এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের ষষ্ঠ অধ্যায়, ‘চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমাহার বৃদ্ধি বা হ্রাস’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
প্রয়োগ 1. যদি বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি সুদে 1400 টাকা 2 বছরের জন্য ধার নিই, তবে কত টাকা চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমূল চক্রবৃদ্ধি দেবো হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
আসল (P) = 1400 টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 5%
সময় (n) = 2 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) হিসাব করা যায় –
\(A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\)\(A = 1400 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2\)\(A = 1400 \left(\frac{105}{100}\right)^2\)\(A = 1400 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100}\)\(A = 1400 \times 1.05 \times 1.05\)\(A = 1400 \times 1.1025\)\(A = 1543.50 \text{ টাকা}\)চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) হল –
\(I = A – P\)\(I = 1543.50 – 1400\)\(I = 143.50 \text{ টাকা}\)উত্তর – 2 বছর পর চক্রবৃদ্ধি সুদ প্রাপ্তি হবে 143.50 টাকা এবং সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে 543.5 টাকা।
প্রয়োগ 2. মূলধন p এবং বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার r% হলে 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে হিসাব করি।
সমাধান –
মূলধন (P) = P টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = r%
সময় (n) = 3 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) হিসাব করা যায় –
\(A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^3\)উত্তর – 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি \( P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^3\) টাকা হবে।
প্রয়োগ 3. বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 1000 টাকার 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মূলধন (P) = 1000 টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 5%
সময় (n) = 2 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) =
বা, \(A = 1000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2\)
বা, \(A = 1000 \left(\frac{105}{100}\right)^2\)
বা, \(A = 1000 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100}\)
বা, \(A = 1000 \times 1.05 \times 1.05\)
বা, \(A = 1000 \times 1.1025\)
বা, \(A = 1102.50 \text{ টাকা}\)
উত্তর – 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 1102.50 টাকা হবে।
প্রয়োগ 4. বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 4000 টাকা একটি ব্যাংকে থাকলে, 3 বছর পর চক্রবৃদ্ধি সুদ কত পাব হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মূলধন (P) = 4000 টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 5%
সময় (n) = 3 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) =
বা, \(A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\) টাকা
বা, \(A = 4000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^3\) টাকা
বা, \(A = 4000 \left(\frac{105}{100}\right)^3\) টাকা
বা, \(A = 4000 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100}\) টাকা
বা, \(A = 4000 \times 1.05 \times 1.05 \times 1.05\) টাকা
বা, \(A = 4000 \times 1.157625\) টাকা
বা, \(A = 4630.50\) টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) =
\(CI = A – P\) টাকা
বা, \(CI = 4630.50 – 4000\) টাকা
বা, \(CI = 630.50\) টাকা
উত্তর – 3 বছর পর চক্রবৃদ্ধি সুদ 630.50 টাকা পাবো।
প্রয়োগ 5. বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 10000 টাকার 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।
সমাধান –
মূলধন (P) = 10000 টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 5%
সময় (n) = 3 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) =
\(A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\) টাকা
বা, \(A = 10000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^3\) টাকা
বা, latex]A = 10000 \left(\frac{105}{100}\right)^3[/latex] টাকা
বা, \(A = 10000 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100}\) টাকা
বা, \(A = 10000 \times 1.05 \times 1.05 \times 1.05\) টাকা
বা, \(A = 10000 \times 1.157625\) টাকা
বা, \(A = 11576.25\) টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) =
বা, \(CI = A – P\) টাকা
বা, \(CI = 11576.25 – 10000\) টাকা
বা, \(CI = 1576.25\) টাকা
উত্তর – 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 1576.25 টাকা।
প্রয়োগ 6. যদি 6 মাস অন্তর সুদ আসলের সঙ্গে যুক্ত হয়, তাহলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 8000 টাকার \(1(\frac{1}{2})\) বছরে সমূল চক্রবৃদ্ধি ও চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মূলধন (P) = 8000 টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 10%
সময় (t) = 1(\frac{1}{2}) বছর = 1.5 বছর
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রতি 6 মাস অন্তর দেওয়া হলে, সুদের হার প্রতি মৌসুম (n) = 2
সুতরাং, সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) হিসাব করা যায় –
\(A = P \left(1 + \frac{r}{2 \times 100}\right)^{2 \times t}\) টাকা
\(A = 8000 \left(1 + \frac{10}{2 \times 100}\right)^{2 \times 1.5}\) টাকা
\(A = 8000 \left(1 + \frac{10}{200}\right)^3\) টাকা
\(A = 8000 \left(1 + 0.05\right)^3\) টাকা
\(A = 8000 \times (1.05)^3\) টাকা
\(A = 8000 \times 1.157625\) টাকা
\(A = 9261.00\) টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) –
\(CI = A – P\) টাকা
\(CI = 9261.00 – 8000\) টাকা
\(CI = 1261.00\) টাকা
উত্তর – \(1(\frac{1}{2})\) বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 9261.00 টাকা এবং চক্রবৃদ্ধি সুদ 1261.00 টাকা হবে।
প্রয়োগ 7. 6 মাস অন্তর দেয়া বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 1000 টাকার 1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।
সমাধান –
মূলধন (P) = 1000 টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 10%
সময় (t) = 1 বছর
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রতি 6 মাস অন্তর দেওয়া হলে, সুদের হার প্রতি মৌসুম (n) = 2 টাকা
সুতরাং, সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) =
\(A = P \left(1 + \frac{r}{2 \times 100}\right)^{2 \times t}\) টাকা
বা, \(A = 1000 \left(1 + \frac{10}{2 \times 100}\right)^{2 \times 1}\) টাকা
বা, \(A = 1000 \left(1 + \frac{10}{200}\right)^2\) টাকা
বা, \(A = 1000 \left(1 + 0.05\right)^2\) টাকা
বা, \(A = 1000 \times (1.05)^2\) টাকা
বা, \(A = 1000 \times 1.1025\) টাকা
বা, \(A = 1102.50\) টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) =
বা, \(CI = A – P\) টাকা
বা, \(CI = 1102.50 – 1000\) টাকা
বা, \(CI = 102.50\) টাকা
উত্তর – 1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 102.50 টাকা।
প্রয়োগ 8. 3 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 10000 টাকার 9 মাসের চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মূলধন (P) = 10000 টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 8%
সময় (t) = 9 মাস = \( (\frac{9}{12})\) বছর = 0.75 বছর
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রতি 3 মাস অন্তর দেওয়া হলে, প্রতি বছরে সুদ দিতে হয় (n) = 4 বার।
সুতরাং, সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) =
\(A = P \left(1 + \frac{r}{4 \times 100}\right)^{4 \times t}\) টাকা
বা, \(A = 10000 \left(1 + \frac{8}{4 \times 100}\right)^{4 \times 0.75}\) টাকা
বা, \(A = 10000 \left(1 + \frac{8}{400}\right)^3\) টাকা
বা, \(A = 10000 \left(1 + 0.02\right)^3\) টাকা
বা, \(A = 10000 \times (1.02)^3\) টাকা
বা, \(A = 10000 \times 1.061208\) টাকা
বা, \(A = 10612.08\) টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) =
\(CI = A – P\) টাকা
বা, \(CI = 10612.08 – 10000\) টাকা
বা, \(CI = 612.08\) টাকা
উত্তর – 9 মাসের চক্রবৃদ্ধি সুদ 612.08 টাকা।
প্রয়োগ 9. রোকেয়াবিবি 30000 টাকা 3 বছরের জন্য এমনভাবে ধার করলেন যে প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যথাক্রমে 4%, 5% ও 6%; 3 বছরের শেষে রোকেয়াবিবি সুদে-আসলে কত টাকা জমা দেবেন হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, আসল = P টাকা এবং প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যথাক্রমে \(r_{1}\%\), \(r_{2}\%\) এবং \(r_{3}\%\)
প্রথম বছরের সুদ = \(\frac{P \times r_{1} \times 1}{100} = \frac{P r_{1}}{100}\) টাকা
∴ প্রথম বছরের সুদাসল = \(P + \frac{P r_{1}}{100} = P\left(1 + \frac{r_{1}}{100}\right)\) টাকা
দ্বিতীয় বছরের আসল = \(P\left(1 + \frac{r_{1}}{100}\right)\) টাকা
দ্বিতীয় বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = \(\frac{P\left(1 + \frac{r_{1}}{100}\right) \times r_{2} \times 1}{100}\) টাকা
দ্বিতীয় বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি = \(P\left(1 + \frac{r_{1}}{100}\right) + \frac{P\left(1 + \frac{r_{1}}{100}\right) \times r_{2}}{100}\) টাকা
= \(P\left(1 + \frac{r_{1}}{100}\right)\left(1 + \frac{r_{2}}{100}\right)\) টাকা
একইভাবে পাই, 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি = \(P\left(1 + \frac{r_{1}}{100}\right)\left(1 + \frac{r_{2}}{100}\right)\left(1 + \frac{r_{3}}{100}\right)\) টাকা
ধরি, P = 30000, \(r_{1} = 4\%\), \(r_{2} = 5\%\) এবং \(r_{3} = 6\%\)
3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি = \(30000 \times \left(1 + \frac{4}{100}\right)\left(1 + \frac{5}{100}\right)\left(1 + \frac{6}{100}\right)\) টাকা
= \(30000 \times \frac{104}{100} \times \frac{105}{100} \times \frac{106}{100}\) টাকা = 34725.60 টাকা
উত্তর – 3 বছরের শেষে রোকানাবি সুদে-আসলে 34725.60 টাকা ফেরত দেবেন।
প্রয়োগ 10. যদি বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রথম বছর 4% এবং দ্বিতীয় বছর 5% হয়, তবে 25000 টাকার 2 বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।
সমাধান –
মূলধন (P) = 25000 টাকা
প্রথম বছরের সুদের হার (r₁) = 4%
দ্বিতীয় বছরের সুদের হার (r₂) = 5%
সময় = 2 বছর
প্রথম বছরের সুদাসল =
বা, \(A₁ = P \left(1 + \frac{r₁}{100}\right)\) টাকা
বা, \(A₁ = 25000 \left(1 + \frac{4}{100}\right)\) টাকা
বা, \(A₁ = 25000 \times 1.04\) টাকা
বা, \(A₁ = 26000\) টাকা
দ্বিতীয় বছরের সুদাসল =
\(A₂ = A₁ \left(1 + \frac{r₂}{100}\right)\) টাকা
বা, \(A₂ = 26000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)\) টাকা
বা, \(A₂ = 26000 \times 1.05\) টাকা
বা, \(A₂ = 27300\) টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) =
\(CI = A₂ – P\) টাকা
বা, \(CI = 27300 – 25000\) টাকা
বা, \(CI = 2300\) টাকা
উত্তর – 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 2300 টাকা।
প্রয়োগ 11. আমি বার্ষিক 4% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 10000 টাকা \(2\frac{1}{2}\) বছরের জন্য ধার নিয়েছি। সুদ-আসলে কত টাকা দিতে হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মূলধন (P) = 10000 টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 4%
সময় (t) = \(2\frac{1}{2}\) বছর = 2.5 বছর
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার প্রতি বছর দেওয়া হলে, প্রথম 2 বছরের জন্য চক্রবৃদ্ধি সুদ =
\(A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\) টাকা
বা, \(A = 10000 \left(1 + \frac{4}{100}\right)^2\) টাকা
বা, \(A = 10000 \left(\frac{104}{100}\right)^2\) টাকা
বা, \(A = 10000 \times \frac{104}{100} \times \frac{104}{100}\) টাকা
বা, \(A = 10000 \times 1.04 \times 1.04\) টাকা
বা, \(A = 10000 \times 1.0816\) টাকা
\(A = 10816\) টাকা
প্রথম 2 বছরের শেষে সুদ-আসলে 10816 টাকা হবে। তৃতীয় বছরের জন্য আরো 0.5 বছরের সুদ =
\(CI = P \times \frac{r}{100} \times t\) টাকা
বা, \(CI = 10816 \times \frac{4}{100} \times 0.5\) টাকা
বা, \(CI = 10816 \times 0.02\) টাকা
বা, \(CI = 216.32\) টাকা
উত্তর – সুদ-আসলে 11032.32 টাকা দিতে হবে।
প্রয়োগ 12. বার্ষিক 6% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 30000 টাকার (2\frac{1}{2}) বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে নির্ণয় করি।
সমাধান –
মূলধন (P) = 30000 টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 6%
সময় (t) = (2\frac{1}{2}) বছর = 2.5 বছর
প্রথম 2 বছরের জন্য সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) =
\(A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\) টাকা
বা, \(A = 30000 \left(1 + \frac{6}{100}\right)^2\) টাকা
বা, \(A = 30000 \left(\frac{106}{100}\right)^2\) টাকা
বা, \(A = 30000 \times \frac{106}{100} \times \frac{106}{100}\) টাকা
বা, \(A = 30000 \times 1.06 \times 1.06\) টাকা
বা, \(A = 30000 \times 1.1236\) টাকা
\(A = 33708\) টাকা
প্রথম 2 বছরের শেষে সুদ-আসলে 33708 টাকা হবে। তৃতীয় বছরের জন্য আরো 0.5 বছরের সুদ =
\(CI = P \times \frac{r}{100} \times t\) টাকা
বা, \(CI = 33708 \times \frac{6}{100} \times 0.5\) টাকা
বা, \(CI = 33708 \times 0.03\) টাকা
\(CI = 1011.24\) টাকা
উত্তর – সুদ-আসলে \(\boxed{34719.24}\) টাকা দিতে হবে।
প্রয়োগ 13. বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কত টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 246 টাকা হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, মূলধন = P টাকা
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 5%
সময় (n) = 2 বছর
চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) = 246 টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র =
\(CI = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n – P\)বা, \(246 = P \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 – P\)
বা, \(246 = P \left(1.05\right)^2 – P\)
বা, \(246 = P \times 1.1025 – P\)
বা, \(246 = P (1.1025 – 1)\)
বা, \(246 = P \times 0.1025\)
বা, \(P = \frac{246}{0.1025}\)
বা, \(P = 2400\)
উত্তর – মূলধন 2400 টাকা।
প্রয়োগ 14. কত টাকা বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 2 বছরের সুদে-আসলে 3528 টাকা হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মূলধন (P) = ?
বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 5%
সময় (n) = 2 বছর
সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = 3528 টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র হল –
\(A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\)মূলধন \(P = \frac{A}{\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n}\) টাকা
বা, \(P = \frac{3528}{\left(1 + \frac{5}{100}\right)^2}\) টাকা
বা, \(P = \frac{3528}{\left(\frac{105}{100}\right)^2}\) টাকা
বা, \(P = \frac{3528}{1.1025}\) টাকা
বা, \(P = 3200\) টাকা
উত্তর – মূলধন 3200 টাকা।
প্রয়োগ 15. বার্ষিক 4% হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তর 80 টাকা হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, আসল = \(x\) টাকা
∴ 4% হারে 2 বছরের সরল সুদ = \(\frac{x \times 4 \times 2}{100} = \frac{2x}{25}\) টাকা
4% হারে 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি = \(x(1 + \frac{4}{100})^2 = x \times \frac{104}{100} \times \frac{104}{100} = \frac{676x}{625}\) টাকা
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = \((\frac{676x}{625} – x) = \frac{51x}{625}\) টাকা
শর্তানুসারে, \(\frac{51x}{625} – \frac{2x}{25} = 80\)
বা, \(\frac{51x – 50x}{625} = 80\)
বা, \(x = 80 \times 625\)
∴ \(x = 50000\)
উত্তর – আসল 50000 টাকা।
প্রয়োগ 16. মিনতিদি বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কিছু টাকা 3 বছরের জন্য ব্যাংকে রেখে মেয়াদ শেষে 37791.36 টাকা পেলেন। মিনতিদি কত টাকা ব্যাংকে রেখেছিলেন হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মনে করি, মিনতিদিদি x টাকা ব্যাংকে জমা রেখেছিলেন।
বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 3 বছরে সমূল চক্রবৃদ্ধি = \(x\left(1+\frac8{100}\right)^3\) টাকা
= \(x\times\frac{108}{100}\times\frac{108}{100}\times\frac{108}{100}\) টাকা
∴ শর্তানুসারে, \(x\times\frac{108}{100}\times\frac{108}{100}\times\frac{108}{100}=37791.36\)
বা, \(\frac{x\times27\times27\times27}{25\times25\times25}=37791.36\)
বা, \(x=\frac{37791.36\times25\times25\times25}{27\times27\times27}\)
∴ x = 30000
উত্তর – মিনতিদিদি 30000 টাকা ব্যাংকে রেখেছিলেন।
প্রয়োগ 18. কোনো মূলধনের 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে 400 টাকা ও 410 টাকা হলে, ওই মূলধনের পরিমাণ ও শতকরা বার্ষিক সুদের হার নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, মূলধন \(p\) টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার \(r\%\)
∴ বার্ষিক \(r\%\) সরল সুদে 2 বছরের সরল সুদ = \(\frac{p \times r \times 2}{100}\) টাকা =\(\frac{2pr}{100}\) টাকা
আবার বার্ষিক \(r\%\) চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি = \(p\left(1+\frac{r}{100}\right)^2\) টাকা
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = \(\left[p\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 – p\right]\) টাকা = \(p\left[1 + \frac{2r}{100} + \left(\frac{r}{100}\right)^2 – 1\right]\) টাকা
= \(\frac{pr}{100}\left[2 + \frac{r}{100}\right]\) টাকা
শর্তানুসারে,
\(\frac{2pr}{100} = 400\) ……. (i)
\(\frac{pr}{100}\left[2 + \frac{r}{100}\right] = 410\) ……. (ii)
(ii) নং সমীকরণকে (i) নং সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই,
\(\frac{ \frac{pr}{100}\left[2 + \frac{r}{100}\right] }{ \frac{2pr}{100} } = \frac{410}{400}\)বা, \(\frac{2 + \frac{r}{100}}{2} = \frac{41}{40}\)
বা, \(80 + \frac{40r}{100} = 82\)
বা, \(\frac{2r}{5} = 82 – 80 = 2\)
বা, 2r = 10
বা, r = 5
∴ (i) নং সমীকরণ থেকে পেলাম, \(\frac{2 \times p \times 5}{100} = 400\)
বা, \(p = 4000\)
উত্তর – মূলধন 4000 টাকা এবং সুদের হার \(5\%\)
প্রয়োগ 19. কোনো মূলধনের 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে 840 টাকা এবং 869.40 টাকা হলে ওই মূলধনের পরিমাণ ও বার্ষিক সুদের হার হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, মূলধন \(p\) টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার \(r\%\)
∴ বার্ষিক \(r\%\) সরল সুদে 2 বছরের সরল সুদ = \(\frac{p \times r \times 2}{100}\) টাকা = \(\frac{2pr}{100}\) টাকা
আবার বার্ষিক \(r\%\) চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি = \(p\left(1+\frac{r}{100}\right)^2\) টাকা
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = \(\left[p\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 – p\right]\) টাকা = \(p\left[1 + \frac{2r}{100} + \left(\frac{r}{100}\right)^2 – 1\right]\) টাকা
= \(\frac{pr}{100}\left[2 + \frac{r}{100}\right]\) টাকা
শর্তানুসারে,
\(\frac{2pr}{100} = 840\) ……. (i)
\(\frac{pr}{100}\left[2 + \frac{r}{100}\right] = 869.40\) ……. (ii)
(ii) নং সমীকরণকে (i) নং সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই,
\(\frac{ \frac{pr}{100}\left[2 + \frac{r}{100}\right] }{ \frac{2pr}{100} } = \frac{869.40}{840}\)বা, \(\frac{2 + \frac{r}{100}}{2} = \frac{869.40}{840}\)
বা, \(80 + \frac{40r}{100} = 82\)
বা, \(\frac{2r}{5} = 82 – 80 = 2\)
বা, 2r = 10
বা, r = 5
∴ (i) নং সমীকরণ থেকে পেলাম, \(\frac{2 \times p \times 5}{100} = 840 \)
বা, p = 8400
উত্তর – মূলধন 8400 টাকা এবং সুদের হার \(5\%\)
প্রয়োগ 20. বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার কত হলে 2 বছরে 10000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 11664 টাকা হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার \(r\%\)
∴ বার্ষিক \(r\%\) চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে সমূল চক্রবৃদ্ধি = \(10000\left(1+\frac{r}{100}\right)^2\)
শর্তানুসারে, \(10000\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 = 11664\)
বা, \(\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 = \frac{11664}{10000}\)
বা, \(\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 = \frac{729}{625}\)
বা, \(\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 = \left(\frac{27}{25}\right)^2\)
বা, \(1+\frac{r}{100} = \frac{27}{25}\)
বা, \(\frac{r}{100} = \frac{27}{25} – 1\)
বা, \(\frac{r}{100} = \frac{2}{25}\)
বা, \(r = \frac{200}{25} \)
বা, r = 8
উত্তর – বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার \(8\%\)
প্রয়োগ 21. বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার কত হলে 2 বছরে 5000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 5832 টাকা হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার \(r%\)
∴ বার্ষিক \(r%\) চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে সমূল চক্রবৃদ্ধি = \(5000\left(1+\frac{r}{100}\right)^2\)
শর্তানুসারে, \(5000\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 = 5832\)
বা, \(\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 = \frac{5832}{5000}\)
বা, \(\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 = \frac{729}{625}\)
বা, \(\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 = \left(\frac{27}{25}\right)^2\)
বা, \(1+\frac{r}{100} = \frac{27}{25}\)
বা, \(\frac{r}{100} = \frac{27}{25} – 1\)
বা, \(\frac{r}{100} = \frac{2}{25}\)
বা, \(r = \frac{200}{25} \)
বা, r = 8
উত্তর – বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার \(8%\)
প্রয়োগ 22. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কত বছরে 4000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 5324 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে \(n\) বছরে 4000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 5324 টাকা হবে।
∴ \(n\) বছরে সমূল চক্রবৃদ্ধি = \(4000\left(1+\frac{10}{100}\right)^n\) টাকা
শর্তানুসারে, \(4000\left(1+\frac{10}{100}\right)^n = 5324\)
বা, \(\left(\frac{110}{100}\right)^n = \frac{5324}{4000}\)
বা, \(\left(\frac{11}{10}\right)^n = \frac{1331}{1000}\)
বা, \(\left(\frac{11}{10}\right)^n = \left(\frac{11}{10}\right)^3\)
∴ \(n = 3\)
উত্তর – বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 3 বছরে 4000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 5324 টাকা হবে।
প্রয়োগ 23. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কত বছরে 5000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 6050 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে \(n\) বছরে 5000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 6050 টাকা হবে।
∴ \(n\) বছরে সমূল চক্রবৃদ্ধি = \(5000\left(1+\frac{10}{100}\right)^n\) টাকা
শর্তানুসারে, \(5000\left(1+\frac{10}{100}\right)^n = 6050\)
বা, \(\left(\frac{110}{100}\right)^n = \frac{6050}{5000}\)
বা, \(\left(\frac{11}{10}\right)^n = \frac{121}{100}\)
বা, \(\left(\frac{11}{10}\right)^n = \left(\frac{11}{10}\right)^2\)
∴ \(n = 2\)
উত্তর – বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 2 বছরে 5000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 6050 টাকা হবে।
প্রয়োগ 24. বর্তমানে 4000 জন শিক্ষার্থী এই প্রশিক্ষণ কেন্দ্রে প্রশিক্ষণ নিচ্ছে। ঠিক করা হয়েছে যে পরবর্তী 2 বছরের প্রতি বছরে পূর্ববর্তী বছরের তুলনায় 5% বেশি শিক্ষার্থীকে এই প্রশিক্ষণ কেন্দ্রে প্রশিক্ষণের সুযোগ দেওয়া হবে। হিসাব করে দেখি পরবর্তী 2 বছরের শেষে কতজন শিক্ষার্থী এই প্রশিক্ষণে অংশগ্রহণের সুযোগ পাবে?
সমাধান –
মনে করি, ওই শহরের বর্তমান জনসংখ্যা \(p\) এবং জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার বছরে \(r\%\)
∴ \(n\) বছর পরে জনসংখ্যা হবে = \(p\left(1+\frac{r}{100}\right)^n\) বুঝছি, এখানে \(p = 4000\) জন, \(r = 5\) এবং \(n = 2\) বছর
∴ দ্বিতীয় বছরের শেষে মোট শিক্ষার্থী হবে = \(4000 \times \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2\) জন
= \(4000 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100}\) জন
= \(4000 \times 1.05 \times 1.05\) জন
= \(4000 \times 1.1025\) জন
= \(4410\) জন
উত্তর – পরবর্তী 2 বছরের শেষে 4410 জন শিক্ষার্থী এই প্রশিক্ষণে অংশগ্রহণের সুযোগ পাবে।
প্রয়োগ 25. কোনো শহরে বছরের শেষে জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার ওই বছরের শুরুতে যে জনসংখ্যা থাকে তার 2%; ওই শহরের বর্তমান জনসংখ্যা যদি 2000000 হয়, তবে 3 বছর পরে ওই শহরের জনসংখ্যা কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(p = 2000000\) জন, \(r = 2\) এবং \(n = 3\)
∴ 3 বছর পর জনসংখ্যা = \(2000000 \left(1 + \frac{2}{100}\right)^3\)
= \(2000000 \times \frac{102}{100} \times \frac{102}{100} \times \frac{102}{100}\)
= \(2122416\)
উত্তর – 3 বছর পরে ওই শহরের জনসংখ্যা 2122416 জন হবে।
প্রয়োগ 26. আমার কাকার কারখানার একটি মেশিনের মূল্য প্রতি বছর 10% হারে হ্রাস পায়। মেশিনটির বর্তমান মূল্য 60000 টাকা হলে, 3 বছর পর ওই মেশিনটির মূল্য কত হবে নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(n\) বছর পরে যন্ত্রটির মূল্য হবে = \(p\left(1-\frac{r}{100}\right)^n\)
3 বছর পর যন্ত্রটির মূল্য হবে = \(p\left(1-\frac{r}{100}\right)^n\)
[যেখানে \(p=60000\) টাকা, \(r=10\)% এবং \(n=3\)]
= \(60000\left(1-\frac{10}{100}\right)^3\) টাকা
= \(60000 \times \frac{90}{100} \times \frac{90}{100} \times \frac{90}{100}\) টাকা
= \(43740\) টাকা
উত্তর – 3 বছর পর যন্ত্রটির মূল্য হবে 43740 টাকা।
প্রয়োগ 27. একটি মোটর গাড়ির মূল্য 3 লাখ টাকা। গাড়িটির বার্ষিক অবচয়ের হার 30% হলে, 3 বছর পরে গাড়িটির কী দাম হবে, তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(n\) বছর পরে গাড়িটির মূল্য হবে = \(p\left(1-\frac{r}{100}\right)^n\)
3 বছর পর গাড়িটির মূল্য হবে = \(p\left(1-\frac{r}{100}\right)^n\) [যেখানে
\(p=300000\) টাকা, \(r=30\)% এবং \(n=3\)]
= \(300000\left(1-\frac{30}{100}\right)^3\) টাকা
= \(300000 \times \frac{70}{100} \times \frac{70}{100} \times \frac{70}{100}\) টাকা
= \(300000 \times 0.7 \times 0.7 \times 0.7\) টাকা
= \(300000 \times 0.343\) টাকা
= \(102900\) টাকা
উত্তর – 3 বছর পরে গাড়িটির মূল্য হবে 102900 টাকা।
প্রয়োগ 28. কোনো রাজ্যে পথ নিরাপত্তা সংক্রান্ত প্রচার অভিযানের মাধ্যমে পথ দুর্ঘটনা প্রতি বছর তার পূর্ব বছরের তুলনায় 10% হ্রাস পেয়েছে। বর্তমান বছরে ওই রাজ্যে যদি 2916 টি পথ দুর্ঘটনা ঘটে তবে 3 বছর পূর্বে ওই রাজ্যে দুর্ঘটনার সংখ্যা কত ছিল, তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মনে করি, 3 বছর পূর্বে ওই রাজ্যে দুর্ঘটনার সংখ্যা ছিল \(x\) টি
∴ বর্তমানে ওই রাজ্যে দুর্ঘটনার সংখ্যা = \(x\left(1-\frac{10}{100}\right)^3\) টি
শর্তানুসারে, \(x\left(1-\frac{10}{100}\right)^3 = 2916\)
বা, \(x\times\frac{90}{100}\times\frac{90}{100}\times\frac{90}{100} = 2916\)
বা, \(x=\frac{2916\times 100\times 100\times 100}{90\times 90\times 90}\)
\(x=4000\)উত্তর – 3 বছর পূর্বে ওই রাজ্যে দুর্ঘটনার সংখ্যা ছিল 4000 টি।
প্রয়োগ 29. একটি শহরের বর্তমান জনসংখ্যা 5,76,000; যদি জনসংখ্যা প্রতি বছর \(6\frac{1}{4}\%\) হিসেবে বাড়ে তাহলে 2 বছর আগে জনসংখ্যা কত ছিল, তা নির্ণয় করি।
সমাধান –
মনে করি, 2 বছর আগে জনসংখ্যা ছিল \(x\) টি
∴ বর্তমানে জনসংখ্যা = \(x\left(1+\frac{25}{4 \times 100}\right)^2\)
শর্তানুসারে, \(x\left(1+\frac{25}{400}\right)^2 = 576000\)
বা, \(x \times \frac{425}{400} \times \frac{425}{400} = 576000\)
বা, \(x = 576000 \times \frac{400}{425} \times \frac{400}{425}\)
\(x = 512000\)উত্তর – 2 বছর আগে জনসংখ্যা ছিল 512000 জন।
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের ষষ্ঠ অধ্যায়, ‘চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমাহার বৃদ্ধি বা হ্রাস’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন