রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র থেকে নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র প্রমাণ করো।

রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র

 যদি কোনো বস্তুর উপর কোনো বাহ্যিক বল প্রযুক্ত না হয়, তবে সেই বস্তু বা বস্তুসমূহের সমষ্টির মোট রৈখিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে অর্থাৎ পরিবর্তিত হয় না। অন্য কথায়, একটি বদ্ধ সিস্টেমে (closed system), ভরবেগ তৈরিও হয় না, ধ্বংসও হয় না, কেবল এক রূপ থেকে অন্য রূপে রূপান্তরিত হয়। 

• কোনো বস্তুর উপর প্রযুক্ত নিট বাহ্যিক বল শূন্য হলে, বস্তুটির রৈখিক ভরবেগ (p) সংরক্ষিত থাকে। 
• একাধিক বস্তুর সমন্বয়ে গঠিত কোনো ব্যবস্থার (system) ওপর যদি প্রযুক্ত নিট বাহ্যিক বল শূন্য হয়, তবে সময়ের সাপেক্ষে ব্যবস্থাটির মোট ভরবেগ (যা প্রতিটি কণার ভরবেগের ভেক্টর যোগফল) পরিবর্তিত হয় না। 

যদি দুটি বস্তুর ভর যথাক্রমে \(m_1\) ও \(m_2\) হয় এবং তাদের বেগ যথাক্রমে \(v_1\) ও \(v_2\) হয়, তবে সংঘর্ষের আগে তাদের মোট ভরবেগ হবে –

\(p_{\text{initial}} = m_1 v_1 + m_2 v_2\)

সংঘর্ষের পরেও যদি মোট ভরবেগ অপরিবর্তিত থাকে, তবে \(p_{\text{initial}} = p_{\text{final}}\)।

নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র

নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র বলে যে, জড় প্রসঙ্গ কাঠামোতে কোনো বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তনের হার তার উপর প্রযুক্ত নিট বলের সমানুপাতিক এবং বল যেদিকে কাজ করে, ভরবেগের পরিবর্তনও সেদিকে ঘটে। 

গাণিতিকরূপ, F = ma 

যেখানে F হল প্রযুক্ত নিট বল, m হল বস্তুর ভর এবং a হল প্রযুক্ত বলের কারণে সৃষ্ট ত্বরণ। 

রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র থেকে নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র প্রমাণ

ধরা যাক, \(m_1\) ও \(m_2\) ভরের দুটি বস্তু যথাক্রমে \(\vec{u_1}\) ও \(\vec{u_2}\) প্রাথমিক বেগ নিয়ে চলছিল। খুব অল্প সময়, ধরা যাক \(\Delta t\) সময়ের জন্য, তারা একে অপরের উপর বল প্রয়োগ করে (যেমন সংঘর্ষ) এবং তাদের অন্তিম বেগ যথাক্রমে \(\vec{v_1}\) ও \(\vec{v_2}\) হয়।

বস্তু দুটির প্রাথমিক রৈখিক ভরবেগ ছিল –

• প্রথম বস্তুর জন্য – \(\vec{p_1} = m_1\vec{u_1}\)
• দ্বিতীয় বস্তুর জন্য – \(\vec{p_2} = m_2\vec{u_2}\)

সংঘর্ষের পর তাদের অন্তিম রৈখিক ভরবেগ হলো –

• প্রথম বস্তুর জন্য – \(\vec{p’_1} = m_1\vec{v_1}\)
• দ্বিতীয় বস্তুর জন্য – \(\vec{p’_2} = m_2\vec{v_2}\)

যেহেতু সংস্থাটি বিচ্ছিন্ন, অর্থাৎ কোনো বাহ্যিক বল নেই, তাই রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী, সংস্থার মোট প্রাথমিক ভরবেগ এবং মোট অন্তিম ভরবেগ সমান হবে।

অর্থাৎ,

\(\vec{p_1} + \vec{p_2} = \vec{p’_1} + \vec{p’_2}\)

এখন সমীকরণটিকে সাজিয়ে পাই,

\(\vec{p’_1} – \vec{p_1} = -(\vec{p’_2} – \vec{p_2})\)

এখানে,

• \(\vec{p’_1} – \vec{p_1} = \Delta\vec{p_1}\) (প্রথম বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তন)
• \(\vec{p’_2} – \vec{p_2} = \Delta\vec{p_2}\) (দ্বিতীয় বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তন)

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি –

\(\Delta\vec{p_1} = – \Delta\vec{p_2}\)

এখন, এই ভরবেগের পরিবর্তনটি \(\Delta t\) সময়ে ঘটেছে। তাই সমীকরণের উভয় পক্ষকে \(\Delta t\) দিয়ে ভাগ করে পাই –

\(\frac{\Delta\vec{p_1}}{\Delta t} = – \frac{\Delta\vec{p_2}}{\Delta t}\)

এখন, নিউটনের সংজ্ঞা অনুযায়ী, কোনো বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল হলো তার ভরবেগের পরিবর্তনের হার।
ধরা যাক, প্রথম বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল \(\vec{F_1}\) এবং দ্বিতীয় বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল \(\vec{F_2}\)।

তাহলে,

\(\vec{F_1} = \frac{\Delta\vec{p_1}}{\Delta t}\)এবং\( \quad \quad \vec{F_2} = \frac{\Delta\vec{p_2}}{\Delta t}\)

উপরের সমীকরণে এই মানগুলো বসালে আমরা পাই \(\vec{F_1} = – \vec{F_2}\) , যা নিউটনের তৃতীয় গতিসূত্রকে প্রমাণ করে।

এখন, আমরা যদি শুধুমাত্র প্রথম বস্তুটির কথা ভাবি, তাহলে তার ওপর প্রযুক্ত বল হলো –

\(\vec{F_1} = \frac{\Delta\vec{p_1}}{\Delta t}\)

যদি সময় ব্যবধান \(\Delta t\) খুব ক্ষুদ্র হয়, অর্থাৎ \(\Delta t \to 0\) হয়, তবে আমরা ক্যালকুলাসের ভাষায় লিখতে পারি –

\(\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\)

এই সমীকরণটিই হলো নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্রের গাণিতিক রূপ।

এই সমীকরণ থেকে বলা যায় যে, “কোনো বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তনের হার বস্তুটির উপর প্রযুক্ত বাহ্যিক বলের সমানুপাতিক এবং বল যে দিকে ক্রিয়া করে, ভরবেগের পরিবর্তনও সেই দিকে ঘটে।”

এভাবেই রৈখিক ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র ব্যবহার করে একটি বিচ্ছিন্ন সংস্থার ক্ষেত্রে নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্র প্রতিষ্ঠা করা যায়।