পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) অষ্টম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের দ্বাদশ অধ্যায় হলো ‘মিশ্রণ’। এই পোস্টে আমরা ‘কষে দেখি –12’-এর সমস্ত প্রশ্নের সহজ ও নির্ভুল সমাধান নিয়ে আলোচনা করেছি। আশা করি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত শিখতে এবং পরীক্ষার প্রস্তুতিতে দারুণভাবে সহায়তা করবে।
1. 36 লিটার ডেটল জল তৈরি করলাম যাতে জল ও ডেটলের পরিমাণের অনুপাত \(5 : 1\); ওই ডেটল জলে আর কতটুকু ডেটল জল মেশালে জল ও ডেটলের অনুপাত \(3:1\) হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
36 লিটার ডেটল জলে জল ও ডেটলের পরিমাণের অনুপাত \(5 : 1\)
\(\therefore\) 36 লিটার ডেটল জলে জলের পরিমাণ = \( \frac{5}{5+1} \times 36\) লিটার
= \( \frac{5}{6} \times 36\) লিটার
= \( 30\) লিটার
এবং, 36 লিটার ডেটল জলে ডেটলের পরিমাণ = \( \frac{1}{5+1} \times 36\) লিটার
= \( \frac{1}{6} \times 36\) লিটার
= \( 6\) লিটার
ধরি, ডেটল জলে আরও \(x\) লিটার ডেটল মেশালে জল ও ডেটলের অনুপাত \(3:1\) হবে
\(\therefore\) নতুন মিশ্রণে ডেটলের পরিমাণ = \( (6 + x)\) লিটার
শর্তানুসারে,
\(\frac{30}{6+x} = \frac{3}{1}\)বা, \(3(6+x) = 30\)
বা, \(18 + 3x = 30\)
বা, \(3x = 30-18\)
বা, \(3x = 12\)
বা, \(x = \frac{12}{3}\)
বা, \(x = 4\)
\(\therefore\) ওই ডেটল জলে আর 4 লিটার ডেটল মেশালে জল ও ডেটলের অনুপাত \(3:1\) হবে।
2. এক ধরনের পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত \(5 : 2\), এই ধরনের 28 কিগ্রা পিতলে 4 কিগ্রা তামা মেশালে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান – এক ধরনের পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত \(5 : 2\)
এইরূপ 28 কিগ্রা পিতলে তামার পরিমাণ = \( \frac{5}{5+2} \times 28\) কিগ্রা
= \( \frac{5}{7} \times 28\) কিগ্রা
= \( 20\) কিগ্রা
এইরূপ 28 কিগ্রা পিতলে দস্তার পরিমাণ = \( \frac{2}{5+2} \times 28\) কিগ্রা
= \( \frac{2}{7} \times 28\) কিগ্রা
= \( 8\) কিগ্রা
এখন, 28 কিগ্রা পিতলে 4 কিগ্রা তামা মেশালে তামা ও দস্তার অনুপাত হবে =
\((20 +4) : 8 = 24 : 8 = 3 : 1\)3. বিজনবাবু ফিনাইল ও জল \(2:23\) অনুপাতে মিশিয়ে 60 লিটার ফিনাইল গোলা জল তৈরি করেছেন। এই ফিনাইল গোলা জলে আর কত লিটার ফিনাইল মেশালে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত \(9:46\) হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান – ফিনাইল গোলা জলে ফিনাইল ও জলের অনুপাত \(2 : 23\)।
এইরূপ 60 লিটার ফিনাইল গোলা জলে ফিনাইলের পরিমাণ = \( \frac{2}{2+23} \times 60\) লিটার
= \( \frac{2}{25} \times 60\) লিটার
= \( \frac{24}{5}\) লিটার
60 লিটার ফিনাইল গোলা জলে জলের পরিমাণ = \( \frac{23}{2+23} \times 60\) লিটার
= \( \frac{23}{25} \times 60\) লিটার
= \( \frac{276}{5}\) লিটার
ধরি, ফিনাইল গোলা জলে আর \(x\) লিটার ফিনাইল মেশালে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত হবে \(9 : 46\)
শর্তানুসারে,
\(\frac{\frac{24}{5}+x}{\frac{276}{5}} = \frac{9}{46}\)বা, \(\frac{\frac{24+5x}{5}}{\frac{276}{5}} = \frac{9}{46}\)
বা, \(\frac{24+5x}{276} = \frac{9}{46}\)
বা, \(46 (24+5x) = 2484\)
বা, \(1104 + 230x = 2484\)
বা, \(230x = 2484 – 1104\)
বা, \(230x = 1380\)
বা, \(x = \frac{1380}{230}\)
বা, \(x = 6\)
\(\therefore\) ফিনাইল গোলা জলে আর 6 লিটার ফিনাইল মেশালে ফিনাইল গোলা জলে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত হবে \(9 : 46\)।
4. আমিনাবিবি \(7:1\) অনুপাতে বালি ও সিমেন্ট মিশিয়ে এক গাঁথুনির মশলা তৈরি করেছেন। কিন্তু গাঁথুনির কাজ শেষ হয়ে গেলে দেখা গেল এখনও 72 কিগ্রা মশলা রয়ে গেছে। ওই মশলায় আরও কিছুটা সিমেন্ট মিশিয়ে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণের অনুপাত \(6:1\) করে মশলা তৈরি করলেন। তিনি কত কিগ্রা সিমেন্ট মিশিয়ে ছিলেন হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
গাঁথুনির মশলায় বালি ও সিমেন্টের অনুপাত \(7 : 1\)
এরূপ 72 কিগ্রা মশলায় বালির পরিমাণ = \( \frac{7}{7+1} \times 72\) কিগ্রা
= \( \frac{7}{8} \times 72\) কিগ্রা
= \( 63\) কিগ্রা
72 কিগ্রা মশলায় সিমেন্টের পরিমাণ = \( \frac{1}{7+1} \times 72\) কিগ্রা
= \( \frac{1}{8} \times 72\) কিগ্রা
= \( 9\) কিগ্রা
ধরি, আমিনাবিবি ওই 72 কিগ্রা মশলায় আরও \(x\) কিগ্রা সিমেন্ট মিশিয়ে একটি মশলা তৈরি করলেন যাতে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণের অনুপাত \(6 : 1\) হয়।
এখন, নতুন মশলায় সিমেন্টের পরিমাণ = \( (9+x)\) কিগ্রা
শর্তানুসারে,
\(\frac{63}{9+x} = \frac{6}{1}\)বা, \(63 = 6(9+x)\)
বা, \(63 = 54 + 6x\)
বা, \(6x = 63-54\)
বা, \(6x = 9\)
বা, \(x = \frac{9}{6}\)
বা, \(x = \frac{3}{2}\)
বা, \(x = 1.5\)
\(\therefore\) তিনি 1.5 কিগ্রা সিমেন্ট মিশিয়ে ছিলেন।
5. একধরনের জার্মান সিলভারে তামা, দস্তা ও নিকেলের পরিমাণের অনুপাত \(4:3:2\); এই ধরনের 54 কিগ্রা জার্মান সিলভারে আর কত কিগ্রা দস্তা মেশালে সেই পরিমাণের অনুপাত \(6:5:3\) হবে হিসাব করে দেখি।
সমাধান –
জার্মান সিলভারে তামা, দস্তা ও নিকেলের পরিমাণের অনুপাত \(4:3:2\)
54 কিগ্রা জার্মান সিলভারে তামার পরিমাণ = \( \frac{4}{4+3+2} \times 54\) কিগ্রা
= \( \frac{4}{9} \times 54\) কিগ্রা
= \( 24\) কিগ্রা
54 কিগ্রা জার্মান সিলভারে দস্তার পরিমাণ = \( \frac{3}{4+3+2} \times 54\) কিগ্রা
= \( \frac{3}{9} \times 54\) কিগ্রা
= \( 18\) কিগ্রা
54 কিগ্রা জার্মান সিলভারে নিকেলের পরিমাণ = \( \frac{2}{4+3+2} \times 54\) কিগ্রা
= \( \frac{2}{9} \times 54\) কিগ্রা
= \( 12\) কিগ্রা
ধরি, জার্মান সিলভারে \(x\) কিগ্রা দস্তা মেশানো হল
\(\therefore\) নতুন প্রকার জার্মান সিলভারে দস্তার পরিমাণ = \( (18 +x)\) কিগ্রা
শর্তানুসারে,
\(\frac{24}{18+x} = \frac{6}{5}\)বা, \(6 (18+x) = 120\)
বা, \(108 +6x = 120\)
বা, \(6x = 120-108\)
বা, \(6x = 12\)
বা, \(x = \frac{12}{6}\)
বা, \(x = 2\)
\(\therefore\) 54 কিগ্রা জার্মান সিলভারে 2 কিগ্রা দস্তা মেশালে সেই পরিমাণের অনুপাত হবে \(6:5:3\)।
6. দুই প্রকার গুঁড়ো সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে \(2:3\) এবং \(4:5\); যদি প্রথম প্রকারের 10 কিগ্রা এর সঙ্গে দ্বিতীয় প্রকারের 18 কিগ্রা মেশানো হয় তবে নতুন গুঁড়ো সাবানে কত অংশ সাবান গুঁড়ো থাকবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
প্রথম প্রকার গুঁড়ো সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত \(2:3\)
\(\therefore\) প্রথম প্রকারের 10 কিগ্রা গুঁড়ো সাবানে সোডার পরিমাণ = \( \frac{2}{2+3} \times 10\) কিগ্রা
= \( \frac{2}{5} \times 10\) কিগ্রা
= \( 4\) কিগ্রা
আবার, প্রথম প্রকারের 10 কিগ্রা গুঁড়ো সাবানে সাবান গুঁড়োর পরিমাণ = \( \frac{3}{2+3} \times 10\) কিগ্রা
= \( \frac{3}{5} \times 10\) কিগ্রা
= \( 6\) কিগ্রা
দ্বিতীয় প্রকার গুঁড়ো সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত \(4:5\)
\(\therefore\) দ্বিতীয় প্রকারের 18 কিগ্রা গুঁড়ো সাবানে সোডার পরিমাণ = \( \frac{4}{4+5} \times 18\) কিগ্রা
= \( \frac{4}{9} \times 18\) কিগ্রা
= \( 8\) কিগ্রা
আবার, দ্বিতীয় প্রকারের 18 কিগ্রা গুঁড়ো সাবানে সাবান গুঁড়োর পরিমাণ = \( \frac{5}{4+5} \times 18\) কিগ্রা
= \( \frac{5}{9} \times 18\) কিগ্রা
= \( 10\) কিগ্রা
দুই প্রকার সাবান গুঁড়ো মেশানো হলে নতুন গুঁড়ো সাবানে
সোডার পরিমাণ = \( (4 + 8)\) কিগ্রা = \( 12\) কিগ্রা এবং সাবান গুঁড়োর পরিমাণ = \( (6 + 10)\) কিগ্রা = \( 16\) কিগ্রা
\(\therefore\) নতুন গুঁড়ো সাবানে সোডা ও সাবান গুঁড়োর পরিমাণের অনুপাত = \( 12 : 16 = 3 : 4\)
\(\therefore\) নতুন গুঁড়ো সাবানে \(\frac{4}{7}\) অংশ সাবান গুঁড়ো থাকবে।
7. দুটি সমান আয়তনের পাত্রে যথাক্রমে \(1/3\) ও \(1/4\) অংশ ফলের রস ছিল। আমি পাত্র দুটির অবশিষ্টাংশ জলপূর্ণ করে অন্য একটি পাত্রে সমগ্র জল মিশ্রিত ফলের রস ঢাললাম। নতুন পাত্রে ফলের রস ও জলের পরিমাণের অনুপাত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
প্রথম পাত্রে ফলের রস আছে = \(\frac{1}{3}\) অংশ।
\(\therefore\) প্রথম পাত্রে জল আছে = \(\left(1 – \frac{1}{3}\right)\) অংশ = \(\frac{2}{3}\) অংশ
দ্বিতীয় পাত্রে ফলের রস আছে = \(\frac{1}{4}\) অংশ।
\(\therefore\) দ্বিতীয় পাত্রে জল আছে = \(\left(1 – \frac{1}{4}\right)\) অংশ = \(\frac{3}{4}\) অংশ
অন্য একটি পাত্রে সম্পূর্ণ জল মিশ্রিত ফলের রস ঢালা হলে
নতুন পাত্রে ফলের রসের পরিমাণ = \(\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)\) অংশ = \(\frac{4+3}{12}\) অংশ = \(\frac{7}{12}\) অংশ এবং
জলের পরিমাণ = \(\left(\frac{2}{3} + \frac{3}{4}\right)\) অংশ = \(\frac{8+9}{12}\) অংশ = \(\frac{17}{12}\) অংশ
\(\therefore\) নতুন পাত্রে ফলের রস ও জলের পরিমাণের অনুপাত = \(\frac{7}{12} : \frac{17}{12} = 7 : 17\)
8. রেশমি খাতুন তিনটি সমান মাপের গ্লাস শরবত পূর্ণ করেছে। এই তিনটি গ্লাসের শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে \(3 : 1\), \(5 : 3\) ও \(9 : 7\); আমি এই তিনটি গ্লাসের শরবত একটি বড়ো পাত্রে ঢেলে দিলাম। হিসাব করে দেখি এই নতুন পাত্রে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত কী হলো।
সমাধান –
প্রথম গ্লাসে, জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত = \(3 : 1\)
\(\therefore\) প্রথম গ্লাসে জলের আনুপাতিক ভাগহার = \(\frac{3}{4}\)
এবং সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার = \(\frac{1}{4}\)
দ্বিতীয় গ্লাসে, জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত = \(5 : 3\)
\(\therefore\) দ্বিতীয় গ্লাসে জলের আনুপাতিক ভাগহার = \(\frac{5}{8}\)
এবং সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার = \(\frac{3}{8}\)
তৃতীয় গ্লাসে, জল : সিরাপ = \(9 : 7\)
\(\therefore\) তৃতীয় গ্লাসে জলের আনুপাতিক ভাগহার = \(\frac{9}{16}\)
এবং সিরাপের আনুপাতিক ভাগহার = \(\frac{7}{16}\)
এই তিনটি গ্লাসের শরবত একটি নতুন পাত্রে ঢেলে দিলে নতুন পাত্রে জলের পরিমাণ = \(\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{9}{16}\right)\) অংশ = \(\frac{12+10+9}{16}\) অংশ = \(\frac{31}{16}\) অংশ
এবং মোট সিরাপের পরিমাণ = \(\left(\frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{7}{16}\right)\) অংশ = \(\frac{4+6+7}{16}\) অংশ = \(\frac{17}{16}\) অংশ
\(\therefore\) নতুন পাত্রে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত = \(\frac{31}{16} : \frac{17}{16} = 31 : 17\)
9. দুই প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে \(8 : 3\) এবং \(15 : 7\); এই দু-প্রকার পিতল \(5 : 2\) অনুপাতে মেশালে যে নতুন প্রকারের পিতল পাওয়া যাবে, তাতে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মনেকরি, নতুন প্রকার পিতলে প্রথম ও দ্বিতীয় প্রকার পিতলের পরিমাণ \(5x\) একক ও \(2x\) একক।
প্রথম প্রকারের পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত = \(8 : 3\)
\(\therefore\) \(5x\) একক প্রথম প্রকারের পিতলে তামা আছে = \(\frac{8}{8+3} \times 5x\) একক
= \( \frac{8}{11} \times 5x\) একক
= \( \frac{40x}{11}\) একক
এবং \(5x\) একক প্রথম প্রকারের পিতলে দস্তা আছে = \(\frac{3}{8+3} \times 5x\) একক
= \( \frac{3}{11} \times 5x\) একক
= \( \frac{15x}{11}\) একক
দ্বিতীয় প্রকারের পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত = \(15 : 7\)
\(\therefore\) \(2x\) একক দ্বিতীয় প্রকারের পিতলে তামা আছে = \(\frac{15}{15+7} \times 2x\) একক
= \( \frac{15}{22} \times 2x\) একক
= \( \frac{15x}{11}\) একক
\(2x\) একক দ্বিতীয় প্রকারের পিতলে দস্তা আছে = \(\frac{7}{15+7} \times 2x\) একক
= \( \frac{7}{22} \times 2x\) একক
= \( \frac{7x}{11}\) একক
\(\therefore\) নতুন প্রকারের পিতলে তামা আছে = \(\left(\frac{40x}{11} + \frac{15x}{11}\right)\) একক = \(\frac{40x+15x}{11}\) একক = \(\frac{55x}{11}\) একক = \(5x\) একক
এবং নতুন প্রকারের পিতলে দস্তা আছে = \(\left(\frac{15x}{11} + \frac{7x}{11}\right)\) একক = \(\frac{15x+7x}{11}\) একক = \(\frac{22x}{11}\) একক = \(2x\) একক
\(\therefore\) নতুন প্রকারের পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত = \(\frac{55x}{11} : \frac{22x}{11} = 55:22 = 5:2\)
10. দুই প্রকার স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে \(2:11\) এবং \(5 : 21\); এই দুই প্রকার স্টেইনলেস স্টিল কী অনুপাতে মেশালে নতুন স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত \(7:32\) হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, প্রথম প্রকারের স্টেইনলেস স্টিলের \(x\) এককের সঙ্গে দ্বিতীয় প্রকারের \(y\) একক স্টেইনলেস স্টিল মেশাতে হবে।
প্রথম প্রকারের স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত \(2:11\)
\(\therefore\) প্রথম প্রকারের \(x\) একক স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়ামের পরিমাণ = \(\frac{2}{2+11} \times x\) একক
= \( \frac{2x}{13}\) একক
আবার প্রথম প্রকারের \(x\) একক স্টেইনলেস স্টিলে স্টিলের পরিমাণ = \(\frac{11}{2+11} \times x\) একক
= \( \frac{11x}{13}\) একক
দ্বিতীয় প্রকারের স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত \(5 : 21\)
\(\therefore\) দ্বিতীয় প্রকারের \(y\) একক স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়ামের পরিমাণ = \(\frac{5}{5+21} \times y\) একক
= \( \frac{5y}{26}\) একক
আবার, দ্বিতীয় প্রকারের \(y\) একক স্টেইনলেস স্টিলে স্টিলের পরিমাণ = \(\frac{21}{5+21} \times y\) একক
= \( \frac{21y}{26}\) একক
\(\therefore\) নতুন স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়ামের মোট পরিমাণ = \(\left(\frac{2x}{13} + \frac{5y}{26}\right)\) একক
= \( \frac{4x+5y}{26}\) একক
আবার, নতুন স্টেইনলেস স্টিলে স্টিলের মোট পরিমাণ = \(\left(\frac{11x}{13} + \frac{21y}{26}\right)\) একক
= \( \frac{22x+21y}{26}\) একক
শর্তানুসারে,
\(\frac{\frac{4x+5y}{26}}{\frac{22x+21y}{26}} = \frac{7}{32}\)বা, \(\frac{4x+5y}{22x+21y} = \frac{7}{32}\)
বা, \(32(4x+5y) = 7 (22x+21y)\)
বা, \(128x + 160y = 154x + 147y\)
বা, \(128x – 154x = 147y -160y\)
বা, \(-26x = -13y\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{13}{26}\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{1}{2}\)
\(\therefore\) \(x:y = 1:2\)
\(\therefore\) এই দুই প্রকার স্টেইনলেস স্টিল \(1 : 2\) অনুপাতে মেশালে নতুন স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত \(7:32\) হবে।
11. একপাত্র শরবতে \(5:2\) অনুপাতে সিরাপ ও জল মেশানো আছে। এই শরবতের কত অংশ তুলে নিয়ে তার পরিবর্তে সমপরিমাণে জল ঢাললে সিরাপ ও জলের পরিমাণ সমান সমান হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, পাত্রে \(x\) একক শরবত আছে, এর \(y\) একক শরবত তুলে নিয়ে সমপরিমাণ জল মেশালাম।
শরবতে সিরাপ ও জলের অনুপাত \(5:2\)
\(x\) একক শরবতে সিরাপ আছে = \( \frac{5}{5+2} \times x\) একক
= \( \frac{5x}{7}\) একক
\(x\) একক শরবতে জল আছে = \( \frac{2}{5+2} \times x\) একক
= \( \frac{2x}{7}\) একক
\(y\) একক শরবতে সিরাপের পরিমাণ = \( \frac{5}{5+2} \times y\) একক
= \( \frac{5y}{7}\) একক
\(y\) একক শরবতে জলের পরিমাণ = \( \frac{2}{5+2} \times y\) একক
= \( \frac{2y}{7}\) একক
এখন \(x\) একক শরবত থেকে \(y\) একক শরবত তুলে নিলে অবশিষ্ট শরবতে সিরাপের পরিমাণ
= \( \left(\frac{5x}{7} – \frac{5y}{7}\right)\) একক
এবং \(x\) একক শরবত থেকে \(y\) একক শরবত তুলে নিলে অবশিষ্ট শরবতে জলের পরিমাণ
= \( \left(\frac{2x}{7} – \frac{2y}{7}\right)\) একক
আবার, \(y\) একক জল মেশালে জলের মোট পরিমাণ হবে = \( \left(\frac{2x}{7} – \frac{2y}{7} + y\right)\) একক
শর্তানুসারে,
\(\left(\frac{5x}{7} – \frac{5y}{7}\right) = \left(\frac{2x}{7} – \frac{2y}{7} + y\right)\)বা, \(\frac{5x-5y}{7} = \left(\frac{2x-2y+7y}{7}\right)\)
বা, \(\frac{5x-5y}{7} = \left(\frac{2x+5y}{7}\right)\)
বা, \(5x – 5y = 2x + 5y\)
বা, \(5x – 2x = 5y + 5y\)
বা, \(3x = 10y\)
বা, \(y = \frac{3x}{10}\)
\(\therefore\) মোট শরবতের \(\frac{3}{10}\) অংশ তুলে নিয়ে তার পরিবর্তে সমপরিমাণ জল ঢাললে সিরাপ ও জলের পরিমাণ সমান সমান হবে।
12. নিচের ছক দেখি, গণিতের গল্প তৈরি করি ও উত্তর খুঁজি
| ক্রমিক নং | দুটি মিশ্রণের প্রত্যেকটিতে উপাদান দুটির পরিমাণের অনুপাত | নতুন মিশ্রণে মিশ্রণ দুটির পরিমাণের অনুপাত | নতুন মিশ্রণে উপাদান দুটির পরিমাণের অনুপাত |
| 1 | 5 : 4 এবং 3 : 2 | মিশ্রণদুটি সমান পরিমাণ নিয়ে | 26:19 |
| 2 | 4 : 5 এবং 5 : 1 | 5:2 | 5:4 |
| 3 | 3 : 4 এবং 9 : 5 | 1 : 2 অনুপাতে | 4:3 |
| 4 | 2 : 3 এবং 5 : 4 | 5:9 | 1 : 1 |
| 5 | 4 : 3 এবং 5 : 2 | 1:1 | 9 : 5 |
1. গণিতের গল্প – দুই প্রকার শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে \(5:4\) এবং \(3:2\); এই দুই প্রকার শরবত সমান পরিমাণে মেশালে নতুন মিশ্রণে সিরাপ ও জলের পরিমাণের অনুপাত কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
প্রথম প্রকার শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত \(5 : 4\)
\(\therefore\) প্রথম প্রকার শরবতে জলের পরিমাণ = \( \frac{5}{5+4}\) অংশ = \( \frac{5}{9}\) অংশ এবং প্রথম প্রকার শরবতে সিরাপের পরিমাণ = \( \frac{4}{5+4}\) অংশ = \( \frac{4}{9}\) অংশ।
দ্বিতীয় প্রকার শরবতে জল ও সিরাপের পরিমাণের অনুপাত \(3:2\)
\(\therefore\) দ্বিতীয় প্রকার শরবতে জলের পরিমাণ = \( \frac{3}{3+2}\) অংশ = \( \frac{3}{5}\) অংশ এবং দ্বিতীয় প্রকার শরবতে সিরাপের পরিমাণ = \( \frac{2}{3+2}\) অংশ = \( \frac{2}{5}\) অংশ।
দুই প্রকার শরবত সমপরিমাণ মিশ্রিত করলে নতুন মিশ্রণে জলের পরিমাণ = \( \left(\frac{5}{9} + \frac{3}{5}\right)\) অংশ = \( \frac{25+27}{45}\) অংশ = \( \frac{52}{45}\) অংশ।
দুই প্রকার শরবত সমপরিমাণ মিশ্রিত করলে নতুন মিশ্রণে সিরাপের পরিমাণ = \( \left(\frac{4}{9} + \frac{2}{5}\right)\) অংশ = \( \frac{20+18}{45}\) অংশ = \( \frac{38}{45}\) অংশ।
\(\therefore\) নতুন মিশ্রণে সিরাপ ও জলের পরিমাণের অনুপাত = \( \frac{52}{45} : \frac{38}{45}\) = \( 52 : 38\) = \( 26 : 19\)
\(\therefore\) নতুন মিশ্রণে সিরাপ ও জলের পরিমাণের অনুপাত হবে \(26 : 19\)
2. গণিতের গল্প – দুই প্রকার স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে \(4:5\) এবং \(5:1\); এই দুই প্রকার স্টেইনলেস স্টিল কী অনুপাতে মেশালে নতুন স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত \(5:4\) হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, প্রথম প্রকারের স্টেইনলেস স্টিলের \(x\) এককের সঙ্গে দ্বিতীয় প্রকারের \(y\) একক স্টেইনলেস স্টিল মেশাতে হবে।
প্রথম প্রকারের স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত \(4 : 5\)
\(\therefore\) প্রথম প্রকারের \(x\) একক স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়ামের পরিমাণ = \( \frac{4}{4+5} \times x\) একক = \( \frac{4x}{9}\) একক
আবার প্রথম প্রকারের \(x\) একক স্টেইনলেস স্টিলে স্টিলের পরিমাণ = \( \frac{5}{4+5} \times x\) একক = \( \frac{5x}{9}\) একক
দ্বিতীয় প্রকারের স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত \(5 : 1\)
\(\therefore\) দ্বিতীয় প্রকারের \(y\) একক স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়ামের পরিমাণ = \( \frac{5}{5+1} \times y\) একক = \( \frac{5y}{6}\) একক
আবার, দ্বিতীয় প্রকারের \(y\) একক স্টেইনলেস স্টিলে স্টিলের পরিমাণ = \( \frac{1}{5+1} \times y\) একক = \( \frac{y}{6}\) একক
\(\therefore\) নতুন স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়ামের মোট পরিমাণ = \( \left(\frac{4x}{9} + \frac{5y}{6}\right)\) একক = \( \frac{8x+15y}{18}\) একক
আবার, নতুন স্টেইনলেস স্টিলে স্টিলের মোট পরিমাণ = \( \left(\frac{5x}{9} + \frac{y}{6}\right)\) একক = \( \frac{10x+3y}{18}\) একক
শর্তানুসারে,
\(\frac{8x+15y}{18} : \frac{10x+3y}{18} = 5 : 4\)বা, \(\frac{8x+15y}{10x+3y} = \frac{5}{4}\)
বা, \(4 (8x+15y) = 5 (10x+3y)\)
বা, \(32x + 60y = 50x + 15y\)
বা, \(32x – 50x = 15y – 60y\)
বা, \(-18x = -45y\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{45}{18}\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{5}{2}\)
\(\therefore x:y = 5:2\)\(\therefore\) এই দুই প্রকার স্টেইনলেস স্টিল \(5:2\) অনুপাতে মেশালে নতুন স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত \(5:4\) হবে।
3. গণিতের গল্প – দুই প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে \(3:4\) এবং \(9:5\); এই দু-প্রকার পিতল \(1:2\) অনুপাতে মেশালে যে নতুন প্রকারের পিতল পাওয়া যাবে, তাতে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
মনেকরি, নতুন প্রকার পিতলে প্রথম ও দ্বিতীয় প্রকার পিতলের পরিমাণ \(x\) একক ও \(2x\) একক।
প্রথম প্রকারের পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত = \( 3:4\)
\(\therefore x\) একক প্রথম প্রকারের পিতলে তামা আছে = \( \frac{3}{3+4} \times x\) একক = \( \frac{3}{7} \times x\) একক = \( \frac{3x}{7}\) একক
এবং \(x\) একক প্রথম প্রকারের পিতলে দস্তা আছে = \( \frac{4}{3+4} \times x\) একক = \( \frac{4}{7} \times x\) একক = \( \frac{4x}{7}\) একক
দ্বিতীয় প্রকারের পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত = \( 9:5\)
\(\therefore 2x\) একক দ্বিতীয় প্রকারের পিতলে তামা আছে = \( \frac{9}{9+5} \times 2x\) একক = \( \frac{9}{14} \times 2x\) একক = \( \frac{18x}{14}\) একক
\(2x\) একক দ্বিতীয় প্রকারের পিতলে দস্তা আছে = \( \frac{5}{9+5} \times 2x\) একক = \( \frac{5}{14} \times 2x\) একক = \( \frac{10x}{14}\) একক
\(\therefore\) নতুন প্রকারের পিতলে তামা আছে = \( \left(\frac{3x}{7} + \frac{18x}{14}\right)\) একক = \( \frac{6x+18x}{14}\) একক = \( \frac{24x}{14}\) একক
এবং নতুন প্রকারের পিতলে দস্তা আছে = \( \left(\frac{4x}{7} + \frac{10x}{14}\right)\) একক = \( \frac{8x+10x}{14}\) একক = \( \frac{18x}{14}\) একক
\(\therefore\) নতুন প্রকারের পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত = \( \frac{24x}{14} : \frac{18x}{14}\) = \( 24:18\) = \( 4:3\)
4. গণিতের গল্প – দুই প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে \(2:3\) এবং \(5:4\); এই দু-প্রকার পিতল কী অনুপাতে মেশালে যে নতুন প্রকারের পিতল পাওয়া যাবে, তাতে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত \(1:1\) হবে।
সমাধান –
ধরি, প্রথম প্রকারের পিতল \(x\) এককের সাথে দ্বিতীয় প্রকারের পিতল \(y\) একক মেশাতে হবে।
প্রথম প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে \(2:3\)
প্রথম প্রকারের \(x\) একক পিতলে তামার পরিমাণ = \( \frac{2}{2+3} \times x\) একক = \( \frac{2x}{5}\) একক
প্রথম প্রকারের \(x\) একক পিতলে দস্তার পরিমাণ = \( \frac{3}{2+3} \times x\) একক = \( \frac{3x}{5}\) একক
দ্বিতীয় প্রকার পিতলে তামা ও দস্তার অনুপাত \(5 : 4\)
দ্বিতীয় প্রকারের \(y\) একক পিতলে তামার পরিমাণ = \( \frac{5}{5+4} \times y\) একক = \( \frac{5y}{9}\) একক
দ্বিতীয় প্রকারের \(y\) একক পিতলে দস্তার পরিমাণ = \( \frac{4}{5+4} \times y\) একক = \( \frac{4y}{9}\) একক
নতুন মিশ্রণে তামার মোট পরিমাণ = \( \left(\frac{2x}{5} + \frac{5y}{9}\right)\) একক = \( \frac{18x+25y}{45}\) একক
নতুন মিশ্রণে দস্তার মোট পরিমাণ = \( \left(\frac{3x}{5} + \frac{4y}{9}\right)\) একক = \( \frac{27x+20y}{45}\) একক
শর্তানুসারে,
\(\frac{18x+25y}{45} : \frac{27x+20y}{45} = 1 : 1\)বা, \(\frac{18x+25y}{27x+20y} = \frac{1}{1}\)
বা, \(18x + 25y = 27x + 20y\)
বা, \(18x – 27x = 20y – 25y\)
বা, \(-9x = -5y\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{5}{9}\)
বা, \(x:y = 5:9\)
\(\therefore\) দু-প্রকার পিতল \(5 : 9\) অনুপাতে মেশালে যে নতুন প্রকারের পিতল পাওয়া যাবে, তাতে তামা ও দস্তার পরিমাণের অনুপাত \(1:1\) হবে।
5. গণিতের গল্প – দুই প্রকার স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে \(4:3\) এবং \(5:2\); এই দুই প্রকার স্টেইনলেস স্টিল কী অনুপাতে মেশালে নতুন স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত \(9:5\) হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, প্রথম প্রকারের স্টেইনলেস স্টিলের \(x\) এককের সঙ্গে দ্বিতীয় প্রকারের \(y\) একক স্টেইনলেস স্টিল মেশাতে হবে।
প্রথম প্রকারের স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত \(4 : 3\)
\(\therefore\) প্রথম প্রকারের \(x\) একক স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়ামের পরিমাণ = \( \frac{4}{4+3} \times x\) একক = \( \frac{4x}{7}\) একক
আবার প্রথম প্রকারের \(x\) একক স্টেইনলেস স্টিলে স্টিলের পরিমাণ = \( \frac{3}{4+3} \times x\) একক = \( \frac{3x}{7}\) একক
দ্বিতীয় প্রকারের স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত \(5 : 2\)
\(\therefore\) দ্বিতীয় প্রকারের \(y\) একক স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়ামের পরিমাণ = \( \frac{5}{5+2} \times y\) একক = \( \frac{5y}{7}\) একক
আবার, দ্বিতীয় প্রকারের \(y\) একক স্টেইনলেস স্টিলে স্টিলের পরিমাণ = \( \frac{2}{5+2} \times y\) একক = \( \frac{2y}{7}\) একক
\(\therefore\) নতুন স্টেইনলেস স্টিলে ক্রোমিয়ামের মোট পরিমাণ = \( \left(\frac{4x}{7} + \frac{5y}{7}\right)\) একক = \( \frac{4x+5y}{7}\) একক
আবার, নতুন স্টেইনলেস স্টিলে স্টিলের মোট পরিমাণ = \( \left(\frac{3x}{7} + \frac{2y}{7}\right)\) একক = \( \frac{3x+2y}{7}\) একক
শর্তানুসারে,
\(\frac{4x+5y}{7} : \frac{3x+2y}{7} = 9 : 5\)বা, \(\frac{4x+5y}{3x+2y} = \frac{9}{5}\)
বা, \(5 (4x+5y) = 9 (3x+2y)\)
বা, \(20x + 25y = 27x + 18y\)
বা, \(20x – 27x = 18y – 25y\)
বা, \(-7x = -7y\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{7}{7}\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{1}{1}\)
\(\therefore x:y = 1:1\)\(\therefore\) এই দুই প্রকার স্টেইনলেস স্টিল \(1:1\) অনুপাতে মেশালে নতুন স্টিলে ক্রোমিয়াম ও স্টিলের পরিমাণের অনুপাত \(9:5\) হবে।
| ক্রমিক নং | দুটি মিশ্রণের প্রত্যেকটিতে উপাদান দুটির পরিমাণের অনুপাত | নতুন মিশ্রণে মিশ্রণ দুটির পরিমাণের অনুপাত | নতুন মিশ্রণে উপাদান দুটির পরিমাণের অনুপাত |
| 1 | 5 : 4 এবং 3 : 2 | মিশ্রণদুটি সমান পরিমাণ নিয়ে | 26:19 |
| 2 | 4 : 5 এবং 5 : 1 | 5:2 | 5:4 |
| 3 | 3 : 4 এবং 9 : 5 | 1 : 2 | 4:3 |
| 4 | 2 : 3 এবং 5 : 4 | 5:9 | 1 : 1 |
| 5 | 4 : 3 এবং 5 : 2 | 1:1 | 9 : 5 |
13. 700 লিটার একটি মিশ্রণে তিন ধরনের তরলের প্রথম ও দ্বিতীয় ধরনের পরিমাণের অনুপাত \(2:3\) এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় ধরনের পরিমাণের অনুপাত \(4:5\); ওই মিশ্রণে প্রথম ও দ্বিতীয় প্রকার তরল কত পরিমাণে মেশালে নতুন মিশ্রণে তিন প্রকার তরলের পরিমাণের অনুপাত হবে \(6:5:3\) হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
প্রথম ও দ্বিতীয় প্রকার তরলের পরিমাণের অনুপাত = \( 2:3 = (2\times4) : (3\times4) = 8 : 12\)
দ্বিতীয় ও তৃতীয় প্রকার তরলের পরিমাণের অনুপাত \(4 : 5 = (4\times3) : (5\times3) = 12 : 15\)
\(\therefore\) প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় প্রকার তরলের পরিমাণের অনুপাত = \( 8 : 12 : 15\)
এখন, 700 লিটার মিশ্রণে প্রথম প্রকার তরল আছে = \( \frac{8}{8+12+15} \times 700\) লিটার
= \( \frac{8}{35} \times 700\) লিটার
= \( 160\) লিটার
আবার, 700 লিটার মিশ্রণে দ্বিতীয় প্রকার তরল আছে = \( \frac{12}{8+12+15} \times 700\) লিটার
= \( \frac{12}{35} \times 700\) লিটার
= \( 240\) লিটার
এবং 700 লিটার মিশ্রণে তৃতীয় প্রকারের তরল আছে = \( \frac{15}{8+12+15} \times 700\) লিটার
= \( \frac{15}{35} \times 700\) লিটার
= \( 300\) লিটার
ধরি, প্রথম প্রকারের তরল \(x\) লিটার এর সাথে দ্বিতীয় প্রকারের তরল \(y\) লিটার মেশানো হল।
\(\therefore\) নতুন মিশ্রণে প্রথম প্রকারের তরলের পরিমাণ = \( (160 + x)\) লিটার এবং দ্বিতীয় প্রকার তরলের পরিমাণ = \( (240 + y)\) লিটার।
শর্তানুসারে, \(\frac{160+x}{300} = \frac{6}{3}\)
বা, \(480 + 3x = 1800\)
বা, \(3x = 1800 – 480\)
বা, \(3x = 1320\)
বা, \(x = \frac{1320}{3}\)
বা, \(x = 440\)
এবং, \(\frac{240+y}{300} = \frac{5}{3}\)
বা, \(3(240+y) = 1500\)
বা, \(720 + 3y = 1500\)
বা, \(3y = 1500 – 720\)
বা, \(3y = 780\)
বা, \(y = \frac{780}{3}\)
বা, \(y = 260\)
\(\therefore\) প্রথম প্রকারের তরল 440 লিটার এবং দ্বিতীয় প্রকার তরল 260 লিটার মেশাতে হবে।
14. এক প্রকার সিরাপে জল ও অবশিষ্টাংশের পরিমাণের অনুপাত \(89:11\), এইরূপ 22 লিটার সিরাপে আর কত লিটার জল মেশালে জল ও অবশিষ্টাংশের পরিমাণের অনুপাত \(90:10\) হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
সিরাপে জল ও অবশিষ্টাংশের পরিমাণের অনুপাত = \( 89 : 11\)
22 লিটার সিরাপে জলের পরিমাণ = \( \frac{89}{89+11} \times 22\) লিটার
= \( \frac{89}{100} \times 22\) লিটার
= \( \frac{979}{50}\) লিটার
এবং অবশিষ্টাংশের পরিমাণ = \( \frac{11}{89+11} \times 22\) লিটার
= \( \frac{11}{100} \times 22\) লিটার
= \( \frac{121}{50}\) লিটার
ধরি, 22 লিটার সিরাপে আর \(x\) লিটার জল মেশাতে হবে।
\(\therefore\) নতুন মিশ্রণে জলের পরিমাণ = \( \left(\frac{979}{50} + x\right)\) লিটার
শর্তানুসারে,
\(\frac{\frac{979}{50} + x}{\frac{121}{50}} = \frac{90}{10}\)বা, \(\frac{\frac{979+50x}{50}}{\frac{121}{50}} = \frac{9}{1}\)
বা, \(\frac{979+50x}{121} = \frac{9}{1}\)
বা, \(979 + 50x = 1089\)
বা, \(50x = 1089 – 979\)
বা, \(50x = 110\)
বা, \(x = \frac{110}{50}\)
বা, \(x = \frac{11}{5}\)
বা, \(x = 2.2\)
\(\therefore\) আর 2.2 লিটার জল মেশালে জল ও অবশিষ্টাংশের পরিমাণের অনুপাত \(90:10\) হবে।
15. তিনটি বোতলের আয়তনের পরিমাণ যথাক্রমে \(5:3:2\) এবং বোতল তিনটি ফিনাইল ও জলের মিশ্রণে পূর্ণ আছে। বোতল তিনটিতে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত যথাক্রমে \(2:3\), \(1:2\) এবং \(1:3\); প্রথম বোতলের \(\frac{1}{3}\) অংশ, দ্বিতীয় বোতলের \(\frac{1}{2}\) অংশ এবং তৃতীয় বোতলের \(\frac{2}{3}\) অংশ মিশ্রণ একত্রে মেশানো হলে, নতুন মিশ্রণে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, তিনটি বোতলের আয়তনের পরিমাণ যথাক্রমে \(5x\) লিটার, \(3x\) লিটার এবং \(2x\) লিটার।
প্রথম বোতলে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত \(2 : 3\)
প্রথম বোতলের আয়তনের \(\frac{1}{3}\) অংশের মধ্যে
ফিনাইলের পরিমাণ = \( \left(\frac{2}{2+3} \times 5x \times \frac{1}{3}\right)\) লিটার
= \( \left(\frac{2}{5} \times 5x \times \frac{1}{3}\right)\) লিটার
= \( \frac{2x}{3}\) লিটার
এবং জলের পরিমাণ = \( \left(\frac{3}{2+3} \times 5x \times \frac{1}{3}\right)\) লিটার
= \( \left(\frac{3}{5} \times 5x \times \frac{1}{3}\right)\) লিটার
= \( x\) লিটার
দ্বিতীয় বোতলে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত \(1:2\)
দ্বিতীয় বোতলের আয়তনের \(\frac{1}{2}\) অংশের মধ্যে
ফিনাইলের পরিমাণ = \( \left(\frac{1}{1+2} \times 3x \times \frac{1}{2}\right)\) লিটার
= \( \left(\frac{1}{3} \times 3x \times \frac{1}{2}\right)\) লিটার
= \( \frac{x}{2}\) লিটার
এবং জলের পরিমাণ = \( \left(\frac{2}{1+2} \times 3x \times \frac{1}{2}\right)\) লিটার
= \( \left(\frac{2}{3} \times 3x \times \frac{1}{2}\right)\) লিটার
= \( x\) লিটার
তৃতীয় বোতলে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত = \( 1:3\)
তৃতীয় বোতলের আয়তনের \(\frac{2}{3}\) অংশের মধ্যে
ফিনাইলের পরিমাণ = \( \left(\frac{1}{1+3} \times 2x \times \frac{2}{3}\right)\) লিটার
= \( \left(\frac{1}{4} \times 2x \times \frac{2}{3}\right)\) লিটার
= \( \frac{x}{3}\) লিটার
এবং জলের পরিমাণ = \( \left(\frac{3}{1+3} \times 2x \times \frac{2}{3}\right)\) লিটার
= \( \left(\frac{3}{4} \times 2x \times \frac{2}{3}\right)\) লিটার
= \( x\) লিটার
\(\therefore\) নতুন মিশ্রণে ফিনাইলের পরিমাণ = \( \left(\frac{2x}{3} + \frac{x}{2} + \frac{x}{3}\right)\) লিটার
= \( \left(\frac{4x+3x+2x}{6}\right)\) লিটার
= \( \frac{9x}{6}\) লিটার
= \( \frac{3x}{2}\) লিটার
নতুন মিশ্রণে জলের পরিমাণ = \( (x + x + x)\) লিটার = \( 3x\) লিটার
\(\therefore\) নতুন মিশ্রণে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত = \( \frac{3x}{2} : 3x = 3:6 = 1:2\)
\(\therefore\) নতুন মিশ্রণে ফিনাইল ও জলের পরিমাণের অনুপাত \(1:2\)।
এই আর্টিকেলে অষ্টম শ্রেণির গণিতের ‘মিশ্রণ’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 12’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরেছি। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে। কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন