এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের উনবিংশ অধ্যায়, ‘বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা’ -এর ‘কষে দেখি – 19’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
1. আমোদদের বাড়ির সামনে একটি নিরেট লোহার স্তম্ভ আছে যার নীচের অংশ লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতির এবং উপরের অংশ শঙ্কু আকৃতির। এদের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি.। চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা 2.8 মিটার এবং শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি.। 1 ঘন সেমি. লোহার ওজন 7.5 গ্রাম হলে, লোহার স্তম্ভের ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
শঙ্কু এবং চোঙ উভয়েরই ভূমির ব্যাস \(20\) সেমি.।
∴ শঙ্কু এবং চোঙ উভয়েরই ব্যাসার্ধ \((r) = \frac{20}{2}\) সেমি.= \(10\) সেমি.।
চোঙের উচ্চতা \((h_1) = 2.8\) মিটার = \(280\) সেমি.
শঙ্কুর উচ্চতা \((h_2) = 42\) সেমি.
এখন নিরেট লোহার স্তম্ভের আয়তন
= চোঙাকৃতি অংশের আয়তন + শঙ্কু আকৃতি অংশের আয়তন
= \((\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2)\) ঘন সেমি.
= \(\left\{ \frac{22}{7} \times (10)^2 \times 280 + \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (10)^2 \times 42 \right\}\) ঘন সেমি.
= \((22 \times 100 \times 40 + 22 \times 100 \times 2)\) ঘন সেমি.
= \((88000 + 4400)\) ঘন সেমি.
= \(92400\) ঘন সেমি.
এখন, \(1\) ঘন সেমি. লোহার ওজন \(7.5\) গ্রাম
∴ \(92400\) ঘন সেমি লোহার ওজন \((92400 \times 7.5)\) গ্রাম = \(693000\) গ্রাম= \(693\) কিলোগ্রাম
∴ লোহার স্তম্ভের মোট ওজন \(693\) কিলোগ্রাম।
2. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি.। শঙ্কুটির সমান আয়তন বিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 15 সেমি. হলে, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা \((h_1) =20\) সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা \((l) = 25\) সেমি.।
ধরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ \(r_1\) সেমি.
∴ \(l^2 = (h_1)^2 + (r_1)^2\)
বা, \((25)^2 = (20)^2 + (r_1)^2\)
বা, \(r_1^2 = (25)^2 – (20)^2\)
বা, \(r_1^2 = 625 – 400\)
বা, \(r_1^2 = 225\)
বা, \((r_1)^2 = (15)^2\)
বা, \(r_1 = 15\)
∴ শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ \(15\) সেমি.।
∴ শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3} \times \pi \times (r_1)^2 \times h_1\) ঘন সেমি. = \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (15)^2 \times 20\) ঘন সেমি
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা \((h_2) = 15\) সেমি.
ধরি, চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ \(r_2\) সেমি.।
∴ চোঙের আয়তন = \(\pi (r_2)^2 h_2\) ঘন সেমি. = \(\frac{22}{7} \times (r_2)^2 \times 15\) ঘন সেমি.
শর্তানুসারে,
\(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (15)^2 \times 20 = \frac{22}{7} \times (r_2)^2 \times 15\)বা, \((r_2)^2 = \frac{15 \times 15 \times 20}{3 \times 15}\) [ উভয়পক্ষকে \(\frac{22}{7}\) দ্বারা ভাগ করে পাই ]
বা, \((r_2)^2 = 100\)
বা, \(r_2 = 10\) [ উৎপাদকে বর্গমূল করে পাই ]
বা, \(2 r_2 = 20\)
∴ চোঙটির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(20\) সেমি.।
3. 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাস বিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে। 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাস ও 4 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরো ওই জলে সম্পূর্ণ ভাবে নিমজ্জিত করলে, জলতলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
চোঙাকৃতি পাত্রের ভূমিতলের ব্যাস \(24\) সেমি.
∴ ব্যাসার্ধ (\(r_1\)) = \(24/2\) সেমি. = \(12\) সেমি.
নিরেট শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস \(6\) সেমি.
∴ নিরেট শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ (\(r_2\)) = \(6/2\) সেমি. = \(3\) সেমি.
নিরেট শঙ্কুর উচ্চতা (\(h\)) = \(4\) সেমি.
ধরি, \(60\)টি নিরেট শঙ্কু, চোঙাকৃতি পাত্রের জলে নিমজ্জিত করলে, জলতল \(x\) সেমি. বৃদ্ধি পাবে।
∴ \(x\) সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট জলস্তম্ভের আয়তন = \(60\) টি নিরেট শঙ্কুর আয়তন
∴ \(\pi(r_1)^2x = 60 \times \frac{1}{3} \pi(r_2)^2 h\)
বা, \((12)^2 \times x = 20 \times (3)^2 \times 4\) [ উভয় পক্ষে \(\pi\) দ্বারা ভাগ করে পাই ]
বা, \(144x = 720\)
বা, \(x = \frac{720}{144}\)
বা, \(x = 5\)
∴ চোঙাকৃতি পাত্রের জলতল \(5\) সেমি. বৃদ্ধি পাবে।
4. একই দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5:8 হলে, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, নিরেট শঙ্কু ও নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা যথাক্রমে \(r\) একক এবং \(h\) একক।
ধরি, নিরেট শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা \(l\) একক।
∴ \(l^2 = h^2+r^2\)
এখন, নিরেট শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল = \(\pi r l\) বর্গ একক এবং নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(2\pi rh\) বর্গ একক।
শর্তানুসারে,
\(\pi r l : 2\pi rh = 5:8\)বা, \(\frac{\pi r l}{2\pi rh} = \frac{5}{8}\)
বা, \(\frac{l}{2h} = \frac{5}{8}\)
বা, \(\frac{l^2}{4h^2} = \frac{25}{64}\) [ উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ]
বা, \(\frac{h^2+r^2}{4h^2} = \frac{25}{64}\)
বা, \(64h^2+64r^2= 100h^2\)
বা, \(64r^2 = 100h^2-64h^2\)
বা, \(64r^2=36h^2\)
বা, \(\frac{r^2}{h^2} = \frac{36}{64}\)
বা, \((\frac{r}{h})^2 = \frac{9}{16}\)
বা, \((\frac{r}{h})^2 = (\frac{3}{4})^2\)
বা, \(\frac{r}{h} = \frac{3}{4}\) [ উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই ]
বা, \(r:h = 3:4\)
∴ উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার অনুপাত \(3:4\)।
5. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ \((r_1) = 8\) সেমি.
ছোট গুলির ব্যাস = \(1\) সেমি.
∴ ছোট গুলির ব্যাসার্ধ \((r_2) =1/2\) সেমি.
ধরি, \(8\) সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের নিরেট গোলককে গলিয়ে \(x\) টি \(1\) সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের গোলক পাওয়া যাবে, ∴ \(8\) সেমি ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলকের আয়তন = \(x\) টি \(1\) সেমি ব্যাসের নিরেট গোলকের আয়তন।
∴ \(\frac{4}{3} \pi(r_1)^3 = x \times \frac{4}{3} \pi(r_2)^3\)
বা, \(\frac{4}{3} \pi(8)^3 = x \times \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{2})^3\) [উভয়পক্ষকে \(\frac{4}{3} \pi\) দ্বারা ভাগ করে পাই]
বা, \(512 = x \times (\frac{1}{2})^3\)
বা, \(512 = x \times \frac{1}{8}\)
বা, \(x = 4096\)
∴ \(8\) সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে \(1\) সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের \(4096\) টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে।
6. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দণ্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি. এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি.। দণ্ডটি গলিয়ে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট কতগুলি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দণ্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \((r) =32\) সেমি. এবং দৈর্ঘ্য বা উচ্চতা \((h)=35\) সেমি.
নিরেট শঙ্কুর উচ্চতা \((h_1) = 28\) সেমি. এবং ব্যাসার্ধ \((r_1) = 8\) সেমি.
ধরি, এই লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি লোহার দণ্ড গলিয়ে \(x\) টি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে, সুতরাং, লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের আয়তন = \(x\) টি নিরেট শঙ্কুর আয়তন
∴ \(\pi r^2 h = x \times \frac{1}{3} \pi(r_1)^2 h_1\)
বা, \(\pi \times (32)^2 \times 35 = \frac{x}{3} \times \pi \times (8)^2 \times 28\)
বা, \(32 \times 32 \times 35 = \frac{x \times 64 \times 28}{3}\)
বা, \(x = \frac{32 \times 32 \times 35 \times 3}{64 \times 28}\)
বা, \(x = 60\)
∴ \(60\) টি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে।
7. 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(4.2\) ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = \(4.2\) ডেসিমি.,
∴ শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ \((r) = (4.2/2)\) ডেসিমি. = \(2.1\) ডেসিমি.।
আবার, শঙ্কুর উচ্চতা, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে সমান
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা \((h) = 4.2\) ডেসিমি.
∴ শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\) ঘন ডেসিমি.
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^2 \times 4.2\) ঘন ডেসিমি.
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 4.2\) ঘন ডেসিমি.
= \(22 \times 0.1 \times 2.1 \times 4.2\) ঘন ডেসিমি.
= \(19.404\) ঘন ডেসিমি.
= \(19404\) ঘনসেমি. [∵\(1\)ঘনডেসিমি.=\(1000\) ঘনসেমি.]
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন \(19404\) ঘনসেমি.।
8. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ও তাদের ঘনফলও সমান হলে, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান।
∴ ধরাযাক, নিরেট গোলক এবং লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) একক এবং লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা \(h\) একক।
আবার তাদের ঘনফলও সমান,
∴ \(\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 h\)
বা, \(\frac{4r}{3} = h\) [ উভয়পক্ষে \(\pi r^2\) দ্বারা ভাগ করে পাই]
বা, \(\frac{r}{h} = \frac{3}{4}\)
∴ \(r:h=3:4\)
∴ চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত \(3:4\)।
9. 6.6 ডেসিমি দীর্ঘ, 4.2 ডেসিমি প্রশস্ত এবং 1.4 ডেসিমি. পুরু একটি তামার আয়তঘনাকার টুকরো গলিয়ে 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে কত ঘন ডেসিমি. ধাতু থাকবে হিসাব করে দেখি।
সমাধান –
তামার আয়তঘনাকার টুকরোর দৈর্ঘ্য = \(6.6\) ডেসিমি., প্রস্থ = \(4.2\) ডেসিমি. এবং উচ্চতা = \(1.4\) ডেসিমি.।
∴ আয়তঘনাকার টুকরোর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = \((6.6 \times 4.2 \times 1.4)\) ঘন ডেসিমি.
নিরেট গোলকের ব্যাস = \(2.1\) ডেসিমি.
∴ ব্যাসার্ধ \((r) = \frac{2.1}{2}\) ডেসিমি.
ধরি, আয়তঘনাকার টুকরো গলিয়ে \(x\) টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে, ∴ আয়তঘনাকার টুকরোর আয়তন = \(x\) টি নিরেট গোলকের আয়তন
∴ \((6.6 \times 4.2 \times 1.4) = x \times \frac{4}{3} \pi r^3\)
বা, \((6.6 \times 4.2 \times 1.4) = x \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{2.1}{2}\right)^3\)
বা, \((6.6 \times 4.2 \times 1.4) = x \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{2.1}{2} \times \frac{2.1}{2} \times \frac{2.1}{2}\)
বা, \((6.6 \times 4.2 \times 1.4) = x \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20}\)
বা, \(x = \frac{6.6 \times 4.2 \times 1.4 \times 3 \times 7 \times 20 \times 20 \times 20}{4 \times 22 \times 21 \times 21 \times 21}\)
বা, \(x = \frac{66 \times 42 \times 14 \times 3 \times 7 \times 20 \times 20 \times 20}{4 \times 22 \times 21 \times 21 \times 21 \times 10 \times 10 \times 10}\)
বা, \(x = 8\)
∴ \(8\)টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে।
আবার, প্রতি গোলকে ধাতুর পরিমাণ = \(\frac{4}{3} \pi r^3\) ঘন ডেসিমি.
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{2.1}{2}\right)^3\) ঘন ডেসিমি.
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{2.1}{2} \times \frac{2.1}{2} \times \frac{2.1}{2}\) ঘন ডেসিমি.
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20}\) ঘন ডেসিমি.
= \(4.851\) ঘন ডেসিমি.
প্রতি গোলকে ধাতুর পরিমাণ = \(\frac{6.6 \times 4.2 \times 1.4}{8}\) ঘন ডেসিমি.
= \(\frac{38.808}{8}\) ঘন ডেসিমি.
= \(4.851\) ঘন ডেসিমি.
10. 4.2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি সোনার নিরেট গোলক পিটিয়ে 2.8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান –
সোনার নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \((r_1) = 4.2\) সেমি.
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের ব্যাস = \(2.8\) সেমি.
∴ নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের ব্যাসার্ধ \((r_2) = \frac{2.8}{2}\) সেমি. = \(1.4\) সেমি.
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের দৈর্ঘ্য \(h\) সেমি.
যেহেতু নিরেট সোনার গোলক পিটিয়ে, একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি দণ্ড তৈরি করা হয়েছে, সুতরাং তাদের আয়তন সমান।
∴ এই শর্তানুসারে,
\(\pi (r_2)^2 h = \frac{4}{3} \pi (r_1)^3\)বা, \(\pi (1.4)^2 h = \frac{4}{3} \pi (4.2)^3\)
বা, \(h = \frac{4 \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2}{3 \times 1.4 \times 1.4}\)
বা, \(h = \frac{4 \times 42 \times 42 \times 42 \times 10 \times 10}{3 \times 14 \times 14 \times 10 \times 10 \times 10}\)
বা, \(h = 50.4\)
∴ লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের দৈর্ঘ্য \(50.4\) সেমি.।
11. 6 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট রৌপ্য গোলক গলিয়ে 1 ডেসিমি. লম্বা একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
রৌপ্য গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(6\) ডেসিমি.
∴ রৌপ্য গোলকের ব্যাসার্ধ \((r) = \frac{6}{2}\) ডেসিমি. = \(3\) ডেসিমি.
লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের উচ্চতা \((h) = 1\) ডেসিমি.
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার নিরেট দণ্ডের ব্যাসার্ধ \(x\) ডেসিমি.
যেহেতু, রৌপ্য গোলক গলিয়ে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটি তৈরি হয়েছে, সুতরাং তাদের আয়তন সমান।
∴ \(\pi x^2 h = \frac{4}{3} \pi r^3\)
বা, \(\pi \times x^2 \times 1 = \frac{4}{3} \times \pi \times (3)^3\)
বা, \(x^2 = 36\) [ উভয়পক্ষে \(\pi\) দ্বারা ভাগ করে পাই ]
বা, \(x^2 = (6)^2\)
বা, \(x = 6\)
সুতরাং লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(12\) ডেসিমি.।
12. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি.। সেই দণ্ডটি গলিয়ে 21 টি নিরেট গোলক তৈরি করা হল। গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যদি 8 সেমি. হয়, তবে দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \((r) = 3.2\) ডেসিমি. = \(32\) সেমি.
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ \((r_1) = 8\) সেমি.
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের দৈর্ঘ্য \(h\) সেমি.
যেহেতু, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড গলিয়ে \(21\) টি নিরেট গোলক তৈরি করা হল, অর্থাৎ নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের আয়তন = \(21\) টি নিরেট গোলকের আয়তন,
∴ \(\pi (32)^2 h = 21 \times \frac{4}{3} \pi (8)^3\)
বা, \(h \times 32 \times 32 = \frac{21 \times 4 \times 8 \times 8 \times 8}{3}\)
বা, \(h = \frac{21 \times 4 \times 8 \times 8 \times 8}{3 \times 32 \times 32}\)
বা, \(h = 14\)
∴ দণ্ডটির দৈর্ঘ্য \(14\) সেমি.।
13. 21 ডেসিমি. দীর্ঘ, 11 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চা অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। এখন সেই চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি. ব্যাসের 100টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দেওয়া হয়, তবে জলতল কতটা উপরে উঠবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(21\) ডেসিমি. দীর্ঘ, \(11\) ডেসিমি. প্রশস্ত এবং \(6\) ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চায় \(21\) সেমি. ব্যাসের \(100\) টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দিলে জলতল \(h\) সেমি. উঠবে।
লোহার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(21\) সেমি.
∴ লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ \((r) = \frac{21}{2}\) সেমি. \(= \frac{21}{20}\) ডেসিমি.
এখন, \(h\) উচ্চতার জলস্তম্ভের আয়তন \(= 100\) টি লোহার গোলকের আয়তন,
∴ \(21 \times 11 \times h = 100 \times \frac{4}{3}\pi\left(\frac{21}{20}\right)^3\)
বা, \(21 \times 11 \times h = 100 \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20}\)
বা, \(h = 100 \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{1}{21} \times \frac{1}{11}\)
বা, \(h = 2.1\) ডেসিমি.
∴ চৌবাচ্চার জলতল \(2.1\) ডেসিমি. উপরে উঠবে।
14. সমান ভূমীতলের ব্যাস এবং সমান উচ্চতা বিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু, একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর।
সমাধান –
যেহেতু, প্রদত্ত ঘনবস্তু গুলির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যও সমান হবে।
ধরি, নিরেট শঙ্কু, নিরেট অর্ধ গোলক এবং নিরেট চোঙের প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধ \(r\) একক।
এখন,নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = উচ্চতা = \(r\)
∴ নিরেট শঙ্কু ও নিরেট চোঙের উচ্চতা \(r\) একক।
∴ নিরেট শঙ্কুর আয়তন \(= \frac{1}{3}\pi r^2 h\) ঘন একক \(= \frac{1}{3}\pi r^3\) ঘন একক
এবং নিরেট চোঙের আয়তন \(= \pi r^2 h\) ঘন একক \(= \pi r^3\) ঘন একক
এবং নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন \(= \frac{2}{3}\pi r^3\) ঘন একক
∴ নিরেট শঙ্কু, নিরেট অর্ধগোলক এবং নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত \(= \frac{1}{3}\pi r^3 : \frac{2}{3}\pi r^3 : \pi r^3 = \frac{1}{3} : \frac{2}{3} : 1 = 1:2:3\)
15. 1 সেমি. পুরু সিসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.। গোলকটি গলিয়ে 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ফাঁপা গোলকের বাইরের ব্যাসার্ধ \((r_2) = 6\) সেমি.
গোলকটি \(1\) সেমি পুরু অর্থাৎ গোলকটির অন্তর্ব্যাসার্ধ \((r_1) = (6-1)\) সেমি. \(=5\) সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের ব্যাসার্ধ \((r) = 2\) সেমি.
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের উচ্চতা \(h\) সেমি.
যেহেতু, ফাঁপা গোলককে গলিয়ে লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হয়েছে সুতরাং ফাঁপা গোলকের আয়তন এবং নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের আয়তন সমান,
∴ \(\pi r^2 h = \frac{4}{3}\pi \left\{ (r_2)^3 – (r_1)^3 \right\}\)
বা, \(\pi (2)^2 h = \frac{4}{3}\pi \left\{ (6)^3 – (5)^3 \right\}\)
বা, \(4h = \frac{4}{3}(216 – 125)\)
বা, \(h = \frac{91}{3}\)
বা, \(h = 30 \frac{1}{3}\)
∴ নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের দৈর্ঘ্য \((30 \frac{1}{3})\) সেমি।
16. 2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগএর প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি.। সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে ওই লগটিকে যদি একটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়িতে পরিণত করা যায়, তবে তাতে কত ঘন মিটার কাঠ থাকবে এবং কত ঘনমিটার কাঠ নষ্ট হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
কাঠের লগএর দৈর্ঘ্য \((h) = 2\) মিটার
কাঠের লগএর প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(14\) ডেসিমি. \(= 1.4\) মিটার।
∴ আয়তঘনাকার কাঠের লগএর আয়তন \(=\) (প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল \(\times\) দৈর্ঘ্য (বা উচ্চতা)) \(= \left\{ (1.4 \times 1.4) \times 2 \right\}\) ঘন মিটার \(= 3.92\) ঘন মিটার।
এখন সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে কাঠের লগটিকে যদি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়িতে পরিণত করা যায় সেক্ষেত্রে লগএর প্রস্থচ্ছেদ অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য হবে গুঁড়ির ব্যাস, আবার লগএর দৈর্ঘ্য এবং লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির দৈর্ঘ্য সমান।
∴ গুঁড়ির ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(= 1.4\) মিটার।
∴ গুঁড়ির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \((r) = \frac{1.4}{2}\) মিটার \(= 0.7\) মিটার
এবং লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির দৈর্ঘ্য \((h) = 2\) মিটার।
∴ লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির আয়তন
\(= \pi r^2 h\) ঘন মিটার
\(= \pi \times 0.7 \times 0.7 \times 2\) ঘন মিটার
\(= \frac{22}{7} \times \frac{7}{10} \times \frac{7}{10} \times 2\) ঘন মিটার
\(= 3.08\) ঘন মিটার
∴ নষ্ট হওয়া কাঠের পরিমাণ = লগএর আয়তন – লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির আয়তন \(= (3.92 – 3.08)\) ঘন মিটার \(= 0.84\) ঘন মিটার।
17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তর ধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) r একক দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে r একক উচ্চতার একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হল। শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
(a) 2r একক
(b) 3r একক
(c) r একক
(d) 4r একক
Ans: (a) 2r একক
সমাধান –
ধরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(x\) একক।
যেহেতু, নিরেট গোলককে গলিয়ে শঙ্কুটি তৈরি করা হয়েছে সুতরাং তাদের আয়তন সমান।
∴ \(\frac{1}{3} \pi x^2 h = \frac{4}{3} \pi r^3\)
বা, \(\frac{1}{3} \pi x^2 r = \frac{4}{3} \pi r^3\) [যেহেতু, শঙ্কুর উচ্চতা (\(h\)) = \(r\) একক]
বা, \(x^2 = 4r^2\)
বা, \(x^2 = (2r)^2\)
বা, \(x = 2r\)
∴ শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(2r\) একক।
(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল যার উচ্চতা 5 সেমি.। শঙ্কুটির উচ্চতা
(a) 10 সেমি.
(b) 15 সেমি.
(c) 18 সেমি.
(d) 24 সেমি.
Ans: (b) 15 সেমি.
সমাধান –
ধরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ উভয়েরই ব্যাসার্ধ \(r\) সেমি. এবং শঙ্কুর উচ্চতা \(h\) সেমি.। যেহেতু, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল সুতরাং তাদের আয়তন সমান।
∴ \(\frac{1}{3}\pi r^2 h = \pi r^2 (5)\)
বা, \(\frac{h}{3} = 5\)
বা, \(h = 15\)
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা 15 সেমি.।
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক। চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য
(a) r একক
(b) 2r একক
(c ) r/2 একক
(d ) 4r একক
Ans: (b) 2r একক
সমাধান –
একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক।
∴ চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের সঙ্গে বা চোঙের উচ্চতার সাথে সমান হবে।
∴ গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2r একক।
(iv) \(r\) একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন
(a) \(4\pi r^3\) ঘনএকক
(b) \(3\pi r^3\) ঘনএকক
(c) \(\frac{\pi r^3}{4}\) ঘনএকক
(d) \(\frac{\pi r^3}{3}\) ঘনএকক
Ans: (d) \(\frac{\pi r^3}{3}\) ঘনএকক
সমাধান –
\(r\) একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার ব্যাসার্ধও হবে \(r\) একক এবং উচ্চতাও হবে \(r\) একক।
∴ শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) ঘনএকক = \(\frac{1}{3}\pi r^2 r\) ঘনএকক = \(\frac{1}{3}\pi r^3\) ঘনএকক।
(v) \(x\) একক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য
(a) \(x\) একক
(b) \(2x\) একক
(c) \(\frac{x}{2}\) একক
(d) \(4x\) একক
Ans (a) \(x\) একক
সমাধান –
\(x\) একক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য, ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্যের সমান।
∴ গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(x\) একক।
(B) নীচের বিবৃতি গুলি সত্য না মিথ্যা লিখ
(i) দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলক যাদের ভূমীতলের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) একক এবং তা ভূমি বরাবর জোড়া হলে, মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে \(6\pi r^2\) বর্গ একক।
উত্তর – বিবৃতিটি মিথ্যা।
সমাধান – দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলক যাদের ভূমীতলের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) একক এবং তা ভূমি বরাবর জোড়া হলে, যে ঘনবস্তু তৈরি হবে সেটি একটি গোলক যার ব্যাসার্ধও হবে \(r\) একক সুতরাং তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে \(4\pi r^2\) বর্গএকক।
(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমীতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) একক এবং উচ্চতা \(h\) একক এবং তির্যক উচ্চতা \(l\) একক। শঙ্কুটির ভূমিতলকে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতল বরাবর জুড়ে দেওয়া হলো। যদি চোঙের ও শঙ্কুর ভূমীতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা একই হয় তবে মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (\(\pi rl+2\pi rh+2\pi r^2\)) বর্গ একক।
উত্তর – বিবৃতিটি মিথ্যা।
সমাধান – একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমীতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) একক এবং উচ্চতা \(h\) একক এবং তির্যক উচ্চতা \(l\) একক। শঙ্কুটির ভূমিতলকে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতল বরাবর জুড়ে দেওয়া হলো। যদি চোঙের ও শঙ্কুর ভূমীতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা একই হয় তবে মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (\(\pi rl+2\pi rh+\pi r^2\)) বর্গ একক।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি
(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও দুটি অর্ধগোলকের ভূমীতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। দুটি অর্ধগোলককে চোঙটির দুটি সমতলে আটকে দেওয়া হলে নতুন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = একটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + ______ বক্রতলের ক্ষেত্রফল + অপর অর্ধ গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল।
উত্তর – লম্ব বৃত্তাকার চোঙের
(ii) একমুখ কাটা একটি পেন্সিলের আকার শঙ্কু ও ______ এর সমন্বয়।
উত্তর – লম্ব বৃত্তাকার চোঙের।
(iii) একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল। গোলক ও চোঙের আয়তন ______।
উত্তর – সমান।
18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল। উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। যদি শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি. হয়, তাহলে নিরেট চোঙের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু ও নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধ \(r\) একক এবং নিরেট চোঙের উচ্চতা \(h\) সেমি.। যেহেতু নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হয়েছে সুতরাং তাদের আয়তন সমান।
∴ \(\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 (15)\)
বা, \(h = 5\) [উভয়পক্ষকে \(\pi r^2\) দ্বারা ভাগ করে পাই]
∴ নিরেট চোঙের উচ্চতা \(5\) সেমি.।
(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং আয়তন সমান। গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত কত তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) একক এবং শঙ্কুর উচ্চতা \(h\) একক। যেহেতু, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। ∴ নিরেট শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) একক।
যেহেতু, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু ও নিরেট গোলকের আয়তন সমান,
∴ \(\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{4}{3}\pi r^3\)
বা, \(h = 4r\)
বা, \(\frac{r}{h} = \frac{1}{4}\)
বা, \(r:h = 1:4\)
বা, \(2r:h = 2:4 = 1:2\)
∴ গোলকের ব্যাস ও উচ্চতার অনুপাত \(1:2\)।
(iii) সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং সমান উচ্চতা বিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ব শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধান –
যেহেতু, প্রদত্ত ঘনবস্তু গুলির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যও সমান হবে।
ধরি, নিরেট শঙ্কু, নিরেট অর্ধ গোলক এবং নিরেট চোঙের প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধ \(r\) একক।
∴ নিরেট শঙ্কু ও নিরেট চোঙের উচ্চতা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্যের সমান।
∴ নিরেট শঙ্কু ও নিরেট চোঙের প্রত্যেকের উচ্চতা \(2r\) একক।
এবং নিরেট চোঙের আয়তন = \(\pi r^2 h = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3\) ঘনএকক।
∴ নিরেট শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2(2r) = \frac{2}{3}\pi r^3\) ঘনএকক।
এবং নিরেট গোলকের আয়তন = \(\frac{4}{3}\pi r^3\) ঘনএকক।
∴ নিরেট চোঙ, নিরেট শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত
\(= 2\pi r^3 : \frac{2}{3}\pi r^3 : \frac{4}{3}\pi r^3\)\(= 2 : \frac{2}{3} : \frac{4}{3}\)\(= 6:2:4\)\(= 3:1:2\)(iv) একটি ঘনবস্তুর নীচের অংশ অর্ধগোলক আকারের এবং উপরের অংশ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারের। যদি দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান হয়, তাহলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, ঘন বস্তুটির ভূমীতলের ব্যাসার্ধ \(r\) একক এবং শঙ্কুর উচ্চতা \(h\) একক।
যেহেতু, ঘন বস্তুটির দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান অর্থাৎ শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও অর্ধ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান।
∴ \(\pi rl = 2\pi r^2\) [ \(l\) হল শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা ]
বা, \(l = 2r\)
বা, \(l^2 = 4r^2\)
বা, \(h^2+r^2 = 4r^2\)
বা, \(h^2 = 3r^2\)
বা, \(\frac{r^2}{h^2} = \frac{1}{3}\)
বা, latex^2 = \frac{1}{3}[/latex]
বা, \(https://www.google.com/search?q=%5Cfrac%7Br%7D%7Bh%7D = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
বা, \(r:h = 1:\sqrt{3}\)
∴ ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত \(1:\sqrt{3}\)।
(v) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর, ভূমীতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুণ হলে, শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমীতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধান –
একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর, ভূমীতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। ধরি, একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর, ভূমীতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের প্রত্যেককে \(r\) একক এবং শঙ্কুর উচ্চতা \(h\) একক। আবার গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুণ।
∴ \(\frac{4}{3}\pi r^3 = 2 \times \frac{1}{3}\pi r^2 h\)
বা, \(4r = 2h\)
বা, \(\frac{h}{r} = \frac{4}{2}\)
বা, \(h:r = 2:1\)
∴ শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমীতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত \(2:1\)।
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের উনবিংশ অধ্যায়, ‘বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা’ -এর ‘কষে দেখি – 19’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন