পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) অষ্টম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের পঞ্চম অধ্যায় হলো ‘ঘনফল নির্ণয়’। এই পোস্টে আমরা ‘কষে দেখি – 5.3’-এর সমস্ত প্রশ্নের সহজ ও নির্ভুল সমাধান নিয়ে আলোচনা করেছি। আশা করি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত শিখতে এবং পরীক্ষার প্রস্তুতিতে দারুণভাবে সহায়তা করবে।
1. ফাঁকা ঘরে বুঝে লিখি
সমাধান –
2. সরল করি (সূত্রের সাহায্যে)
(i) \((a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\)
সমাধান –
\((a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\)= \( \{(a+b)(a^2-ab+b^2)\} \{(a-b)(a^2+ab+b^2)\}\)
= \( (a^3+b^3)(a^3-b^3)\)
= \( (a^3)^2 – (b^3)^2\)
= \( a^6 – b^6\)
(ii) \((a-2b)(a^2+2ab+4b^2)(a^3+8b^3)\)
সমাধান –
\((a-2b)(a^2+2ab+4b^2)(a^3+8b^3)\)= \( (a-2b)\{(a)^2 + a \cdot 2b + (2b)^2\}(a^3+8b^3)\)
= \( \{(a)^3 – (2b)^3\}(a^3+8b^3)\)
= \( (a^3-8b^3)(a^3+8b^3)\)
= \( \{(a^3)^2 – (8b^3)^2\}\)
= \( a^6 – 64b^6\)
(iii) \((4a^2-9)(4a^2-6a+9)(4a^2+6a+9)\)
সমাধান –
\((4a^2-9)(4a^2-6a+9)(4a^2+6a+9)\)= \( \{(2a)^2 – (3)^2\}(4a^2-6a+9)(4a^2+6a+9)\)
= \( (2a+3)(2a-3)\{(2a)^2 – (2a) \cdot 3 + (3)^2\}\{(2a)^2 + (2a) \cdot 3 + (3)^2\}\)
= \( [(2a+3)\{(2a)^2 – 2a \cdot 3 + (3)^2\}] [(2a-3)\{(2a)^2 + 2a \cdot 3 + (3)^2\}]\)
= \( \{(2a)^3 + (3)^3\} \{(2a)^3 – (3)^3\}\)
= \( (8a^3+27)(8a^3-27)\)
= \( \{(8a^3)^2 – (27)^2\}\)
= \( 64a^6 – 729\)
(iv) \((x-y)(x^2+xy+y^2) + (y-z)(y^2+yz+z^2) + (z-x)(z^2+zx+x^2)\)
সমাধান –
\((x-y)(x^2+xy+y^2) + (y-z)(y^2+yz+z^2) + (z-x)(z^2+zx+x^2)\)
= \( (x^3-y^3) + (y^3-z^3) + (z^3-x^3)\)
= \( x^3-y^3+y^3-z^3+z^3-x^3\)
= \( 0\)
(v) \((x+1)(x^2-x+1) + (2x-1)(4x^2+2x+1) – (x-1)(x^2+x+1)\)
সমাধান –
\((x+1)(x^2-x+1) + (2x-1)(4x^2+2x+1) – (x-1)(x^2+x+1)\)
= \( (x^3+1^3) + (2x-1)\{(2x)^2 + 2x \cdot 1 + (1)^2\} – (x^3-1^3)\)
= \( (x^3+1) + \{(2x)^3 – (1)^3\} – (x^3-1)\)
= \( (x^3+1) + (8x^3-1) – (x^3-1)\)
= \( x^3+1+8x^3-1-x^3+1\)
= \( 8x^3+1\)
3. \(x + \frac{1}{x} = -1\) হলে \((x^3 – 1)\)-এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(x + \frac{1}{x} = -1\)বা, \(\frac{x^2+1}{x} = -1\)
বা, \(x^2 + 1 = -x\)
বা, \(x^2 + x + 1 = 0\)
\(\therefore (x^3 – 1)\)= \( (x – 1)(x^2 + x + 1)\)
= \( (x – 1) \times 0\)
= \( 0\)
\(\therefore (x^3 – 1) = 0\) [উত্তর]
4. \(a + \frac{9}{a} = 3\) হলে \((a^3 + 27)\)-এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(a + \frac{9}{a} = 3\)বা, \(\frac{a^2 + 9}{a} = 3\)
বা, \(a^2 + 9 = 3a\)
বা, \(a^2 – 3a + 9 = 0\)
\(\therefore (a^3 + 27)\)= \( \{(a)^3 + (3)^3\}\)
= \( (a + 3)\{(a)^2 – 3a + (3)^2\}\)
= \( (a + 3)(a^2 – 3a + 9)\)
= \( (a + 3) \times 0\)
= \( 0\)
\(\therefore (a^3 + 27) = 0\) [উত্তর]
5. \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1\) হলে, \((a^3 + b^3)\)-এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1\)বা, \(\frac{a^2 + b^2}{ab} = 1\)
বা, \(a^2 + b^2 = ab\)
বা, \(a^2 + b^2 – ab = 0\)
\(\therefore (a^3 + b^3)\)= \( (a + b)(a^2 – ab + b^2)\)
= \( (a + b) \times 0\)
= \( 0\)
\(\therefore (a^3 + b^3) = 0\)6. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি
(i) \(1000a^3 + 27b^6\)
সমাধান –
= \( (10a)^3 + (3b^2)^3\)
= \( (10a + 3b^2) \{(10a)^2 – (10a)(3b^2) + (3b^2)^2\}\)
= \( (10a + 3b^2) (100a^2 – 30ab^2 + 9b^4)\)
(ii) \(1 – 216z^3\)
সমাধান –
= \( (1)^3 – (6z)^3\)
= \( (1 – 6z) \{(1)^2 + 1 \cdot 6z + (6z)^2\}\)
= \( (1 – 6z) (1 + 6z + 36z^2)\)
(iii) \(m^4 – m\)
সমাধান –
= \( m(m^3 – 1)\)
= \( m(m – 1)(m^2 + m \cdot 1 + 1^2)\)
= \( m(m – 1)(m^2 + m + 1)\)
(iv) \(192a^3 + 3\)
সমাধান –
= \( 3(64a^3 + 1)\)
= \( 3 \{(4a)^3 + (1)^3\}\)
= \( 3(4a + 1) \{(4a)^2 – 4a \cdot 1 + (1)^2\}\)
= \( 3(4a + 1) (16a^2 – 4a + 1)\)
(v) \(16a^4x^3 + 54ay^3\)
সমাধান –
\(16a^4x^3 + 54ay^3\)= \( 2a(8a^3x^3 + 27y^3)\)
= \( 2a \{(2ax)^3 + (3y)^3\}\)
= \( 2a(2ax + 3y) \{(2ax)^2 – 2ax \cdot 3y + (3y)^2\}\)
= \( 2a(2ax + 3y) (4a^2x^2 – 6axy + 9y^2)\)
(vi) \(729a^3b^3c^3 – 125\)
সমাধান –
\(729a^3b^3c^3 – 125\)= \( (9abc)^3 – (5)^3\)
= \( (9abc – 5) \{(9abc)^2 + 9abc \cdot 5 + (5)^2\}\)
= \( (9abc – 5) (81a^2b^2c^2 + 45abc + 25)\)
(vii) \(\frac{27}{a^3} – \frac{1}{27b^3}\)
সমাধান –
\(\frac{27}{a^3} – \frac{1}{27b^3}\)= \( \left(\frac{3}{a}\right)^3 – \left(\frac{1}{3b}\right)^3\)
= \( \left(\frac{3}{a} – \frac{1}{3b}\right) \left\{\left(\frac{3}{a}\right)^2 + \frac{3}{a} \cdot \frac{1}{3b} + \left(\frac{1}{3b}\right)^2\right\}\)
= \( \left(\frac{3}{a} – \frac{1}{3b}\right) \left(\frac{9}{a^2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{9b^2}\right)\)
(viii) \(\frac{x^3}{64} – \frac{64}{x^3}\)
সমাধান –
\(\frac{x^3}{64} – \frac{64}{x^3}\)= \( \left(\frac{x}{4}\right)^3 – \left(\frac{4}{x}\right)^3\)
= \( \left(\frac{x}{4} – \frac{4}{x}\right) \left\{\left(\frac{x}{4}\right)^2 + \frac{x}{4} \cdot \frac{4}{x} + \left(\frac{4}{x}\right)^2\right\}\)
= \( \left(\frac{x}{4} – \frac{4}{x}\right) \left(\frac{x^2}{16} + 1 + \frac{16}{x^2}\right)\)
= \( \left(\frac{x}{4} – \frac{4}{x}\right) \left\{\left(\frac{x}{4}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{4} \cdot \frac{4}{x} + \left(\frac{4}{x}\right)^2 – 1\right\}\)
= \( \left(\frac{x}{4} – \frac{4}{x}\right) \left\{\left(\frac{x}{4} + \frac{4}{x}\right)^2 – (1)^2\right\}\)
= \( \left(\frac{x}{4} – \frac{4}{x}\right) \left(\frac{x}{4} + \frac{4}{x} + 1\right) \left(\frac{x}{4} + \frac{4}{x} – 1\right)\)
(ix) \(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 2y^3\)
সমাধান –
\(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 2y^3\)= \( (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) + y^3\)
= \( (x + y)^3 + y^3\)
= \( \{(x + y) + y\} \{(x + y)^2 – (x + y) \cdot y + y^2\}\)
= \( (x + 2y) (x^2 + 2xy + y^2 – xy – y^2 + y^2)\)
= \( (x + 2y) (x^2 + xy + y^2)\)
(x) \(1 + 9x + 27x^2 + 28x^3\)
সমাধান –
\(1 + 9x + 27x^2 + 28x^3\)= \( 1 + 9x + 27x^2 + 27x^3 + x^3\)
= \( \{1 + 3 \cdot (1)^2 \cdot 3x + 3 \cdot (1) \cdot (3x)^2 + (3x)^3\} + x^3\)
= \( (1 + 3x)^3 + x^3\)
= \( (1 + 3x + x) \{(1 + 3x)^2 – (1 + 3x)x + x^2\}\)
= \( (1 + 4x) (1 + 6x + 9x^2 – x – 3x^2 + x^2)\)
= \( (1 + 4x) (1 + 5x + 7x^2)\)
(xi) \(x^3 – 9y^3 – 3xy(x – y)\)
সমাধান –
\(x^3 – 9y^3 – 3xy(x – y)\)= \( x^3 – y^3 – 3xy(x – y) – 8y^3\)
= \( (x – y)^3 – (2y)^3\)
= \( \{(x – y) – 2y\} \{(x – y)^2 + (x – y) \cdot 2y + (2y)^2\}\)
= \( (x – 3y) (x^2 – 2xy + y^2 + 2xy – 2y^2 + 4y^2)\)
= \( (x – 3y) (x^2 + 3y^2)\)
(xii) \(8 – a^3 + 3a^2b – 3ab^2 + b^3\)
সমাধান –
\(8 – a^3 + 3a^2b – 3ab^2 + b^3\)= \( 8 – (a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3)\)
= \( 8 – (a – b)^3 = (2)^3 – (a – b)^3\)
= \( \{2 – (a – b)\} \{2^2 + 2 \cdot (a – b) + (a – b)^2\}\)
= \( (2 – a + b) (4 + 2a – 2b + a^2 – 2ab + b^2)\)
= \( (2 – a + b) (a^2 + b^2 – 2ab + 2a – 2b + 4)\)
(xiii) \(x^6 + 3x^4b^2 + 3x^2b^4 + b^6 + a^3b^3\)
সমাধান –
\(x^6 + 3x^4b^2 + 3x^2b^4 + b^6 + a^3b^3\)= \( \{(x^2)^3 + 3(x^2)^2b^2 + 3(x^2)(b^2)^2 + (b^2)^3\} + (ab)^3\)
= \( (x^2 + b^2)^3 + (ab)^3\)
= \( (x^2 + b^2 + ab) \{(x^2 + b^2)^2 – (x^2 + b^2)ab + (ab)^2\}\)
= \( (x^2 + b^2 + ab) \{(x^2)^2 + 2x^2b^2 + (b^2)^2 – ab(x^2 + b^2) + a^2b^2\}\)
= \( (x^2 + b^2 + ab) (x^4 + 2x^2b^2 + b^4 – abx^2 – ab^3 + a^2b^2)\)
(xiv) \(x^6 + 27\)
সমাধান –
\(x^6 + 27\)= \( (x^2)^3 + (3)^3\)
= \( (x^2 + 3) \{(x^2)^2 – x^2 \cdot 3 + (3)^2\}\)
= \( (x^2 + 3) (x^4 – 3x^2 + 9)\)
(xv) \(x^6 – y^6\)
সমাধান –
\(x^6 – y^6\)= \( (x^3)^2 – (y^3)^2\)
= \( (x^3 + y^3) (x^3 – y^3)\)
= \( (x + y)(x^2 – xy + y^2) (x – y)(x^2 + xy + y^2)\)
= \( (x + y)(x – y) (x^2 – xy + y^2) (x^2 + xy + y^2)\)
(xvi) \(x^{12} – y^{12}\)
সমাধান –
\(x^{12} – y^{12}\)= \( (x^6)^2 – (y^6)^2\)
= \( (x^6 + y^6) (x^6 – y^6)\)
= \( \{(x^2)^3 + (y^2)^3\} \{(x^3)^2 – (y^3)^2\}\)
= \( (x^2 + y^2) \{(x^2)^2 – x^2y^2 + (y^2)^2\} (x^3 + y^3) (x^3 – y^3)\)
= \( (x^2 + y^2) (x^4 – x^2y^2 + y^4) (x + y)(x^2 – xy + y^2) (x – y)(x^2 + xy + y^2)\)
= \( (x^2 + y^2) (x + y) (x – y) (x^4 – x^2y^2 + y^4) (x^2 – xy + y^2) (x^2 + xy + y^2)\)
(xvii) \(m^3 – n^3 – m(m^2 – n^2) + n(m – n)^2\)
সমাধান –
\(m^3 – n^3 – m(m^2 – n^2) + n(m – n)^2\)= \( (m – n)(m^2 + mn + n^2) – m(m + n)(m – n) + n(m – n)^2\)
= \( (m – n) \{m^2 + mn + n^2 – m(m + n) + n(m – n)\}\)
= \( (m – n) (m^2 + mn + n^2 – m^2 – mn + nm – n^2)\)
= \( (m – n) (nm) = mn(m – n)\)
এই আর্টিকেলে অষ্টম শ্রেণির গণিতের ‘ঘনফল নির্ণয়’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 5.1’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরেছি। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে। কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন