পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) নবম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের পঞ্চম অধ্যায় হলো ‘রৈখিক সহসমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)’। এই পোস্টে ‘কষে দেখি – 5.5‘-এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান দেওয়া হয়েছে। আশাকরি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়তা করবে।
1. \(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1\) সমীকরণের \(x\)-কে \(y\) চলের মাধ্যমে প্রকাশ করি।
সমাধান –
\(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1\)বা, \(\frac{2}{x} = 1 – \frac{3}{y}\)
বা, \(\frac{2}{x} = \frac{y-3}{y}\)
বা, \(\frac{x}{2} = \frac{y}{y-3}\) [উভয়পক্ষে অনোন্যক নিয়ে পাই]
বা, \(x = \frac{2y}{y-3}\)
\(\therefore\) \(x\)-কে \(y\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করলে হয় \(x = \frac{2y}{y-3}\)
2. \(2x+3y =9\) সমীকরণে \(y\)-এর পরিবর্তে \(\frac{7-4x}{-5}\) বসিয়ে \(x\)-এর মান কত হবে লিখি।
সমাধান –
\(2x+3y =9\)\(y\)-এর পরিবর্তে \(\frac{7-4x}{-5}\) বসিয়ে পাই,
বা, \(2x – \frac{21-12x}{5} = 9\)
বা, \(\frac{10x-21+12x}{5} = 9\)
বা, \(22x -21 = 45\)
বা, \(22x = 45+21\)
বা, \(22x = 66\)
বা, \(x= \frac{66}{22}\)
বা, \(x =3\)
\(\therefore\) \(2x+3y =9\) সমীকরণে \(y\)-এর পরিবর্তে \(\frac{7-4x}{-5}\) বসিয়ে \(x\)-এর মান হবে \(3\)।
3. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সমীকরণগুলি পরিবর্ত পদ্ধতিতে সমাধান করি ও লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে যাচাই করি।
(a) \(3x – y = 7\), \(2x + 4y = 0\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(3x – y = 7\) — (i)
\(2x + 4y = 0\) — (ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(3x – y = 7\)বা, \(3x = 7 + y\)
বা, \(x = \frac{7 + y}{3}\) — (iii)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(x\)-এর মান (ii) নং সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই,
\(2\left(\frac{7 + y}{3}\right) + 4y = 0\)বা, \(\frac{14 + 2y}{3} + 4y = 0\)
বা, \(\frac{14 + 2y + 12y}{3} = 0\)
বা, \(\frac{14 + 14y}{3} = 0\)
বা, \(14 + 14y = 0\)
বা, \(14y = -14\)
বা, \(y = \frac{-14}{14}\)
বা, \(y = -1\)
\(y\)-এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{7 + (-1)}{3} = \frac{6}{3} = 2\)∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = 2\) এবং \(y = -1\)
লেখচিত্রের মাধ্যমে সমাধান –
\(3x – y = 7\) — (i)
\(2x + 4y = 0\) — (ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(3x – y = 7\)বা, \(3x = 7 + y\)
বা, \(x = \frac{7 + y}{3}\)
| x | 3 | 4 | 5 |
| y | 2 | 5 | 8 |
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(2x + 4y = 0\)বা, \(2x = -4y\)
বা, \(x = -2y\)
| x | -10 | 10 | -14 |
| y | 5 | -5 | 7 |
ছক কাগজে \(XOX’\) ও \(YOY’\) দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে, ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুকে 1 একক ধরে \((3,2)\), \((4,5)\) এবং \((5,8)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে ও যুক্ত করে \(AB\) সরলরেখা এবং \((-10,5)\), \((10,-5)\) এবং \((-14,7)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে ও যুক্ত করে \(CD\) সরলরেখা অঙ্কন করা হল। সরলরেখা দুটি পরস্পর \(P\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2,-1)\)।
∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = 2\) এবং \(y = -1\)
∴ পরিবর্ত পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধান এবং লেখচিত্রের মাধ্যমে নির্ণেয় সমাধান দুটি সমান।
(b) \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 = \frac{x}{4} + \frac{y}{2}\)
সমাধান –
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2\) — (i)
এবং \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 2\) — (ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2\)বা, \(\frac{x}{2} = 2 – \frac{y}{3}\)
বা, \(\frac{x}{2} = \frac{6-y}{3}\)
বা, \(x = \frac{12-2y}{3}\) — (iii)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(x\)-এর মান (ii) নং সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই, \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 2\)
বা, \(\frac{12-2y}{12} + \frac{y}{2} = 2\)
বা, \(\frac{12-2y+6y}{12} = 2\)
বা, \(12+4y = 24\)
বা, \(4y = 24-12\)
বা, \(4y = 12\)
বা, \(y = \frac{12}{4}\)
বা, \(y = 3\)
\(y\)–এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{12-2y}{3}\)বা, \(x = \frac{12-2(3)}{3}\)
বা, \(x = \frac{12-6}{3}\)
বা, \(x = \frac{6}{3}\)
বা, \(x = 2\)
∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = 2\) এবং \(y = 3\)
লেখচিত্রের মাধ্যমে সমাধান –
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2\) — (i)
এবং \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 2\) — (ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2\)বা, \(\frac{x}{2} = 2 – \frac{y}{3}\)
বা, \(\frac{x}{2} = \frac{6-y}{3}\)
বা, \(x = \frac{12-2y}{3}\) — (iii)
| x | 0 | 2 | 6 |
| y | 6 | 3 | -3 |
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
বা, \(\frac{x}{4} = 2 – \frac{y}{2}\)
বা, \(\frac{x}{4} = \frac{4-y}{2}\)
বা, \(x = 8-2y\)
| x | 0 | 2 | 14 |
| y | 4 | 3 | -3 |
ছক কাগজে \(XOX’\) ও \(YOY’\) দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষ অঙ্কন করে, ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুকে 1 একক ধরে \((0,6)\), \((2,3)\) এবং \((6,-3)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে ও যুক্ত করে \(AB\) সরলরেখা এবং \((0,4)\), \((2,3)\) এবং \((14,-3)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে ও যুক্ত করে \(CD\) সরলরেখা অঙ্কন করা হল। সরলরেখা দুটি পরস্পর \(P\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2,3)\)।
∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = 2\) এবং \(y = 3\)
∴ পরিবর্ত পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধান এবং লেখচিত্রের মাধ্যমে নির্ণেয় সমাধান দুটি সমান।
4. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সহসমীকরণগুলি পরিবর্ত পদ্ধতিতে সমাধান করি ও সমাধানের মানগুলি সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে কিনা যাচাই করি।
(a) \(2x + \frac{3}{y} = 1\), \(5x – \frac{2}{y} = \frac{11}{12}\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(2x + \frac{3}{y} = 1\) — (i)
\(5x – \frac{2}{y} = \frac{11}{12}\) — (ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(2x + \frac{3}{y} = 1\)বা, \(2x = 1 – \frac{3}{y}\)
বা, \(2x = \frac{y-3}{y}\)
বা, \(x = \frac{y-3}{2y}\) — (iii)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(x\)-এর মান (ii) নং সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই,
\(5x – \frac{2}{y} = \frac{11}{12}\)বা, \(5\left(\frac{y-3}{2y}\right) – \frac{2}{y} = \frac{11}{12}\)
বা, \(\frac{5y-15}{2y} – \frac{2}{y} = \frac{11}{12}\)
বা, \(\frac{5y-15-4}{2y} = \frac{11}{12}\)
বা, \(\frac{5y-19}{2y} = \frac{11}{12}\)
বা, \(12(5y -19) = 22y\)
বা, \(60y – 228 = 22y\)
বা, \(60y – 22y = 228\)
বা, \(38y = 228\)
বা, \(y = \frac{228}{38}\)
বা, \(y = 6\)
\(y\)-এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{y-3}{2y}\)বা, \(x = \frac{6-3}{2(6)}\)
বা, \(x = \frac{3}{12}\)
বা, \(x = \frac{1}{4}\)
∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = \frac{1}{4}\) এবং \(y = 6\)
সমাধানের মানগুলি প্রদত্ত সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে কিনা দেখি –
\(2x + \frac{3}{y} = 2 \times \frac{1}{4} + \frac{3}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)\(5x – \frac{2}{y} = 5 \times \frac{1}{4} – \frac{2}{6} = \frac{5}{4} – \frac{1}{3} = \frac{15-4}{12} = \frac{11}{12}\)∴ নির্ণেয় সমাধানগুলি প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে সিদ্ধ করে।
(b) \(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2\), \(\frac{5}{x} + \frac{10}{y} = 5\frac{5}{6}\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2\) — (i)
\(\frac{5}{x} + \frac{10}{y} = 5\frac{5}{6}\) — (ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2\)বা, \(\frac{2}{x} = 2 – \frac{3}{y}\)
বা, \(\frac{2}{x} = \frac{2y-3}{y}\)
বা, \(\frac{x}{2} = \frac{y}{2y-3}\)
বা, \(x = \frac{2y}{2y-3}\) — (iii)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(x\)-এর মান (ii) নং সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই,
\(\frac{5}{x} + \frac{10}{y} = 5\frac{5}{6}\)বা, \(\frac{5}{\frac{2y}{2y-3}} + \frac{10}{y} = \frac{35}{6}\)
বা, \(\frac{5(2y-3)}{2y} + \frac{10}{y} = \frac{35}{6}\)
বা, \(\frac{10y-15}{2y} + \frac{10}{y} = \frac{35}{6}\)
বা, \(\frac{10y-15+20}{2y} = \frac{35}{6}\)
বা, \(\frac{10y+5}{2y} = \frac{35}{6}\)
বা, \(6(10y+5) = 70y\)
বা, \(60y + 30 = 70y\)
বা, \(60y – 70y = -30\)
বা, \(-10y = -30\)
বা, \(y = \frac{-30}{-10}\)
বা, \(y = 3\)
\(y\)-এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{2y}{2y-3}\)বা, \(x = \frac{2(3)}{2(3)-3}\)
বা, \(x = \frac{6}{6-3}\)
বা, \(x = \frac{6}{3}\)
বা, \(x = 2\)
∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = 2\), \(y = 3\)
সমাধানের মানগুলি প্রদত্ত সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে কিনা দেখি –
\(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{2} + \frac{3}{3} = 1+1 = 2\)\(\frac{5}{x} + \frac{10}{y} = \frac{5}{2} + \frac{10}{3} = \frac{15+20}{6} = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6}\)∴ নির্ণেয় সমাধানগুলি প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে সিদ্ধ করে।
(c) \(\frac{x+y}{xy} = 3\), \(\frac{x-y}{xy} = 1\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(\frac{x+y}{xy} = 3\) — (i)
\(\frac{x-y}{xy} = 1\) — (ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{x+y}{xy} = 3\)বা, \(x+y = 3xy\)
বা, \(y = 3xy – x\)
বা, \(y = x(3y-1)\)
বা, \(x = \frac{y}{3y-1}\) — (iii)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(x\)-এর মান (ii) নং সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই,
\(\frac{x-y}{xy} = 1\)বা, \(x – y = xy\)
বা, \(x – xy = y\)
বা, \(x(1-y) = y\)
বা, \(\frac{y}{3y-1} (1-y) = y\)
বা, \(\frac{y}{3y-1} = \frac{y}{1-y}\)
বা, \(3y-1 = 1-y\)
বা, \(3y+y = 1+1\)
বা, \(4y = 2\)
বা, \(y = \frac{2}{4}\)
বা, \(y = \frac{1}{2}\)
\(y\)-এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{y}{3y-1}\)বা, \(x = \frac{\frac{1}{2}}{3 \times \frac{1}{2} – 1}\)
বা, \(x = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2} – 1}\)
বা, \(x = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\)
বা, \(x = 1\)
∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = 1\), \(y = \frac{1}{2}\)
সমাধানের মানগুলি প্রদত্ত সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে কিনা দেখি –
\(\frac{x+y}{xy} = \frac{1+\frac{1}{2}}{1 \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3\)\(\frac{x-y}{xy} = \frac{1-\frac{1}{2}}{1 \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1\)∴ নির্ণেয় সমাধানগুলি প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে সিদ্ধ করে।
(d) \(\frac{x+y}{x-y} = \frac{7}{3}\), \(x+y = \frac{7}{10}\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(\frac{x+y}{x-y} = \frac{7}{3}\) — (i)
\(x+y = \frac{7}{10}\) — (ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{x+y}{x-y} = \frac{7}{3}\)বা, \(3(x+y) = 7(x-y)\)
বা, \(3x+3y = 7x-7y\)
বা, \(3x-7x = -3y -7y\)
বা, \(-4x = -10y\)
বা, \(x = \frac{-10y}{-4}\)
বা, \(x = \frac{5y}{2}\) — (iii)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(x\)-এর মান (ii) নং সমীকরণে \(x\)-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই,
\(x+y = \frac{7}{10}\)বা, \(\frac{5y}{2} + y = \frac{7}{10}\)
বা, \(\frac{5y+2y}{2} = \frac{7}{10}\)
বা, \(\frac{7y}{2} = \frac{7}{10}\)
বা, \(70y = 14\)
বা, \(y = \frac{14}{70}\)
বা, \(y = \frac{1}{5}\)
\(y\)-এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{5y}{2}\)বা, \(x = \frac{5}{2} \times \frac{1}{5}\)
বা, \(x = \frac{1}{2}\)
∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = \frac{1}{2}\) এবং \(y = \frac{1}{5}\)
সমাধানের মানগুলি প্রদত্ত সমীকরণগুলিকে সিদ্ধ করে কিনা দেখি –
\(\frac{x+y}{x-y} = \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{3}{10}} = \frac{7}{3}\)\(x+y = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10}\)∴ নির্ণেয় সমাধানগুলি প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে সিদ্ধ করে।
5. নীচের দুইচলবিশিষ্ট সহসমীকরণগুলি পরিবর্ত পদ্ধতিতে সমাধান করি।
(i) \(2(x-y) = 3, 5x+8y = 14\)
সমাধান –
\(2(x-y) = 3 \quad -(i)\)\(5x+8y = 14 \quad -(ii)\)(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(2(x-y) = 3\)বা, \(2x – 2y = 3\)
বা, \(2x = 2y+3\)
বা, \(x = \frac{2y+3}{2} \dots(iii)\)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত x এর মান (ii) নং সমীকরণে x-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই,
\(5x+8y = 14\)বা, \(5\left(\frac{2y+3}{2}\right) + 8y = 14\)
বা, \(\frac{10y+15}{2} + 8y = 14\)
বা, \(\frac{10y+15+16y}{2} = 14\)
বা, \(26y+15 = 28\)
বা, \(26y = 13\)
বা, \(y = \frac{13}{26}\)
বা, \(y = \frac{1}{2}\)
y –এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{2y+3}{2}\)বা, \(x = \frac{2 \times \frac{1}{2} + 3}{2}\)
বা, \(x = \frac{1+3}{2}\)
বা, \(x = \frac{4}{2}\)
বা, \(x = 2\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x = 2\) এবং \(y = \frac{1}{2}\)
(ii) \(2x + \frac{3}{y} = 5, 5x – \frac{2}{y} = 3\)
সমাধান –
\(2x + \frac{3}{y} = 5 \dots(i)\)\(5x – \frac{2}{y} = 3 \dots(ii)\)(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(2x = 5 – \frac{3}{y}\)বা, \(2x = \frac{5y-3}{y}\)
বা, \(x = \frac{5y-3}{2y} \dots(iii)\)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত x –এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(5x – \frac{2}{y} = 3\)বা, \(5\left(\frac{5y-3}{2y}\right) – \frac{2}{y} = 3\)
বা, \(\frac{25y-15}{2y} – \frac{2}{y} = 3\)
বা, \(\frac{25y-15-4}{2y} = 3\)
বা, \(25y – 19 = 6y\)
বা, \(25y – 6y = 19\)
বা, \(19y = 19\)
বা, \(y = \frac{19}{19}\)
বা, \(y = 1\)
y-এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{5y-3}{2y}\)বা, \(x = \frac{5(1)-3}{2(1)}\)
বা, \(x = \frac{2}{2}\)
বা, \(x = 1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x = 1, y = 1\)
(iii) \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1, \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \dots(i)\)\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1 \dots(ii)\)(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1\)বা, \(\frac{x}{2} = 1 – \frac{y}{3}\)
বা, \(\frac{x}{2} = \frac{3-y}{3}\)
বা, \(x = \frac{6-2y}{3} \dots(iii)\)
(iii) নং সমীকরণ থেকে x –এর প্রাপ্ত মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\)বা, \(\frac{\frac{6-2y}{3}}{3} + \frac{y}{2} = 1\)
বা, \(\frac{2(6-2y)+9y}{18} = 1\)
বা, \(12 – 4y + 9y = 18\)
বা, \(12 + 5y = 18\)
বা, \(5y = 18 – 12\)
বা, \(5y = 6\)
বা, \(y = \frac{6}{5}\)
y –এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{6-2y}{3}\)বা, \(x = \frac{6-2\left(\frac{6}{5}\right)}{3}\)
বা, \(x = \frac{6-\frac{12}{5}}{3}\)
বা, \(x = \frac{\frac{30-12}{5}}{3}\)
বা, \(x = \frac{18}{15}\)
বা, \(x = \frac{6}{5}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x = \frac{6}{5}, y = \frac{6}{5}\)
(iv) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}, 7x – 5y = 2\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \dots(i)\)\(7x – 5y = 2 \dots(ii)\)(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\)বা, \(4x = 3y\)
বা, \(x = \frac{3y}{4} \dots(iii)\)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত x -এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(7x – 5y = 2\)বা, \(7\left(\frac{3y}{4}\right) – 5y = 2\)
বা, \(\frac{21y}{4} – 5y = 2\)
বা, \(\frac{21y – 20y}{4} = 2\)
বা, \(\frac{y}{4} = 2\)
বা, \(y = 8\)
y –এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{3y}{4}\)বা, \(x = \frac{3(8)}{4}\)
বা, \(x = \frac{24}{4}\)
বা, \(x = 6\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x = 6, y = 8\)
(v) \(\frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 1, \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = \frac{19}{20}\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(\frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 1 \dots(i)\)\(\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = \frac{19}{20} \dots(ii)\)(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 1\)বা, \(\frac{2}{x} = 1 – \frac{5}{y}\)
বা, \(\frac{2}{x} = \frac{y-5}{y}\)
বা, \(\frac{x}{2} = \frac{y}{y-5}\)
বা, \(x = \frac{2y}{y-5}\) [উভয়পক্ষে অনোন্যক নিয়ে পাই] \(\dots(iii)\)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত x এর মান (ii) নং সমীকরণে x-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই,
\(\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = \frac{19}{20}\)বা, \(\frac{3}{\left(\frac{2y}{y-5}\right)} + \frac{2}{y} = \frac{19}{20}\)
বা, \(\frac{3(y-5)}{2y} + \frac{2}{y} = \frac{19}{20}\)
বা, \(\frac{3y-15}{2y} + \frac{2}{y} = \frac{19}{20}\)
বা, \(\frac{3y-15+4}{2y} = \frac{19}{20}\)
বা, \(\frac{3y-11}{2y} = \frac{19}{20}\)
বা, \(20(3y – 11) = 38y\)
বা, \(60y – 220 = 38y\)
বা, \(60y – 38y = 220\)
বা, \(22y = 220\)
বা, \(y = \frac{220}{22}\)
বা, \(y = 10\)
y – এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
বা, \(x = \frac{2y}{y-5}\)
বা, \(x = \frac{2(10)}{10-5}\)
বা, \(x = \frac{20}{5}\)
বা, \(x = 4\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x = 4\) এবং \(y = 10\)
(vi) \(\frac{1}{3}(x-y) = \frac{1}{4}(y-1), \frac{1}{7}(4x-5y) = x-7\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(\frac{1}{3}(x-y) = \frac{1}{4}(y-1) \quad -(i)\)\(\frac{1}{7}(4x-5y) = x-7 \quad -(ii)\)(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{1}{3}(x-y) = \frac{1}{4}(y-1)\)বা, \(4(x-y) = 3(y-1)\)
বা, \(4x – 4y = 3y – 3\)
বা, \(4x = 4y + 3y – 3\)
বা, \(4x = 7y – 3\)
বা, \(x = \frac{7y-3}{4} \dots(iii)\)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত x এর মান (ii) নং সমীকরণে x-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই,
\(\frac{1}{7}(4x-5y) = x-7\)বা, \(\frac{4\left(\frac{7y-3}{4}\right)-5y}{7} = \frac{7y-3}{4} – 7\)
বা, \(\frac{7y-3-5y}{7} = \frac{7y-3-28}{4}\)
বা, \(\frac{2y-3}{7} = \frac{7y-31}{4}\)
বা, \(4(2y-3) = 7(7y-31)\)
বা, \(8y – 12 = 49y – 217\)
বা, \(8y – 49y = 12 – 217\)
বা, \(-41y = -205\)
বা, \(y = \frac{-205}{-41}\)
বা, \(y = 5\)
y –এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{7y-3}{4}\)বা, \(x = \frac{7(5)-3}{4}\)
বা, \(x = \frac{35-3}{4}\)
বা, \(x = \frac{32}{4}\)
বা, \(x = 8\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x = 8\) এবং \(y = 5\)
(vii) \(\frac{x}{14} + \frac{y}{18} = 1\), \(\frac{x+y}{2} + \frac{3x-5y}{4} = 2\)
সমাধান – প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(\frac{x}{14} + \frac{y}{18} = 1 \quad -(i)\)\(\frac{x+y}{2} + \frac{3x-5y}{4} = 2 \quad -(ii)\)(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{x}{14} + \frac{y}{18} = 1\)বা, \(\frac{x}{14} = 1 – \frac{y}{18}\)
বা, \(\frac{x}{14} = \frac{18-y}{18}\)
বা, \(x = \frac{14(18-y)}{18}\)
বা, \(x = \frac{7(18-y)}{9} \dots(iii)\)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত x -এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(\frac{x+y}{2} + \frac{3x-5y}{4} = 2\)বা, \(\frac{2(x+y)+3x-5y}{4} = 2\)
বা, \(2x+2y + 3x-5y = 8\)
বা, \(5x – 3y = 8\)
বা, \(5x = 3y+8\)
বা, \(x = \frac{3y+8}{5}\)
এখন, (iii) নং থেকে x এর মান বসিয়ে পাই,
\(\frac{7(18-y)}{9} = \frac{3y+8}{5}\)বা, \(35(18-y) = 9(3y+8)\)
বা, \(630 – 35y = 27y + 72\)
বা, \(-35y – 27y = 72 – 630\)
বা, \(-62y = -558\)
বা, \(y = \frac{-558}{-62}\)
বা, \(y = 9\)
y –এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{7(18-y)}{9}\)বা, \(x = \frac{7(18-9)}{9}\)
বা, \(x = \frac{7 \times 9}{9}\)
বা, \(x = 7\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x = 7, y = 9\)
(viii) \(p(x+y) = q(x-y) = 2pq\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(p(x+y) = 2pq \quad -(i)\)এবং \(q(x-y) = 2pq \quad -(ii)\)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(p(x+y) = 2pq\)বা, \(x+y = \frac{2pq}{p}\)
বা, \(x+y = 2q\)
বা, \(x = 2q – y \dots(iii)\)
(iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত x এর মান (ii) নং সমীকরণে x-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই,
\(q(x-y) = 2pq\)বা, \(q(2q – y – y) = 2pq\)
বা, \(q(2q – 2y) = 2pq\)
বা, \(2q(q – y) = 2pq\)
বা, \(q – y = p\)
বা, \(y = q – p\)
y-এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = 2q – y\)বা, \(x = 2q – (q – p)\)
বা, \(x = 2q – q + p\)
বা, \(x = q + p\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সমাধান \(x = p+q\) এবং \(y = q-p\)
এই আর্টিকেলে নবম শ্রেণির গণিতের ‘রৈখিক সহসমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 5.5’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরা হয়েছে। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে।
কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন