এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের পঞ্চম অধ্যায়, ‘অনুপাত ও সমানুপাত’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
প্রয়োগ 1. নীচের অনুপাতগুলি দেখো এবং ফাঁকা ঘরে বুঝে লেখো।
| অনুপাত | সাম্যানুপাত/বৈষম্যানুপাত | গুরু অনুপাত/লঘু অনুপাত | ব্যস্ত অনুপাত বা বিপরীত অনুপাত |
| 7 : 5 | বৈষম্যানুপাত | গুরু অনুপাত | 5 : 7 |
| 6 : 6 | |||
| 1 : 4 | |||
| 9 : 2 | |||
| 7 : 5, 1 : 4 ও 9 : 2-এর যৌগিক অনুপাত |
উত্তর –
| অনুপাত | সাম্যানুপাত/বৈষম্যানুপাত | গুরু অনুপাত/লঘু অনুপাত | ব্যস্ত অনুপাত বা বিপরীত অনুপাত |
| 7 : 5 | বৈষম্যানুপাত | গুরু অনুপাত | 5 : 7 |
| 6 : 6 | সাম্যানুপাত | 6 : 6 | |
| 1 : 4 | বৈষম্যানুপাত | লঘু অনুপাত | 4 : 1 |
| 9 : 2 | বৈষম্যানুপাত | গুরু অনুপাত | 2 : 9 |
| 7 : 5, 1 : 4 ও 9 : 2-এর যৌগিক অনুপাত 40 : 63 | বৈষম্যানুপাত | গুরু অনুপাত | 40:63\ |
প্রয়োগ 2. x:y অনুপাতটি কোন শর্তে লঘু অনুপাত ও কোন শর্তে গুরু অনুপাত হবে লিখি এবং x:y-এর সমতুল্য দুটি অনুপাত লিখি।
সমাধান –
\(x:y\) অনুপাতটি লঘু অনুপাত হবে যখন \(\frac{x}{y} < 1\) এবং গুরু অনুপাত হবে যখন \(\frac{x}{y} > 1\) হবে। x:y-এর সমতুল্য দুটি অনুপাত \(xk:yk\) এবং \(\frac{x}{k}:\frac{y}{k}\) [যেখানে \(k \ne 0\)]
প্রয়োগ 3. আমি pr:qr-এর লঘিষ্ঠ আকারের ব্যস্ত অনুপাত লিখি।
সমাধান –
∴ \(pr:qr\) -এর লঘিষ্ঠ আকার \( = p:q\)
∴ \(pr:qr\) -এর লঘিষ্ঠ আকারের ব্যস্ত অনুপাত \( = q:p\)
প্রয়োগ 4. \(x^2yp:xy^2p\)-এর লঘিষ্ঠ আকারের ব্যস্ত অনুপাত কত?
সমাধান –
\(x^2yp:xy^2p\)-কে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে হয়, \(x:y\)
∴ \(x:y\)-এর ব্যস্ত অনুপাত \(y:x\)
প্রয়োগ 5. যদি দুটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার অনুপাতের লঘিষ্ঠ আকার p:q এবং তাদের গ.সা.গু. r হয়, তবে সংখ্যা দুটি কী কী হবে লিখি।
যদি দুটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার অনুপাতের লঘিষ্ঠ আকার p:q এবং তাদের গ.সা.গু. r হয়, তবে সংখ্যা দুটি হল pr এবং qr.
প্রয়োগ 6. যদি দুটি সংখ্যার অনুপাত 2:3 এবং তাদের গ.সা.গু. 7 হয়, তবে সংখ্যাদুটি লিখি।
সমাধান –
সংখ্যাদুটি হবে (2 × 7) = 14 ও (3 × 7) = 21.
প্রয়োগ 7. নীচের অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত লিখি –
(i) \(a:b, p:q এবং x:y\)
(ii) \(a:bc, b:ca, c:ab\)
(i) \(a:b, p:q এবং x:y\)
সমাধান –
\(a:b, p:q এবং x:y\) -এর যৌগিক বা মিশ্র অনুপাত –
\(= a \times p \times x : b \times q \times y\)\(= apx : bqy\)(ii) \(a:bc, b:ca, c:ab\)
সমাধান –
\(a:bc, b:ca, c:ab\) -এর যৌগিক বা মিশ্র অনুপাত –
\(= a \times b \times c : bc \times ca \times ab\)\(= abc : a^2b^2c^2\)\(= 1 : abc\) [পূর্ব ও উত্তরপদকে abc দিয়ে ভাগ করে পাই]
প্রয়োগ 8. \(pq:r\) ও \(r:pq\) -এর যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করো ও ওই যৌগিক অনুপাতকে কী বলে লেখো।
সমাধান –
\(pq:r\) ও \(r:pq\) -এর যৌগিক অনুপাত
\(= pq \times r : r \times pq\)\(= pqr : pqr\)\(= 1 : 1\) [পূর্ব ও উত্তরপদকে pqr দিয়ে ভাগ করে পাই]
∴ \(pq:r\) ও \(r:pq\) -এর যৌগিক অনুপাত সাম্যানুপাত।
প্রয়োগ 9. \(p^2q:r, q^2r:p\) ও \(r^2p:q\) অনুপাত তিনটির মিশ্র অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধান –
\(p^2q^2r^2:1\) -এর ব্যস্ত অনুপাত \(1:p^2q^2r^2\)
∴ নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = \(p^2q \times q^2r \times r^2p : r \times p \times q\) = \(p^2q^2r^2:1\).
প্রয়োগ 10. যদি \(A:B = 4:5\) এবং \(B:C = 6:7\) হয়, তবে \(A:C\) নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(A:B = 4:5\) এবং \(B:C = 6:7\)
\(\frac{A}{B} = \frac{4}{5}\) এবং \(\frac{B}{C} = \frac{6}{7}\)
∴ \( \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} = \frac{4}{5} \times \frac{6}{7}\)
বা, \(\frac{A}{C} = \frac{24}{35}\)
∴ \(A:C = 24:35\)
প্রয়োগ 11. \(A:B= 3:7\) এবং \(B:C = 8:5\) হয়, তবে \(A:C\) -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
বা, \(\frac{A}{B} = \frac{3}{7}\)
আবার, \(B:C = 8:5\) বা, \(\frac{B}{C} = \frac{8}{5}\)
\(A:C\)= \(\frac{A}{C}\)
= \(\frac{A}{B} \times \frac{B}{C}\)
= \(\frac{3}{7} \times \frac{8}{5}\)
= \(\frac{24}{35}\)
= \(24:35\)
বা, \(A:C = 24:35\)
প্রয়োগ 12. যদি \(A:B = 6:7\) এবং \(B:C = 8:9\) হয়, তবে \(A:B:C\) কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(A:B = 6:7\) এবং \(B:C = 8:9\)
\(B:C = 8:9\) \(= 1:\frac{9}{8} = 7:\frac{63}{8}\)
∴ \(A:B:C = 6:7:\frac{63}{8}\) = \(48:56:63\)
অন্যভাবে, \(A:B:C\) নির্ণয় করার সময়ে প্রথমে উভয় ক্ষেত্রে B-এর মান সমান করে নিই।
B-এর দুটি মান 7 ও 8-এর ল.সা.গু. 56
\(A:B = 6:7\) \(= 6 \times 8:7 \times 8 = 48:56\)
\(B:C = 8:9\) \(= 8 \times 7:9 \times 7 = 56:63\)
∴ \(A:B:C = 48:56:63\)
প্রয়োগ 13. যদি \(A:B = 5:9\) এবং \(B:C = 4:5\) হয় তবে \(A:B:C\) কত হবে হিসাব করে লিখি।
\(A:B = 5:9 = 5 \times 4:9 \times 4 = 20:36\)\(B:C = 4:5 = 9 \times 4:9 \times 5 = 36:45\)∴ \(A:B:C = 20:36:45\)
প্রয়োগ 14. যদি \(x:y = 2:3\) হয়, তবে (4x-y):(2x+3y) কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(x:y = 2:3\)ধরি, \(x=2p\) এবং \(y=3p\) [যেখানে, \(p\) একটি বাস্তব সংখ্যা এবং \(p \ne 0\)]
∴ \( (4x-y):(2x+3y) = \frac{4x-y}{2x+3y}\)
\(= \frac{4 \times 2p – 3p}{2 \times 2p + 3 \times 3p}\)\(= \frac{8p-3p}{4p+9p}\)\(= \frac{5p}{13p}\)\(= \frac{5}{13}\)∴ \((4x-y):(2x+3y) = 5:13\)
বিকল্প পদ্ধতি –
\((4x-y):(2x+3y) = \frac{4x-y}{2x+3y}\)\(= \frac{\frac{4x-y}{y}}{\frac{2x+3y}{y}}\) [লব ও হরকে \(y\) দ্বারা ভাগ করে পাই]
\(= \frac{4\frac{x}{y}-1}{2\frac{x}{y}+3}\)\(= \frac{4 \times \frac{2}{3}-1}{2 \times \frac{2}{3}+3}\) [\(\frac{x}{y} = \frac{2}{3}\) বসিয়ে]
\(= \frac{\frac{8}{3}-1}{\frac{4}{3}+3}\)\(= \frac{\frac{5}{3}}{\frac{13}{3}}\)\(= \frac{5}{13}\)\(= 5:13\)প্রয়োগ 15. \(x:y = 7:4\) হলে দেখাই যে, (5x+6y):(3x+11y) = 11:65
সমাধান –
\(x : y = 7 : 4\)\(\frac{x}{y} = \frac{7}{4}\)বা, \(\frac{x}{7} = \frac{y}{4} = k\) [ \(k (\ne 0)\) একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ \(x = 7k\) এবং \(y = 4k\)
∴ \((5x-6y):(3x+11y) = \frac{5x-6y}{3x+11y}\)
\(= \frac{5(7k)-6(4k)}{3(7k)+11(4k)}\)\(= \frac{35k-24k}{21k+44k}\)\(= \frac{11k}{65k}\)\(= \frac{11}{65}\)\(= 11:65\)প্রয়োগ 16. (3x+5y):(7x-4y)=7:4 হলে, x:y -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(5x-6y:(7x-4y)=7:4\)বা, \(\frac{3x+5y}{7x-4y} = \frac{7}{4}\)
বা, \(4(3x+5y) = 7(7x-4y)\)
বা, \(12x+20y = 49x-28y\)
বা, \(12x-49x = -28y-20y\)
বা, \(-37x = -48y\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{-48}{-37}\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{48}{37}\)
∴ \( x:y = 48:37\)
প্রয়োগ 17. যদি\((2x+5y):(5x-7y) = 5:3\) হয় , তবে x:y -এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান –
\(2x+5y:(5x-7y) = 5:3\)বা, \(\frac{2x+5y}{5x-7y} = \frac{5}{3}\)
বা, \(3(2x+5y) = 5(5x-7y)\)
বা, \(6x + 15y = 25x – 35y\)
বা, \(6x – 25x = -15y – 35y\)
বা, \(-19x = -50y\)
বা, \(x/y = -50 / -19\)
বা, \(x:y = 50:19 \)
প্রয়োগ 18. (3x-2y):(x+3y) = 5:6 হলে, (2x-5y):(3x+4y) নির্ণয় করি
সমাধান –
\(\frac{3x-2y}{x+3y} = \frac{5}{6}\)বা, \(6(3x-2y) = 5(x+3y)\)
বা, \(18x-12y = 5x+15y\)
বা, \(13x = 27y\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{27}{13}\)
∴ \(x:y = 27:13\)
ধরি, \(x=27k\) এবং \(y=13k\) [ \(k\) একটি অশূন্য বাস্তব সংখ্যা ]
∴ \((2x-5y):(3x+4y) = \frac{2x-5y}{3x+4y}\)
\(= \frac{2 \times 27k – 5 \times 13k}{3 \times 27k + 4 \times 13k}\)\(= \frac{54k-65k}{81k+52k}\)\(= \frac{-11k}{133k}\)\(= \frac{-11}{133}\)\(= -11:133\)∴ \((2x-5y):(3x+4y) = -11:133\)
প্রয়োগ 19. (7x-5y):(3x+4y) = 7:11 হলে, (5x-3y):(6x+5y) -এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান –
\( (7x-5y): (3x+4y) = 7:11\)বা, \(\frac{7x-5y}{3x+4y} = \frac{7}{11}\)
বা, \(11 (7x-5y) = 7 (3x+4y)\)
বা, \(77x – 55y = 21x + 28y\)
বা, \(77x – 21x = 55y + 28y\)
বা, \(56x = 83y\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{83}{56}\)
বা, \(\frac{x}{83} = \frac{y}{56} = k\) [ধরি (\(k \ne 0\)) একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক]
বা, \(x = 83k\) এবং \(y = 56k\)
∴ \( 5x-3y: (6x+5y) = \frac{5x-3y}{6x+5y}\)
\(= \frac{5(83k)-3(56k)}{6(83k)+5(56k)}\)\(= \frac{415k-168k}{498k+280k}\)\(= \frac{247k}{778k}\)\(= \frac{247}{778}\)\(= 247 : 778\)উত্তর – \( 5x-3y:(6x+5y) = 247:778\)
প্রয়োগ 20. \(x:y\) বৈষম্যানুপাতের উভয় পদের সঙ্গে কত যোগ করলে \(p:q\) বৈষম্যানুপাতটি হবে নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, \(x:y\) অনুপাতের উভয় পদের সঙ্গে \(k\) যোগ করলে অনুপাতটি \(p:q\) হবে।
সুতরাং, \(\frac{x+k}{y+k} = \frac{p}{q}\)
বা, \(q(x+k) = p(y+k)\)
বা, \(qx+qk = py+pk\)
বা, \(qk-pk = py-qx\)
বা, \(k(q-p) = py-qx\)
∴ \(k = \frac{py-qx}{q-p}\)
(\( p:q\) একটি বৈষম্যানুপাত, ∴ \(p \neq q\); ∴ \(q-p \neq 0\))
∴ নির্ণেয় সংখ্যা \(\frac{py-qx}{q-p}\) উভয় পদের সঙ্গে যোগ করতে হবে।।
প্রয়োগ 21. \(5:3\) অনুপাতের উভয় পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি \(7:6\) হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(5:3\) অনুপাতের উভয় পদের সঙ্গে \(x\) যোগ করলে অনুপাতটি \(7:6\) হবে।
∴ \((5+x):(3+x) = 7:6\)
বা, \(\frac{5+x}{3+x} = \frac{7}{6}\)
বা, \(6(5+x) = 7(3+x)\)
বা, \(30 + 6x = 21 + 7x\)
বা, \(6x-7x = 21-30\)
বা, \(-x = -9\)
বা, \(x = 9\)
উত্তর – \(5:3\) অনুপাতের উভয় পদের সঙ্গে \(9\) যোগ করলে অনুপাতটি \(7:6\) হবে।
প্রয়োগ 22. x:y বৈষম্যানুপাতের উভয় পদ থেকে কত বিয়োগ করলে p:q বৈষম্যানুপাতটি হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মনে করি, \(x:y\) অনুপাতের উভয় পদ থেকে \(r\) বিয়োগ করলে অনুপাতটি \(p:q\) হবে।
সুতরাং, \(\frac{x-r}{y-r} = \frac{p}{q}\)
বা, \(qx-qr = py-pr\)
বা, \(pr-qr = py-qx\)
বা, \(r(p-q) = py-qx\)
∴ \(r = \frac{py-qx}{p-q}\)
∴ নির্ণেয় সংখ্যা \(\frac{py-qx}{p-q}\) উভয় পদের থেকে বিয়োগ করতে হবে।
প্রয়োগ 23. \(2\), \(3\), \(4\) ও \(6\) সমানুপাতে আছে কিনা দেখি।
সমাধান –
প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = \(2 \times 6 = 12\)
মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল = \(3 \times 4 = 12\)
∴ প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল
∴ \(2\), \(3\), \(4\) ও \(6\) সমানুপাতে আছে।
প্রয়োগ 24. \(2.5\), \(-2\), \(-5\) ও \(4\) সমানুপাতে আছে কিনা দেখি।
সমাধান –
প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = \(2.5 \times 4 = 10\)
মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল = \(-2 \times (-5) = 10\)
∴ প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল
∴ \(2.5\), \(-2\), \(-5\) ও \(4\) সমানুপাতে আছে।
প্রয়োগ 25. \(2\), \(7\), \(12\) ও \(42\) সমানুপাতে আছে কিনা দেখি।
সমাধান –
প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = \(2 \times 42 = 84\)
মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল = \(7 \times 12 = 84\)
∴ প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল
∴ \(2\), \(7\), \(12\) ও \(42\) সমানুপাতে আছে।
প্রয়োগ 26. \(-\sqrt{2}\), \(6\), \(1\) ও \(-\sqrt{18}\) সমানুপাতে আছে কিনা দেখি।
সমাধান –
প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = \((-\sqrt{2}) \times (-\sqrt{18}) = \sqrt{36} = 6\)
মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল = \(6 \times 1 = 6\)
∴ প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্য পদদ্বয়ের গুণফল
∴ \(-\sqrt{2}\), \(6\), \(1\) ও \(-\sqrt{18}\)-এরা সমানুপাতে আছে।
প্রয়োগ 27. 5pq, 3q -এর সঙ্গে নিচের কোন জোড়া সংখ্যা সমানুপাতে আছে নির্ণয় করি —
সমাধান –
(a) 15pt, 3q (b) 15pt, 9t (c) 15pr, 9t
\(5pq : 3q = \frac{5pq}{3q} = \frac{5p}{3} = \frac{5p \times 3t}{3 \times 3t} = \frac{15pt}{9t}\)∴ নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় \(15pt\) ও \(9t\)।
প্রয়োগ 28. \(2a\), \(3b\), \(6ac\) ও \(9bc\) সমানুপাতী কিনা দেখি।
সমাধান –
\(2a \times 9bc = 18abc\) এবং \(3b \times 6ac = 18abc\)
পেলাম প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল
∴ \(2a\), \(3b\), \(6ac\) ও \(9bc\) সমানুপাতী।
প্রয়োগ 29. \(8x\), \(5yz\), \(40qx\) ও \(25qyz\) সমানুপাতী কিনা দেখি।
সমাধান –
\(8x \times 25qyz = 200 x q y z\)আবার, \(5yz \times 40qx = 200 x q y z\)
অর্থাৎ, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল
সুতরাং, \(8x\), \(5yz\), \(40qx\) ও \(25qyz\) সমানুপাতী।
প্রয়োগ 30. যদি \(6:x::2:13\) হয়, তবে \(x\)-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(6:x::2:13\)\(\frac{6}{x} = \frac{2}{13}\)বা, \(2x = 6 \times 13\)
বা, \(x = \frac{78}{2}\)
∴ \(x = 39\)
প্রয়োগ 31. যদি, \(8:y::2:21\) হয় তবে \(y\)-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(8:y::2:21\)বা, \(\frac{8}{y} = \frac{2}{21}\)
বা, \(2y = 8 \times 21\)
বা, \(y = \frac{8 \times 21}{2}\)
বা, \(y = 4 \times 21\)
বা, \(y = 84\)
প্রয়োগ 32. \(6\), \(9\), \(12\) -এর চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি।
সমাধান –
মনে করি, চতুর্থ সমানুপাতী \(x\)
সুতরাং, \(6:9::12:x\)
বা, \(\frac{6}{9} = \frac{12}{x}\)
বা, \(6x = 9 \times 12 \quad \)
∴ \(x = 18\)
প্রয়োগ 33. \(5\), \(4\) ও \(25\) এর চতুর্থ সমানুপাতী হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মনে করি, চতুর্থ সমানুপাতী হল \(x\)।
∴ \(5:4::25:x\)
বা, \(\frac{5}{4} = \frac{25}{x}\)
বা, \(5x = 100\)
বা, \(x = 100/5\)
বা, \(x = 20\)
∴ চতুর্থ সমানুপাতী হল \(20\)।
প্রয়োগ 34. \(5\), \(6\), \(10\) এবং \(12\) এই চারটি সংখ্যা দিয়ে কতগুলি ও কি কি স্বতন্ত্র সমানুপাত গঠন করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(5\), \(6\), \(10\) এবং \(12\) এই চারটি সংখ্যা দিয়ে \(4\) টি স্বতন্ত্র সমানুপাত তৈরি করা যাবে। সমানুপাতগুলি হল-
(i) \(5:6::10:12\)
(ii) \(6:5::12:10\)
(iii) \(6:12::5:10\)
(iv) \(12:6::10:5\)
প্রয়োগ 35. \(2\), \(4\), \(6\) ও \(10\) -এর প্রত্যেকের সঙ্গে কোন সংখ্যা যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মনে করি, প্রত্যেকের সঙ্গে \(x\) যোগ করতে হবে।
সুতরাং, \((2+x)\), \((4+x)\), \((6+x)\) ও \((10+x)\) সমানুপাতী হবে।
∴ \((2+x):(4+x) :: (6+x):(10+x)\)
বা, \(\frac{2+x}{4+x} = \frac{6+x}{10+x}\)
বা, \((2+x)(10+x) = (6+x)(4+x)\)
বা, \(20+10x+2x+x^2 = 24+4x+6x+x^2\)
বা, \(2x = 4 \quad \)
∴ \(x = 2\)
∴ নির্ণেয় সংখ্যা 2।
প্রয়োগ 36. \(12\), \(22\), \(42\) ও \(72\) -এর সঙ্গে কোন সংখ্যা যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(12\), \(22\), \(42\) এবং \(72\) -এর প্রত্যেক সংখ্যার সঙ্গে \(x\) যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।
শর্তানুসারে,
\(12+x : 22+x :: 42+x : 72+x\)বা, \(\frac{12+x}{22+x} = \frac{42+x}{72+x}\)
বা, \( (12+x)(72+x) = (22+x)(42+x)\)
বা, \(864 + 12x + 72x + x^2 = 924 + 22x + 42x + x^2\)
বা, \(84x + 864 = 64x + 924\)
বা, \(84x – 64x = 924 – 864\)
বা, \(20x = 60\)
বা, \(x = 60/20\)
বা, \(x = 3\)
উত্তর – \(12\), \(22\), \(42\) এবং \(72\) -এর প্রত্যেক সংখ্যার সঙ্গে \(3\) যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।
প্রয়োগ 37. \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) -এর প্রত্যেকটির সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, প্রত্যেকের সঙ্গে \(x\) যোগ করলে সংখ্যাগুলি সমানুপাতী হবে।
সুতরাং, \( (a+x):(b+x)::(c+x):(d+x)\)
∴ \(\frac{a+x}{b+x} = \frac{c+x}{d+x}\)
বা, \((a+x)(d+x) = (c+x)(b+x)\)
বা, \(ad+dx+ax+x^2 = cb+bx+cx+x^2\)
বা, \(x(d+a-b-c) = cb-ad\)
∴ \(x = \frac{cb-ad}{a+d-b-c}\) (যখন \(a+d \neq b+c\))
∴ প্রত্যেকের সঙ্গে \(\frac{cb-ad}{a+d-b-c}\) যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে।
প্রয়োগ 38. \(3\), \(6\), \(7\), \(10\)-এর প্রত্যেকটির সঙ্গে যেকোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে কিনা বুঝে লিখি। [নিজে করি]
সমাধান –
ধরি, যোগ করার সংখ্যা \(x\)
তাহলে সংখ্যাগুলি হবে, \(3+x\), \(6+x\), \(7+x\), \(10+x\)
সমানুপাতের শর্ত, \((3+x):(6+x)::(7+x):(10+x)\)
বা, \(\frac{3+x}{6+x} = \frac{7+x}{10+x}\)
ক্রস-গুণ করে পাই,
\((3+x)(10+x) = (7+x)(6+x)\)বা, \(30 + 3x + 10x + x^2 = 42 + 7x + 6x + x^2\)
বা, \(30 + 13x + x^2 = 42 + 13x + x^2\)
উভয় পক্ষ থেকে \(13x + x^2\) বিয়োগ করে পাই, 30 = 42 যা অসম্ভব।
∴ \(3\), \(6\), \(7\), \(10\)-এর প্রত্যেকটির সঙ্গে যেকোনো সংখ্যা যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে না।
প্রয়োগ 39. \(9\) ও \(15\)-এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী \(x\)
∴ \(9\), \(15\) ও \(x\) ক্রমিক সমানুপাতী
সুতরাং, \(\frac{9}{15} = \frac{15}{x}\)
বা, \(9x = 15 \times 15\)
বা, \(x = \frac{15 \times 15}{9}\)
∴\( x = 25\)
∴ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী \(25\)
প্রয়োগ 40. আমি 3 টাকা ও 12 টাকার তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, 3 টাকা ও 12 টাকার তৃতীয় সমানুপাতী হল \(x\) টাকা।
শর্তানুসারে,
\(3:12 :: 12:x\)বা, \(\frac{3}{12} = \frac{12}{x}\)
বা, \(3x = 12 \times 12\)
বা, \(x = \frac{12 \times 12}{3}\)
বা, \(x = 48\)
∴ 3 টাকা ও 12 টাকার তৃতীয় সমানুপাতী হল 48 টাকা।
প্রয়োগ 41. আমি \(2a^2\) ও \(3ab\)-এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি।
সমাধান –
মনে করি, তৃতীয় সমানুপাতী \(x\)
∴ \(2a^2\), \(3ab\) ও \(x\) ক্রমিক সমানুপাতী
∴ \(\frac{2a^2}{3ab} = \frac{3ab}{x}\)
বা, \(2a^2x = 3ab \times 3ab\)
বা, \(x = \frac{3ab \times 3ab}{2a^2}\)
∴ \(x = \frac{9b^2}{2}\)
∴ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী \(\frac{9b^2}{2}\)
প্রয়োগ 42. \(9pq\), \(12pq^2\)-এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী হল \(x\)।
∴ \(9pq:12pq^2 :: 12pq^2:x\)
বা, \(\frac{9pq}{12pq^2} = \frac{12pq^2}{x}\)
বা, \(9pq \times x = 12pq^2 \times 12pq^2\)
বা, \(x = \frac{12pq^2 \times 12pq^2}{9pq}\)
বা, \(x = 16pq^3\)
∴ তৃতীয় সমানুপাতী হল \(16pq^3\)।
প্রয়োগ 43. \(\frac{1}{12}\) ও \(\frac{1}{75}\)-এর মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, \(\frac{1}{12}\) ও \(\frac{1}{75}\)-এর মধ্যসমানুপাতী \(x\)
সুতরাং, \(\frac{\frac{1}{12}}{x} = \frac{x}{\frac{1}{75}}\) বা, \(x^2 = \frac{1}{12} \times \frac{1}{75}\)
বা, \(x = \sqrt{\frac{1}{12 \times 75}}\)
∴ \(x = \frac{1}{30}\)
∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী \(\frac{1}{30}\)
প্রয়োগ 44. 0.5 ও 4.5 -এর মধ্যসমানুপাতী হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, মধ্যসমানুপাতীটি হল \(x\)।
∴ \(0.5:x :: x:4.5\)
বা, \(\frac{0.5}{x} = \frac{x}{4.5}\)
বা, \(x^2 = 0.5 \times 4.5\)
বা, \(x^2 = 2.25\)
বা, \(x^2 = (1.5)^2\)
বা, \(x = 1.5\)
∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতীটি হল \(1.5\)।
প্রয়োগ 45. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার প্রান্তীয় পদদুটি \(pqr\), \(\frac{pr}{q}\) হলে মধ্যসমানুপাতী হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, মধ্যসমানুপাতী পদটি \(x\)
∴ \(pqr\), \(x\) ও \(\frac{pr}{q}\) ক্রমিক সমানুপাতী।
সুতরাং, \(\frac{pqr}{x} = \frac{x}{\frac{pr}{q}}\)
বা, \(x^2 = pqr \times \frac{pr}{q} = p^2r^2\)
বা, \(x = \sqrt{p^2r^2}\)
∴ \(x = pr\) (কারণ, প্রান্তীয় পদদুটি ধনাত্মক সংখ্যা)
∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী \(pr\)
প্রয়োগ 46. ধনাত্মক সংখ্যা \(xy^2\) ও \(xz^2\)-এর মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করো।
সমাধান –
ধরি, মধ্যসমানুপাতীটি হল \(p\)।
∴ \(xy^2:p :: p:xz^2\)
বা, \(\frac{xy^2}{p} = \frac{p}{xz^2}\)
বা, \(p^2 = xy^2 \times xz^2\)
বা, \(p^2 = x^2y^2z^2\)
বা, \(p^2 = (xyz)^2\)
বা, \(p = xyz\) (কারণ, প্রান্তীয় পদদুটি ধনাত্মক সংখ্যা)
∴ মধ্য সমানুপাতীটি হল \(xyz\)।
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের পঞ্চম অধ্যায়, ‘অনুপাত ও সমানুপাত’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন