অষ্টম শ্রেণী গণিত – ত্রৈরাশিক পদ্ধতি – কষে দেখি – 10.1

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) অষ্টম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের দশম অধ্যায় হলো ‘ত্রৈরাশিক পদ্ধতি’। এই পোস্টে আমরা ‘কষে দেখি – 10.1’-এর সমস্ত প্রশ্নের সহজ ও নির্ভুল সমাধান নিয়ে আলোচনা করেছি। আশা করি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত শিখতে এবং পরীক্ষার প্রস্তুতিতে দারুণভাবে সহায়তা করবে।

1. আজ আমার বাবা \(390\) টাকায় \(15\) কিগ্রা চাল কিনে এনেছেন। যদি \(17\) কিগ্রা একইরকম চাল কিনতেন তবে বাবা কত টাকা খরচ করতেন ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

চালের পরিমাণ (কিগ্রা)	চালের দাম (টাকা)
\(15\)	\(390\)
\(17\)	?

এক্ষেত্রে চালের পরিমাণ বৃদ্ধি পেলে চালের দাম বৃদ্ধি পাবে, সুতরাং চালের পরিমাণের সঙ্গে চালের দামের সরল সম্পর্ক।

\(\therefore\) সরল সমানুপাতটি হল—

\(15 : 390 :: 17 : ?\) (নির্ণেয় চালের দাম)

বা, $\frac{15}{390}=\frac{17}{\text{নির্ণেয় চালের দাম}}$

বা, নির্ণেয় চালের দাম = \(\frac{17 \times 390}{15}\)

বা, নির্ণেয় চালের দাম = \(442\) টাকা

\(\therefore 17\) কিগ্রা একইরকম চাল কিনতে বাবার \(442\) টাকা খরচ হত।

2. ভেঙ্কট মামা \(20\) মিটার ছিট কাপড়ে একই মাপের \(4\) টি জামা তৈরি করবেন। একই রকম \(12\) টি জামা তৈরি করতে হলে ভেঙ্কট মামাকে কত মিটার ছিট কাপড় কিনে দিতে হবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

জামার সংখ্যা (টি)	ছিট কাপড়ের পরিমাণ (মিটার)
\(4\)	\(20\)
\(12\)	?

জামার সংখ্যা বাড়লে ছিট কাপড়ের পরিমাণও বাড়বে। সুতরাং জামার সংখ্যা ও ছিট কাপড়ের দৈর্ঘ্য সরল সমানুপাতী।

\(\therefore 4 : 12 :: 20 : ?\) (ছিট কাপড়ের দৈর্ঘ্য)

বা, $\frac{4}{12}=\frac{20}{\text{ছিট কাপড়ের পরিমাণ}}$

বা, \(4 \times\) ছিট কাপড়ের দৈর্ঘ্য = \(12 \times 20\)

বা, ছিট কাপড়ের দৈর্ঘ্য = \(\frac{12 \times 20}{4}\) মিটার

বা, ছিটকাপড়ের দৈর্ঘ্য = \(60\) মিটার

\(\therefore 12\) টি জামা তৈরি করতে \(60\) মিটার ছিট কাপড় লাগবে।

3. বকুলতলা গ্রামে একটি পুকুর কাটতে \(30\) জন লোকের \(15\) দিন লেগেছে। যদি \(25\) জন লোক ওই পুকুর কাটত তবে কত দিনে কাজ শেষ করতে পারত ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

লোকসংখ্যা (জন)	সময় (দিন)
\(30\)	\(15\)
\(25\)	?

\(\therefore 30 : 25 :: ?\) (নির্ণেয় দিনসংখ্যা) \(: 15\)

বা, $\frac{30}{25}=\frac{\text{নির্ণেয় দিন সংখ্যা}}{15}$

বা, নির্ণেয় দিন সংখ্যা = \(\frac{30 \times 15}{25}\)

বা, নির্ণেয় দিন সংখ্যা = \(18\)

\(\therefore\) যদি \(25\) জন লোক ওই পুকুর কাটত তবে \(18\) দিনে কাজ শেষ করতে পারত।

4. কাকিমা ঘণ্টায় \(40\) কিমি বেগে গাড়ি চালিয়ে \(5\) ঘণ্টায় মামার বাড়ি পৌঁছে গেলেন। তিনি যদি ঘণ্টায় \(50\) কিমি বেগে গাড়ি চালাতেন তবে মামার বাড়ি পৌঁছাতে কত সময় লাগত ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল –

গতিবেগ (কিমি/ঘণ্টা)	সময় (ঘণ্টা)
\(40\)	\(5\)
\(50\)	?

গতিবেগ বৃদ্ধি পেলে নির্দিষ্ট দূরত্ব যেতে কম সময় লাগবে। সুতরাং, গতিবেগ ও সময় পরস্পর ব্যস্ত সমানুপাতী।

\(\therefore 40 : 50 :: ? : 5\)বা, $\frac{40}{50}=\frac{\text{নির্ণেয় সময়}}{5}$

বা, নির্ণেয় সময় = \(\frac{40 \times 5}{50}\) ঘণ্টা

বা, নির্ণেয় সময় = \(4\) ঘণ্টা

\(\therefore\) তিনি যদি ঘণ্টায় \(50\) কিমি বেগে গাড়ি চালাতেন তবে তার মামার বাড়ি পৌঁছাতে \(4\) ঘণ্টা সময় লাগত।

5. মঙ্গলপুর গ্রামের একটি আশ্রয় শিবিরে \(4000\) জন লোকের \(9\) দিনের খাবার মজুদ ছিল। \(3\) দিন পরে \(1000\) জন লোক অন্য জায়গায় চলে গেলেন। যারা রয়ে গেলেন অবশিষ্ট খাবারে তাদের কতদিন চলবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল —

লোকসংখ্যা (জন)	সময় (দিন)
\(4000\)	\(9 – 3 = 6\)
\(4000 – 1000 = 3000\)	?

লোকসংখ্যা হ্রাস পেলে নির্দিষ্ট পরিমাণ খাবার বেশি দিন চলবে। সুতরাং, লোকসংখ্যা ও সময় ব্যস্ত সমানুপাতী।

\(\therefore 4000 : 3000 :: ? : 6\) (নির্ণেয় দিনসংখ্যা)

বা, $\frac{4000}{3000}=\frac{\text{নির্ণেয় দিনসংখ্যা}}{6}$

\(\therefore\) নির্ণেয় দিনসংখ্যা = \(\frac{6 \times 4000}{3000}\)

বা, নির্ণেয় দিনসংখ্যা = \(8\)

\(\therefore\) অবশিষ্ট খাবারে তাদের আর \(8\) দিন চলবে।

6. নসিবপুর গ্রামের একটি খামারের \(42\) জন সদস্য \(24\) দিনে খামারের সমস্ত জমি চাষ করতে পারেন। কিন্তু চাষের মরসুমে \(6\) জন সদস্য অসুস্থ হয়ে পড়েন। খামারের সমস্ত জমি চাষ করতে অবশিষ্ট জনের কতদিন সময় লাগবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

সমাধান – গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল—

সদস্য সংখ্যা (জন)	সময় (দিন)
\(42\)	\(24\)
\(42 – 6 = 36\)	?

সদস্য সংখ্যা কমে গেলে নির্দিষ্ট পরিমাণ জমি চাষ করতে বেশিদিন সময় লাগবে। সুতরাং সদস্য সংখ্যা ও সময় ব্যস্ত সমানুপাতী।

\(\therefore 42 : 36 :: ?\) (নির্ণেয় দিনসংখ্যা) \(: 24\)

বা, $\frac{42}{36}=\frac{\text{নির্ণেয় দিনসংখ্যা}}{24}$

বা, নির্ণেয় দিনসংখ্যা = \(\frac{42 \times 24}{36}\)

বা, নির্ণেয় দিনসংখ্যা = \(28\) দিন

\(\therefore\) খামারের সমস্ত জমি চাষ করতে অবশিষ্ট লোকের \(28\) দিন সময় লাগবে।

7. একটি কারখানায় \(1000\) টি যন্ত্রাংশ তৈরি করতে \(16\) টি মেশিনের \(27\) দিন সময় লাগে। যদি ওই কারখানায় আরও \(2\) টি মেশিন বসানো হয় তাহলে একই সংখ্যক যন্ত্রাংশ তৈরি করতে কতদিন সময় লাগবে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হল—

মেশিনের সংখ্যা (টি)	সময় (দিন)
\(16\)	\(27\)
\(16 + 2 = 18\)	?

মেশিনের সংখ্যা বৃদ্ধি পেলে নির্দিষ্ট পরিমাণ যন্ত্রাংশ তৈরি করতে কম সময় লাগবে। সুতরাং, মেশিনের সংখ্যা ও সময় ব্যস্ত সমানুপাতী।

\(\therefore 16 : 18 :: ? : 27\) (নির্ণেয় দিনসংখ্যা)

বা, $\frac{16}{18}=\frac{\text{নির্ণেয় দিনসংখ্যা}}{27}$

বা, নির্ণেয় দিনসংখ্যা = \(\frac{16 \times 27}{18}\) দিন

বা, নির্ণেয় দিনসংখ্যা = \(24\) দিন

\(\therefore\) যদি ওই কারখানায় আরও \(2\) টি মেশিন বসানো হয় তাহলে \(1000\) টি যন্ত্রাংশ তৈরি করতে \(24\) দিন সময় লাগত।

8. নিচের পারস্পরিক সম্পর্কগুলি দেখি, গণিতের গল্প তৈরি করি ও ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে উত্তর খুঁজি

(a)

পেনের সংখ্যা (টি)	মোট পেনের দাম (টাকা)
\(25\)	\(112.5\)
\(12\)	?

গণিতের গল্প – রাম \(112.5\) টাকায় শ্যামল কাকুর দোকান থেকে \(25\) টি পেন কিনল। রহিম ওই একই দোকান থেকে \(12\) টি পেন কত টাকায় কিনবে ?

সমাধান –

সমস্যাটি হল –

পেনের সংখ্যা (টি)	মোট পেনের দাম (টাকা)
\(25\)	\(112.5\)
\(12\)	?

স্পষ্টতই, পেনের সংখ্যার সঙ্গে পেনের দামের সরল সম্পর্ক।

\(\therefore\) সরল সমানুপাতটি হল-

\(25 : 12 :: 112.5 : ?\) (পেনের দাম)

বা, $\frac{25}{12}=\frac{112.5}{\text{পেনের দাম}}$

বা, পেনের দাম = $\frac{112.5\times 12}{25}$

বা, পেনের দাম = \(54\)

\(\therefore 12\) টি পেনের দাম \(54\) টাকা।

(b)

গতিবেগ (কিমি./ঘণ্টা)	দূরত্ব (কিমি.)
\(9\)	\(112.5\)
\(12\)	?

গণিতের গল্প –

মিতালি \(9\) কিমি. / ঘণ্টা বেগে সাইকেল চালিয়ে \(112.5\) কিমি. দূরত্ব অতিক্রম করে। মিতালি যদি ঘণ্টায় \(12\) কিমি. / ঘণ্টা বেগে সাইকেল চালায় তবে সে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

সমস্যাটি হল –

গতিবেগ (কিমি./ঘণ্টা)	দূরত্ব (কিমি.)
\(9\)	\(112.5\)
\(12\)	?

গতিবেগ বাড়লে দূরত্ব বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ এক্ষেত্রে, গতিবেগের সাথে দূরত্বের সরল সম্পর্ক।

\(\therefore 9 : 12 :: 112.5 : ?\) (নির্ণেয় দূরত্ব)

বা, $\frac{9}{12}=\frac{112.5}{\text{নির্ণেয় দূরত্ব}}$

বা, নির্ণেয় দূরত্ব = $\frac{112.5\times 12}{9}$ কিমি.

বা, নির্ণেয় দূরত্ব = \(150\) কিমি.

\(\therefore\) ঘণ্টায় \(12\) কিমি বেগে সাইকেল চালালে মিতালি \(150\) কিমি. দূরত্ব অতিক্রম করবে।

(c)

পাম্পের সংখ্যা (টি)	সেচের জমির পরিমাণ (বিঘা)
\(6\)	\(31.2\)
\(13\)	?

গণিতের গল্প –

\(6\) টি পাম্প \(31.2\) বিঘা জমি সেচ করতে পারে তবে \(13\) টি পাম্প কত বিঘা জমি সেচ করতে পারবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

সমস্যাটি হল –

পাম্পের সংখ্যা (টি)	সেচের জমির পরিমাণ (বিঘা)
\(6\)	\(31.2\)
\(13\)	?

পাম্পের সংখ্যা বাড়লে সেচের জমির পরিমাণ বাড়বে। অর্থাৎ পাম্পের সংখ্যার সঙ্গে সেচের জমির পরিমাণের সরল সম্পর্ক।

\(\therefore\) সরল সমানুপাতটি হল –

\(6 : 13 :: 31.2 : ?\) (জমির পরিমাণ)

বা, $\frac{6}{13}=\frac{31.2}{\text{জমির পরিমাণ}}$

বা, জমির পরিমাণ = $\frac{13\times 31.2}{6}$ বিঘা

বা, জমির পরিমাণ = \(67.6\) বিঘা

\(\therefore 13\) টি পাম্প \(67.6\) বিঘা জমি চাষ করতে পারবে।

(d)

প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানা শস্য (গ্রাম)	ছাত্র সংখ্যা (জন)
\(306\)	\(425\)
?	\(458\)

গণিতের গল্প –

কোনো বিদ্যালয়ে মিড-ডে মিল প্রকল্পে \(425\) জন ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানাশস্যের পরিমাণ \(306\) গ্রাম। যদি ছাত্র সংখ্যা বেড়ে \(458\) জন হয় তবে প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানাশস্যের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান –

সমস্যাটি হল –

প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানা শস্য (গ্রাম)	ছাত্র সংখ্যা (জন)
\(306\)	\(425\)
?	\(458\)

ছাত্র সংখ্যা বাড়লে প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানাশস্যের পরিমাণ কমবে। সুতরাং, ছাত্র সংখ্যা ও প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানাশস্যের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাতী সম্পর্ক।

\(\therefore 306 : ?\) (প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানা শস্যের পরিমাণ) \(:: 458 : 425\)

বা, $\frac{306}{\text{প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানা শস্যের পরিমাণ}}=\frac{458}{425}$

বা, প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানাশস্যের পরিমাণ = $\frac{306\times 425}{458}$ গ্রাম

বা, প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানাশস্যের পরিমাণ = \(283.95\) গ্রাম

\(\therefore\) প্রতি ছাত্রের দৈনিক বরাদ্দ দানাশস্যের পরিমাণ \(283.95\) গ্রাম।

---

এই আর্টিকেলে অষ্টম শ্রেণির গণিতের ‘ত্রৈরাশিক পদ্ধতি’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 10.1’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরেছি। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে। কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।