মাধ্যমিক গণিত – অনুপাত সমানুপাত – কষে দেখি – 5.2

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের পঞ্চম অধ্যায়, ‘অনুপাত ও সমানুপাত’ -এর ‘কষে দেখি – 5.2’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।

1. নিম্নলিখিত সমানুপাতে x -এর মান নির্ণয় করি।

(i) 10 : 35 :: x : 42
(ii) x : 50 :: 3 : 2

(i) 10:35::x:42

সমাধান –

\(10:35 :: x:42\)

বা, \(\frac{10}{35} = \frac{x}{42}\)

বা, \(35x = 420\)

বা, \(x = \frac{420}{35}\)

বা, \(x = 12\)

∴ \(x = 12\)

(ii) x : 50 :: 3:2

সমাধান –

\(x : 50 :: 3:2\)

বা, \(\frac{x}{50} = \frac{3}{2}\)

বা, \(2x = 150\)

বা, \(x = \frac{150}{2}\)

বা, \(x = 75\)

∴ \(x = 75\)

2. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি।

(i) \(\frac13,\frac14,\frac15\)
(ii) 9.6 কিগ্রা, 7.6 কিগ্রা, 28.8 কিগ্রা
(iii) x²y, y²z, z²x
(iv) (p-q), (p²-q²), (p²-pq+q²)

(i) \(\frac13,\frac14,\frac15\)

সমাধান –

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতীটি হল x

\(∴ \frac{1}{3} : \frac{1}{4} :: \frac{1}{5} : x\)

বা, \(\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{5}}{x}\)

বা, \( \frac{4}{3} = \frac{1}{5x}\)

বা, \(20x = 3\)

বা, \(x = \frac{3}{20}\)

বা, \(∴ x = \frac{3}{20}\)

(ii) 9.6 কিগ্রা, 7.6 কিগ্রা, 28.8 কিগ্রা

সমাধান –

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতীটি হল x

\(∴ 9.6 : 7.6 :: 28.8 : x\)

বা, \(\frac{9.6}{7.6} = \frac{28.8}{x}\)

বা, \(\frac{96}{76} = \frac{288}{x}\)

বা, \(\frac{24}{19} = \frac{144}{x}\)

বা, \(24x = 19 \times 144\)

বা, \(x = \frac{19 \times 144}{24}\)

বা, \(x = 114\)

\(∴ x = 114\)

(iii) x²y, y²z, z²x

সমাধান –

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতীটি হল a

\(∴ x^2y : y^2z :: z^2x : a\)

বা, \( \frac{x^2y}{y^2z} = \frac{z^2x}{a}\)

বা, \( ax^2y = z^2x \times y^2z\)

বা, \(a = \frac{z^2x \times y^2z}{x^2y}\)

বা, \(a = \frac{z^3y^2x}{x^2y}\)

বা, \(a = \frac{z^3y}{x}\)

\(∴ a = \frac{z^3y}{x}\)

(iv) (p-q), (p²-q²), (p²-pq+q²)

সমাধান –

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতীটি হল x

\(∴ (p-q) : (p^2-q^2) :: (p^2-pq+q^2) : x\)

বা, \(\frac{(p-q)}{(p^2-q^2)} = \frac{(p^2-pq+q^2)}{x}\)

বা, \( x = \frac{(p^2-q^2)(p^2-pq+q^2)}{(p-q)}\)

বা, \(x = \frac{(p-q)(p+q)(p^2-pq+q^2)}{(p-q)}\)

বা, \( x = (p+q)(p^2-pq+q^2)]\)

বা, \(∴ x = p^3 – q^3\)

3. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি।

(i) 5, 10 (ii) 0.24, 0.6 (iii) p³q², q²r (iv) (x – y)², (x² – y²)²

(i) 5,10

সমাধান –

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতীটি হল x

\(∴ 5:10 :: 10:x\)

বা, \(\frac{5}{10} = \frac{10}{x}\)

বা, \(5x = 100\)

বা, \(x = 20\)

সুতরাং তৃতীয় সমানুপাতীটি হল 20

(ii) 0.24, 0.6

সমাধান –

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতীটি হল x

\(∴ 0.24:0.6 :: 0.6:x\)

বা, \(\frac{0.24}{0.6} = \frac{0.6}{x}\)

বা, \(0.24x = 0.6 \times 0.6\)

বা, \(x = \frac{0.36}{0.24}\)

বা, \(x = \frac{3}{2}\)

বা, \(x = 1\frac{1}{2}\)

সুতরাং তৃতীয় সমানুপাতীটি হল \(1\frac{1}{2}\) .

(iii) p³q², q²r

সমাধান –

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী টি হল x

\(∴ p^3q^2 : q^2r :: q^2r : x\)

বা, \(\frac{p^3q^2}{q^2r} = \frac{q^2r}{x}\)

বা, \(xp^3q^2 = q^4r^2\)

বা, \(x = \frac{q^4r^2}{p^3q^2}\)

বা, \(x = \frac{q^2r^2}{p^3}\)

নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী টি হল \(\frac{q^2r^2}{p^3}\)

(iv) (x-y)², (x²-y²)²

সমাধান –

ধরি, তৃতীয় সমানুপাতীটি হল a

\(∴ (x-y)^2 : (x^2-y^2)^2 :: (x^2-y^2)^2 : a\)

বা, \(\frac{(x-y)^2}{(x^2-y^2)^2} = \frac{(x^2-y^2)^2}{a}\)

বা, \(a(x-y)^2 = (x^2-y^2)^4\)

বা, \(a = \frac{(x^2-y^2)^4}{(x-y)^2}\)

বা, \(a = \frac{(x+y)^4(x-y)^4}{(x-y)^2}\)

বা, \(a = (x+y)^4(x-y)^2\)

নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী হল \( (x+y)^4(x-y)^2\)

4. নিম্নলিখিত ধনাত্মক সংখ্যাগুচ্ছগুলির মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করি –

(i) 5 এবং 80 (ii) 8.1 এবং 2.5 (iii) x³y এবং xy³ (iv) (x – y)², (x + y)²

(i) 5 এবং 80

সমাধান –

ধরি, মধ্যসমানুপাতীটি হলো x

\(∴ 5:x :: x:80\)

বা, \(\frac{5}{x} = \frac{x}{80}\)

বা, \(x^2 = 400\)

বা, \(x = \sqrt{400}\)

বা, \(x = 20\)

\(∴\) মধ্য সমানুপাতীটি হলো 20

(ii) 8.1 এবং 2.5

সমাধান –

ধরি, মধ্য সমানুপাতীটি হলো x

\(∴ 8.1 : x :: x : 2.5\)

বা, \(\frac{8.1}{x} = \frac{x}{2.5}\)

বা, \(x^2 = 8.1 \times 2.5\)

বা, \(x^2 = \frac{81 \times 25}{100}\)

বা, \(x = \sqrt{\frac{81 \times 25}{100}}\)

বা, \(x = \frac{9 \times 5}{10}\)

বা, \(x = \frac{45}{10}\)

বা, \(x = 4.5\)

\(∴\) নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতীটি হলো 4.5

(iii) \(x^{3}y\) এবং \(xy^{3}\)

সমাধান –

ধরি, মধ্য সমানুপাতীটি হল k

\(∴ x^{3}y : k :: k : xy^{3}\)

বা, \(\frac{x^{3}y}{k} = \frac{k}{xy^{3}}\)

বা, \(k^{2} = x^{4}y^{4}\)

বা, \(k^{2} = (x^{2}y^{2})^{2}\)

বা, \(k = x^{2}y^{2}\)

\(∴\) নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতীটি হল \(x^{2}y^{2}\)

(iv) \((x-y)^{2}\), \((x+y)^{2}\)

সমাধান –

ধরি, মধ্য সমানুপাতীটি হল a

\(∴ (x-y)^{2} : a :: a : (x+y)^{2}\)

বা, \(\frac{(x-y)^{2}}{a} = \frac{a}{(x+y)^{2}}\)

বা, \(a^{2} = (x-y)^{2}(x+y)^{2}\)

বা, \(a^{2} = (x^{2}-y^{2})^{2}\)

বা, \(a = (x^{2}-y^{2})\)

\(∴\) নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতীটি হল \((x^{2}-y^{2})\)

5. যদি a : b এবং c : d এই অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যাস্ত অনুপাতগুলি কী সম্পর্ক প্রকাশ করে লিখি।

সমাধান – যদি a:b এবং c:d পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যাস্ত অনুপাতগুলি অর্থাৎ b:a এবং d:c পরস্পর ব্যাস্ত সম্পর্ক প্রকাশ করবে।

6. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে কটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান – তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে দুটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে। যেমন – a,b,c তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা হলে, a:b::b:c এবং b:a :: c:b এই দুটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা সম্ভব।

7. 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6, পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান –

5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6

ধরি, তৃতীয়, চতুর্থ এবং পঞ্চম সংখ্যা যথাক্রমে a, b,c

\(∴ \frac{2}{6} = \frac{6}{a} = \frac{a}{b} = \frac{b}{c}\)

বা, \(\frac{2}{6} = \frac{6}{a}\)

বা, \(2a = 36\)

বা, \(a = 18\)

আবার, \(\frac{6}{a} = \frac{a}{b}\)

বা, \(\frac{6}{18} = \frac{18}{b}\) [∴ a=18]

বা, \(b = \frac{18 \times 18}{6}\)

বা, \(b = 54\)

এখন, \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c}\)

বা, \(\frac{18}{54} = \frac{54}{c}\) [∴ a=18, b=54 ]

বা, \(18c = 54 \times 54\)

বা, \(c = \frac{54 \times 54}{18}\)

বা, \(c = 162\)

\(∴\) পঞ্চম সমানুপাতীটি হল 162

8. 6, 15, 20 ও 43 এর প্রতিটির সাথে কত যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।

সমাধান –

ধরি, 6, 15, 20 ও 43 এই প্রতিটির সাথে x যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

\(∴ (6+x) : (15+x) :: (20+x) : (43+x)\)

বা, \(\frac{6+x}{15+x} = \frac{20+x}{43+x}\)

বা, \((6+x)(43+x) = (20+x)(15+x)\)

বা, \(258 + 49x + x^2 = 300 + 35x + x^2\)

বা, \(14x = 300 – 258\)

বা, \(14x = 42\)

বা, \(x = 3\)

\(∴\) প্রদত্ত সংখ্যাগুলির সাথে 3 যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

9. 23, 30, 57 এবং 78 প্রত্যেকটি থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।

সমাধান –

ধরি, 23, 30, 57, এবং 78 প্রত্যেকটি সংখ্যা থেকে x বিয়োগ করলে বিয়োগফল গুলি সমানুপাতী হবে।

\(∴ (23-x) : (30-x) :: (57-x) : (78-x)\)

বা, \(\frac{23-x}{30-x} = \frac{57-x}{78-x}\)

বা, \((23-x)(78-x) = (57-x)(30-x)\)

বা, \(1794 – 23x – 78x + x^2 = 1710 – 57x – 30x + x^2\)

বা, \(1794 – 101x + x^2 = 1710 – 87x + x^2\)

বা, \(-101x + 87x = 1710 – 1794\)

বা, \(-14x = -84\)

বা, \(x = \frac{84}{14}\)

বা, \(x = 6\)

\(∴\) সংখ্যা গুলি থেকে 6 বিয়োগ করলে সংখ্যাগুলি সমানুপাতী হবে।

10. p, q, r, s এর প্রত্যেকটি থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে?

সমাধান –

ধরি, p, q, r, s এর প্রত্যেকটি থেকে x বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে

সুতরাং, \(∴ (p-x):(q-x) :: (r-x):(s-x)\)

বা, \(\frac{p-x}{q-x} = \frac{r-x}{s-x}\)

বা, \((p-x)(s-x) = (r-x)(q-x)\)

বা, \(ps-px-sx+x^2 = rq-xq-rx+x^2\)

বা, \(qx+rx-px-sx = rq-ps\)

বা, \(x(q+r-p-s) = rq-ps\)

বা, \(x = \frac{(rq-ps)}{(q+r-p-s)}\)

\(∴\) p, q, r, s প্রত্যেকটি সংখ্যা থেকে \(\frac{(rq-ps)}{(q+r-p-s)}\) রাশিটি বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে।

---

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের পঞ্চম অধ্যায়, ‘অনুপাত ও সমানুপাত’ -এর ‘কষে দেখি – 5.2’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।

আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।