এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের প্রথম অধ্যায়, ‘একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করবো। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
প্রয়োগ 1. আমি নিচের সমীকরণগুলিকে \(ax^2+bx+c = 0\), যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং \(a \neq 0\), আকারে লেখা যায় কিনা দেখি।
(i) \((x+1)(x+3)-x(x+2)=15\)
(ii) \(x^2-3x=5(2-x)\)
(iii) \(x-1+\frac{1}{x}=6\) (x≠0)
(iv) \((x-2)^2=x^3-4x+4\)
(v) \((x-3)^3=2x(x^2-1)\)
(i) \((x+1)(x+3)-x(x+2)=15\)
সমাধান –
\((x+1)(x+3)-x(x+2)=15\)বা, \(x^2+x+3x+3-x^2-2x=15\)
বা, \(2x+3-15=0\)
বা, \(2x-12=0\)
বা, \(x-6=0\) __________ (i)
(i) নং সমীকরণটির আকার \(ax^2+bx+c = 0\) [যেখানে, a, b, c বাস্তব সংখ্যা, \(a \neq 0\)]-এর মতো নয়।
∴ প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।
∴ কোনও সমীকরণ আপাত দেখে দ্বিঘাত সমীকরণ মনে হলেও সর্বদা দ্বিঘাত সমীকরণ নাও হতে পারে।
(ii) \(x^2 – 3x = 5(2 – x)\)
সমাধান –
\(x^2 – 3x = 5(2 – x)\)বা, \(x^2 – 3x = 10 – 5x\)
বা, \(x^2 – 3x + 5x – 10 = 0\)
বা, \(x^2 + 2x – 10 = 0\) __________ (ii)
(ii) নং সমীকরণটির আকার \(ax^2 + bx + c = 0\) [a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং \(a \neq 0\)]-এর মতো।
∴ প্রদত্ত সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
(iii) \(x – 1 + \frac{1}{x} = 6\) (x ≠ 0)
সমাধান –
\(x – 1 + \frac{1}{x} = 6\) \((x ≠ 0)\)
বা, \(\frac{x^2 – x + 1}{x} = 6\)
বা, \(x^2 – x + 1 = 6x\)
বা, \(x^2 – 7x + 1 = 0\) __________ (iii)
(iii) নং সমীকরণ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। কারণ নিজে বুঝে লিখি।
কারণ সমীকরণটির ডান পক্ষে \(x^2\) পদ রয়েছে এবং বাম পক্ষে সর্বোচ্চ ঘাত \(x^2\) যা দ্বিঘাত সমীকরণের বৈশিষ্ট্য সম্পন্ন। সুতরাং এটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
(iv) \((x-2)^2=x^3-4x+4\)
সমাধান –
বা, \(x^2 – 4x + 4 = x^3 – 4x + 4\)
বা, \(x^3 – x^2 = 0\)
বা, \(x^2(x – 1) = 0\) __________ (iv)
(iv) নং সমীকরণটি \(ax^2 + bx + c = 0\) আকার নয়, কারণ এখানে \(x^3\) পদ রয়েছে, যা দ্বিঘাত সমীকরণের শর্ত \(a \neq 0\) মেনে না।
(v) \((x-3)^3=2x(x^2-1)\)
সমাধান –
\((x-3)^3=2x(x^2-1)\)বা, \(x^3 – 9x^2 + 27x – 27 = 2x^3 – 2x\)
বা, \(x^3 – 9x^2 + 27x – 27 – 2x^3 + 2x = 0\)
বা, \(-x^3 – 9x^2 + 29x – 27 = 0\) __________ (iv)
(v) নং সমীকরণটিও \(ax^2 + bx + c = 0\) আকার নয়, কারণ এখানে \(x^3\) পদ রয়েছে, যা দ্বিঘাত সমীকরণের শর্ত \(a \neq 0\) মেনে না।
প্রয়োগ 2. আমরা নবম ও দশম শ্রেণির শিক্ষার্থীরা মুখ্যমন্ত্রীর ত্রাণ তহবিলে 1824 টাকা জমা দিয়েছি। চাঁদা হিসাবে দশম ও নবম শ্রেণির প্রত্যেক শিক্ষার্থীকে যথাক্রমে তাদের শ্রেণির শিক্ষার্থীদের সংখ্যার সমান 50 পয়সা এবং 1 টাকা করে দিয়েছি। নবম শ্রেণির শিক্ষার্থীর সংখ্যা যদি দশম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের থেকে ৪ বেশি হয়, তবে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করি।
সমাধান –
মনে করি, দশম শ্রেণির শিক্ষার্থীর সংখ্যা = \(x\) জন
∴ নবম শ্রেণির শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে \((x + 8)\) জন
নবম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের দিয়েছে \((x + 8) \times 1 \times (x + 8)\) টাকা = \((x + 8)^2\) টাকা
দশম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের দিয়েছে \((x \times 50 \times x)\) পয়সা = \(x \times \frac{1}{2} \times x\) টাকা = \(\frac{x^2}{2}\) টাকা
শর্তানুসারে,
\(\frac{x^2}{2} + (x + 8)^2 = 1824\)বা, \(\frac{x^2 + 2(x + 8)^2}{2} = 1824\)
বা, \(x^2 + 2(x^2 + 16x + 64) = 3648\)
বা, \(x^2 + 2x^2 + 32x + 128 – 3648 = 0\)
বা, \(3x^2 + 32x – 3528 = 0\) _(i)
∴ (i) নং সমীকরণটি হলো নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
প্রয়োগ 3. একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের চেয়ে 36 মিটার বেশি। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 460 বর্গ মিটার। বিবৃতিটি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ও x², x ও x⁰-এর সহগ নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, প্রস্থ = \(x\) মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = \((x + 36)\) মিটার এবং ক্ষেত্রফল = \(x(x + 36)\) বর্গ মিটার।
শর্তানুসারে,
\(x(x + 36) = 460\)বা, \(x² + 36x = 460\)
বা, \(x² + 36x – 460 = 0\) __________ (i)
(i) নং সমীকরণটি হলো নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ, যেখানে x²-এর সহগ 1, x-এর সহগ 36 এবং x⁰-এর সহগ -460।
অন্যভাবে দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ও কী পাই দেখি।
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = \(x\) মিটার। ∴ প্রস্থ = \((x – 36)\) মিটার
সুতরাং, ক্ষেত্রফল = \(x(x – 36)\) বর্গ মিটার
প্রশ্নানুসারে, \(x(x – 36) = 460\)
বা, \(x² – 36x – 460 = 0\) __________ (i)
∴ (i) নং সমীকরণটি হলো নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে x²-এর সহগ [1], x-এর সহগ [-36] এবং x⁰-এর সহগ [-460]।
প্রয়োগ 4. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 2 মিটার বেশি এবং ক্ষেত্রফল 24 বর্গ মিটার। একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি। [নিজে করি]
সমাধান –
ধরি, প্রস্থ = \(x\) মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = \((x + 2)\) মিটার
ক্ষেত্রফল = \(x(x + 2)\) বর্গ মিটার
শর্তানুসারে,
\(x(x + 2) = 24\)বা, \(x² + 2x = 24\)
বা, \(x² + 2x – 24 = 0\)
∴ নির্ণেয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ হল \(x² + 2x – 24 = 0\)।
প্রয়োগ 5. আমি \(x^3 – 4x^2 – x + 1 = (x + 2)^3\) সমীকরণটিকে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপে প্রকাশ করে \(x^2\), \(x\) ও \(x^0\)-এর সহগ লিখি।
সমাধান –
\(x^3 – 4x^2 – x + 1 = (x + 2)^3\)বা, \(x^3 – 4x^2 – x + 1 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)
বা, \(-10x^2 – 13x – 7 = 0\)
বা, \(10x^2 + 13x + 7 = 0\)
∴ \(x^2\)-এর সহগ 10, \(x\)-এর সহগ [13] এবং \(x^0\)-এর সহগ [7] (নিজে লিখ)
প্রয়োগ 6. পাশের কোনগুলি \(2x^2 – 5x – 3 = 0\) সমীকরণের বীজ বুঝে লিখি। (i) 5 (ii) 3 (iii) \(-\frac{1}{2}\)
সমাধান –
\(2x^2 – 5x – 3 = 0\) __________ (I)
(i) (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষে \(x = 5\) বসিয়ে পাই,
\(2 \times (5)^2 – 5 \times 5 – 3 = 50 – 25 – 3 = 22 \neq 0\)∴ \(x = 5\), (I) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে না। ∴ 5, (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ নয়।
(ii) (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষে \(x = 3\) বসিয়ে পাই,
\(2 \times 3^2 – 5 \times 3 – 3 = 0\)∴ \(x = 3\), (I) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে। ∴ 3, (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।
(iii) (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণে \(x = -\frac{1}{2}\) বসিয়ে দেখি, \(-\frac{1}{2}\), (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ [নিজে করি]
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণে \(x = -\frac{1}{2}\) বসিয়ে দেখি,
\(2 \times \left( -\frac{1}{2} \right)^2 – 5 \times \left( -\frac{1}{2} \right) – 3\)= \(2 \times \frac{1}{4} + \frac{5}{2} – 3\)
= \(\frac{1}{2} + \frac{5}{2} – 3\)
= \(\frac{6}{2} – 3\)
= \(3 – 3 = 0\)
∴ \(x = -\frac{1}{2}\), (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ।
প্রয়োগ 7. k-এর মান কত হলে \(kx^2 + 2x – 3 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 2 হবে হিসাব করে লিখি।
যেহেতু, \(kx^2 + 2x – 3 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 2
সুতরাং, \(k \times 2^2 + 2 \times 2 – 3 = 0\)
বা, \(4k + 4 – 3 = 0\)
বা, \(4k + 1 = 0\)
বা, \(k = -\frac{1}{4}\)
∴ \(k = -\frac{1}{4}\) হলে \(kx^2 + 2x – 3 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 2 হবে।
প্রয়োগ 8. k-এর মান কত হলে \(x^2 + kx + 3 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 1 হবে হিসাব করে লিখি।
যেহেতু, \(x^2 + kx + 3 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 1
সুতরাং, \(1^2 + k \times 1 + 3 = 0\)
বা, \(1 + k + 3 = 0\)
বা, \(k + 4 = 0\)
বা, \(k = -4\)
∴ \(k = -4\) হলে \(x^2 + kx + 3 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 1 হবে।
প্রয়োগ 9. আমি নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলি উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান করার চেষ্টা করি।
(i) \(6x^2 – x – 2 = 0\)
(ii) \(25x^2 – 20x + 4 = 0\)
(iii) \(x^2 + 5x = 0\)
(iv) \(4x^2 – 9 = 0\)
(v) \(x^2 + (3 – \sqrt{5})x – 3\sqrt{5} = 0\)
(i) \(6x^2 – x – 2 = 0\)
\(6x^2 – x – 2 = 0\) ————— (I)
বা, \(6x^2 – 4x + 3x – 2 = 0\)
বা, \(2x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0\)
বা, \((3x – 2)(2x + 1) = 0\)
ইহায়, \(3x – 2 = 0\)
বা, \(3x = 2\)
∴ \(x = \frac{2}{3}\)
অথবা, \(2x + 1 = 0\)
বা, \(2x = -1\)
∴ \(x = -\frac{1}{2}\)
অর্থাৎ, \(x = \frac{2}{3}\) ও \(x = -\frac{1}{2}\) (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান।
∴ (I) নং সমীকরণের বীজ দুটি \(\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}\)
Notes – \(ax^2 + bx + c = 0\) [যেখানে a, b ও c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0] দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ নির্ণয়ের জন্য \(ax^2 + bx + c\) দ্বিঘাত সংখ্যামালাকে দুটি রৈখিক উৎপাদকে [Linear factors] বিশ্লেষণ করে প্রতিটি উৎপাদককে শূন্য (0)-এর সমান করে বীজ দুটি নির্ণয় করা যায়।
(ii) \(25x^2 – 20x + 4 = 0\)
\(25x^2 – 20x + 4 = 0\) ————— (II)
বা, \(25x^2 – 10x – 10x + 4 = 0\)
বা, \(5x(5x – 2) – 2(5x – 2) = 0\)
বা, \((5x – 2)(5x – 2) = 0\)
ইহায়, \(5x – 2 = 0\) ∴ \(x = \frac{2}{5}\)
অথবা, \(5x – 2 = 0\) ∴ \(x = \frac{2}{5}\)
যেহেতু দুটি উৎপাদক সমান, ∴ (II) নং সমীকরণের সমাধান \(x = \frac{2}{5}\) ও \(x = \frac{2}{5}\)
∴ বীজ দুটি পেলাম \(\frac{2}{5}\) ও \(\frac{2}{5}\) অর্থাৎ বীজ দুটিও সমান।
∴ (II) নং সমীকরণের বীজদ্বয় \(\frac{2}{5}\) ও \(\frac{2}{5}\)
(iii) \(x^2 + 5x = 0\)
\(x^2 + 5x = 0\) ————— (III)
বা, \(x(x + 5) = 0\)
ইহায়, \(x = 0\)
অথবা, \(x + 5 = 0\) ∴ \(x = -5\)
অর্থাৎ, \(x = 0\) ও \(x = -5\), \(x^2 + 5x = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান।
∴ \(x^2 + 5x = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 0 এবং -5
Notes – \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের \(c = 0\) হলে একটি বীজ সর্বদা 0 হবে।
(iv) \(4x^2 – 9 = 0\)
\(4x^2 – 9 = 0\) ————— (IV)
বা, \((2x + 3)(2x – 3) = 0\)
ইহায়, \(2x + 3 = 0\) ∴ \(x = -\frac{3}{2}\)
অথবা, \(2x – 3 = 0\) ∴ \(x = \frac{3}{2}\)
(IV) নং দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান \(x = -\frac{3}{2}\) ও \(x = \frac{3}{2}\); (IV) নং সমীকরণের বীজদ্বয় \(-\frac{3}{2}\) এবং \(\frac{3}{2}\)
(v) \(x^2 + (3 – \sqrt{5})x – 3\sqrt{5} = 0\)
\(x^2 + (3 – \sqrt{5})x – 3\sqrt{5} = 0\)বা, \(x^2 + 3x – \sqrt{5}x – 3\sqrt{5} = 0\)
বা, \(x(x + 3) – \sqrt{5}(x + 3) = 0\)
বা, \((x + 3)(x – \sqrt{5}) = 0\)
ইহায়, \(x + 3 = 0\) ∴ \(x = -3\)
অথবা, \(x – \sqrt{5} = 0\) ∴ \(x = \sqrt{5}\)
∴ বীজদ্বয় \(-3\) ও \(\sqrt{5}\)
∴ বাস্তব সহগযুক্ত একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সর্বদা মূলদ বা অমূলদ নয়।
প্রয়োগ 10. সমাধান করি \((x + 4)(2x – 3) = 6\)
\((x + 4)(2x – 3) = 6\)বা, \(2x^2 + 8x – 3x – 12 – 6 = 0\)
বা, \(2x^2 + 5x – 18 = 0\)
বা, \(2x^2 + 9x – 4x – 18 = 0\)
বা, \(x(2x + 9) – 2(2x + 9) = 0\)
বা, \((2x + 9)(x – 2) = 0\)
ইহায়, \(2x + 9 = 0\), ∴ \(x = -\frac{9}{2}\)
অথবা, \(x – 2 = 0\), ∴ \(x = 2\)
∴ \(x = -\frac{9}{2}\) অথবা \(x = 2\).
অর্থাৎ, \(x = -\frac{9}{2}\) ও \(x = 2\), \((x + 4)(2x – 3) = 6\) দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান।
প্রয়োগ 11. \(\frac{x}{3} + \frac{3}{x} = 4\frac{1}{4}\), \((x \ne 0)\) — দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি।
\(\frac{x}{3} + \frac{3}{x} = 4\frac{1}{4}\)বা, \(\frac{x^2 + 9}{3x} = \frac{17}{4}\)
বা, \(4x^2 + 36 = 51x\)
বা, \(4x^2 – 51x + 36 = 0\)
বা, \(4x^2 – 48x – 3x + 36 = 0\)
বা, \(4x(x – 12) – 3(x – 12) = 0\)
বা, \((x – 12)(4x – 3) = 0\)
ইহায়, \(x – 12 = 0\), ∴ \(x = 12\)
অথবা, \(4x – 3 = 0\), ∴ \(x = \frac{3}{4}\)
∴ প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান, \(x = \frac{3}{4}\) ও \(x = 12\)
অন্য পদ্ধতিতে, \(\frac{x}{3} + \frac{3}{x} = 4\frac{1}{4}\), \((x \ne 0)\) — দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি।
\(\frac{x}{3} + \frac{3}{x} = 4\frac{1}{4}\)ধরি, \(\frac{x}{3} = a\)
∴ প্রদত্ত সমীকরণটি হবে, \(a + \frac{1}{a} = 4\frac{1}{4}\)
বা, \(a + \frac{1}{a} = 4 + \frac{1}{4}\)
বা, \((a – 4) + \frac{1}{a} – \frac{1}{4} = 0\)
বা, \((a – 4) – \frac{1}{4a}(a – 4) = 0\)
বা, \((a – 4)\left(1 – \frac{1}{4a}\right) = 0\)
ইহায়, \(a – 4 = 0\)
a – 4 = 0 হলে a = 4, ∴ \(\frac{x}{3} = 4\) ∴ x = 12
অথবা \(1 – \frac{1}{4a} = 0\) হলে \(\frac{1}{4a} = 1\)
বা, \(4a = 1\)
বা, \(a = \frac{1}{4}\)
∴ \(\frac{x}{3} = \frac{1}{4}\)
∴ x = \(\frac{3}{4}\)
∴ x = \(\frac{3}{4}\) ও x = 12 হলে প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান।
প্রয়োগ 12. আমি \(\frac{a}{x – b} + \frac{b}{x – a} = 2\) \((x \ne b, a)\) দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি ও বীজদ্বয় লিখি।
\(\frac{a}{x – b} + \frac{b}{x – a} = 2\)বা, \(\frac{a}{x – b} – 1 + \frac{b}{x – a} – 1 = 0\)
বা, \(\frac{a – x + b}{x – b} + \frac{b – x + a}{x – a} = 0\)
বা, \((a + b – x)\left[\frac{1}{x – b} + \frac{1}{x – a}\right] = 0\)
বা, \((a + b – x)\left[\frac{x – a + x – b}{(x – a)(x – b)}\right] = 0\)
বা, \((a + b – x)\left[\frac{2x – a – b}{(x – a)(x – b)}\right] = 0\)
ইহায়, \(a + b – x = 0\) অথবা \(\frac{2x – a – b}{(x – a)(x – b)} = 0\)
ইহায়, \(a + b – x = 0\), ∴ \(x = a + b\)
অথবা, \(\frac{2x – a – b}{(x – a)(x – b)} = 0\),
বা, \(2x – a – b = 0\), ∴ \(x = \frac{a + b}{2}\)
∴ \(x = a + b\) ও \(x = \frac{a + b}{2}\) প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান।
এবং বীজদ্বয় \(a + b\) এবং \(\frac{a + b}{2}\)
প্রয়োগ 13. \(\frac{a}{ax – 1} + \frac{b}{bx – 1} = a + b\), \(x \ne \frac{1}{a}, \frac{1}{b}\) দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি ও বীজদ্বয় লিখি।
\(\frac{a}{ax – 1} + \frac{b}{bx – 1} = a + b\)বা, \(\frac{a}{ax – 1} – b = a – \frac{b}{bx – 1}\)
বা, \(\frac{a – abx + b}{ax – 1} = \frac{abx – a – b}{bx – 1}\)
বা, \((a + b – abx)(bx – 1) = – (a + b – abx)(ax – 1)\)
বা, \((a + b – abx)(bx – 1 + ax – 1) = 0\)
বা, \((a + b – abx)(ax + bx – 2) = 0\)
বা, \(a + b – abx = 0\) অথবা \(ax + bx – 2 = 0\)
বা, \(abx = a + b\) অথবা \((a + b)x = 2\)
বা, \(x = \frac{a + b}{ab}\) অথবা \(x = \frac{2}{a + b}\)
∴ বীজদ্বয় \(\frac{a + b}{ab}\) ও \(\frac{2}{a + b}\)
প্রয়োগ 14. আমি \(\frac{x – 3}{x + 3} – \frac{x + 3}{x – 3} + 6\frac{6}{7} = 0\) \((x \ne -3, 3)\) দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি।
\(\frac{x – 3}{x + 3} – \frac{x + 3}{x – 3} + 6\frac{6}{7} = 0\)বা, \(a – \frac{1}{a} + 6\frac{6}{7} = 0\) ————— (i) [ যেখানে, \(\frac{x – 3}{x + 3} = a\) ]
বা, \(\frac{a^2 – 1}{a} + \frac{48}{7} = 0\)
বা, \(\frac{a^2 – 1}{a} = -\frac{48}{7}\)
বা, \(7a^2 – 7 = -48a\)
বা, \(7a^2 + 48a – 7 = 0\)
বা, \(7a^2 + 49a – a – 7 = 0\)
বা, \(7a(a + 7) – 1(a + 7) = 0\)
বা, \((a + 7)(7a – 1) = 0\)
∴ (a + 7) ও (7a – 1)-এর একটি অবশ্যই শূন্য হবে।
ইহায়, \(a + 7 = 0\) ∴ \(a = -7\) অথবা \(7a – 1 = 0\) ∴ \(a = \frac{1}{7}\)
এবার \(a = -7\) থেকে পাই, \(\frac{x – 3}{x + 3} = -7\)
বা, \(x – 3 = -7x – 21\)
বা, \(8x = -18\)
বা, \(x = -\frac{18}{8}\) ∴ \(x = -\frac{9}{4}\)
আবার, \(a = \frac{1}{7}\) থেকে পাই, \(\frac{x – 3}{x + 3} = \frac{1}{7}\)
বা, \(7x – 21 = x + 3\)
বা, \(6x = 24\) ∴ \(x = 4\)
∴ \(x = -\frac{9}{4}\) ও \(x = 4\) প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান (Solution)।
∴ সমীকরণটির বীজদ্বয় \(-\frac{9}{4}\) এবং \(4\).
অন্যভাবে, \(\frac{x – 3}{x + 3} – \frac{x + 3}{x – 3} + 6\frac{6}{7} = 0\) \((x \ne -3, 3)\) দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি।
\(\frac{x – 3}{x + 3} – \frac{x + 3}{x – 3} + 6\frac{6}{7} = 0\)বা, \(a – \frac{1}{a} + 6\frac{6}{7} = 0\) ————— (i) [ যেখানে, \(\frac{x – 3}{x + 3} = a\) ]
(i) থেকে পাই \(a – \frac{1}{a} + \frac{48}{7} = 0\)
বা, \(a – \frac{1}{a} + 7 – \frac{1}{7} = 0\)
বা, \(a + 7 – \frac{1}{a} – \frac{1}{7} = 0\)
বা, \((a + 7) – \frac{1}{7a}(a + 7) = 0\)
বা, \((a + 7)\left(1 – \frac{1}{7a}\right) = 0\)
∴ (a + 7) এবং \(\left(1 – \frac{1}{7a}\right)\)-এর একটি অবশ্যই শূন্য হবে।
ইহায়, \(a + 7 = 0\), ∴ \(a = -7\), অথবা \(1 – \frac{1}{7a} = 0\), ∴ \(a = \frac{1}{7}\)
এবার, \(a = -7\) হলে, \(\frac{x – 3}{x + 3} = -7\)
বা, \(x – 3 = -7x – 21\)
বা, \(8x = -18\) ∴ \(x = -\frac{9}{4}\)
আবার, \(a = \frac{1}{7}\) হলে, \(\frac{x – 3}{x + 3} = \frac{1}{7}\)
বা, \(7x – 21 = x + 3\)
বা, \(6x = 24\) ∴ \(x = 4\)
অর্থাৎ \(x = -\frac{9}{4}\) ও \(x = 4\) প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান (Solution)।
সুতরাং সমীকরণটির বীজদ্বয় \(-\frac{9}{4}\) এবং \(4\).
প্রয়োগ 15. আমি \(\frac{x + 3}{x – 3} + \frac{x – 3}{x + 3} = 2\frac{1}{2}\) \((x \ne -3, 3)\) দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করি।
\(\frac{x + 3}{x – 3} + \frac{x – 3}{x + 3} = 2\frac{1}{2}\)বা, \(\frac{(x + 3)^2 + (x – 3)^2}{(x – 3)(x + 3)} = \frac{5}{2}\)
বা, \(\frac{x^2 + 6x + 9 + x^2 – 6x + 9}{x^2 – 9} = \frac{5}{2}\)
বা, \(\frac{2x^2 + 18}{x^2 – 9} = \frac{5}{2}\)
বা, \(4x^2 + 36 = 5x^2 – 45\)
বা, \(4x^2 + 36 = 5x^2 – 45\)
বা, \(0 = x^2 – 81\)
বা, \(x^2 = 81\)
বা, \(x = \pm9\)
∴ সমীকরণটির সমাধান \(x = 9\) ও \(x = -9\).
সুতরাং সমীকরণটির বীজদ্বয় \(9\) ও \(-9\).
অন্যভাবে, \(\frac{x + 3}{x – 3} + \frac{x – 3}{x + 3} = 2\frac{1}{2}\) \((x \ne -3, 3)\) দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করি।
ধরি, \(\frac{x + 3}{x – 3} = a\)
\(\Rightarrow a + \frac{1}{a} = 2\frac{1}{2}\)বা, \(a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}\)
বা, \(a^2 + 1 = \frac{5}{2}a\)
বা, \(2a^2 + 2 = 5a\)
বা, \(2a^2 – 5a + 2 = 0\)
বা, \(2a^2 – 4a – a + 2 = 0\)
বা, \(2a(a – 2) -1(a – 2) = 0\)
বা, \((a – 2)(2a – 1) = 0\)
ইহায়, \(a – 2 = 0\) ∴ \(a = 2\)
অথবা, \(2a – 1 = 0\) ∴ \(a = \frac{1}{2}\)
এবার, \(a = 2\) হলে, \(\frac{x + 3}{x – 3} = 2\)
বা, \(x + 3 = 2x – 6\)
বা, \(x = 9\)
আবার, \(a = \frac{1}{2}\) হলে, \(\frac{x + 3}{x – 3} = \frac{1}{2}\)
বা, \(2x + 6 = x – 3\)
বা, \(x = -9\)
∴ সমীকরণটির সমাধান \(x = 9\) ও \(x = -9\)।
সুতরাং সমীকরণটির বীজদ্বয় \(9\) ও \(-9\).
প্রয়োগ 15. আমি \(\frac{x + 3}{x – 3} + \frac{x – 3}{x + 3} = 2\frac{1}{2}\) \((x \ne -3, 3)\) দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করি।
ধরি, \(\frac{x + 3}{x – 3} = a\)
তবে সমীকরণটি হয় \(a + \frac{1}{a} = 2\frac{1}{2}\)
বা, \(a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}\)
বা, \(a^2 + 1 = \frac{5}{2}a\)
বা, \(2a^2 – 5a + 2 = 0\)
বা, \(2a^2 – 4a – a + 2 = 0\)
বা, \(2a(a – 2) -1(a – 2) = 0\)
বা, \((a – 2)(2a – 1) = 0\)
ইহায়, \(a – 2 = 0\) ∴ \(a = 2\)
অথবা, \(2a – 1 = 0\) ∴ \(a = \frac{1}{2}\)
এবার \(a = 2\) হলে, \(\frac{x + 3}{x – 3} = 2\)
বা, \(x + 3 = 2x – 6\)
বা, \(x = 9\)
আবার, \(a = \frac{1}{2}\) হলে, \(\frac{x + 3}{x – 3} = \frac{1}{2}\)
বা, \(2x + 6 = x – 3\)
বা, \(x = -9\)
সুতরাং সমীকরণটির বীজদ্বয় \(9\) ও \(-9\)
প্রয়োগ 16. আমার মামা সাইকেলে 84 কিমি. পথ ভ্রমণ করলেন এবং দেখলেন যে তিনি যদি ঘন্টায় 5 কিমি. অধিক বেগে সাইকেল চালাতেন তাহলে ভ্রমণ শেষ হতে 2 ঘন্টা সময় কম লাগত। মামা ঘন্টায় কত কিমি. বেগে ভ্রমণ করেছিলেন হিসাব করে লিখি।
ধরি, মামা ঘন্টায় \(x\) কিমি. বেগে ভ্রমণ করেছিলেন।
শর্তানুসারে, \(\frac{84}{x} – \frac{84}{x+5} = 2\)
বা, \(\frac{84(x+5) – 84x}{x(x+5)} = 2\)
বা, \(\frac{84x + 420 – 84x}{x^2+5x} = 2\)
বা, \(420 = 2(x^2+5x)\)
বা, \(2x^2+10x-420 = 0\)
বা, \(x^2+5x-210 = 0\)
বা, \(x^2+20x-15x-210 = 0\)
বা, \(x(x+20)-15(x+20) = 0\)
বা, \((x+20)(x-15) = 0\)
হয়, \(x+20 = 0\), ∴ \(x = -20\)
অথবা, \(x-15 = 0\), ∴ \(x = 15\)
কিন্তু এখানে \(x = -20\) হতে পারে না। কারণ গতিবেগের মান ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ \(x = 15\)
∴ মামা ঘন্টায় 15 কিমি. বেগে ভ্রমণ করেছিলেন।
Notes – শিক্ষার্থীদের বোঝার সুবিধার্থে নিচের ব্যাখ্যাটুকু দেওয়া হলো (পরীক্ষার খাতায় এই অংশটুকু লিখবেন না)
ধরি, মামা ঘন্টায় \(x\) কিমি. বেগে ভ্রমণ করেছিলেন।
এখানে আমরা মামার অজানা গতিবেগ কে \(x\) ধরে নিয়েছি (যেমন – \(x\) km/h)।
\(x\) হলো সেই সংখ্যা যা আমরা বের করতে চাই।
শর্তানুসারে, \(\frac{84}{x} – \frac{84}{x+5} = 2\)
এটি তৈরি করার কারণ –
প্রকৃত সময় = মামার যাত্রায় লেগেছে \(\frac{84}{x}\) ঘণ্টা
(কারণ, সময় = দূরত্ব ÷ গতিবেগ)
উদাহরণ – \(x = 10\) হলে, সময় \(= \frac{84}{10} = 8.4\) ঘণ্টা।
নতুন সময় = যদি গতিবেগ \(5\) km/h বাড়ত (\(x+5\)),
তবে সময় লাগত \(\frac{84}{x+5}\) ঘণ্টা।
শর্তের ব্যাখ্যা –
নতুন গতিবেগে \(2\) ঘণ্টা কম লাগে,
অর্থাৎ, (প্রকৃত সময়) – (নতুন সময়) = \(2\)
→ \(\frac{84}{x} – \frac{84}{x+5} = 2\)
প্রয়োগ 17. আমার বন্ধু অজয় তার খাতায় তার দুই অঙ্কের একটি সংখ্যা লিখেছে যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 4 কম। সংখ্যাটি থেকে তার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটির অঙ্ক দুটির বর্গের সমান হয়। অজয় তার খাতায় কী সংখ্যা লিখতে পারে হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।
মনে করি অজয়ের লেখা দুই অঙ্কের সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক \(x\) ; ∴ দশক স্থানীয় অঙ্ক \((x−4)\)
∴ সংখ্যাটি = \(10(x−4)+x=11x−40\)
শর্তানুসারে, \((11x−40)−x×(x−4)={x−(x−4)}2\)
বা, \(11x−40−x2+4x=16\)
বা, \(−x2+15x−56=0\)
বা, \(x2−15x+56=0\)
বা, \(x2−7x−8x+56=0\)
বা, \(x(x−7)−8(x−7)=0\)
বা, \((x−7)(x−8)=0\)
হয়, \(x−7=0\) , ∴ \(x=7\) অথবা, \(x−8=0\) , ∴ \(x=8\)
∴ \(x=7\) অথবা, \(x=8\)
\(x=7\) হলে, দুই অঙ্কের সংখ্যাটি হবে = \(11×7−40=37\)
\(x=8\) হলে, দুই অঙ্কের সংখ্যাটি হবে = \(11×8−40=48\)
∴ নির্ণেয় দুই অঙ্কের সংখ্যা 37 অথবা 48.
প্রয়োগ 18. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম। দুই অঙ্কের সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক কী কী হতে পারে হিসাব করে লিখি।
ধরি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = \(x\)
এবং দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক=\(x-6\)
∴ দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটি হল =\(10\times (x-6)+x = 10x-60+x = 11x-60\)
· দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = \(x(x-6)\)
· শর্তানুসারে,
বা, \(x(x-6) = (11x-60)-12\)
বা, \(x^2 – 6x = 11x-60-12\)
বা, \(x^2 – 6x = 11x-72\)
বা, \(x^2 – 6x – 11x + 72 = 0\)
বা, \(x^2 – 17x + 72 = 0\)
বা, \(x^2 – 9x – 8x + 72 = 0\)
বা, \(x(x-9) – 8(x-9) = 0\)
বা, \((x-8)(x-9)=0\)
হয়, \(x-9 = 0\)
∴ \(x = 9\)
অথবা, \(x-8 = 0\)
∴ \(x = 8\)
∴ দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = \(9, 8\)
প্রয়োগ 19. আব্দুল স্কুলের এক বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতায় 6 গভীরতাবিশিষ্ট শূন্যগর্ভ বর্গাকারে দাঁড়াল। একলে সমুখ সারিতে যতজন শিক্ষার্থী দাঁড়াল, শিক্ষার্থীরা যদি নিরেট বর্গাকারে দাঁড়াত সমুখ সারিতে 24 জন কম শিক্ষার্থী থাকত। শিক্ষার্থীর সংখ্যা হিসাব করে লিখি।
ধরি শূন্যগর্ভ বর্গাকারে দাঁড়ানো সমুখ সারিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা = \(x\) জন
∴ মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে = \(x^2 – (x – 2\times6)^2 = x^2 – (x-12)^2\)
(কারণ শূন্যগর্ভ বর্গের গভীরতা 6, অভ্যন্তরীণ বর্গের দৈর্ঘ্য = \(x – 12\))
আবার নিরেট বর্গাকারে দাঁড়ানো মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা = \((x – 24)^2\)
(সমুখ সারির শিক্ষার্থী সংখ্যা 24 কম হলে নিরেট বর্গের পক্ষে)
শর্তানুযায়ী, \(x^2 – (x – 12)^2 = (x – 24)^2\)
বা, \(x^2 – (x^2 – 24x + 144) = x^2 – 48x + 576\)
বা, \(24x – 144 = x^2 – 48x + 576\)
বা, \(x^2 – 72x + 720 = 0\)
বা, \((x – 60)(x – 12) = 0\)
অর্থাৎ, \(x = 60\) অথবা \(x = 12\)
কিন্তু এখানে \(x = 12\) অসম্ভব (শূন্যগর্ভ বর্গে গভীরতা 6 থাকলে সমুখ সারির শিক্ষার্থী অবশ্যই 12-এর বেশি হবে)।
∴ \(x = 60\)
∴ নির্ণেয় শিক্ষার্থীর সংখ্যা = \((60 – 24)^2 = 36^2 = 1296\) জন
উত্তর 1296 জন শিক্ষার্থী রয়েছে।
প্রয়োগ 20. আমি \(5x^2+23x+12 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণটির পূর্বপূর্ণবর্গাকার প্রকাশ পদ্ধতিতে বীজদ্বয় নির্ণয় করি।
\(5x^2+23x+12=0\)বা, \(x^2+\frac{23}{5}x+\frac{12}{5} = 0\)
বা, \({x+\frac{1}{2}\left(\frac{23}{5}\right)}^2 – {\left(\frac{1}{2}\left(\frac{23}{5}\right)\right)}^2+\frac{12}{5} = 0\)
বা, \(\left(x+\frac{23}{10}\right)^2 – \left(\frac{23}{10}\right)^2 + \frac{12}{5} = 0\)
বা, \(\left(x+\frac{23}{10}\right)^2 – \frac{529}{100} + \frac{12}{5} = 0\)
বা, \(\left(x+\frac{23}{10}\right)^2 = \frac{529}{100} – \frac{12}{5} = \frac{529-240}{100} = \frac{289}{100} = \left(\frac{17}{10}\right)^2\)
বা, \(x+\frac{23}{10} = \pm \frac{17}{10}\)
হয়, \(x+\frac{23}{10} = \frac{17}{10}\) অথবা, \(x+\frac{23}{10} = -\frac{17}{10}\)
অর্থাৎ হয়, \(x= -\frac{3}{5}\) অথবা, \(x= -4\) [নিজে করি]
∴ \(5x^2+23x+12 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় \(-\frac{3}{5}\) ও \(-4\).
প্রয়োগ 21. আমি অন্যভাবে অর্থাৎ \(5x^2+23x+12 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষ ও ডানপক্ষকে 5 দিয়ে গুণ করে সমীকরণটি পূর্ণবর্গাকার প্রকাশ পদ্ধতিতে বীজদ্বয় নির্ণয় করি। [নিজে করি]
\(5x^2 + 23x + 12 = 0\)উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা গুণ করে পাই,
\(25x^2 + 115x + 60 = 0\)বা, \((5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot \frac{23}{2} + \left(\frac{23}{2}\right)^2 – \left(\frac{23}{2}\right)^2 + 60 = 0\)
বা, \(\left(5x + \frac{23}{2}\right)^2 – \frac{529}{4} + 60 = 0\)
বা, \(\left(5x + \frac{23}{2}\right)^2 = \frac{529}{4} – 60\)
বা, \(\left(5x + \frac{23}{2}\right)^2 = \frac{529}{4} – \frac{240}{4}\)
বা, \(\left(5x + \frac{23}{2}\right)^2 = \frac{289}{4}\)
বা, \(\left(5x + \frac{23}{2}\right)^2 = \left(\frac{17}{2}\right)^2\)
বা, \(5x + \frac{23}{2} = \pm \frac{17}{2}\)
হয়, \(5x + \frac{23}{2} = \frac{17}{2}\) অথবা, \(5x + \frac{23}{2} = -\frac{17}{2}\)
প্রথম ক্ষেত্রে, \(5x = \frac{17}{2} – \frac{23}{2}\)
\(5x = -\frac{6}{2}\)\(5x = -3\)∴ \(x = -\frac{3}{5}\)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, \(5x = -\frac{17}{2} – \frac{23}{2}\)
\(5x = -\frac{40}{2}\)\(5x = -20\)∴ \(x = -4\)
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় \(-\frac{3}{5}\) ও \(-4\)
প্রয়োগ 22. আমি \(2x^2-6x+1 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণটির পূর্ণবর্গাকার প্রকাশ পদ্ধতিতে সমাধান করি।
\(2x^2-6x+1 = 0\) সমীকরণটির উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে
পাই, \(4x^2-12x+2 = 0\)
বা, \((2x)^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2-3^2+2 = 0\)
বা, \((2x)^2-9+2 = 0\)
বা, \((2x)^2=7\)
বা, \(2x-3 = \pm \sqrt{7}\)
বা, \(2x=3 \pm \sqrt{7}\)
∴ \(x = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}\)
∴ বীজগুলি পেলাম \(\frac{3+\sqrt{7}}{2}\) ও \(\frac{3-\sqrt{7}}{2}\)
∴ \(x = \frac{3-\sqrt{7}}{2}\) ও \(x = \frac{3+\sqrt{7}}{2}\) দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান (Solution)।
প্রয়োগ 23. আমি \(9x^2+30x+31 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণটির পূর্ণবর্গাকার প্রকাশ পদ্ধতিতে সমাধান করি।
\(9x^2+30x+31 = 0\)বা, \((3x)^2+2\cdot 3x\cdot 5+(5)^2-(5)^2+31 = 0\)
বা, \((3x+5)^2-25+31 = 0\)
বা, \((3x+5)^2=-6\)
কিন্তু \(x\)-এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \((3x+5)^2\) ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ \(9x^2+30x+31 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।
প্রয়োগ 24. দাদা তার খাতায় এমন দুটি সংখ্যা লিখেছে যে একটি সংখ্যা অপরটির থেকে 3 ছোটো এবং সংখ্যাদুটির গুণফল 70; আমি একটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে দাদার লেখা সংখ্যা দুটি নির্ণয় করি।
মনে করি, একটি সংখ্যা x
∴ অন্য সংখ্যাটি (x−3)
শর্তানুসারে, \(x(x-3) = 70\)
বা, \(x^2 – 3x – 70 = 0\) __(I)
শ্রীধর আচার্যের সূত্র ব্যবহার করার জন্য
(I) নং কে ax²+bx+c = 0 [a≠0]-এর
সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a=1, b=−3 এবং c=−70
∴ শ্রীধর আচার্য-এর সূত্র থেকে পাই,
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)\( = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4 \times 1 \times (-70)}}{2 \times 1}\)\( = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2}\)\( = \frac{3 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{3 \pm 17}{2}\)হয়, \(x = \frac{3 + 17}{2} = \frac{20}{2} = 10\)
অথবা, \(x = \frac{3 – 17}{2} = \frac{-14}{2} = -7\)
যখন x=10 তখন অন্য সংখ্যাটি হবে 10−3=7 এবং
যখন x=−7 তখন অন্য সংখ্যাটি হবে −7−3=−10
∴ সংখ্যা দুটি হবে 7 এবং 10 অথবা −10 এবং −7
প্রয়োগ 25. x-এর প্রাপ্ত মানদুটি অর্থাৎ x = 10 এবং x =−7 (I) নং দ্বিঘাত \(x(x-3) = 70\) সিদ্ধ করে কিনা যাচাই করি।
\(x(x-3) = 70\) সমীকরণে x-এর প্রাপ্ত মানদুটি বসিয়ে পাই –
যাচাই –
- যখন x = 10:
- (I) নং সমীকরণ \(x^2 – 3x – 70 = 0\)
- \(10^2 – 3 \times 10 – 70 = 100 – 30 – 70 = 0\)
- বাম পক্ষ = ডান পক্ষ (∴ x = 10 সমীকরণটি সিদ্ধ করে)
- যখন x = -7 –
- (I) নং সমীকরণ \(x^2 – 3x – 70 = 0\)
- বাম পক্ষ \(10^2 – 3 \times (-7) – 70 = 49 + 21 – 70 = 0\)
- বাম পক্ষ = ডান পক্ষ (∴ x = -7 সমীকরণটি সিদ্ধ করে)
x = 10 এবং x = -7 উভয়ের জন্য (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণটি সিদ্ধ হয় করে।
প্রয়োগ 26. দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143; সমীকরণ গঠন করি এবং শ্রীধর আচার্য-এর সূত্র প্রয়োগ করে অযুগ্ম সংখ্যা দুটি লিখি। [নিজে করি]
মনে করি দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা হল x ও x+2
প্রশ্ন-নির্ণয়ী
\(x(x+2)=143\)
বা, \(x^2+2x-143=0\)
\(ax^2+bx+c=0\)
সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = 2, c = −43
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
\(x = \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 – 4ac } }{ 2a }\)বা, \(x = \frac{ -2 \pm \sqrt{ (2)^2 – 4 \times 1 \times (-143) } }{ 2 \times 1 }\)
বা, \(x = \frac{ -2 \pm \sqrt{ 4 + 572 } }{ 2 }\)
বা, \(x = \frac{ -2 \pm \sqrt{ 576 } }{ 2 }\)
বা, \(x = \frac{ -2 \pm 24 }{ 2 }\)
বা, \(x = \frac{ -2 + 24 }{ 2 }, \frac{ -2 – 24 }{ 2 }\)
বা, \(x = \frac{ 22 }{ 2 }, \frac{ -26 }{ 2 }\)
বা, \(x = 11, -13\)
যেহেতু নির্ণেয় সংখ্যাটি ধনাত্মক,
∴ \(x \neq -13\)
∴ \(x = 11\)
∴ সংখ্যা দুটি হল 11 এবং 13
প্রয়োগ 27. কোনো দলের কাছে 195 টাকা জমা ছিল এবং দলে যতজন সদস্য প্রত্যেকে তত টাকা চাঁদা দেওয়ার পর দলের মোট অর্থ দলের সকলের মধ্যে সমানভাগে ভাগ করলে প্রত্যেকে 28 টাকা করে পাবে। শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে ওই দলের সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করি।
ধরি, ওই দলের সদস্য সংখ্যা x জন
∴ প্রত্যেক x টাকা করে দিলে মোট অর্থের পরিমাণ = x×x টাকা = x² টাকা
আগে জমা ছিল 195 টাকা
∴ মোট অর্থের পরিমাণ = (x²+195) টাকা
শর্তানুসারে, x²+195 = 28×x
বা, \(x^2 -28x +195 = 0\)__________(I)
শ্রীধর আচার্যের সূত্র ব্যবহার করার জন্য (I) নং কে ax²+bx+c = 0-এর সাথে তুলনা করে পাই, a=1, b=–28 এবং c=195
∴ শ্রীধর আচার্যের সূত্র থেকে পাই,
\(x = \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 -4ac } }{ 2a }\)\( x = \frac{ -(-28) \pm \sqrt{ (-28)^2 -4 \times 1 \times 195 } }{ 2 \times 1 }\)\(x = \frac{28 \pm \sqrt{784 – 780} }{2} \)\(x = \frac{28 \pm 2}{2} \)হয়, \(x = \frac{28 + 2}{2} = 15\) অথবা, \(x = \frac{28 – 2}{2} = 13\)
∴ সদস্য সংখ্যা 15 হতে পারে আবার 13 হতে পারে।
x=15 এবং x=13, (I) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করছে কিনা নিজে যাচাই করি [নিজে করি]
x=15 এবং x=13, (I) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করছে কিনা নিজে যাচাই করি [নিজে করি]
প্রথমে, x = 15 এবং x = 13 এর মান (I) নং সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:
আপনি দেখবেন যে x = 15 এবং x = 13 দুটি মান দুটির জন্যই (I) নং সমীকরণটি সিদ্ধ হয়:
যখন x = 15 তখন –
\(x^2 – 28x + 195 \)
\(= (15)^2 – 28(15) + 195 \)
\(= 225 – 420 + 195 \)
\(= 0\)
সমীকরণটি সিদ্ধ হয় কারণ বাম পক্ষ 0 হয়েছে।
যখন x = 13 তখন –
\(x^2 – 28x + 195 \)
\(= (13)^2 – 28(13) + 195 \)
\(= 169 – 364 + 195 \)
\(= 0\)
সমীকরণটি সিদ্ধ হয় কারণ বাম পক্ষ 0 হয়েছে।
প্রয়োগ 28. শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে একটি ধনাত্মক সংখ্যা লিখি যা তার বর্গের চেয়ে 30 কম।
উত্তর সংকেতে ধরি সংখ্যাটি = x
∴ শর্তানুসারে \(x^2 – x = 30\)
বা, \(x^2 – x – 30 = 0\)
শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে পেলাম:
সমীকরণটি \(ax^2 + bx + c = 0\) রূপে তুলনা করে পাই a = 1, b = -1, c = -30
শ্রীধর আচার্যের সূত্র \(x = \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 – 4ac } }{ 2a }\)
প্রয়োগ করে \(x = \frac{ -(-1) \pm \sqrt{ (-1)^2 – 4 \times 1 \times (-30) } }{ 2 \times 1 }\)
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}\)\(x = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{2}\)\(x = \frac{1 \pm 11}{2}\)দুটি সমাধান:
\(x = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6\)\(x = \frac{1 – 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক, তাই \(-5\) মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ নির্ণেয় সংখ্যা = \(6\)
প্রয়োগ 29. প্রীতম একটি কাজ যতদিনে করতে পারে মেহের তার থেকে 5 দিন কমে কাজটি শেষ করে। প্রীতম ও মেহের একত্রে কাজটি করলে 6 দিনে কাজটি শেষ করে। প্রীতম একা কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারবে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।
মনে করি, প্রীতম একা x দিনে কাজটি শেষ করে।
মেহের একা (x−5) দিনে কাজটি শেষ করে।
∴ প্রীতম 1 দিনে করে কাজটির \(\frac{1}{x}\) অংশ
মেহের 1 দিনে করে কাজটির \(\frac{1}{x-5}\) অংশ
প্রীতম ও মেহের একত্রে 6 দিনে কাজটি শেষ করে।
∴ ওরা দুজনে একত্রে 1 দিনে করে \(\frac{1}{6}\) অংশ কাজ
শর্তানুসারে,
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5} = \frac{1}{6}\) —- (I)
বা,\(\frac{x-5 + x}{x(x-5)} = \frac{1}{6}\)
বা,\(\frac{2x – 5}{x^2 – 5x} = \frac{1}{6}\)
বা,\(6(2x – 5) = x^2 – 5x\)
বা,\(12x – 30 = x^2 – 5x\)
বা, \(x^2 – 17x + 30 = 0\) —- (II)
এই (II) নং সমীকরণটির সমাধান শ্রীধর আচার্যের সূত্র অনুসারে:
\(x = \frac{ -(-17) \pm \sqrt{ (-17)^2 – 4 \times 1 \times 30 } }{ 2 \times 1 }\)\(x = \frac{17 \pm \sqrt{289 – 120}}{2}\)\(x = \frac{17 \pm 13}{2}\)হয়, \(x = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15\)
অথবা, \(x = \frac{17 – 13}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
∴ x = 15 অথবা 2
এখানে x=2 হলে প্রীতম 2 দিনে কাজটি শেষ করে। মেহের প্রীতমের থেকে 5 দিন কমে কাজ শেষ করে, তাহলে মেহের কাজটি শেষ করতে সময় লাগে 2−5=−3 দিন। কিন্তু দিনের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই x=2 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ x=15 অর্থাৎ প্রীতম একা 15 দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে।
প্রয়োগ 30. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলির বাস্তব বীজ থাকে তবে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে বীজগুলি নির্ণয় করি।
(i) \(x^2 – 6x + 4 = 0\)
(ii) \(9x^2 + 7x – 2 = 0\)
(iii) \(x^2 – 6x + 9 = 0\)
(iv) \(2x^2 + x + 1 = 0\)
(v) \(1 – x = 2x^2\)
(vi) \(2x^2 – 9x + 7 = 0\)
(vii) \(x^2 – (\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0\)
(i) \(x^2 – 6x + 4 = 0\)
\(x^2 – 6x + 4 = 0\) __________ (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 1,
b = -6,
c = 4
∴ \(b^2 – 4ac = (-6)^2 – 4 \times 1 \times 4 = 36 – 16 = 20 > 0\)
∴(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
\(x^2 – 6x + 4 = 0\) – সমীকরণটিতে শ্রীধরাচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
\(x = \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 – 4ac } }{ 2a }\)= \(\frac{ -(-6) \pm \sqrt{ (-6)^2 – 4 \times 1 \times 4 } }{ 2 \times 1 }\)
= \(\frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}\)
= \(\frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2}\)
= \(3 \pm \sqrt{5}\)
∴ (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় \((3 + \sqrt{5})\) এবং \((3 – \sqrt{5})\)।
(ii) সমীকরণটিতে শ্রীধরাচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই
\(9x^2 + 7x – 2 = 0\) __________ (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 9,
b = 7,
c = -2
∴ \(b^2 – 4ac = 7^2 – 4 \times 9 \times (-2) = 49 + 72 = 121 > 0\)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
\(9x^2 + 7x – 2 = 0\) – সমীকরণটিতে শ্রীধরাচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই
\(x = \frac{ -7 \pm \sqrt{7^2 – 4 \times 9 \times (-2)} }{ 2 \times 9 }\)
= \(\frac{ -7 \pm \sqrt{121} }{ 18 }\)
= \(\frac{ -7 \pm 11 }{ 18 }\)
হয়, \(x = \frac{ -7 + 11 }{ 18 } = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}\)
অথবা, \(x = \frac{ -7 – 11 }{ 18 } = -1\)
∴ (I) নং সমীকরণের বীজ \(-1\) ও \(\frac{2}{9}\)
(iii) \(x^2 – 6x + 9 = 0\)
\(x^2 – 6x + 9 = 0\) __________ (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 1,
b = -6,
c = 9
∴ \(b^2 – 4ac = (-6)^2 – 4 \times 1 \times 9 = 36 – 36 = 0\)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
\(x^2 – 6x + 9 = 0\) – সমীকরণটিতে শ্রীধরাচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই
\(x = \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 – 4ac } }{ 2a }\)= \(\frac{ -(-6) \pm \sqrt{ (-6)^2 – 4 \times 1 \times 9 } }{ 2 \times 1 }\)
= \(\frac{6 \pm \sqrt{0}}{2}\)
= \(\frac{6}{2} = 3\)
∴ (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় 3 এবং 3।
(iv) \(2x^2 + x + 1 = 0\) __________ (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 2,
b = 1,
c = 1
∴ \(b^2 – 4ac = (1)^2 – 4 \times 2 \times 1 = 1 – 8 = -7 < 0\)
∴ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।
(v) \(1 – x = 2x^2\)
\(1 – x = 2x^2\) __ (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 2,
b = -1,
c = 1
∴ \(b^2 – 4ac = (-1)^2 – 4 \times 2 \times 1 = 1 – 8 = -7 < 0\)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।
(vi) \(2x^2 – 9x + 7 = 0\)
\(2x^2 – 9x + 7 = 0\) __ (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 2,
b = -9,
c = 7
∴ \(b^2 – 4ac = (-9)^2 – 4 \times 2 \times 7 \)
= \(81 – 56 = 25 > 0\)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
\(2x^2 – 9x + 7 = 0\) – সমীকরণটিতে শ্রীধরাচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই
\(x = \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 – 4ac } }{ 2a }\)= \(\frac{9 \pm \sqrt{81 – 56}}{4}\)
= \(\frac{9 \pm 5}{4}\)
হয়, \(x = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}\)
অথবা, \(x = \frac{9 – 5}{4} = 1\)
∴ (I) নং সমীকরণের বীজ \(\frac{7}{2}\) ও \(1\)।
(vii) \(x^2 – (\sqrt{2} + 1)x + \sqrt{2} = 0\) __ (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 1,
b = \(-(\sqrt{2} + 1)\),
c = \(\sqrt{2}\)
∴ \(b^2 – 4ac = (\sqrt{2} + 1)^2 – 4 \times 1 \times \sqrt{2} \)
= \((2 + 2\sqrt{2} + 1) – 4\sqrt{2} \)
= \(3 – 2\sqrt{2} > 0\)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব বীজ আছে।
\(2x^2 – 9x + 7 = 0\) – সমীকরণটিতে শ্রীধরাচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই
\(x = \frac{ (\sqrt{2} + 1) \pm \sqrt{ (\sqrt{2} + 1)^2 – 4 \times 1 \times \sqrt{2} } }{ 2 \times 1 }\)= \(\frac{ (\sqrt{2} + 1) \pm \sqrt{3 – 2\sqrt{2}} }{ 2 }\)
= \(\frac{ (\sqrt{2} + 1) \pm (\sqrt{2} – 1) }{ 2 }\)
হয়, \(x = \frac{ \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} – 1 }{ 2 } = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\)
অথবা, \(x = \frac{ \sqrt{2} + 1 – \sqrt{2} + 1 }{ 2 } = \frac{2}{2} = 1\)
∴ (I) নং সমীকরণের বীজ \(\sqrt{2}\) ও \(1\)।
প্রয়োগ 31. আমি নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলির বীজদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় করি।
(i) \(3x^2 + x – 1 = 0\)
(ii) \(4x^2 – 4x + 1 = 0\)
(iii) \(x^2 + x + 1 = 0\)
(iv) \(2x^2 + x – 2 = 0\)
(i) \(3x^2 + x – 1 = 0\) __ (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 3,
b = 1,
c = -1
∴ নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (1)^2 – 4 \times 3 \times (-1) = 1 + 12 = 13 > 0\)
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বাস্তব ও ভিন্ন বীজ আছে।
(ii) \(4x^2 – 4x + 1 = 0\) __ (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4 \times 4 \times 1 = 16 – 16 = 0\)
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বাস্তব ও সমান বীজ আছে।
(iii) \(x^2 + x + 1 = 0\) __ (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (1)^2 – 4 \times 1 \times 1 = 1 – 4 = -3 < 0\)
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।
(iv) \(2x^2 + x – 2 = 0\) __ (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 2,
b = 1,
c = -2
নিরূপক = \(b^2 – 4ac = (1)^2 – 4 \times 2 \times (-2) = 1 + 16 = 17 > 0\)
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বাস্তব ও ভিন্ন বীজ আছে।
প্রয়োগ 32. k-এর মান কত হলে \(9x^2 + 3kx + 4 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে লিখি।
\(9x^2 + 3kx + 4 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 9,
b = 3k,
c = 4
যেহেতু বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,
∴ নিরূপক(\(b^2-4ac\)) = 0
সুতরাং, \(b^2 – 4ac = 0\)
অর্থাৎ, \(3^2 – 4 \times 9 \times 4 = 0\)
বা, \(9k^2 = 4 \times 9 \times 4\)
বা, \(k^2 = 4 \times 4\)
∴ k = ±4
∴ k = ±4-এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
প্রয়োগ 33. k-এর মান কত হলে \(2x^2 – 10x + k = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে বুঝে লিখি। [নিজে করি]
\(2x^2 – 10x + k = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
a = 2,
b = -10,
c = k
যেহেতু বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,
∴ নিরূপক(\(b^2-4ac\)) = 0
সুতরাং, \(b^2 – 4ac = 0\)
অর্থাৎ, \(10^2 – 4 \times 2 \times k = 0\)
বা, \(100 – 8k = 0\)
বা, \(8k = 100\)
∴ k = \(\frac{100}{8} = 12.5\)
∴ k = 12.5-এর জন্য প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
প্রয়োগ 34. প্রমাণ করি যে \(x^2(a^2 + b^2) + 2(ac + bd)x + (c^2 + d^2) = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই, যখন \(ad \neq bc\)।
\(x^2(a^2 + b^2) + 2(ac + bd)x + (c^2 + d^2) = 0\) —- (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক (\(b^2-4ac\)) = \([2(ac + bd)]^2 – 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)
= \(4(ac + bd)^2 – 4(a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2)\)
= \(4[a^2c^2 + b^2d^2 + 2acbd – a^2c^2 – b^2c^2 – a^2d^2 – b^2d^2]\)
= \(4[-b^2c^2 – 2acbd + a^2d^2]\)
= \(-4(bc – ad)^2 < 0\)
[যেহেতু \(ad \neq bc\) ⇒ \(bc – ad \neq 0\)]
∴ (I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই, যখন \(ad \neq bc\)।
প্রয়োগ 35. \((1 + m^2)x^2 + 2mcx + (c^2 – a^2) = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি বাস্তব ও সমান হলে, প্রমাণ করি যে, \(c^2 = a^2(1 + m^2)\)।
\((1 + m^2)x^2 + 2mcx + (c^2 – a^2) = 0\) —- (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি সমান।
∴ নিরূপক (\(b^2-4ac\)) = 0
∴ \((2mc)^2 – 4(1 + m^2)(c^2 – a^2) = 0\)
বা, \(4m^2c^2 – 4(c^2 – a^2 + c^2m^2 – a^2m^2) = 0\)
বা, \(4m^2c^2 – 4c^2 + 4a^2 – 4c^2m^2 + 4a^2m^2 = 0\)
বা, \(-4c^2 + 4a^2 + 4a^2m^2 = 0\)
বা, \(c^2 = a^2 + a^2m^2\)
∴ \(c^2 = a^2(1 + m^2)\) [প্রমাণিত]
প্রয়োগ 36. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি ও গুণফল নির্ণয় করি।
(i) \(6x^2 – x – 2 = 0\) __________ (I)
(ii) \(4x^2 – 9x = 100\)
(i) \(6x^2 – x – 2 = 0\) __________ (I)
\(6x^2 – x – 2 = 0\) – সমীকরণটিকে \(ax^2+bx+c=0 \) এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 6, b = (-1), c = (-2) এবং বীজদ্বয় \(\alpha \) ও \(\beta\) হলে,
আমরা জানি,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = −x−এর সহগ / x²−এর সহগ = -b/a
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = −x−এর সহগ / x²−এর সহগ = c/a
(I) নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি (\(\alpha+\beta\))= \(-\frac{-1}{6} = \frac{1}{6}\)
বীজদ্বয়ের গুণফল(\(\alpha\cdot\beta\)) = \(\frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\)
(ii) \(4x^2 – 9x = 100\)
(i) \(6x^2 – x – 2 = 0\) __ (I)
\(6x^2 – x – 2 = 0\) – সমীকরণটিকে \(ax^2+bx+c=0\) এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 6, b = (-1), c = (-2) এবং বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে,
আমরা জানি,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = −x−এর সহগ / x²−এর সহগ = -b/a
বীজদ্বয়ের গুণফল = c/a
(I) নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি (\(\alpha+\beta\)) = \(-\frac{-1}{6} = \frac{1}{6}\)
বীজদ্বয়ের গুণফল (\(\alpha\cdot\beta\)) = \(\frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\)
(ii) \(4x^2 – 9x = 100\) __ (II)
\(4x^2 – 9x – 100 = 0\) – সমীকরণটিকে \(ax^2+bx+c=0\) এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 4, b = (-9), c = (-100) এবং বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে,
আমরা জানি,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = −x−এর সহগ / x²−এর সহগ = -b/a
বীজদ্বয়ের গুণফল = c/a
(II) নং সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি (\(\alpha+\beta\)) = \(-\frac{-9}{4} = \frac{9}{4}\)
বীজদ্বয়ের গুণফল (\(\alpha\cdot\beta\)) = \(\frac{-100}{4} = -25\)
প্রয়োগ 37. যদি \(5x^2 + 13x + k = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের একটি অপরটির অনুপ্রাণক হয়, তবে k-এর মান নির্ণয় করি।
\(5x^2 + 13x + k = 0\) __ (I)
ধরি, (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(\frac{1}{\alpha}\)
∴ \(\alpha \times \frac{1}{\alpha} = \frac{k}{5}\)
বা, \(\frac{k}{5} = 1\)
∴ \(k = 5\)
প্রয়োগ 38. যদি \(3x^2 – 10x + 3 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(\frac{1}{3}\) হয়, তবে অপর বীজটি নির্ণয় করি। [নিজে করি]
ধরি, অপর বীজটি হল \(\beta\)
সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি = \(\frac{10}{3}\)
∴ \(\frac{1}{3} + \beta = \frac{10}{3}\)
বা, \(\beta = \frac{10}{3} – \frac{1}{3} = 3\)
∴ অপর বীজটি \(3\).
প্রয়োগ 39. যদি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2 + bx + c = 0\)-এর বীজদ্বয়ের অনুপাত \(1 r\) হয়, তবে দেখাই যে, \(\frac{(r + 1)^2}{r} = \frac{b^2}{ac}\)
\(ax^2 + bx + c = 0\) __________ (I)
ধরি, (I) নং সমীকরণের বীজদ্বয় \(\alpha\) ও \(r\alpha\)
∴ \(\alpha + r\alpha = -\frac{b}{a}\)
বা, \(\alpha(1 + r) = -\frac{b}{a}\)
বা, \(\alpha^2(1 + r)^2 = \frac{b^2}{a^2}\) __________ (II)
আবার, \(\alpha \times r\alpha = \frac{c}{a}\)
বা, \(\alpha^2 r = \frac{c}{a}\) __________ (III)
(II) কে (III) দিয়ে ভাগ করে পাই, \(\frac{\alpha^2(1 + r)^2}{\alpha^2 r} = \frac{\frac{b^2}{a^2}}{\frac{c}{a}}\)
বা, \(\frac{(1 + r)^2}{r} = \frac{b^2}{a^2} \times \frac{a}{c}\)
∴ \(\frac{(r + 1)^2}{r} = \frac{b^2}{ac}\) [প্রমাণিত]
প্রয়োগ 40. যদি \(x^2 + px + q = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি \(\alpha\) ও \(\beta\) হয়, তবে \(\alpha^3 + \beta^3\) এবং \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\) -এর মান \(p\) ও \(q\)-এর মধ্যমে প্রকাশ করি।
\(x^2 + px + q = 0\) __________ (I)
(I) নং সমীকরণের দুটি বীজ \(\alpha\) ও \(\beta\)
∴ \(\alpha + \beta = -p\) এবং \(\alpha\beta = q\)
∴ \(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 – 3\alpha\beta(\alpha + \beta)\)
= \((-p)^3 – 3q(-p)\)
= \(-p^3 + 3pq\)
= \(3pq – p^3\)
\(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha\beta} = \frac{-p}{q} = -\frac{p}{q}\)\(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha\beta} = \frac{-p}{q} = -\frac{p}{q}\)প্রয়োগ 41. \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, \(\left( \frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3} \right)\)-এর মান \(a\), \(b\) ও \(c\)-এর মধ্যমে প্রকাশ করি। [নিজে করি]
\(\left( \frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3} \right) = \frac{\beta^3 + \alpha^3}{\alpha^3 \beta^3}\)আমরা জানি –
- \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)
- \(\alpha \beta = \frac{c}{a}\)
আবার, \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2 \alpha \beta\)
সুতরাং, \(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)[(\alpha + \beta)^2 – 3 \alpha \beta]\)
∴ \(\alpha^3 + \beta^3 = \left(-\frac{b}{a}\right)\left[\left(-\frac{b}{a}\right)^2 – 3 \times \frac{c}{a}\right]\)
= \(\left(-\frac{b}{a}\right)\left(\frac{b^2}{a^2} – \frac{3c}{a}\right)\)
= \(\left(-\frac{b}{a}\right)\left(\frac{b^2 – 3ac}{a^2}\right)\)
= \(-\frac{b(b^2 – 3ac)}{a^3}\)
এবং \(\alpha^3 \beta^3 = (\alpha \beta)^3 = \left(\frac{c}{a}\right)^3 = \frac{c^3}{a^3}\)
∴\(\frac{\beta^3 + \alpha^3}{\alpha^3 \beta^3} = \frac{-\frac{b(b^2 – 3ac)}{a^3}}{\frac{c^3}{a^3}} = -\frac{b(b^2 – 3ac)}{c^3}\)
∴\(\left( \frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3} \right) = -\frac{b(b^2 – 3ac)}{c^3}\)
প্রয়োগ 42. \(x^2 – 7x + 12 = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় নির্ণয় করে দেখি যে বীজদ্বয় 3 ও 4। [নিজে করি]
\(x^2 – 7x + 12 = 0\) – সমীকরণটিতে শ্রীধরাচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)এখানে, \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 12\)
নিরূপক (\(D\)) = \(b^2 – 4ac\) = \((-7)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 – 48 = 1\)
∴ \(x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}\)
∴ \(x = \frac{7 + 1}{2} = 4\) অথবা \(x = \frac{7 – 1}{2} = 3\)
প্রয়োগ 43. যদি \(ax^2 + bx + c = 0\) [a≠0] সমীকরণের বীজ \(\alpha\) ও \(\beta\) হয়, তবে যে সমীকরণের বীজ \(\frac{\alpha}{\beta}\) ও \(\frac{\beta}{\alpha}\) তার সমীকরণ নির্ণয় করি।
\(ax^2 + bx + c = 0\) __________ (I)
(I) নং দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ \(\alpha\) ও \(\beta\)
∴ \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\) এবং \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\)
নতুন সমীকরণের বীজ \(\frac{\alpha}{\beta}\) ও \(\frac{\beta}{\alpha}\)
নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি:\(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}\)
বা, \(\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta}{\alpha\beta}\)
বা, \(\frac{(\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta}{\alpha\beta} = \frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^2 – 2 \times \frac{c}{a}}{\frac{c}{a}}\)
বা, \(\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^2 – 2 \times \frac{c}{a}}{\frac{c}{a}} = \frac{\frac{b^2}{a^2} – \frac{2c}{a}}{\frac{c}{a}}\)
বা, \(\frac{\frac{b^2}{a^2} – \frac{2c}{a}}{\frac{c}{a}} = \frac{b^2 – 2ac}{a^2} \times \frac{a}{c}\)
বা, \(\frac{b^2 – 2ac}{a^2} \times \frac{a}{c} = \frac{b^2 – 2ac}{ac}\)
নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল:
\(\frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1\)নতুন সমীকরণ \(x^2 – \left( \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \right)x + \frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 0\)
বা, \(x^2 – \left( \frac{b^2 – 2ac}{ac} \right)x + 1 = 0\)
বা, \(acx^2 – (b^2 – 2ac)x + ac = 0\)
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের প্রথম অধ্যায়, ‘একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন