এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের ষোড়শ অধ্যায়, ‘লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু’ -এর ‘কষে দেখি – 16’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
1. আমি একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি.। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \((r) = 15\) সেমি.
তির্যক উচ্চতা \((l) = 24\) সেমি.
∴ শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(= \pi r l\) বর্গ সেমি.
\(= \frac{22}{7} \times 15 \times 24\) বর্গ সেমি.
\(= 1131.43\) বর্গ সেমি. (প্রায়)
শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(= \pi r (l+r)\) বর্গ সেমি.
\(= \frac{22}{7} \times 15 \times (24+15)\) বর্গ সেমি.
\(= 1838.57\) বর্গ সেমি. (প্রায়)
∴ শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(1131.43\) বর্গ সেমি. (প্রায়) এবং শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(1838.57\) বর্গ সেমি. (প্রায়)।
2. শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করি যখন, (i) ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা 2.4 মিটার। (ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 মিটার।
সমাধান –
(i) শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\) × ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
= \(\frac{1}{3} \times 1.54 \times 2.4\) ঘন মিটার
= \(1.232\) ঘন মিটার (উত্তর)
(ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = \(21\) মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ \((r) = \frac{21}{2}\) মিটার = \(10.5\) মিটার।
তির্যক উচ্চতা \((l) = 17.5\) মিটার।
ধরি, শঙ্কুটির উচ্চতা \(h\) মিটার।
এবং, \(l^2 = h^2 + r^2\)
বা, \((17.5)^2 = h^2 + (10.5)^2\)
বা, \(h^2 = (17.5)^2 – (10.5)^2\)
বা, \(h^2 = (17.5+10.5)(17.5-10.5)\)
[ \(\therefore a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) ]
বা, \(h^2 = 28 \times 7\)
বা, \(h^2 = 2 \times 2 \times 7 \times 7\)
বা, \(h^2 = (14)^2\)
বা, \(h = 14\)
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা \(14\) মিটার।
শঙ্কুটির আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\) ঘনমিটার
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (10.5)^2 \times 14\) ঘনমিটার
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \times 14\) ঘনমিটার
= \(22 \times 1.5 \times 3.5 \times 14\) ঘনমিটার
= \(1617\) ঘনমিটার (উত্তর)
3. আমিনা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 15 সেমি. ও 20 সেমি.। 15 সেমি. দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয়, তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করি।
সমাধান –
সমকোণী ত্রিভুজটির \(15\) সেমি. বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয় তা হল শঙ্কু।
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা \( h = 15\) সেমি.
এবং শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধ \( r = 20\) সেমি.
ধরি, শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা \(l\) সেমি.
এখন, \(l^2 = h^2 + r^2\)
বা, \(l^2 = (15)^2 + (20)^2\)
বা, \(l^2 = 225 + 400\)
বা, \(l^2 = 625\)
বা, \(l^2 = (25)^2\)
বা, \(l = 25\)
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা \(= 25\) সেমি.
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(= \pi r l\) বর্গ সেমি.
\(= \frac{22}{7} \times 20 \times 25\) বর্গসেমি.
\(= \frac{11000}{7}\) বর্গসেমি.
\(= 1571\frac{3}{7}\) বর্গসেমি.
শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(= \pi r (r+l)\) বর্গ সেমি.
\(= \frac{22}{7} \times 20 \times (20 + 25)\) বর্গসেমি.
\(= \frac{22}{7} \times 20 \times 45\) বর্গসেমি.
\(= \frac{19800}{7}\) বর্গসেমি.
\(= 2828\frac{4}{7}\) বর্গসেমি.
শঙ্কুর আয়তন \(= \frac{1}{3} \pi r^2 h\) ঘনসেমি.
\(= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (20)^2 \times 15\) ঘনসেমি.
\(= \frac{22 \times 20 \times 20 \times 5}{7}\) ঘনসেমি.
\(= 6285\frac{5}{7}\) ঘনসেমি.
উত্তর – শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(1571\frac{3}{7}\) বর্গ সেমি.। শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(2828\frac{4}{7}\) বর্গসেমি. এবং শঙ্কুটির আয়তন \(6285\frac{5}{7}\) ঘনসেমি.।
4. কোনো শঙ্কুর উচ্চতা এবং তির্যক উচ্চতা যথাক্রমে 6 সেমি ও 10 সেমি হলে, শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করি।
সমাধান –
শঙ্কুর উচ্চতা \((h) = 6\) সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা \((l) = 10\) সেমি.
ধরি, শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(r\) সেমি.।
∴ \(l^2 = h^2 + r^2\)
বা, \((10)^2 = (6)^2 + r^2\)
বা, \(100 = 36 + r^2\)
বা, \(r^2 = 100 – 36\)
বা, \(r^2 = 64\)
বা, \(r^2 = (8)^2\)
বা, \(r = 8\)
∴ শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(8\) সেমি.
শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r (r+l)\) বর্গ সেমি.
= \(\frac{22}{7} \times 8 \times (8 + 10)\) বর্গ সেমি.
= \(\frac{22}{7} \times 8 \times 18\) বর্গ সেমি.
= \(\frac{3168}{7}\) বর্গ সেমি.
= \(452\frac{4}{7}\) বর্গ সেমি.
শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\) ঘন সেমি.
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 8^2 \times 6\) ঘন সেমি.
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 64 \times 6\) ঘন সেমি.
= \(\frac{22 \times 64 \times 2}{7}\) ঘন সেমি.
= \(402\frac{2}{7}\) ঘন সেমি.
উত্তর – শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(452\frac{4}{7}\) বর্গ সেমি. এবং আয়তন \(402\frac{2}{7}\) ঘন সেমি.।
5. কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 100π ঘন সেমি. এবং উচ্চতা 12 সেমি হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ \(r\) সেমি.।
শঙ্কুর উচ্চতা \((h) = 12\) সেমি.
শঙ্কুর আয়তন = \(100\pi\) ঘন সেমি.
∴ \(\frac{1}{3} \pi r^2 h = 100\pi\)
বা, \(\frac{1}{3} \pi r^2 (12) = 100\pi\)
বা, \(4\pi r^2 = 100\pi\)
বা, \(4r^2 = 100\)
বা, \(r^2 = \frac{100}{4}\)
বা, \(r^2 = 25\)
বা, \(r^2 = (5)^2\)
বা, \(r = 5\)
∴ শঙ্কুর ব্যাসার্ধ \(5\) সেমি.
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা \(l\) হলে,
\(l^2 = h^2 + r^2\)বা, \(l^2 = (12)^2 + (5)^2\)
বা, \(l^2 = 144 + 25\)
বা, \(l^2 = 169\)
বা, \(l^2 = (13)^2\)
বা, \(l = 13\) [উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই]
উত্তর – শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা \(13\) সেমি.।
6. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুর ভূমির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 77 বর্গ মিটার হলে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে \(77\) বর্গ মিটার ত্রিপল লেগেছে।
অর্থাৎ তাঁবুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(77\) বর্গ মিটার।
তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা \((l) = 7\) মিটার।
ধরি, তাঁবুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(r\) মিটার।
শর্তানুসারে,
\(\pi r l = 77\)বা, \(\pi r l = 77\)
বা, \(\frac{22}{7} \times r \times 7 = 77\)
বা, \(22r = 77\)
বা, \(r = \frac{77}{22}\)
বা, \(r = \frac{7}{2}\)
বা, \(r = 3.5\)
∴ শঙ্কুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(3.5\) মিটার।
∴ শঙ্কুটির ভূমির ক্ষেত্রফল = \(\pi r^2\)
= \(\frac{22}{7} \times (3.5)^2\) বর্গ মি.
= \(\frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5\) বর্গ মি.
= \(22 \times 0.5 \times 3.5\) বর্গ মি.
= \(38.5\) বর্গ মি.
∴ তাঁবুটির ভূমির ক্ষেত্রফল \(38.5\) বর্গ মিটার।
উত্তর – তাঁবুটির ভূমির ক্ষেত্রফল \(38.5\) বর্গ সেমি।
7. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গমিটার 1.50 টাকা হিসেবে পার্শ্বতল রঙ করতে কত টাকা খরচ পড়বে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাস \(21\) মিটার এবং উচ্চতা \(14\) মিটার।
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ \((r) = \frac{21}{2}\) মিটার = \(10.5\) মিটার।
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা \((h) = 14\) মিটার
শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা \(l\) হলে,
\(l^2 = h^2 + r^2\)বা, \(l^2 = (14)^2 + \left(\frac{21}{2}\right)^2\)
বা, \(l^2 = 196 + \frac{441}{4}\)
বা, \(l^2 = \frac{784+441}{4}\)
বা, \(l^2 = \frac{1225}{4}\)
বা, \(l^2 = \left(\frac{35}{2}\right)^2\)
বা, \(l = \frac{35}{2}\)
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা \((l) = \frac{35}{2}\) মিটার
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r l\) বর্গ মিটার
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{35}{2}\) বর্গ মিটার
= \(577.50\) বর্গ মিটার
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতল \(1.50\) টাকা হিসাবে রঙ করতে খরচ হবে = \((577.50 \times 1.50)\) টাকা = \(866.25\) টাকা।
উত্তর – শঙ্কুটির পার্শ্বতল রঙ করতে খরচ হবে 866.25 টাকা।
8. একটি শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলার ভূমির ব্যাস 10 সেমি.। খেলারটির বক্রতলের প্রতি বর্গসেমি. 2.10[ টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ল। খেলারটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি। খেলারটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি কাঠ লেগেছে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলার ভূমির ব্যাস \(10\) সেমি.।
∴ নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলার ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \((r) = 10/2\) সেমি. = \(5\) সেমি.।
খেলারটির বক্রতলের প্রতি বর্গসেমি. \(2.10\) টাকা হিসাবে পালিশ করতে \(429\) টাকা খরচ পড়ে।
∴ খেলারটির বক্রতলের বা পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \(429/2.10\) বর্গ সেমি.।
ধরি, শঙ্কু আকৃতির খেলারটির তির্যক উচ্চতা \(l\) সেমি.।
∴ \(\pi r l = 429/2.10\)
বা, \(\frac{22}{7} \times 5 \times l = \frac{429}{2.10}\)
বা, \(l = \frac{429 \times 7}{2.10 \times 22 \times 5}\)
বা, \(l = \frac{429 \times 7 \times 100}{210 \times 22 \times 5}\)
বা, \(l = 13\)
∴ শঙ্কু আকৃতির খেলারটির তির্যক উচ্চতা \((l) = 13\) সেমি.।
\(l^2 = h^2 + r^2\)বা, \(h^2 = l^2 – r^2\)
বা, \(h^2 = (13)^2 – (5)^2\)
বা, \(h^2 = 169 – 25\)
বা, \(h^2 = 144\)
বা, \(h^2 = (12)^2\)
বা, \(h = 12\)
∴ শঙ্কু আকৃতির খেলারটির উচ্চতা \(12\) সেমি.।
∴ শঙ্কু আকৃতির খেলারটির আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\) ঘন সেমি.
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^2 \times 12\) ঘন সেমি.
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 12\) ঘন সেমি.
= \(\frac{2200}{7}\) ঘন সেমি.
= \(314\frac{2}{7}\) ঘন সেমি.।
উত্তর – শঙ্কু আকৃতির খেলারটির আয়তন \(314\frac{2}{7}\) ঘন সেমি.।
9. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাত্র তৈরি করতে \(75\frac{3}{7}\) বর্গমিটার লোহার পাত লেগেছে। বয়ামটির তির্যক উচ্চতা যদি \(5\) মিটার হয়, তবে বয়ামটিতে কত বায়ু আছে এবং বয়ামটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি। এই বয়ামটির চারপাশ রঙ করতে প্রতি বর্গ মিটার \(2.80\) টাকা হিসেবে কত খরচ পড়বে নির্ণয় করি। [লোহার পাত্রের বেধ হিসাবের মধ্যে ধরতে হবে না]
সমাধান –
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির বয়ামটির ব্যাসার্ধ \(r\) মিটার।
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির বয়ামটির তির্যক উচ্চতা \((l) = 5\) মিটার।
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির বয়ামটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r (r+l)\) বর্গ মিটার
= \(\pi r (r+5)\) বর্গ মিটার
∴ \(\pi r (r+5) = 75\frac{3}{7}\)
বা, \(\frac{22}{7} \times r (r+5) = \frac{528}{7}\)
বা, \(r (r+5) = \frac{528}{7} \times \frac{7}{22}\)
বা, \(r (r+5) = 24\)
বা, \(r^2 + 5r – 24 = 0\)
বা, \(r^2 + (8-3)r – 24 = 0\)
বা, \(r^2 + 8r – 3r – 24 = 0\)
বা, \(r (r+8) – 3 (r+8) = 0\)
বা, \((r+8) (r-3) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য
হয়, \((r+8) = 0\)
বা, \(r = -8\)
অথবা, \((r-3) = 0\)
বা, \(r = 3\)
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ ঋণাত্মক হতে পারে না
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(3\) মিটার।
∴ \(r = 3\)
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির বয়ামটির উচ্চতা \(h\) মিটার।
∴ \(l^2 = h^2 + r^2\)
বা, \(h^2 = l^2 – r^2\)
বা, \(h^2 = (5)^2 – (3)^2\)
বা, \(h^2 = 25-9\)
বা, \(h^2 = 16\)
বা, \(h^2 = (4)^2\)
বা, \(h = 4\) [উভয় পক্ষে বর্গমূল করে পাই]
∴ শঙ্কুর উচ্চতা \(4\) মিটার।
বয়ামটিতে বায়ুর পরিমাণ = বয়ামটির আয়তন
= \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\) ঘন মিটার
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3)^2 \times 4\) ঘন মিটার
= \(\frac{22 \times 3 \times 4}{7}\) ঘন মিটার
= \(\frac{264}{7}\) ঘন মিটার
= \(37\frac{5}{7}\) ঘন মিটার
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির বয়ামটিতে বায়ু পরিমাণ \(37\frac{5}{7}\) ঘন মিটার।
বয়ামটির চারপাশ প্রতি বর্গ মিটার \(2.80\) টাকা হিসাবে খরচ পড়বে
= \(75\frac{3}{7} \times 2.80\) টাকা
= \(\frac{528}{7} \times 2.80\) টাকা
= \(528 \times 0.40\) টাকা
= \(211.20\) টাকা
উত্তর – বয়ামটির চারপাশ রঙ করতে \(211.20\) টাকা খরচ হবে।
10. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গমিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়োজন হয়। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(r\) মিটার এবং উচ্চতা \(h\) মিটার। এখন, 1 জন লোকের জন্য ভূমিতে জায়গা লাগে 4 বর্গমিটার।
∴ 11 জন লোকের জন্য ভূমিতে জায়গা লাগে = \((4 \times 11)\) বর্গমিটার = 44 বর্গমিটার
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল 44 বর্গমিটার
∴ \(\pi r^2 = 44\) — (i)
আবার, 1 জন লোকের জন্য বাতাসের প্রয়োজন হয় 20 ঘন মিটার।
∴ 11 জন লোকের জন্য বাতাসের প্রয়োজন হয় \((11 \times 20)\) ঘনমিটার = 220 ঘনমিটার
∴ লম্ব বৃত্তাকার আকৃতির তাঁবুটির আয়তন = 220 ঘনমিটার
∴ \(\frac{1}{3} \pi r^2 h = 220\) — (ii)
এখন (ii) নং সমীকরণকে (i) নং সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই,
\(\frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h}{\pi r^2} = \frac{220}{44}\)বা, \(\frac{h}{3} = 5\)
বা, \(h = 15\)
উত্তর – 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা \(15\) মিটার।
11. খোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি.। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি. 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে। টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(21\) সেমি.।
∴ বাইরের দিকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \((r) = \frac{21}{2}\) সেমি.
টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি. \(10\) পয়সা হিসাবে \(57.75\) টাকা খরচ পড়ে।
∴ টোপরটির উপরিভাগের ক্ষেত্রফল = \(57.75 \times 100 / 10\) বর্গ সেমি. = \(577.5\) বর্গ সেমি.
ধরি, টোপরটির তির্যক উচ্চতা \(l\) সেমি.
আবার টোপরটির উপরিতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r l\) বর্গ সেমি.
∴ \(\pi r l = 577.5\)
বা, \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times l = 577.5\)
বা, \(33l = 577.5\)
বা, \(l = \frac{577.5}{33}\)
বা, \(l = 17.5\)
∴ টোপরটির তির্যক উচ্চতা \((l) = 17.5\) সেমি.
ধরি, টোপরটির উচ্চতা \(h\) সেমি.
\(l^2 = h^2 + r^2\)বা, \(h^2 = l^2 – r^2\)
বা, \(h^2 = (17.5)^2 – \left(\frac{21}{2}\right)^2\)
বা, \(h^2 = (17.5)^2 – (10.5)^2\)
বা, \(h^2 = (17.5 + 10.5)(17.5 – 10.5)\)
[ \(a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)\)]
বা, \(h^2 = 28 \times 7\)
বা, \(h^2 = 156\)
বা, \(h^2 = (14)^2\)
বা, \(h = 14\) [উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই]
উত্তর – টোপরটির উচ্চতা \(14\) সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা \(17.5\) সেমি.
12. একটি গমের স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারের আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(9\) মিটার এবং উচ্চতা \(3.5\) মিটার। মোট গমের আয়তন নির্ণয় করি। গমের ওই স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গমিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে হিসাব করে দেখি। [ধরি, \(\pi = 3.14\), \(\sqrt{130} = 11.4\)]
সমাধান –
একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারের আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(9\) মিটার।
∴ ব্যাসার্ধ (\(r\)) \(= 9/2\) মিটার \(= 4.5\) মিটার এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির গমের স্তূপের উচ্চতা (\(h\)) \(= 3.5\) মিটার।
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির গমের স্তূপের আয়তন \(= \frac{1}{3} \pi r^2 h\) ঘন মিটার
\(= \frac{1}{3} \times 3.14 \times (4.5)^2 \times 3.5\) ঘন মিটার
\(= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 4.5 \times 4.5 \times 3.5\) ঘন মিটার
\(= 74.18\) ঘন মিটার
ধরি, গমের স্তূপের তির্যক উচ্চতা \(l\) মিটার।
বা, \(l^2 = h^2 + r^2\)
বা, \(l^2 = (3.5)^2 + (4.5)^2\)
বা, \(l^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{9}{2}\right)^2\)
বা, \(l^2 = \frac{49}{4} + \frac{81}{4}\)
বা, \(l^2 = \frac{130}{4}\)
বা, \(l = \sqrt{\frac{130}{4}}\)
বা, \(l = \frac{\sqrt{130}}{2}\)
বা, \(l = \frac{11.4}{2}\)
বা, \(l = 5.7\)
∴ গমের স্তূপের তির্যক উচ্চতা \(= 5.7\) মিটার।
গমের স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে যে পরিমাণ প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে তা হল, \(= \pi r l\) বর্গ মিটার (লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির গমের স্তূপের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল)
\(= 3.14 \times 4.5 \times 5.7\) বর্গ মিটার
\(= 80.54\) বর্গ মিটার (প্রায়)
উত্তর – লম্ব বৃত্তাকার গমের স্তূপ প্লাস্টিক দিয়ে ঢাকতে যে প্লাস্টিকের প্রয়োজন হবে তার পরিমাণ \(80.54\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
13.অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 15 সেমি. এবং ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি. হলে শঙ্কুটির পার্শ্ব তলের ক্ষেত্রফল
(a) 60π বর্গ সেমি.
(b) 68π বর্গ সেমি.
(c ) 120π বর্গ সেমি.
(d ) 130π বর্গ সেমি.
উত্তর – (c) \(120\pi\) বর্গ সেমি.
সমাধান –
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাস = 16 সেমি
\(\therefore\) ব্যাসার্ধ (r) = \(\frac{16}{2}\) সেমি. = 8 সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা (l) = 15 সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi rl\) বর্গসেমি.
= \(\pi \times 8 \times 15\) বর্গসেমি.
= \(120\pi\) বর্গসেমি.
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1:4 এবং তাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4:5 হলে, তাদের উচ্চতার অনুপাত
(a) 1:5
(b) 5:4
(c) 25:16
(d ) 25:64
উত্তর – (d ) 25:64
সমাধান –
ধরি, শঙ্কু দুটির ভূমির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \(r_1\) একক এবং \(r_2\) একক এবং শঙ্কু দুটির উচ্চতা যথাক্রমে \(h_1\) একক এবং \(h_2\) একক এবং শঙ্কু দুটির আয়তন যথাক্রমে \(V_1\) ঘন একক ও \(V_2\) ঘন একক
\(\therefore r_1 : r_2 = 4:5\)এবং, \(V_1 : V_2 = 1:4\)
\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{4}\)বা, \(\frac{\frac{1}{3}\pi (r_1)^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi (r_2)^2 h_2} = \frac{1}{4}\)
বা, \( \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{4}\)
বা, \( \left(\frac{4}{5}\right)^2 \times \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{4}\)
বা, \( \frac{16}{25} \times \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{4}\)
বা, \( \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{4} \times \frac{25}{16}\)
বা, \( \frac{h_1}{h_2} = \frac{25}{64}\)
বা, \(\therefore h_1 : h_2 = 25:64\)
(iii) একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুণ করলে, শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি পায়
(a) 100%
(b) 200%
(c) 300%
(d) 400%
উত্তর – (a) 100%
সমাধান –
ধরি, শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) একক এবং উচ্চতা \(h\) একক।
\(\therefore\) শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r^2h\) ঘন-একক
আবার, শঙ্কুর উচ্চতা দ্বিগুণ করলে শঙ্কুর আয়তন হবে,
= \(\frac{1}{3}\pi r^2(2h)\) ঘন-একক
= \(\frac{2}{3}\pi r^2h\) ঘন-একক
\(\therefore\) শঙ্কুর আয়তন শতকরা বৃদ্ধি পাবে
== \(\frac{\frac{2}{3}\pi r^2h – \frac{1}{3}\pi r^2h}{\frac{1}{3}\pi r^2h} \times 100\%\)
= \(\frac{\frac{1}{3}\pi r^2h}{\frac{1}{3}\pi r^2h} \times 100\%\)
= 100%
(iv) একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হলে, শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের
(a) 3 গুণ
(b) 4 গুণ
(c) 6 গুণ
(d) 8 গুণ
উত্তর – (d) 8 গুণ
সমাধান –
ধরি, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
\(\therefore\) শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) ঘনএকক
আবার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হলে পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ হবে 2r একক এবং পরিবর্তিত উচ্চতা হবে 2h একক
এখন শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\times\pi\times(2r)^2\times(2h)\) ঘনএকক
= \(8\times\frac{1}{3}\pi r^2 h\) ঘনএকক
\(\therefore\) শঙ্কুর আয়তন পূর্বের শঙ্কুর তুলনায় ৪ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
(v) একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{r}{2}\) একক এবং তির্যক উচ্চতা \(2l\) একক হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
(a) \(2\pi r(l+r)\) বর্গ একক
(b) \(\pi r(l+\frac{r}{4})\) বর্গ একক
(c) \(\pi r(l+r)\) বর্গ একক
(d) \(2\pi r l\) বর্গ একক
উত্তর – (b) \(\pi r(l+\frac{r}{4})\) বর্গ একক
সমাধান –
একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{r}{2}\) একক এবং তির্যক উচ্চতা \(2l\) একক হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi\times\frac{r}{2}\left(\frac{r}{2}+2l\right)\) বর্গ একক
= \(2\pi\frac{r}{2}\left(l+\frac{r}{4}\right)\) বর্গ একক
= \(\pi r\left(l+\frac{r}{4}\right)\) বর্গ একক
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে।
উত্তর – মিথ্যা।
সমাধান –
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
\(\therefore\) লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) ঘন একক
আবার, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ অর্ধেক অর্থাৎ \(\frac{r}{2}\) একক হলে এবং উচ্চতা দ্বিগুণ অর্থাৎ \(2h\) হলে পরিবর্তিত শঙ্কুটির আয়তন
= \(\frac{1}{3}\times\pi\times(\frac{r}{2})^2\times(2h)\) ঘন একক
= \(\frac{1}{3}\times\pi\times\frac{r^2}{4}\times(2h)\) ঘন একক
= \(\frac{1}{2}(\frac{1}{3}\pi r^2 h)\) ঘন একক।
অর্থাৎ শঙ্কুর আয়তন পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের অর্ধেক হয়।
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16|Koshe Dekhi 16 Class 10 কষে দেখি ১৬ ক্লাস ১০
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।
উত্তর – সত্য।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি
(i) ABC সমকোণী ত্রিভুজের \(AC\) অতিভুজ। \(AB\) বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটির একবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু উৎপন্ন হয় তার ব্যাসার্ধ ____।
উত্তর – \(BC\)
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন \(V\) ঘন একক এবং ভূমির ক্ষেত্রফল \(A\) বর্গ একক হলে, উচ্চতা ____।
উত্তর – \(\frac{3V}{A}\)
সমাধান –
শঙ্কুর আয়তন (\(V\)) = \(\frac{1}{3}\times\) ভূমির ক্ষেত্রফল \(\times\) উচ্চতা = \(\frac{1}{3}\times A \times h\)
বা, \(V = \frac{1}{3} \times A \times h\)
বা, \(h = \frac{3V}{A}\)
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং তাদের উচ্চতা সমান। তাদের আয়তনের অনুপাত _____।
উত্তর – \(3:1\)
সমাধান –
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ \(r\) একক এবং উচ্চতা \(h\) একক।
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন = \(\pi r^2 h\) ঘন একক
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) ঘন একক
\(\therefore\) এদের আয়তনের অনুপাত = \(\pi r^2 h : \frac{1}{3}\pi r^2 h = 1: \frac{1}{3} = 3:1\)
14. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা \(12\) সেমি. এবং আয়তন \(100\pi\) ঘন সেমি.। শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান –
ধরি, শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = \(r\) সেমি.
শঙ্কুটির উচ্চতা (\(h\)) = \(12\) সেমি.
শঙ্কুটির আয়তন = \(100\pi\) ঘন সেমি.
\(\therefore 100\pi = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)বা, \(300\pi = \pi r^2 (12)\)
বা, \(r^2 = \frac{300}{12}\)
বা, \(r^2 = 25\)
বা, \(r = \sqrt{25}\)
বা, \(r = 5\)
\(\therefore\) শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \(5\) সেমি.।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্ব তলের ক্ষেত্রফল ভূমির ক্ষেত্রফল \(\sqrt{5}\) গুণ। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধান –
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ \(r\) একক, উচ্চতা \(h\) একক এবং তির্যক উচ্চতা \(l\) একক।
\(\therefore\) লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r l\) বর্গ একক এবং ভূমির ক্ষেত্রফল
\(\pi r^2\) বর্গ একক।
শর্তানুসারে,
\(\pi r l = \sqrt{5} \times \pi r^2\)বা, \(l = \sqrt{5} r\)
আমরা জানি, একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ক্ষেত্রে \(l^2 = h^2 + r^2\)।
\(l^2 = (\sqrt{5}r)^2\)\(l^2 = 5r^2\)এখন, \(h^2 + r^2 = 5r^2\)
বা, \(h^2 = 5r^2 – r^2\)
বা, \(h^2 = 4r^2\)
বা, \(\frac{h^2}{r^2} = 4\)
বা, \(\frac{h}{r} = 2\)
বা, \(h:r = 2:1\)
\(\therefore\) শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের অনুপাত \(2:1\)।
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক, ভূমির ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং উচ্চতা H একক হলে, \(\frac{AH}{V}\)-এর মান কত তা লিখি।
সমাধান –
আমরা জানি, শঙ্কুর আয়তন (V) = \(\frac{1}{3}\times\) ভূমির ক্ষেত্রফল \(\times\) উচ্চতা
বা, \(V = \frac{1}{3} \times A \times H\)
বা, \(3V = A \times H\)
বা, \(\frac{AH}{V} = 3\)
সুতরাং, \(\frac{AH}{V}\)-এর মান \(3\)।
(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন ও পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। শঙ্কুটির উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে h একক ও r একক হলে, \((\frac{1}{h^2}+\frac{1}{r^2})\)-এর মান কত?
সমাধান –
শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\)
শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r l\) (যেখানে \(l\) হল তির্যক উচ্চতা)
শর্তানুসারে, শঙ্কুর আয়তন ও পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান।
\(\frac{1}{3}\pi r^2 h = \pi r l\)\(\frac{1}{3}rh = l\)\(rh = 3l\)উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই,
\((rh)^2 = (3l)^2\)\(r^2 h^2 = 9l^2\)আমরা জানি, একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ক্ষেত্রে \(l^2 = r^2 + h^2\)।
\(r^2 h^2 = 9(r^2 + h^2)\)\(r^2 h^2 = 9r^2 + 9h^2\)উভয় পক্ষকে \(9r^2h^2\) দিয়ে ভাগ করে পাই,
\(\frac{r^2h^2}{9r^2h^2} = \frac{9r^2}{9r^2h^2} + \frac{9h^2}{9r^2h^2}\)\(\frac{1}{9} = \frac{1}{h^2} + \frac{1}{r^2}\)সুতরাং, \((\frac{1}{h^2}+\frac{1}{r^2})\)-এর মান \(\frac{1}{9}\)।
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত \(3:4\) এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত \(2:3\), চোঙ ও শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধান –
ধরি, চোঙের ব্যাসার্ধ \(r_1\) এবং উচ্চতা \(h_1\)।
শঙ্কুর ব্যাসার্ধ \(r_2\) এবং উচ্চতা \(h_2\)।
প্রশ্নানুসারে, ব্যাসার্ধের অনুপাত \(r_1:r_2 = 3:4\)
উচ্চতার অনুপাত \(h_1:h_2 = 2:3\)
চোঙের আয়তন = \(\pi r_1^2 h_1\)
শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2\)
চোঙ ও শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত = \(\frac{\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2}\)
= \(3 \times \frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2}\)
= \(3 \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)\)
= \(3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)\)
= \(3 \times \frac{9}{16} \times \frac{2}{3}\)
= \(\frac{9 \times 2}{16}\)
= \(\frac{18}{16} = \frac{9}{8}\)
সুতরাং, চোঙ ও শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত হল \(9:8\)।
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের ষোড়শ অধ্যায়, ‘লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু’ -এর ‘কষে দেখি – 16’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন