মাধ্যমিক গণিত – ভেদ – প্রয়োগ

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের ত্রয়োদশ অধ্যায়, ‘ভেদ’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।

প্রয়োগ 1. A ও B -এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।

সমাধান –

দুটি চলরাশি A ও B সম্পর্কিত মানগুলি হল,

A	90	30	12	15	156
B	60	20	8	10	104

A -এর মান বাড়লে বা কমলে B -এর মান বাড়ছে বা কমছে,

আবার, \(\frac AB=\frac{90}{60}=\frac{30}{20}=\frac{12}8=\frac{15}{10}=\frac{156}{104}=\frac32\)

∴ \(A=\frac32B\)

∴ A ∝ B এবং এখানে ভেদ ধ্রুবকের মান \(\frac32\)

যেহেতু ভেদধ্রুবকের মান ধনাত্মক তাই A -চলের মান বাড়লে বা কমলে B -চলের অনুরূপ মান বাড়বে বা কমবে।

প্রয়োগ 2. দোলকের [Pendulum -এর] দোলনকাল উহার দৈর্ঘ্যোর বর্গমূলের সহিত সরলভেদে থাকে। যদি 1 মিটার দৈর্ঘ্যের কোনো দোলকের 1 সেকেন্ডে একবার পূর্ণ দোলন হয়, তবে যে দোলকের 2.5 সেকেন্ডে একবার পূর্ণ দোলন হয়, তার দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে দেখি।

সমাধান –

ধরি, t সেকেন্ড = একবার পূর্ণ দোলনের সময় এবং l মিটার = দোলকের দৈর্ঘ্য।

∴ প্রদত্ত শর্তানুসারে, \(t\propto\sqrt l\)

∴ \(t\propto k\sqrt l\) [k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

∴ t = 1 হলে l = 1

সুতরাং, \(1=k\sqrt1\)

∴ k = 1

∴ ভেদধ্রুবকের মান 1 [‘ভেদ-ধ্রুবক’ সর্বদাই অশূন্য। তাই এই ধ্রুবককে “অশূন্য ভেদ-ধ্রুবক” বা শুধু “ভেদ-ধ্রুবক” লিখলেও চলবে।]

সুতরাং, পেলাম \(t=\sqrt l\)

∴ t = 2.5 হলে, \(\sqrt l=2.5\)

বা, l = (2.5)²

∴ l = 6.25

∴ যে দোলকের 2.5 সেকেন্ডে একবার পূর্ণদোলন হয় তার দৈর্ঘ্য 6.25 মিটার।

প্রয়োগ 3. y, x -এর বর্গের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 9; y -কে x দ্বারা প্রকাশ করি এবং y = 4 হলে, x -এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

y, x -এর বর্গের সঙ্গে সরলভেদে আছে,

সুতরাং, \(y \propto x^{2}\)

∴ y = kx² [যেখানে k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]

আবার, y = 9 যখন x = 9

সুতরাং, 9 = k(9)²

∴ \(\require{cancel}k=\frac9{9^2}=\frac{\cancel9}{9\times\cancel9}=\frac19\)

সুতরাং, পেলাম \(y=\frac19x^2\) —(i)

(i) -এ y = 4 বসিয়ে পাই,

\(4=\frac19x^2\)

বা, x² = 36

বা, \(x=\sqrt{36}\)

বা, x = ±6

∴ y = 4 হলে x = ±6

প্রয়োগ 4. y, x -এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 4; ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি এবং y -কে x দ্বারা প্রকাশ করি। y = 8 হলে, x -এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

y, x -এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে,

সুতরাং, \(y\propto\sqrt x\)

∴ \(y=k\sqrt x\) [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

আবার, y = 9 যখন x = 4

সুতরাং, \(9=k\sqrt4\)

∴ \(k=\frac92\)

সুতরাং, \(y=\frac92\sqrt x\) —(i)

(i) -এ y = 8 বসিয়ে পাই,

\(8=\frac92\sqrt x\)/p>

বা, \(\frac{16}9=\sqrt x\)

বা, \(x=\left(\frac{16}9\right)^2\)

∴ \(x=\frac{256}{81}\)

∴ y = 8 হলে x -এর মান \(\frac{256}{81}\) হবে।

প্রয়োগ 5. তুমি 36 টি বোতাম আয়তাকারে সাজাও এবং প্রতিক্ষেত্রে দৈর্ঘ্যে ও প্রস্থে থাকা বোতামের সংখ্যা ব্যস্ত ভেদে আছে কিনা বুঝে লেখো।

আয়তাকার বোতামের সংখ্যা প্রস্থে (y)	4	2	3	9
আয়তাকার বোতামের সংখ্যা দৈর্ঘ্যে (x)	9	18	12	4

সমাধান –

একই সংখ্যক আয়তাকার বোতামের সংখ্যা দৈর্ঘ্যে (x) বৃদ্ধির সঙ্গে বোতামের সংখ্যা প্রস্থে (y) হ্রাস পাচ্ছে।

∴ 4 × 9 = 2 × 18 = 3 × 12 = 9 × 4 = x × y

অর্থাৎ x × y -এর মান কোনো পরিবর্তন হচ্ছে না।

∴ \(x\propto\frac1y\) এবং এখানে ভেদ ধ্রুবকের মান 36.

প্রয়োগ 6. দুই চলরাশি সংক্রান্ত 2 টি উদাহরণ লিখি যেখানে চলরাশিগুলি পরস্পর ব্যস্তভেদে আছে।

সমাধান –

দুই চলরাশি সংক্রান্ত 2 টি উদাহরণ হল –

জনসংখ্যা (x) এবং দিনসংখ্যা (y) পরস্পর ব্যস্তভেদে আছে। ∴ \(x\propto\frac1y\)

গতিবেগ (v) এবং সময় (t) পরস্পর ব্যস্তভেদে আছে। ∴ \(v\propto\frac1t\)

প্রয়োগ 7. x ও y দুটি চলের সম্পর্কিত মানগুলি পেয়েছি –

x	5	25	10	4	8
y	10	2	5	12.5	6.25

x ও y -এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান নির্ণয় করি।

সমাধান –

দেখছি, xy = 5 × 10 = 25 × 2 = 10 × 5 = 4 × 12.5 = 8 × 6.25

∴ xy = ধ্রুবক

∴ \(x\propto\frac1y\) এবং ভেদ ধ্রুবকের মান 50.

প্রয়োগ 8. দুটি চল x ও y সম্পর্কিত মানগুলি হল –

x	3	2	6
y	18	27	9

x ও y -এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে নির্ণয় করি।

সমাধান –

দেখছি, xy = 3 × 18 = 2 × 27 = 6 × 9

∴ xy = ধ্রুবক

∴ \(x\propto\frac1y\) এবং ভেদ ধ্রুবকের মান 54.

প্রয়োগ 9. আমাদের কারখানায় 63 দিনে নির্দিষ্ট পরিমাণ লোহার যন্ত্রপাতি তৈরির জন্য 42টি মেশিন দরকার। কিন্তু ওই একই পরিমাণ লোহার যন্ত্রপাতি 54 দিনে তৈরির জন্য কতগুলি মেশিন দরকার ভেদ সম্পর গঠন করে হিসাব করি।

সমাধান –

ধরি, দিন সংখ্যা = D এবং মেশিনের সংখ্যা= M

যেহেতু কাজের পরিমাণ নিদিষ্ট রেখে, মেশিনের সংখ্যা বৃদ্ধি (হ্রাস) পেলে দিন সংখ্যা একই অনুপাতে হ্রাস (বৃদ্ধি) পায়। সুতরাং D ও M ব্যস্তভেদে আছে।

সুতরাং, \(D\propto\frac1M\)

∴ \(D=\frac kM\) [k= অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

D = 63 হলে, M = 42

সুতরাং, \(63=\frac k{42}\)

বা, k = 63 × 42

∴ \(D=\frac{63\times42}M\) —(i)

(i) নং সমীকরণে D = 54 বসিয়ে পাই

\(54=\frac{63\times42}M\)

বা, \(\require{cancel}M=\frac{{\displaystyle\overset7{\cancel{63}}}\times{\displaystyle\overset7{\cancel{42}}}}{\displaystyle\underset{\cancel6}{\cancel{54}}}\)

M = 49

∴ একই পরিমাণ লোহার যন্ত্রপাতি 54 দিনে তৈরি করতে 49 টি মেশিন দরকার।

প্রয়োগ 10. সমীরবাবু বাড়ি থেকে 60 কিমি./ঘণ্টা বেগে গাড়ি চালিয়ে 2 ঘণ্টায় স্টেশনে পৌঁছান। তিনি যদি 80 কিমি./ঘণ্টা বেগে গাড়ি চালাতেন, তবে বাড়ি থেকে কত সময়ে স্টেশনে পৌঁছাতেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

সমাধান –

[উত্তর সংকেত – নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করতে গতিবেগ ও প্রয়োজনীয় সময় ব্যস্ত ভেদে আছে।]

ধরি, গতিবেগ = V এবং প্রয়োজনীয় সময় = T

যেহেতু নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করতে গতিবেগ বৃদ্ধি পেলে প্রয়োজনীয় সময় একই অনুপাতে হ্রাস পায়,

সুতরাং V ও T ব্যস্তভেদে আছে,

সুতরাং, \(V\propto\frac1T\)

∴ \(V=\frac KT\) [K = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

V = 60 হলে, T = 2

সুতরাং, \(60=\frac K2\)

বা, K = 120

∴ \(V=\frac{120}T\) —(i)

(i) নং সমীকরণে V = 80 বসিয়ে পাই,

\(80=\frac{120}T\)

বা, \(\require{cancel}T=\frac{{\displaystyle\overset3{\cancel{12}}}\cancel0}{{\displaystyle\underset2{\cancel8}}\cancel0}\)

বা, \(T=\frac32\)

\(T=1\frac12\)

∴ তবে সমীরণবাবু বাড়ি থেকে \(T=1\frac12\) ঘণ্টায় স্টেশনে পৌঁছাতেন।

প্রয়োগ 11. যদি x ∝ y হয়, তবে কি y ∝ x হবে? যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি।

সমাধান –

প্রমাণ – x ∝ y ∴ x = ky [k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

সুতরাং, \(y=\frac1kx=mx\), যেখানে \(m=\frac1k\) একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক। যেহেতু k অশূন্য ধ্রুবক। ∴ y ∝ x

∴ x ∝ y হলে, y ∝ x হবে।

প্রয়োগ 12. যদি x ∝ y এবং y ∝ z হয়, তবে প্রমাণ করি যে x ∝ z হবে।

সমাধান –

প্রমাণ – x ∝ y

∴ x = ky

এবং y ∝ z

সুতরাং, y = k’z

এখানে k ও k’ দুটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক।

আবার, x = ky = k(k’z) = kk’z = mz [যেখানে, m = kk’ = অশূন্য ধ্রুবক]

∴ x ∝ z

প্রয়োগ 13. x ∝ y হলে, প্রমাণ করি যে x + y ∝ x – y হবে।

সমাধান –

প্রমাণ – x ∝ y সুতরাং, x = ky, যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক।

∴ \(\frac{x+y}{x-y}=\frac{ky+y}{ky-y}=\frac{y\left(k+1\right)}{y\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}=n\) [যেখানে, n = অশূন্য ধ্রুবক]

∴ x + y = n(x – y)

∴ x + y ∝ x – y

প্রয়োগ 14. x ∝ y হলে, প্রমাণ করি যে xⁿ ∝ yⁿ হবে।

সমাধান –

প্রমাণ – x ∝ y সুতরাং, x = ky, যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক।

xⁿ = kⁿyⁿ = k₁yⁿ [k₁ = kⁿ = অশূন্য ধ্রুবক]

∴ xⁿ ∝ yⁿ

প্রয়োগ 15. x + y ∝ x – y হলে, প্রমাণ করি যে x ∝ y হবে।

সমাধান –

প্রমাণ – x + y ∝ x – y

∴ x + y = k(x – y) [যেখানে, k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

\(\frac{x+y}{x-y}=\frac k1\)

বা, \(\frac{x+y+x-y}{x+y-x+y}=\frac{k+1}{k-1}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে]

বা, \(\frac{2x}{2y}=\frac{k+1}{k-1}\)

বা, \(\frac xy=\frac{k+1}{k-1}\)

বা, \(\frac xy=k_1\), [যেখানে, \(k_1=\frac{k+1}{k-1}\) = অশূন্য ধ্রুবক]

বা, x = k₁y

∴ x ∝ y

প্রয়োগ 16. A² + B² ∝ A² – B² হলে, প্রমাণ করি যে, A ∝ B

সমাধান –

A² + B² ∝ A² – B²

\(\frac{A^2+B^2}{A^2-B^2}=k\) [k = ভেদ ধ্রুবক]

বা, \(\frac{A^2+B^2+A^2-B^2}{A^2+B^2-A^2+B^2}=\frac{k+1}{k-1}\) [উভয়পক্ষে যোগ-ভাগ করিয়া পাই]

বা, \(\frac{2A^2}{2B^2}=\frac{k+1}{k-1}\)

বা, \(\frac{A^2}{B^2}=\frac{k+1}{k-1}\)

বা, \(\sqrt{\frac{A^2}{B^2}}=\sqrt{\frac{k+1}{k-1}}\) [উভয়পক্ষে বর্গ করিয়া পাই]

বা, \(\frac AB=k_1\)

∴ A ∝ B

প্রয়োগ 17. x ∝ y এবং u ∝ z হলে, প্রমাণ করি যে xu ∝ yz এবং \(\frac xu\propto\frac yz\)

সমাধান –

প্রমাণ – x ∝ y সুতরাং, x = k₁y

u ∝ z সুতরাং, u = k₂z [যেখানে, k₁ এবং k₂ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

∴ xu = k₁y⋅k₂z = k₁k₂yz = myz [যেখানে m = k₁k₂ = অশূন্য ধ্রুবক]

∴ xu ∝ yz

\(\frac xu=\frac{k_1y}{k_2z}=\left(\frac{k_1}{k_2}\right)\frac yz=n\frac yz\) [যেখানে \(n=\frac{k_1}{k_2}\) = অশূন্য ধ্রুবক]

∴ \(\frac xu\propto\frac yz\)

প্রয়োগ 18. যদি 5 জন কৃষক 12 দিনে 10 বিঘা জমির পাট কাটতে পারেন, তবে কতজন কৃষক 18 বিষা জমির পাট 9 দিনে কাটতে পারবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।

সমাধান –

ধরি, কৃষকের সংখ্যা = A

দিনের সংখ্যা = B

এবং জমির পরিমাণ = C

যেহেতু কৃষকের সংখ্যা জমির পরিমাণের সঙ্গে সরলভেদে থাকে যখন দিনের সংখ্যা স্থির থাকে।

∴ A ∝ C, যখন B ধ্রুবক

আবার, যেহেতু জমির পরিমাণ স্থির থাকলে কৃষকের সংখ্যা দিনের সংখ্যার সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে থাকে।

∴ \(A\propto\frac1B\), যখন C ধ্রুবক।

যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে, \(A\propto\frac CB\), যখন B ও C উভয়েই পরিবর্তনশীল

অর্থাৎ, \(A=K\frac CB\) [যেখানে, K অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] —(i)

প্রদত্ত, A = 5, B = 12 এবং C = 10

(I) নং থেকে পাই,

\(5=K\frac{10}{12}\)

বা, \(\require{cancel}K=\frac{\cancel5\times{\displaystyle\overset6{\cancel{12}}}}{\displaystyle\underset{\cancel2}{\cancel{10}}}\)

∴ K = 6

এবার (i) নং-এ K -এর মান বসিয়ে পাই,

\(A=6\frac CB\) —(ii)

B = 9 ও C = 18 হলে, (ii) নং থেকে পাই,

\(A=6\frac CB\)

বা, \(A=6\frac{18}9\)

বা, \(A=6\times\frac{\displaystyle\overset2{\cancel{18}}}{\cancel9}\)

বা, A = 6 × 2

∴ A = 12

∴ নির্ণেয় কৃষকের সংখ্যা 12 জন।

প্রয়োগ 19. যদি 5 জন লোক 9 দিনে 10 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন, তবে 30 বিঘা জমি চাষ করতে 25 জন লোকের কতদিন সময় লাগবে ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।

সমাধান –

ধরি, লোকসংখ্যা = A

দিনের সংখ্যা = B

এবং জমির পরিমাণ = C

যেহেতু জমির পরিমাণ স্থির (বা ধ্রুবক) থাকলে দিনসংখ্যার সহিত লোকসংখ্যা ব্যস্ত ভেদে থাকে।

সুতরাং, \(B\propto\frac1A\) যখন C ধ্রুবক।

আবার লোকসংখ্যা স্থির (বা ধ্রুবক) থাকলে দিনসংখ্যার পরিমাণ জমির পরিমাণের সহিত সরল ভেদে থাকে।

সুতরাং, B ∝ C যখন A ধ্রুবক।

আবার, যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে, \(B\propto\frac CA\), যখন C ও A উভয়েই পরিবর্তনশীল।

অর্থাৎ, \(B=K\frac CA\) — (i) যেখানে, K একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক

প্রদত্ত A = 5, B = 9, C = 10

(i) নং থেকে পাই,

\(9=K\times\frac{10}5\)/P>

বা, \(K=\frac92\)

অর্থাৎ, \(B=\frac92\times\frac CA\) —(ii)

অতএব, A = 25, C = 30 হলে,

\(\require{cancel}B=\frac{9\times{\displaystyle\overset{\overset3{\cancel{15}}}{\cancel{30}}}}{\cancel2\times{\displaystyle\underset5{\cancel{25}}}}\)

বা, \(B=\frac{27}5=5\frac25\)

∴ নির্ণেয় দিনসংখ্যা \(5\frac25\)।

প্রয়োগ 20. x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে (যখন z ধ্রুবক) এবং z -এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে (যখন y ধ্রুবক) এমনভাবে আছে যে y = 4, z = 5 হলে x = 3 হয়। যখন y = 16, z = 25 তখন x -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান –

x ∝ y, যখন z ধ্রুবক

\(x\propto\frac1z\), যখন y ধ্রুবক

\(x\propto\frac yz\), যখন y এবং z উভয়েই পরিবর্তনশীল।

সুতরাং, \(x=k⋅\frac yz\) [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] —(i)

প্রদত্ত, x = 3, y = 4 এবং z = 5

সুতরাং, (i) নং থেকে পাই,

\(3=k\times\frac45\)

∴ \(k=\frac{15}4\)

এবার (i) নং-এ k -এর মান বসিয়ে পাই,

\(x=\frac{15y}{4z}\) —(ii)

যখন y = 16, z = 25 তখন (ii) নং থেকে পাবো,

\(x=\frac{15\times16}{4\times25}\)

∴ \(\require{cancel}x=\frac{{\displaystyle\overset3{\cancel{15}}}\times{\displaystyle\overset4{\cancel{16}}}}{\cancel4\times{\displaystyle\underset5{\cancel{25}}}}\)

∴ \(x=\frac{12}5=2\frac25\)

প্রয়োগ 21. যদি \(\frac xy\propto x+y\) এবং \(\frac yx\propto x-y\) হয়, তবে দেখাই যে \(x^2-y^2\) = ধ্রুবক।

সমাধান –

\(\frac xy\propto x+y\)

∴ \(\frac xy=k_1\left(x+y\right)\) [যেখানে \(k_1\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

\(\frac yx\propto x-y\)

আবার, \(\frac yx=k_1\left(x-y\right)\) [যেখানে \(k_2\) অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

সুতরাং, \(\frac xy\times\frac yx=k_1\left(x+y\right)\times k_2\left(x-y\right)\)

বা, \(1=k_1k_2\left(x^2-y^2\right)\)

বা, \(\left(x^2-y^2\right)=\frac1{k_1k_2}\)

∴ \(x^2-y^2\) = ধ্রুবক (∵ \(k_1\) এবং \(k_1\) ধ্রুবক, ∴ \(\frac1{k_1k_2}\) ধ্রুবক) [প্রমাণিত]

প্রয়োগ 22. x² ∝ yz, y² ∝ zx এবং z² ∝ xy হলে, দেখাই যে ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল = 1

সমাধান –

x² ∝ yz ∴ x² = k₁yz

আবার, y² ∝ zx ∴ y² = k₂zx

আবার, z² ∝ xy ∴ z² = k₃xy

যেখানে k₁, k₂ ও k₃ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক।

সুতরাং, x² × y² × z² = k₁yz × k₂zx × k₃xy

বা, x²y²z² = k₁k₂k₃⋅x²y²z²

∴ k₁k₂k₃ = 1 [প্রমাণিত]

প্রয়োগ 23. a ∝ b এবং b ∝ c হলে, প্রমাণ করি যে a³ + b³ + c³ ∝ 3abc

সমাধান –

a ∝ b ∴ a = k₁b [যেখানে k₁ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

আবার, b ∝ c ∴ b = k₂c [যেখানে k₂ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

সুতরাং, a = k₁b = k₁k₂c

\(\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}\)

= \(\frac{\left(k_1k_2c\right)^3+\left(k_2c\right)^3+c^3}{3\left(k_1k_2c\right)\times\left(k_2c\right)\times c}\)

= \(\frac{c^3\left(k_1^3k_2^3+k_2^3+1\right)}{3k_1k_2^2c^3}\)

= \(\frac{k_1^3k_2^3+k_2^3+1}{3k_1k_2^2}\)

= অশূন্য ধ্রুবক [∵ k₁ এবং k₂ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

∴ a³ + b³ + c³ ∝ 3abc

প্রয়োগ 24. x ∝ y এবং y ∝ z হলে, প্রমাণ করি যে x² + y² + z² ∝ xy + yz + zx

সমাধান –

x ∝ y

বা, x = k₁y

এবং y ∝ z

বা, y = k₂z

∴ x = k₁y

বা, x = k₁k₂z [y = k₂z বসিয়ে পাই]

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)

= \(\frac{\left(k_1k_2z\right)^2+\left(k_2z\right)^2+z^2}{\left(k_1k_2z\right)⋅\left(k_2z\right)+\left(k_2z\right)⋅z+z⋅\left(k_1k_2z\right)}\)

= \(\frac{k_1^2k_2^2z^2+k_2^2z^2+z^2}{k_1k_2^2z^2+k_2z^2+z^2k_1k_2}\)

= \(\frac{z^2\left(k_1^2k_2^2+k_2^2+1\right)}{z^2\left(k_1k_2^2+k_2+k_1k_2\right)}\)

= \(\frac{k_1^2k_2^2+k_2^2+1}{k_1k_2^2+k_2+k_1k_2}\)

= k’ [k’ ভেদ ধ্রুবক]

x² + y² + z² ∝ xy + yz + zx

প্রয়োগ 25. কোনো গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে আছে। যদি 3 সেমি., 4 সেমি, ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নতুন নিরেট গোলক তৈরি করা হয় এবং গলানোর ফলে যদি আয়তনের কোনো পরিবর্তন না হয়, তবে নতুন গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।

মনে করি, r সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো গোলকের আয়তন v ঘন সেমি.

সুতরাং, v ∝ r³

∴ v = kr³ [এখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

∴ 3 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন= k × 3³ ঘন সেমি. = 27k ঘন সেমি.

4 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন= k × 4³ ঘন সেমি. = 64k ঘন সেমি.

5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন = k × 5³ ঘন সেমি. = 125k ঘন সেমি.

প্রশ্নানুসারে, নতুন গোলকের আয়তন (27k + 64k + 125k) ঘন সেমি. = 216k ঘন সেমি.

যদি নতুন গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য R সেমি. হয়, তবে kR³ = 216k

বা, R³ = 216

বা, R³ = 6³

∴ R = 6

∴ নতুন গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

∴ নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 6 × 2 সেমি. = 12 সেমি.

প্রয়োগ 26. একটি হস্টেলের ব্যয় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ওই হস্টেলবাসী লোকসংখ্যার সঙ্গে সরলভেদে আছে। লোকসংখ্যা 120 হলে ব্যয় 2000 টাকা হয় এবং লোকসংখ্যা 100 হলে ব্যয় 1700 টাকা হয়। ব্যয় 1880 টাকা হলে লোকসংখ্যা কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

মনে করি, ব্যয় ও লোকসংখ্যা যথাক্রমে x টাকা এবং y জন।

ধরি, x = k₁ + B, যেখানে হস্টেলের ব্যয়ের ধ্রুবক অংশ k₁ এবং অপর অংশ B ∝ y

∴ B = k₂y, [যেখানে k₂ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

শর্তানুসারে, x = k₁ + k₂y

y = 120 হলে x = 2000 (প্রদত্ত)

আবার, y = 100 হলে x = 1700 (প্রদত্ত)

(i) – (ii) (বিয়োগ করে পাই)

+ 2000 = + k₁ + 120k₂ —(i)
± 1700 = ± k₁ ± 100k₂ —(ii)
__________________________________
300 = 20k₂

বা, \(\require{cancel}k_2=\frac{{\displaystyle\overset{15}{\cancel{30}}}\cancel0}{\cancel2\cancel0}\)

∴ k₂ = 15

সুতরাং, (ii) থেকে পাই,

1700 = k₁ + 100 × 15

বা, k₁ = 1700 – 1500

∴ k₁ = 200

সুতরাং, x = 200 + 15y —(iii)

∴ যখন x = 1880 তখন (iii) নং সমীকরণ থেকে পাই,

1880 = 200 + 15y

বা, 15y = 1880 – 200

বা, 15y = 1680

বা, y = \(\require{cancel}\frac{\displaystyle\overset{112}{\cancel{1680}}}{\cancel{15}}\)

∴ y = 112

∴ হস্টেলের ব্যয় 1880 টাকা হলে লোকসংখ্যা হবে 112.

প্রয়োগ 27. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি গোলক তৈরি করা যাবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি। (ধরি গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)

সমাধান –

মনেকরি, r সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোন গোলকের আয়তন v ঘনসেমি.।

সুতরাং, v ∝ r3

∴ v = kr3 [এখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি.।

∴ 7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন = k × 7³ ঘনসেমি.।

গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতকগুলি গোলক তৈরি করা হল।

এখন 3.5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন = k × (3.5)³

যেহেতু গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে।

∴ গোলক তৈরি করা যাবে \(\require{cancel}\frac{k\times7^3}{k\times\left(3.5\right)^2}=\frac{\cancel k\times\overset2{\cancel7}\times{\displaystyle\overset2{\cancel7}}\times\overset2{\cancel7}}{\cancel k\times\cancel{3.5}\times\cancel{3.5}\times\cancel{3.5}}=8\) টি।

---

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের ত্রয়োদশ অধ্যায়, ‘ভেদ’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।

আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।