মাধ্যমিক গণিত – ভেদ – কষে দেখি – 13

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের ত্রয়োদশ অধ্যায়, ‘ভেদ’ -এর ‘কষে দেখি – 13’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।

1. দুটি A ও B -এর সম্পর্কিত মানগুলি

A	25	30	45	250
B	10	12	18	100

A ও B -এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।

সমাধান –

দেখছি A -এর মান বাড়লে বা কমলে B -এর মান বাড়ছে বা কমছে।

আবার \(\frac AB=\frac{25}{10}=\frac{30}{12}=\frac{45}{18}=\frac{250}{100}\)

∴ \(A=\frac52B\)

∴ A ∝ B এবং এখানে ভেদ ধ্রুবকের মান \(\frac52\)

2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি

x	18	8	12	6
y	3	\(\frac{27}4\)	\(\frac92\)	9

x ও y -এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি।

সমাধান –

দেখছি, \(xy=18\times3=8\times\frac{27}4=2\times\frac92=6\times9\)

∴ xy = ধ্রুবক 

∴ \(x\propto\frac1y\) এবং ভেদ ধ্রুবকের মান 54

3. (i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি. পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

সমাধান –

ধরি, প্রয়োজনীয় সময় T এবং দূরত্ব S

যেহেতু গতিবেগ একই থাকলে প্রয়োজনীয় সময় বৃদ্ধি পেলে দূরত্ব একই অনুপাতে বৃদ্ধি পায়

সুতরাং T ও S পরস্পর সরলভেদে আছে।

সুতরাং T ∝ S

∴ T = KS [যেখানে K অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

T = 25 হলে, S = 14

সুতরাং 25 = K × 14

∴ \(K=\frac{25}{14}\)

∴ \(T=\frac{25}{14}S\) —(i)

(i) নং সমীকরণে T = 300 বসিয়ে পাই, [যেহেতু 5 ঘণ্টা = 300 মিনিট]

\(300=\frac{25}{14}\times S\)

∴ \(\require{cancel}S=\frac{{\displaystyle\overset{12}{\cancel{300}}}\times4}{\cancel{25}}=168\)

∴ বিপিনকাকু 168 কিমি. পথ যাবেন।

3. (ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

সমাধান –

ধরি, শিশুর সংখ্যা A, সন্দেশের সংখ্যা = B

যেহেতু শিশুর সংখ্যা বৃদ্ধি বা হ্রাস পেলে সন্দেশের সংখ্যা একই অনুপাতে হ্রাস বা বৃদ্ধি পায়

সুতরাং A ও B ব্যস্তভেদে আছে।

সুতরাং \(A\propto\frac1B\)

∴ \(A=\frac KB\) [এখানে K অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

A = 24 হলে, B = 5

সুতরাং \(24=\frac K5\)

∴ K = 120 

∴ \(A=\frac{120}B\) —(i)

(i) নং সমীকরণে A = 24 – 4 = 20 বসিয়ে পাই,

\(A=\frac{120}B\)

∴ \(\require{cancel}B=\frac{{\displaystyle\overset6{\cancel{12}}}\cancel0}{\cancel2\cancel0}=6\)

∴ প্রত্যেকে 6 টি করে গোটা সন্দেশ পেত।

3. (iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

সমাধান –

ধরি, গ্রামবাসীর সংখ্যা = A, দিনসংখ্যা = B

যেহেতু গ্রামবাসীর সংখ্যা বৃদ্ধি পেলে, দিন সংখ্যা একই অনুপাতে হ্রাস পায়,

সুতরাং \(A\propto\frac1B\)

∴ \(A=\frac KB\) [K অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

A = 50 হলে, B = 18

সুতরাং \(24=\frac K{18}\)

∴ K = 50 × 18 = 900

∴ \(A=\frac{900}B\) —(i)

(i) নং সমীকরণে B = 15 বসিয়ে পাই,

∴ \(\require{cancel}A=\frac{\displaystyle\overset{60}{\cancel{900}}}{\cancel{15}}=60\)

পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত (60 – 50) = 10 জন লোককে কাজ করতে হবে।

4. (i) y, x -এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 9; x -এর মান নির্ণয় করি যখন y = 6.

সমাধান –

y, x -এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে।

সুতরাং \(y\propto\sqrt x\)

∴ \(y=k\sqrt x\) [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

আবার, y = 9 যখন x = 9

সুতরাং \(9=k\sqrt9\)

∴ k = 3

বা, \(y=3\sqrt x\) —(i)

(i)-এ y = 6 বসিয়ে পাই,

\(6=3\sqrt x\)

বা, \(\sqrt x=2\)

∴ x = 4

∴ x -এর নির্ণেয় মান 4 যখন y = 6.

4. (ii) x, y -এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z -এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y = 4, z = 5 হলে x = 3 হয়। আবার y = 16, z = 30 হলে, x -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

x ∝ y, যখন z ধ্রুবক \(x\propto\frac y2\), যখন y ধ্রুবক

∴ \(x\propto\frac yz\) যখন y এবং z উভয়েই পরিবর্তনশীল।

সুতরাং \(x=k⋅\frac yz\) [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] —(i)

প্রদত্ত, x = 3, y = 4 এবং z = 5

সুতরাং (i) নং থেকে পাই,

\(3=k⋅\frac45\)

∴ \(k=\frac{15}4\)

এবার (i) নং-এ k -এর মান বসিয়ে পাই,

\(x=\frac{15y}{4z}\) —(ii)

যখন y = 16, z = 30 তখন (ii) নং থেকে পাব,

\(\require{cancel}x=\frac{\cancel{15}\times{\displaystyle\overset{\overset2{\cancel4}}{\cancel{16}}}}{\cancel4\times{\displaystyle\underset{\cancel2}{\cancel{30}}}}=2\)

∴ x = 2.

4. (iii) x, y -এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z -এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y = 5 ও z = 9 হলে x = \(\frac16\) হয়। x, y ও z -এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি এবং y = 6 ও z = \(\frac15\) হলে, x -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

x ∝ y, যখন z ধ্রুবক x ∝ z, যখন y ধ্রুবক

∴ \(x\propto\frac yz\), যখন y এবং z উভয়েই পরিবর্তনশীল।

সুতরাং \(x=k⋅\frac yz\) [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] —(i)

প্রদত্ত, x = \(\frac16\), y = 5 ও z = 9

সুতরাং (i) নং থেকে পাই,

\(\frac16=k⋅\frac59\)

∴ \(k=\frac9{30}=\frac3{10}\)

এবার (i) নং-এ k -এর মান বসিয়ে পাই,

\(x=\frac{3y}{10z}\) —(ii)

এটিই হল x, y ও z -এর মধ্যে নির্ণেয় সম্পর্ক

যখন y = 6 ও z = \(\frac15\)

তখন (ii) নং থেকে পাই, 

\(x=\frac3{\displaystyle\underset{\cancel2}{\cancel{10}}}\times\overset3{\cancel6}\times\cancel5=9\)

∴ x = 9.

5. (i) x ∝ y হলে, দেখাই যে, x + y ∝ x – y

সমাধান –

x ∝ y সুতরাং x = ky, যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক।

\(\frac{x+y}{x-y}\)

= \(\frac{ky+y}{ky-y}\)

= \(\frac{y\left(k+1\right)}{y\left(k-1\right)}\)

= \(\frac{k+1}{k-1}\)

 = n [যেখানে n = অশূন্য ধ্রুবক]

∴ x + y = n(x – y)

∴ x + y ∝ x – y

5. (ii) \(A\propto\frac1C,C\propto\frac1B\) হলে, দেখাই যে, A ∝ B

সমাধান –

\(A\propto\frac1C\) সুতরাং \(A=\frac{k_1}C\)

আবার \(C\propto\frac1B\) সুতরাং \(C=\frac{k_2}B\) এখানে \(k_1\) ও \(k_2\) দুটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক।

আবার \(A=\frac{k_1}C=\frac{k_1}{\displaystyle\frac{k_2}B}=\frac{k_1}{k_2}B=mB\) [যেখানে \(m=\frac{k_1}{k_2}\) = অশূন্য ধ্রুবক]

∴ A ∝ B

5. iii) যদি a ∝ b, \(a\propto\frac1c\) এবং c ∝ d হয়, তবে a ও d -এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।

সমাধান –

a ∝ b

∴ a = k₁b [যেখানে k₁ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

\(b\propto\frac1c\)

∴ \(b=k_2⋅\frac1c\) [যেখানে অশূন্য \(k_2\) ভেদ ধ্রুবক]

c ∝ d

∴ c = k₃d [যেখানে k₃ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

আবার \(a=k_1b=k_1k_2⋅\frac1c=k_1k_2⋅\frac1{k_3d}=\frac{k_1k_2}{k_3}⋅\frac1d\)

বা, \(a=m\frac1d\) [যেখানে \(m=\frac{k_1k_2}{k_3}\) = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

\(a\propto\frac1d\)

∴ a ও d এর মধ্যে ব্যস্ত ভেদ সম্পর্ক।

5. (iv) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

সমাধান –

x ∝ y

∴ x = k₁y [যেখানে, k₁ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

আবার y ∝ z

∴ y = k₂z [যেখানে, k₂ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

আবার z ∝ x

∴ z = k₃x [যেখানে, k₃ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

সুতরাং, x × y × z = k₁y × k₂z × k₃x

বা, xyz = k₁k₂k₃ × xyz

∴ k₁k₂k₃ = 1

সুতরাং ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1.

6. x + y ∝ x – y হলে, দেখাই যে,

(i) x² + y² ∝ ху

সমাধান –

x + y ∝ x – y

∴ x + y = k(x – y) [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, \(\frac{x+y}{x-y}=k\)

বা, \(\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x-y\right)^2}=k^2\)

বা, \(\frac{\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2}{\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2}=\frac{k^2+1}{k^2-1}\) [যোগভাগ প্রক্রিয়া]

বা, \(\frac{2\left(x^2+y^2\right)}{4xy}=\frac{k^2+1}{k^2-1}\)

বা, \(x^2+y^2=\frac{2\left(k^2+1\right)}{k^2-1}xy\)

∴ \(x^2+y^2\propto xy\) [যেখানে \(\frac{2\left(k^2+1\right)}{k^2-1}\) = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] [প্রমাণিত]

(ii) x³ + y³ ∝ x³ – у³

সমাধান –

x + y ∝ x – y

∴ x + y = k(x – y) [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, x + y = kx – ky

বা, y + ky = kx – x

বা, y(1 + k) = x(k – 1)

বা, \(\frac xy=\frac{k+1}{k-1}\)

বা, \(\frac xy=p\) [ধরি, \(\frac{k+1}{k-1}=p\) = ধ্রুবক]

বা, \(\frac{x^3}{y^3}=p^3\) [উভয়পক্ষে ঘন করে পাই]

বা, \(\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}=\frac{p^3+1}{p^3-1}\) [যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই]

বা, \(\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}\) = ধ্রুবক

∴ x³ + y³ ∝ x³ – y³ [প্রমাণিত]

(iii) ax + by ∝ px + qy [যেখানে a, b, p, q অশূন্য ধ্রুবক]

সমাধান –

x + y ∝ x – y

∴ x + y = k(x – y) [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, x + y = kx – ky

বা, y + ky = x – kx

বা, y(1 + k) = x(1 – k)

বা, \(\frac xy=\frac{1+k}{1-k}\)

∴ \(\frac xy=m\) [\(\frac{1+k}{1-k}=m\) = ধ্রুবক]

বা, x = my

∴ \(\frac{ax+by}{px+qy}\)

= \(\frac{amy+by}{pmy+qy}\)

= \(\frac{y\left(am+b\right)}{y\left(pm+q\right)}\)

= \(\frac{am+b}{pm+q}\)

= ধ্রুবক [যেহেতু, a, b, p, q, m প্রত্যেকে ধ্রুবক]

∴ ax + by ∝ px + qy [প্রমাণিত]

7. (i) a² + b² ∝ ab হলে, প্রমান করি যে, a + b ∝ a – b.

সমাধান –

a² + b² ∝ ab

∴ a² + b² = kab [k একটি অশূন্য ধ্রুবক]

বা, \(\frac{a^2+b^2}{ab}=k\)

বা, \(\frac{a^2+b^2}{2ab}=\frac k2\) [উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই]

বা, \(\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab}=\frac{k+2}{k-2}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া]

বা, \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}=\frac{k+2}{k-2}\)

বা, \(\frac{a+b}{a-b}=\sqrt{\frac{k+2}{k-2}}\) = ধ্রুবক

∴ (a + b) ∝ (a – b) [প্রমাণিত]

7. (ii) x³ + y³ ∝ x³ – y³ হলে, প্রমান করি যে, x + y ∝ x – y

সমাধান –

x³ + y³ ∝ x³ – y³

∴ (x³ + y³) = k(x³ – y³) [k -একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, \(\frac{\left(x^3+y^3\right)}{\left(x^3-y^3\right)}=k\)

বা, \(\frac{\left(x^3+y^3\right)+\left(x^3-y^3\right)}{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^3-y^3\right)}=\frac{k+1}{k-1}\) [যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই]

বা, \(\frac{2x^3}{2y^3}=\frac{k+1}{k-1}\)

বা, \(\frac{x^3}{y^3}=\frac{k+1}{k-1}\)

বা, \(\frac xy=\sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}=m\) [ধরি, \(m=\sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}\) = ধ্রুবক]

বা, \(\frac xy=\frac m1\)

বা, \(\frac{x+y}{x-y}=\frac{m+1}{m-1}\) = ধ্রুবক

∴ x + y ∝ x – y [প্রমাণিত]

8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।

সমাধান –

ধরি, কৃষক সংখ্যা A এবং দিনসংখ্যা B এবং চাষের জমির পরিমাণ C। যেহেতু জমির পরিমাণ স্থির রেখে, দিনসংখ্যা বাড়ালে (বা কমালে) কৃষক সংখ্যা কমবে (বা বাড়বে) এবং দিনসংখ্যা স্থির রেখে, জমির পরিমাণ বাড়ালে (বা কমালে) কৃষক সংখ্যা বাড়বে (বা কমবে)। সুতরাং, A এবং B ব্যাস্তভেদে আছে এবং A ও C সরলভেদে আছে।

সুতরাং, \(A\propto\frac1B\) যখন C ধ্রুবক

এবং A ∝ C, যখন B ধ্রুবক

অর্থাৎ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে,

\(A\propto\frac CB\) যখন B, C উভয়েই পরিবর্তনশীল

∴ \(A=\frac{kC}B\) [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

A = 15 হলে, B = 5 এবং C = 18

সুতরাং, \(15=\frac{k\times18}5\)

বা, \(k=\frac{75}{18}\)

বা, \(k=\frac{25}6\)

∴ \(A=\frac{25C}{6B}\) —(i)

এখন (i) নং সমীকরণে A = 10 এবং C = 12 বসিয়ে পাই,

\(10=\frac{25\times12}{6B}\)

বা, \(\require{cancel}B=\frac{{\displaystyle\overset5{\cancel{25}}}\times{\displaystyle\overset{\cancel2}{\cancel{12}}}}{\cancel6\times{\displaystyle\underset{\cancel2}{\cancel{10}}}}\)

বা, B = 5

∴ 10 জন কৃষকের 12 বিঘা জমি চাষ করতে 5 দিন সময় লাগবে।

9. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের কিউবের সঙ্গে সরলভেদে আছে। \(1 \frac{1}{2}\) মিটার ও \(2\) মিটার ব্যাসার্ধের দুটি গোলক গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হলো। নতুন গোলকের ব্যাস নির্ণয় করি। (ধরি, গোলকের আগের এবং পরের আয়তন একই থাকে)

সমাধান –

সূত্রানুসারে,

\(V \propto r^3\)

বা, \(V = kr^3\) (যেখানে k একটি ধ্রুবক)

প্রথম গোলকের ব্যাসার্ধ \(= (1\frac{1}{2})\) মিটার

\(= (\frac{3}{2})\) মিটার

\(= \frac{3}{2}\)

\(∴\) প্রথম গোলকের আয়তন \(= k r^3\)

\(= k (\frac{3}{2})^3\) ঘনমিটার

\(= \frac{27k}{8}\) ঘনমিটার

দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ \(= (2)\) মিটার

\(∴\) দ্বিতীয় গোলকের আয়তন \(= k r^3\)

\(= k (2)^3\) ঘনমিটার

\(= 8k\) ঘনমিটার

তৃতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ \(= (2 \frac{1}{2})\) মিটার

\(= (\frac{5}{2})\) মিটার

\(= (\frac{5}{2})\) মিটার

\(∴\) তৃতীয় গোলকের আয়তন \(= k r^3\) ঘনমিটার

\(= k(\frac{5}{2})^3\) ঘনমিটার

\(= \frac{125k}{8}\) ঘনমিটার

\(∴\) নতুন গোলকের আয়তন \(= (\frac{27k}{8} + 8k)\) ঘনমিটার

\(= (\frac{27k+64k}{8})\) ঘনমিটার

\(= \frac{91k}{8}\) ঘনমিটার

ধরি, নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ \(R\) মিটার।

\(∴\) নতুন গোলকের আয়তন \(= k R^3\) ঘনমিটার

\(\therefore k R^3 = \frac{91k}{8}\)

বা, \(R^3 = \frac{91}{8}\)

বা, \(R = \sqrt[3]{\frac{91}{8}}\)

বা, \(R = 2.24\) মিটার (প্রায়)

\(∴\) নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ \(2.24\) মিটার (প্রায়)।

\(∴\) নতুন গোলকের ব্যাস \(= (2 \times 2.24)\) মিটার \(= 4.48\) মিটার (প্রায়)।

10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সাথে ব্যাস্তভেদে আছে। x = 1 হলে, y = – 1 এবং x = 3 হলে, y = 5; x ও y এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

সমাধান –

ধরি, p ও q দুটি চল এবং y = p + q, যেখানে p চল x এর সঙ্গে সরল ভেদে আছে এবং অপর চল q, x এর সঙ্গে ব্যাস্তভেদে আছে।

∴ p ∝ x

∴ p = k₁x [k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

আবার, \(n\propto\frac1x\)

∴ \(n=\frac{k_2}x\) [\(k_2\) একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

∴ \(y=p+q=k_1x+\frac{k_2}x\)

বা, \(y=k_1x+\frac{k_2}x\) —(i)

(i) নং সমীকরণে x = 1 এবং y = – 1 বসিয়ে পাই,

– 1 = k₁ + k₂ —(ii)

আবার, (i) নং সমীকরণে x = 3 এবং y = 5 বসিয়ে পাই,

\(5=3k_1+\frac{k_2}3\)

বা, 9k₁ + k₂ = 15 —(iii)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

বা, (9k₁ + k₂) – (k₁ + k₂) = 15 – (- 1)

বা, 9k₁ + k₂ – k₁ – k₂ = 15 + 1

বা, 8k₁ = 16

বা, \(\require{cancel}k_1=\frac{\displaystyle\overset2{\cancel{16}}}{\cancel8}\)

বা, k₁ = 2

(ii) নং সমীকরণে k₁ = 2 বসিয়ে পাই,

2 + k₂ = – 1

বা, k₂ = – 1 – 2

বা, k₂ = – 3

এখন (i) নং সমীকরণে k₁ ও k₂ এর মান বসিয়ে পাই,

\(y=2x-\frac3x\)

∴ x ও y এর মধ্যে সম্পর্কটি হল \(y=2x-\frac3x\)

11. a ∝ b, b ∝ c হলে দেখাই যে, a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³)

সমাধান –

a ∝ b সুতরাং a = k₁b

এবং b ∝ c সুতরাং b = k₂c

যেখানে k₁ ও k₂ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক

এখন a = k₁b = k₁k₂c

= \(\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)

= \(\frac{\left(k_1k_2c\right)^3⋅\left(k_2c\right)^3+\left(k_2c\right)^3⋅c^3+c^3\left(k_1k_2c\right)^3}{k_1k_2c⋅k_2c⋅c\left\{\left(k_1k_2c\right)^3+\left(k_2c\right)^3+c^3\right\}}\)

= \(\frac{k_1^3k_2^6c^6+k_2^3c^6+k_1^3k_2^3c^6}{k_1k_2^2c^6\left(k_1^3k_2^3+k_2^3+1\right)}\)

= \(\frac{c^6\left(k_1^3k_2^6+k_2^3+k_1^3k_2^3\right)}{c^6\left(k_1^4k_2^5+k_1k_2^5+k_1k_2^2\right)}\)

= \(\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{k_1^3k_2^6+k_2^3+k_1^3k_2^3}{k_1^4k_2^5+k_1k_2^5+k_1k_2^2}\) = অশূন্য ধ্রুবক [যেহেতু \(k_1,k_2\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

∴ a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³)

12. x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ x -এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ x² -এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

মনেকরি, কূপটি খনন করার জন্য মোট ব্যয় y এবং এর এক অংশ p ও অপর অংশ q

অর্থাৎ y = p + q

যেখানে p ∝ x এবং q ∝ x²

সুতরাং p = k₁x এবং q = k₂x² [যেখানে k₁ ও k₂ হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

∴ y = k₁x + k₂x² —(i)

প্রদত্ত x = 100 হলে y = 5000

5000 = k₁ × 100 + k₂ × (100)²

বা, k₁ + 100k₂ = 50 —(ii)

আবার x = 200 হলে y = 12000

12000 = k₁ × 200 + k₂ × (200)²

বা, k₁ + 200k₂ = 60 —(iii)

(iii) – (ii) করে পাই,

100k₂ = 10

∴ \(k_2=\frac1{10}\)

(i) নং-এ \(k_2=\frac1{10}\) বসিয়ে পাই,

k₁ = 40

তাহলে (i) নং থেকে পাই,

\(y=40x+\frac1{10}x^2\) —(iv)

এখন x = 250 হলে (iv) নং থেকে পাই,

\(y=40\times250+\frac1{10}\times\left(250\right)^2\)

= 10000 + 6250

= 16250

∴ তবে 250 ডেসিমি. গভীর কূপ খননের জন্য 16250 টাকা ব্যয় হবে।

13. চোঙের আয়তন, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গ এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত \(2:3\) এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত \(5:4\) হলে, ওদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান –

ধরি, চোঙের আয়তন \(V\) ঘনএকক, ভূমির ব্যাসার্ধ \(R\) একক এবং উচ্চতা \(h\) একক।

শর্তানুসারে,

\(V \propto R^2h\)

বা, \(V=k R^2 h\) —- (i) [যেখানে k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

ধরি, চোঙ দুটি’র ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \(2r\) একক এবং \(3r\) একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে \(5h\) একক ও \(4h\) একক। আরও ধরাযাক দুটি চোঙের আয়তন যথাক্রমে \(V_1\) ঘন একক এবং \(V_2\) ঘন একক।

\(\therefore\) প্রথম চোঙের আয়তন \(V_1 = k.(2r)^2.5h\) ঘন একক \(= 20kr^2h\) ঘন একক

এবং দ্বিতীয় চোঙের আয়তন \(V_2 = k.(3r)^2.4h\) ঘন একক \(= 36kr^2h\) ঘন একক

\(\therefore\) চোঙদুটি’র আয়তনের অনুপাত \(= V_1:V_2\)

\(= 20kr^2h : 36kr^2h\)

\(= 20:36\)

\(= 5:9\)

14. পাঁচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।

সমাধান –

ধরি, লাঙল সংখ্যা N, জমির পরিমাণ L, দিনসংখ্যা D.

প্রশ্নানুযায়ী, N ∝ L এবং \(N\propto\frac LD\)

যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে \(N\propto\frac LD\)

∴ \(N=K\frac LD\) —(i) [k ভেদ ধ্রুবক]

(i) নং এ L = 2400, N = 25, D = 36 বসিয়ে পাই,

\(25=K\times\frac{2400}{36}\)

বা, \(\require{cancel}K=\frac{\cancel{25}\times{\displaystyle\overset3{\cancel{36}}}}{\displaystyle\underset{\underset8{\cancel{96}}}{\cancel{2400}}}=\frac38\)

এখন, L = \(\frac{2400}2\), D = 30, এবং K = \(\frac38\)

পুনরায় (i) -তে বসিয়ে পাই,

\(N=K\frac LD\)

\( N = \frac{3}{8} \times \frac{40}{120} \times \frac{10}{30} = 15 \)

∴ একটি ট্রাক্টর 15টি লাঙলের সমান কাজ করে।

15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।

সমাধান –

ধরি, গোলকের আয়তন V এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r এবং পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল S, প্রমান করতে হবে যে, V² ∝ S³

শর্তানুসারে, V ∝ r³

∴ V = kr³ [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

এবং S ∝ r²

∴ S = pr² [p একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

∴ \(\frac{V^2}{S^3}\) = \(\frac{\left(kr^3\right)^2}{\left(pr^2\right)^3}\)

= \(\frac{k^2r^6}{p^3r^6}\)

= \(\frac{k^2}{p^3}\)

= অশূন্য ভেদ ধ্রুবক

∴ V² ∝ S³ [প্রমাণিত]

16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) –

(i) \(x\propto\frac1y\) হলে,

(a) \(x=\frac1y\)

(b) \(y=\frac1x\)

(c) xy = 1

(d) xy = অশূন্য ধ্রুবক

উত্তর – (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক

(ii) যদি x ∝ y হয়, তখন

(a) x² ∝ y³
(b) x³ ∝ y²
(c) x ∝ y³
(d) x² ∝ y²

উত্তর – (d) x² ∝ y²

(iii) x ∝ y এবং y = 8 যখন x = 2; y = 16 হলে, x -এর মান

(a) 2
(b) 4
(c) 6
(d) 8

উত্তর – (b) 4

(iv) x ∝ y² এবং y = 4 যখন x = 8; x = 32 হলে, y -এর ধনাত্মক মান

(a) 4
(b) 8
(c) 16
(d) 32

উত্তর – (b) 8

(v) যদি \(y-z\propto\frac1x,z-x\propto\frac1y\) এবং \(x-y\propto\frac1z\) হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি

(a) 0
(b) 1
(c) – 1
(d) 2

উত্তর – (a) 0

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) \(y\propto\frac1x\) হলে, \(\frac yx\) = অশূন্য ধ্রুবক

উত্তর – বিবৃতিটি মিথ্যা।

(ii) x ∝ z এবং y ∝ z হলে, xy ∝ z

উত্তর – বিবৃতিটি সত্য।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) \(x\propto\frac1y\) এবং \(y\propto\frac1z\) হলে, z ∝ ___.

উত্তর – \(x\propto\frac1y\) এবং \(y\propto\frac1z\) হলে, x ∝ z.

(ii) x ∝ y হলে, x ∝ ___.

উত্তর – x ∝ y হলে, xⁿ ∝ yⁿ.

(iii) x ∝ y এবং x ∝ z হলে, (y + z) ∝ ___.

উত্তর – x ∝ y এবং x ∝ z হলে, (y + z) ∝ x.

17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) x ∝ y² এবং y = 2a যখন x = a; x ও y -এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

সমাধান –

x ∝ y²

∴ x = ky —(i) [k ভেদ ধ্রুবক]

y = 2a, x = a

a = k × (2a)²

বা, a = k × 4a²

বা, k = \(\frac1{4a}\)

k -এর মান (i)-তে বসিয়ে পাই,

∴ y² = 4ax

x ও y -এর মধ্যে সম্পর্ক y² = 4ax.

(ii) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।

সমাধান –

x ∝ y

বা, x = ky —(i)

এবং y ∝ z

y = lz —(ii)

এবং z ∝ x

z = mx —(iii)

[k, l, m অশূন্য ভেদ]

(i), (ii), (iii) -এর উভয়ক্ষেত্রে গুণ করে পাই,

x × y × z = ky × Iz × mk

বা, xyz = xyz × klm

বা, klm = 1

∴ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1.

(iii) \(x\propto\frac1y\) এবং \(y\propto\frac1z\) হলে, x, z -এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় করি।

সমাধান –

\(x\propto\frac1y\)

∴ \(x=\frac ky\) —(i) [k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

এবং \(y\propto\frac1z\)

∴ \(y=\frac mz\) —(ii) [m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

(i) হইতে (ii) -এর সাহায্যে পাই –

\(x=\frac k{\displaystyle\frac mz}\)

∴ \(x=\frac km\times z\)

∴ x ∝ z [\(\frac km\) = ধ্রুবক]

∴ x, z -এর সঙ্গে সরলভেদে আছে।

(iv) x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাই যে, z একটি অশূন্য ধ্রুবক।

সমাধান –

x ∝ yz

∴ x = k₁yz [k₁ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক এবং k₁ = 0]

এবং y ∝ zx

∴ y = k₂zx [k₂ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক এবং k₂ = 0]

∴ x × y = k₁yz × k₂zx

বা, xy = k₁k₂xyz²

বা, \(z^2=\frac1{k_1k_2}\)

বা, \(z=\sqrt{\frac1{k_1k_2}}\) = ধ্রুবক

∴ z = ধ্রুবক।

∴ z একটি অশূন্য ধ্রুবক।

(v) যদি b ∝ a³ হয় এবং a -এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে, তাহলে b -এর বৃদ্ধি কি অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।

সমাধান –

b ∝ a³

∴ b = ka³ [k একটি অশূন্য ধ্রুবক]

a -এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে,

a₁ = 2 এবং a₂ = 3

∴ a₁ এর ক্ষেত্রে,

b₁ = k(2)³ = 8k

∴ a₂ এর ক্ষেত্রে,

b₂ = k(3)³ = 27k

∴ \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{8k}{27k}=\frac8{27}\)

∴ b -এর বৃদ্ধি 8 : 27 অনুপাতে হয়।

---

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের ত্রয়োদশ অধ্যায়, ‘ভেদ’ -এর ‘কষে দেখি – 13’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।

আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।