মাধ্যমিক গণিত – পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত – প্রয়োগ

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের চতুর্বিংশ অধ্যায়, ‘পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।

প্রয়োগ 1. \(\frac{\cos 53^{\circ}}{\sin 37^{\circ}}\)-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান –

আমরা জানি, \(\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin\theta\)

\(\cos 53^{\circ} = \cos(90^{\circ}-37^{\circ}) = \sin 37^{\circ}\)

\(\therefore \frac{\cos 53^{\circ}}{\sin 37^{\circ}} = \frac{\sin 37^{\circ}}{\sin 37^{\circ}} = 1\)

প্রয়োগ 2. \(\frac{\sec 49^{\circ}}{cosec 41^{\circ}}\)-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান –

আমরা জানি, \(\sec(90^{\circ}-\theta) = cosec\theta\)

\(\sec 49^{\circ} = \sec(90^{\circ}-41^{\circ}) = cosec 41^{\circ}\)

\(\therefore \frac{\sec 49^{\circ}}{cosec 41^{\circ}} = \frac{cosec 41^{\circ}}{cosec 41^{\circ}} = 1\)

প্রয়োগ 3. দেখাই যে, \(\cos 55^{\circ} \cos 35^{\circ} – \sin 55^{\circ} \sin 35^{\circ} = 0\)

সমাধান –

\(\cos 55^{\circ} \cos 35^{\circ} – \sin 55^{\circ} \sin 35^{\circ}\)

= \( \cos(90^{\circ}-35^{\circ}) \cos 35^{\circ} – \sin(90^{\circ}-35^{\circ}) \sin 35^{\circ}\)

= \( \sin 35^{\circ} \cos 35^{\circ} – \cos 35^{\circ} \sin 35^{\circ} = 0\) (প্রমাণিত)

প্রয়োগ 4. দেখাই যে, \(\sin 43^{\circ} \cos 47^{\circ} + \cos 43^{\circ} \sin 47^{\circ} = 1\) [নিজে করি]

সমাধান –

\(\sin 43^{\circ} \cos 47^{\circ} + \cos 43^{\circ} \sin 47^{\circ}\)

= \( \sin 43^{\circ} \cos(90^{\circ}-43^{\circ}) + \cos 43^{\circ} \sin(90^{\circ}-43^{\circ})\)

= \( \sin 43^{\circ} \sin 43^{\circ} + \cos 43^{\circ} \cos 43^{\circ}\)

= \( \sin^2 43^{\circ} + \cos^2 43^{\circ}\)

= \( 1\) (প্রমাণিত)

প্রয়োগ 5. প্রমাণ করি যে, \(\tan 7^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 60^{\circ} \tan 67^{\circ} \tan 83^{\circ} = \sqrt{3}\)

সমাধান –

\(\tan 7^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 60^{\circ} \tan 67^{\circ} \tan 83^{\circ}\)

= \( (\tan 7^{\circ} \tan 83^{\circ}) \tan 60^{\circ} (\tan 23^{\circ} \tan 67^{\circ})\)

= \( \{\tan 7^{\circ} \times \tan(90^{\circ}-7^{\circ})\} \tan 60^{\circ} \{\tan 23^{\circ} \times \tan(90^{\circ}-23^{\circ})\}\)

= \( (\tan 7^{\circ} \cot 7^{\circ}) \tan 60^{\circ} (\tan 23^{\circ} \cot 23^{\circ}) = 1 \times \sqrt{3} \times 1 \quad\)

= \( \sqrt{3}\) (প্রমাণিত)

প্রয়োগ 6. দেখাই যে, \(\sin^2 21^{\circ} + \sin^2 69^{\circ} = 1\)

সমাধান –

\(\sin 69^{\circ} = \sin(90^{\circ}-21^{\circ}) = \cos 21^{\circ}\)\(\therefore \sin^2 21^{\circ} + \sin^2 69^{\circ} = \sin^2 21^{\circ} + \cos^2 21^{\circ} = 1 \quad \)\([\because \sin^2\theta+\cos^2\theta=1]\)

প্রয়োগ 7. দেখাই যে, \(\tan 15^{\circ} + \tan 75^{\circ} = \frac{\sec^2 15^{\circ}}{\sqrt{\sec^2 15^{\circ}-1}}\)

সমাধান –

\(\tan 15^{\circ} + \tan 75^{\circ}\)

= \( \tan 15^{\circ} + \tan(90^{\circ}-15^{\circ})\)

= \( \tan 15^{\circ} + \cot 15^{\circ} = \tan 15^{\circ} + \frac{1}{\tan 15^{\circ}}\)

= \( \frac{\tan^2 15^{\circ} + 1}{\tan 15^{\circ}} = \frac{\sec^2 15^{\circ}}{\sqrt{\sec^2 15^{\circ}-1}}\)

\([\because \sec^2\theta = 1+\tan^2\theta\)

এবং \(\tan\theta = \sqrt{\sec^2\theta-1}]\) (প্রমাণিত)

প্রয়োগ 8. A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ হলে, দেখাই যে, \((\sin A + \sin B)^2 = 1+2\sin A \sin B\)

সমাধান –

A ও B দুটি পরস্পর পূরক কোণ।

সুতরাং, \(A+B = 90^{\circ}\)

\(\therefore B = 90^{\circ}-A\)

\(\sin B = \sin(90^{\circ}-A) = \cos A\)

\((\sin A + \sin B)^2\)

= \( (\sin A + \cos A)^2\)

= \( \sin^2 A + \cos^2 A + 2\sin A \cos A\)

= \( 1+2\sin A \cos A\)

= \( 1+2\sin A \sin B\) (প্রমাণিত)

প্রয়োগ 9. যদি \(\sec\theta = \csc\phi\) হয় এবং \(0^{\circ}< \theta <90^{\circ}\), \(0^{\circ}< \phi <90^{\circ}\) তাহলে \(\sin(\theta+\phi)\)-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান –

\(\sec\theta = \csc\phi\)

বা, \(\sec\theta = \sec(90^{\circ}-\phi)\)

বা, \(\theta = 90^{\circ}-\phi \quad\)

\(\therefore \theta+\phi = 90^{\circ} \quad \)

\(\therefore \sin(\theta+\phi) = \sin 90^{\circ} = 1\)

প্রয়োগ 10. যদি \(\tan 2A = \cot(A-18^{\circ})\) হয়, যেখানে 2A ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ, তাহলে A-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান –

\(\tan 2A = \cot(A-18^{\circ})\)

বা, \(\cot(90^{\circ}-2A) = \cot(A-18^{\circ}) \quad [\because \cot(90^{\circ}-\theta) = \tan\theta]\)

বা, \(90^{\circ}-2A = A-18^{\circ}\)

বা, \(-2A-A = -90^{\circ}-18^{\circ}\)

বা, \(-3A = -108^{\circ} \quad \therefore A = 36^{\circ}\)

প্রয়োগ 11. যদি \(\sec 4A = \csc(A-20^{\circ})\) হয়, যেখানে 4A ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ, তাহলে A-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান –

\(\sec 4A = \csc(A-20^{\circ})\)

বা, \(\csc(90^{\circ}-4A) = \csc(A-20^{\circ}) \quad [\because \csc(90^{\circ}-\theta) = \sec\theta]\)

বা, \(90^{\circ}-4A = A-20^{\circ}\)

বা, \(-4A-A = -20^{\circ}-90^{\circ}\)

বা, \(-5A = -110^{\circ} \quad \therefore A = 22^{\circ}\)

প্রয়োগ 12. \(\cos 43^{\circ} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হলে, \(\tan 47^{\circ}\)-এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

\(\cos 43^{\circ} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

\(\sin^2 43^{\circ} = 1-\cos^2 43^{\circ} \)

= \( 1-\frac{x^2}{x^2+y^2} \)

= \( \frac{x^2+y^2-x^2}{x^2+y^2} \)

= \( \frac{y^2}{x^2+y^2}\)

\(\therefore \sin 43^{\circ} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\) [যেহেতু 43° ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ, সুতরাং \(\sin 43^{\circ}\)-এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

\(\therefore \tan 47^{\circ} = \tan(90^{\circ}-43^{\circ}) \)

= \( \cot 43^{\circ} \)

= \( \frac{\cos 43^{\circ}}{\sin 43^{\circ}} \)

= \( \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}{\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}} \)

= \( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \times \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{y} \)

= \( \frac{x}{y}\)

প্রয়োগ 13. \(\tan 50^{\circ} = \frac{p}{q}\) হলে, \(\cos 40^{\circ}\)-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান –

আমরা জানি, \(\tan(90^{\circ} – \theta) = \cot \theta\)

সুতরাং, \(\tan 50^{\circ} = \tan(90^{\circ} – 40^{\circ}) = \cot 40^{\circ}\)

দেওয়া আছে, \(\tan 50^{\circ} = \frac{p}{q}\)

অতএব, \(\cot 40^{\circ} = \frac{p}{q}\)

এখন, \(\cos 40^{\circ} = \frac{\cot 40^{\circ}}{\sqrt{1 + \cot^2 40^{\circ}}}\)

= \( \frac{\frac{p}{q}}{\sqrt{1 + \left( \frac{p}{q} \right)^2}} \)

= \( \frac{\frac{p}{q}}{\sqrt{\frac{q^2 + p^2}{q^2}}} \)

= \( \frac{\frac{p}{q}}{\frac{\sqrt{p^2 + q^2}}{q}} \)

= \( \frac{p}{q} \times \frac{q}{\sqrt{p^2 + q^2}} \)

= \( \frac{p}{\sqrt{p^2 + q^2}}\)

অতএব, \(\cos 40^{\circ} = \frac{p}{\sqrt{p^2 + q^2}}\)

---

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের চতুর্বিংশ অধ্যায়, ‘পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।

আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।