এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের পঞ্চম অধ্যায়, ‘অনুপাত ও সমানুপাত’ -এর ‘কষে দেখি – 5.1’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
1. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত, লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখি।
(i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস
(ii) 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা
(iii) 60 সেমি এবং 0.6 মিটার
(iv) 1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম
(i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস
সমাধান –
4 মাস ও 1 বছর 6 মাসের অনুপাত
\(= 4: (12+6)\)\(2:9 < 1\), সুতরাং অনুপাতটি লঘু অনুপাত।
(ii) 75 পয়সা ও 1 টাকা 25 পয়সা
সমাধান –
75 পয়সা ও 1 টাকা 25 পয়সার অনুপাত
এখন \(3:5\) অনুপাতটি \(1\) অপেক্ষা ছোটো সুতরাং এটি একটি লঘু অনুপাত।
(iii) 60 সেমি এবং 0.6 মিটার সমাধানঃ 60 সেমি এবং 0.6 মিটার এর অনুপাত
সমাধান –
60 সেমি এবং 0.6 মিটার এর অনুপাত
\(= 60: (0.6\times100)\)\(= 60:60\)∴ প্রদত্ত অনুপাত টি একটি সাম্যানুপাত।
(iv) 1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম
সমাধান –
1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম এর অনুপাত
যেহেতু অনুপাতটি \(1\) অপেক্ষা বড় তাই অনুপাতটি একটি গুরু অনুপাত।
2. (i) p কিগ্রা ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি
সমাধান –
p কিগ্রা ও q গ্রামের অনুপাতটি হল
\(= p\times1000 : q\)\(= 1000p:q\)2. (ii) x দিন ও z মাসের মধ্যে কখন অনুপাত নির্ণয় করা সম্ভব হবে লিখি
সমাধান –
x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় তখনই করা যাবে যখন তাদের একক সমান হবে অর্থাৎ তাদের একক যদি মাস অথবা দিনে প্রকাশ করা হয় তখন তাদের অনুপাত নির্ণয় করা সম্ভব হবে।
2. (iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কি ধরনের অনুপাত হবে লিখি
সমাধান –
ধরি একটি অনুপাত \(a:b\)
∴ তার ব্যাস্ত অনুপাত = \(b:a\)
এখন এদের মিশ্র অনুপাত = \((a \times b) : (b \times a) = ab:ba = 1:1\) যা একটি সাম্যানুপাত
2. (iv) \(\left(\frac{a}{b}\right):c\), \(\left(\frac{b}{c}\right):a\), \(\left(\frac{c}{a}\right):b\) এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান –
প্রদত্ত অনুপাত গুলির মিশ্র অনুপাত
\(= \left(\frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac{c}{a}\right) : (c \times a \times b)\)
2. (v) \(x^2 : yz\) এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত \(xy:z^2\) হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(x^2 : yz\) এবং \(a:b\) মিশ্র অনুপাত \(xy:z^2\) হবে।
∴ \((x^2 \times a) : (yz \times b) = xy:z^2\)
বা, \(\frac{ax^2}{byz} = \frac{xy}{z^2}\)
বা, \(\frac{a}{b} = \frac{xy}{z^2} \times \frac{yz}{x^2}\)
বা, \(\frac{a}{b} = \frac{y^2}{xz}\)
বা, \(a:b = y^2 : xz\)
∴ \(x^2 : yz\) এবং \(y^2 : xz\) এদের মিশ্র অনুপাত হবে \(xy:z^2\)
3. নিম্নলিখিত গুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি –
(i) \(4 : 5\), \(5 : 7\) এবং \(9 : 11\)
(ii) \((x + y) : (x – y)\), \((x^{2} + y^{2}) : (x + y)^{2}\) এবং \((x^{2} – y^{2})^{2} : (x^{4} – y^{4})\)
(i) \(4 : 5\), \(5 : 7\) এবং \(9 : 11\)
সমাধান –
নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = \(4 \times 5 \times 95 \times 7 \times 11\) = \(36 : 77\)
(ii) \((x + y) : (x – y)\), \((x^{2} + y^{2}) : (x + y)^{2}\) এবং \((x^{2} – y^{2})^{2} : (x^{4} – y^{4})\)
সমাধান –
নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত= \((x + y) \times (x^{2} + y^{2}) \times (x^{2} – y^{2})^{2} : (x – y) \times (x + y)^{2} \times (x^{2} – y^{4})\)
= \((x + y)(x^{2} + y^{2})(x + y)^{2}(x – y)^{2} : (x – y)(x + y)^{2} \cdot (x^{2} + y^{2}) \cdot (x^{2} – y^{2}\)
= \((x + y)(x – y)^{2} : (x – y) \cdot (x + y) \cdot (x – y)\)
= \((x – y)^{2} : (x – y)^{2}\)
= \(1 : 1\)
4.(i) A:B = 6:7 এবং B:C = 8:7 হলে A:C নির্ণয় করি।
সমাধান –
A:B = 6:7
বা, \( \frac{A}{B} = \frac{6}{7} \)
B:C = 4:5
বা, \( \frac{B}{C} = \frac{4}{5} \)
∴ \( \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{6}{7} \times \frac{4}{5} \)
বা, \( \frac{A}{C} = \frac{24}{35} \)
বা, A:C=24:35
4.(ii) যদি A:B = 2:3, B:C= 4:5 এবং C:D= 6:7 হয় তবে A:D এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
A:B = 2:3
বা, \( \frac{A}{B} = \frac{2}{3} \)
B:C = 4:5
বা, \( \frac{B}{C} = \frac{4}{5} \)
C:D = 6:7
বা, \( \frac{C}{D} = \frac{6}{7} \)
∴ \( \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} \)
বা, \( \frac{A}{D} = \frac{16}{35} \)
বা, A:D=16:35
4.(iii) যদি A:B=3:4 এবং B:C = 2:3 হয় তাহলে A:B:C নির্ণয় করি।
সমাধান –
A:B = 3:4
বা, \( \frac{A}{B} = \frac{3}{4} \)
B:C = 2:3
বা, \( \frac{B}{C} = \frac{2}{3} \)
বা, \( \frac{B}{C} = \frac{4}{6} \)
∴ A:B:C = 3:4:6
4.(iv) x:y=2:3 এবং y:z = 4:7 হলে , x:y:z নির্ণয় করি।
সমাধান –
x:y = 2:3
বা, \( \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \)
বা, \( \frac{x}{y} = \frac{8}{12} \)
এবং y:z= 4:7
বা, \( \frac{y}{z} = \frac{4}{7} \)
বা, \( \frac{y}{z} = \frac{12}{21} \)
∴ x:y:z = 8:12:21
5. (i) x : y = 3 : 4 হলে (3y – x) : (2x + y) কত হবে নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(\frac xy=\frac34\)মনেকরি, \(x = 3k\) [যেখানে k অশূন্য বাস্তব সংখ্যা]
\(y = 4k\)\(\therefore (3y – x) : (2x + y)\)\(= (3 \cdot 4k – 3k) : (2 \cdot 3k + 4k)\)\(= 9k : 10k\)\(= 9 : 10\)a : b = 8 : 7 হলে, দেখাই যে (7a – 3b) : (11a – 9b) = 7 : 5
5. (ii) a : b = 8 : 7 হলে, দেখাই যে (7a – 3b) : (11a – 9b) = 7 : 5
সমাধান –
\(a : b = 8 : 7\)মনেকরি, \(a = 8k\), \(b = 7k\) যেখানে k অশূন্য বাস্তব সংখ্যা
বামপক্ষ \(= (7a – 3b) : (11a – 9b)\)
\(= (7 \times 8k – 3 \times 7k) : (11 \times 8k – 9 \times 7k)\)\(= (56k – 21k) : (88k – 63k)\)\(= 35k : 25k\)\(= 7 : 5\) ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
p : q = 5 : 7 এবং p – q = – 4 হলে 3p + 4q-এর মান কত?
5. (iii) p : q = 5 : 7 এবং p – q = – 4 হলে 3p + 4q-এর মান কত?
সমাধান –
\(p : q = 5 : 7\)ধরি, \(p = 5k\), \(q = 7k\) যেখানে k অশূন্য বাস্তব সংখ্যা \(p – q = -4\)
বা, \(5k – 7k = -4\)
বা, \(-2k = -4\)
বা, \(k = 2\)
\(\therefore 3p + 4q = 3 \times 5k + 4 \times 7k\)\(= (15k + 28k)\)\(= 43k\)\(= (43 \times 2)\)\(= 86\)6. (i) (5x – 3y) : (2x + 4y) = 11 : 12 হলে x : y নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(\frac{5x-3y}{2x+4y}=\frac{11}{12}\)বা, \(60x – 36y = 22x + 44y\)
বা, \(60x – 22x = 44y + 36y\)
বা, \(38x = 80y\)
বা, \(\frac xy=\frac{80}{38}=\frac{40}{19}\)
∴ x : y = 40 : 19
6. (ii) (3a +7b) : (5a – 3b) = 5 : 3 হলে a : b নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(\frac{3a+7b}{5a-3b}=\frac7{11}\)বা, \(25a – 15b = 9a + 21b\)
বা, \(25a – 9a = 21b + 15b\)
বা, \(16a = 36\)
বা, \(\frac ab=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}\)
∴ a : b = 9 : 4
7. (i) (7x – 5y) : (3x + 4y) = 7 : 11 হলে, দেখাই যে (3x – 2y) : (3x + 4y) = 137 : 473
সমাধান –
\(\frac{7x-5y}{3x+4y}=\frac7{11}\)বা, \(77x – 55y = 21x + 28y\)
বা, \(77x – 21x = 28y + 55y\)
বা, \(56x = 83y\)
বা, \(\frac xy=\frac{83}{56}\)
ধরি, \(x = 83k\), \(y = 56k\) যেখানে k অশূন্য বাস্তব সংখ্যা
বামপক্ষ = (3x – 2y) : (3x + 4y)
= \((3 \times 83k – 2 \times 56k) : (3 \times 83k + 4 \times 56k)\)
= \((249k – 112k) : (249k + 224k)\)
= \(137k : 473k\)
= \(137 : 473\) ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
7. (ii) (10x + 3y) : (5x + 2y) = 9 : 5 হলে দেখাই যে (2x + y) : (x + 2y) = 11 : 13
সমাধান –
\(\frac{10x+3y}{5x+2y}=\frac95\)বা, \(50x + 15y = 45x + 18y\)
বা, \(50x – 45x = 18y – 15y\)
বা, \(5x = 3y\)
বা, \(\frac xy=\frac35\)
ধরি, \(x = 3k\), \(y = 5k\) যেখানে k অশূন্য বাস্তব সংখ্যা
বামপক্ষ = (2x + y) : (x + 2y) = \((2 \times 3k + 5k) : (3k + 2 \times 5k)\)
= \((6k+5k) : (3k+10k)\)
= \(11k : 13k\)
= \(11 : 13\) = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
8. (i) 2 : 5 অনুপাতের উভয় পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6 : 11 হবে নির্ণয় করি।
সমাধান –
মনেকরি x যোগ করতে হবে।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{2+x}{5+x}=\frac6{11}\)
বা, \(22 + 11x = 30 + 6x\)
বা, \(11x – 6x = 30 – 22\)
বা, \(5x = 8\)
বা, \(x = \frac85\)
∴ উভয় পদের সঙ্গে \(\frac85\) যোগ করতে হবে।
8. (ii) a : b বৈষম্যানুপাতের উভয় পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m : n হবে নির্ণয় করি।
সমাধান –
মনেকরি উভয় পদের সঙ্গে x বিয়োগ করতে হবে।
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{a-x}{b-x}=\frac mn\)
বা, \(an – xn = bm – mx\)
বা, \(mx – xn = bm – an\)
বা, \(x(m – n) = bm – an\)
বা, \(x = \frac{bm-an}{m-n}\)
∴ \(\frac{bm-an}{m-n}\) বিয়োগ করতে হবে।
8. (iii) কোন সংখ্যা 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তর পদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মান 2 : 3 এবং 5 : 4 -এর যৌগিক অনুপাত হবে।
সমাধান –
মনেকরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নানুসারে, \(\frac{4+x}{7-x} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\)
বা, \(24 + 6x = 35 – 5x\)
বা, \(6x + 5x = 35 – 24\)
বা, \(11x = 11\)
বা, \(x = 1\)
∴ সংখ্যাটি = 1
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের পঞ্চম অধ্যায়, ‘অনুপাত ও সমানুপাত’ -এর ‘কষে দেখি – 5.1’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন