এই আর্টিকেলে আমরা নবম শ্রেণির গণিত বিষয়ের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় “তিন ধরনের সমীকরণ জোড়ার সমাধান” নিয়ে আলোচনা করব। আমরা শিখব কীভাবে বীজগণিত এবং লেখচিত্রের (গ্রাফ) মাধ্যমে এই সমীকরণগুলোর সমাধান করা যায়।
বীজগণিতে রৈখিক সমীকরণ জোড়াকে তিন ভাগে ভাগ করা যায়
- একটি মাত্র সমাধানযোগ্য
- অসংখ্য সমাধানযোগ্য
- কোন সমাধান নেই
নিচে প্রতিটি প্রকারের বিস্তারিত ব্যাখ্যা দেওয়া হলো
1. একটি মাত্র সমাধানযোগ্য সমীকরণ জোড়া
সমীকরণ জোড়া –
\[ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases} \]বীজগণিতিক সমাধান –
প্রথমে সমীকরণ দুটি যোগ করি –
\[ (2x + y) + (x – y) = 5 + 1 \]\[ 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \]x এর মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে –
\[ 2 – y = 1 \Rightarrow y = 1 \]একমাত্র সমাধান – (2, 1)
লেখচিত্রের জন্য বিন্দুসমূহ
| সমীকরণ | বিন্দু 1 | বিন্দু 2 | বিন্দু 3 |
|---|---|---|---|
| 2x + y = 5 | (0, 5) | (2, 1) | (1, 3) |
| x – y = 1 | (0, -1) | (2, 1) | (1, 0) |
লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য – দুটি ভিন্ন ঢালের সরলরেখা (2,1) বিন্দুতে ছেদ করে।
2. কোন সমাধান নেই (অসঙ্গত)
সমীকরণ জোড়া –
\[ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases} \]বীজগণিতিক সমাধান –
প্রথম সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করি –
\[ 2x + 4y = 8 \]দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে বিয়োগ করি –
\[ (2x + 4y) – (2x + 4y) = 8 – 10 \]\[ 0 = -2 \quad \text{(অসম্ভব)} \]লেখচিত্রের জন্য বিন্দুসমূহ
| সমীকরণ | বিন্দু 1 | বিন্দু 2 | বিন্দু 3 |
|---|---|---|---|
| x + 2y = 4 | (0, 2) | (4, 0) | (2, 1) |
| 2x + 4y = 10 | (0, 2.5) | (5, 0) | (1, 2) |
লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য – দুটি সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করে।
3. অসংখ্য সমাধানযোগ্য
সমীকরণ জোড়া –
\[ \begin{cases} 3x + 6y = 12 \\ x + 2y = 4 \end{cases} \]বীজগণিতিক সমাধান –
দ্বিতীয় সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করি –
\[ 3x + 6y = 12 \]যা প্রথম সমীকরণের সাথে অভিন্ন। সমাধান –
\[ x = 4 – 2y \]যেখানে y যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
লেখচিত্রের জন্য বিন্দুসমূহ
| সমীকরণ | বিন্দু 1 | বিন্দু 2 | বিন্দু 3 |
|---|---|---|---|
| 3x + 6y = 12 | (0, 2) | (4, 0) | (2, 1) |
| x + 2y = 4 | (0, 2) | (4, 0) | (2, 1) |
লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য – দুটি সমান্তরাল সরলরেখা, কোন ছেদ বিন্দু নেই।
সারসংক্ষেপ
| প্রকার | বীজগণিতিক শর্ত | সমাধান সংখ্যা | লেখচিত্র |
|---|---|---|---|
| একটি সমাধান | a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ | 1টি | ছেদকারী রেখা |
| কোন সমাধান নেই | a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ | 0টি | সমান্তরাল রেখা |
| অসংখ্য সমাধান | a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | অসংখ্য | একই রেখা |
দ্রষ্টব্য – সমীকরণের সাধারণ রূপ a₁x + b₁y = c₁ এবং a₂x + b₂y = c₂
এই আর্টিকেলে আমরা নবম শ্রেণির গণিত বিষয় থেকে তিন ধরনের সমীকরণ জোড়ার সমাধান সম্পর্কে আলোচনা করেছি। আমরা দেখেছি কিভাবে:
- একটি মাত্র সমাধান থাকতে পারে
- কোনো সমাধান নাও থাকতে পারে
- অসংখ্য সমাধান থাকতে পারে
বীজগণিতের সূত্র এবং লেখচিত্রের মাধ্যমে আমরা প্রতিটি ক্ষেত্র প্রমাণ করেছি। আশা করি, এই আলোচনা থেকে তোমরা সমীকরণ জোড়ার সমাধান সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছ।
তোমাদের যদি কোনো প্রশ্ন বা বুঝতে সমস্যা হয়, তাহলে স্কুলের শিক্ষক বা বন্ধুদের সাথে আলোচনা করতে পারো। গণিত চর্চা করতে থাকো, নিয়মিত অনুশীলন করো। এতে তোমাদের দক্ষতা বাড়বে।
