংখ্যামালা –
\((x^{2}-4x+4)\)= \( x^{2} – 2 \cdot x \cdot 2 + (2)^{2}\)
= \( (x-2)^{2}\)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = \((x-2)\)
নির্ণেয় ল.সা.গু = \(4x(x-2)^{2}(x+2)(x-3)\)
এই আর্টিকেলে অষ্টম শ্রেণির গণিতের ‘বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গসাগু ও লসাগু’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 14’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরেছি। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে। কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন