পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) নবম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের পঞ্চম অধ্যায় হলো ‘রৈখিক সহসমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)’। এই পোস্টে ‘কষে দেখি – 5.7‘-এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান দেওয়া হয়েছে। আশাকরি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়তা করবে।
1. আমাদের স্কুলের পাশের বইয়ের দোকান থেকে আমার বন্ধু রীতা 34 টাকায় 5 টি পেন ও 3 টি পেন্সিল কিনেছে। কিন্তু সুমিত ওই দোকান থেকে একই দামে 7 টি পেন ও 6 টি পেন্সিল 53 টাকায় কিনেছে। আমি সহসমীকরণ গঠন করে প্রতিটি পেন ও প্রতিটি পেন্সিলের দাম হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, একটি পেনের দাম \(x\) টাকা এবং একটি পেন্সিলের দাম \(y\) টাকা।
∴ 5 টি পেন ও 3 টি পেন্সিলের মোট দাম = \((5x + 3y)\) টাকা এবং 7 টি পেন ও 6 টি পেন্সিলের মোট দাম = \((7x + 6y)\) টাকা।
শর্তানুসারে,
এবং, \(7x + 6y = 53 \quad -(ii)\)
(i) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুণ করে পাই,
\(10x + 6y = 68 \quad -(iii)\)এবং, \(7x + 6y = 53 \quad -(iv)\)
(iii) নং ও (iv) নং সমীকরণদ্বয় বিয়োগ করে পাই,
\((10x + 6y) – (7x + 6y) = 68 – 53\)বা, \(10x + 6y – 7x – 6y = 15\)
বা, \(3x = 15\)
বা, \(x = \frac{15}{3}\)
বা, \(x = 5\)
\(x\)-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(5x + 3y = 34\)বা, \(5(5) + 3y = 34\)
বা, \(25 + 3y = 34\)
বা, \(3y = 34 – 25\)
বা, \(3y = 9\)
বা, \(y = \frac{9}{3}\)
বা, \(y = 3\)
∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = 5\), \(y = 3\)
∴ একটি পেনের দাম 5 টাকা এবং একটি পেন্সিলের দাম 3 টাকা।
2. আমার বন্ধু আয়েশা ও রফিকের ওজন একত্রে 85 কিগ্রা। আয়েশার ওজনের অর্ধেক রফিকের ওজনের \(\frac{4}{9}\) অংশের সমান হলে, সহসমীকরণ গঠন করে তাদের পৃথকভাবে ওজন হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, আয়েশার ওজন \(x\) কিগ্রা এবং রফিকের ওজন \(y\) কিগ্রা।
শর্তানুসারে,
\(x + y = 85 \quad -(i)\)এবং, \(\frac{x}{2} = \frac{4}{9}y \quad -(ii)\)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(x = 85 – y \quad -(iii)\)(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{x}{2} = \frac{4}{9}y\)বা, \(9x = 8y\)
বা, \(x = \frac{8y}{9} \quad -(iv)\)
(iii) নং ও (iv) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(x\)-এর মানের তুলনা করে পাই,
\(85 – y = \frac{8y}{9}\)বা, \(9(85 – y) = 8y\)
বা, \(765 – 9y = 8y\)
বা, \(8y + 9y = 765\)
বা, \(17y = 765\)
বা, \(y = \frac{765}{17}\)
বা, \(y = 45\)
\(y\)-এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = 85 – y\)বা, \(x = 85 – 45\)
বা, \(x = 40\)
∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = 40\), \(y = 45\)
∴ আয়েশার ওজন 40 কিগ্রা এবং রফিকের ওজন 45 কিগ্রা।
3. আমার কাকাবাবুর বর্তমান বয়স আমার বোনের বর্তমান বয়সের দ্বিগুণ। 10 বছর আগে আমার কাকাবাবুর বয়স আমার বোনের বয়সের তিনগুন ছিল। সমীকরণ গঠন করে তাদের বর্তমান বয়স পৃথক ভাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, আমার বোনের বর্তমান বয়স \(x\) বছর এবং কাকাবাবুর বর্তমান বয়স \(y\) বছর।
∴ 10 বছর আগে বোনের বয়স ছিল \((x – 10)\) বছর এবং কাকাবাবুর বয়স \((y – 10)\) বছর।
শর্তানুসারে,
\(y = 2x \quad -(i)\)এবং, \(y – 10 = 3(x – 10) \quad -(ii)\)
(i) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(y\)-এর মান (ii) নং সমীকরণে \(y\)-এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই,
\(y – 10 = 3(x – 10)\)বা, \(2x – 10 = 3x – 30\)
বা, \(2x – 3x = 10 – 30\)
বা, \(-x = -20\)
বা, \(x = 20\)
\(x\)-এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(y = 2x\)বা, \(y = 2(20)\)
বা, \(y = 40\)
∴ নির্ণেয় সমাধান \(x = 20\), \(y = 40\)
∴ বোনের বর্তমান বয়স 20 বছর এবং কাকাবাবুর বর্তমান বয়স 40 বছর।
4. আমাদের গ্রামের দেবকুমার কাকু 590 টাকার একটি চেক ভাঙালেন। যদি তিনি ব্যাঙ্ক থেকে পাঁচ টাকার ও দশ টাকার নোট মোট 70 খানা পেয়ে থাকেন, তবে তিনি ব্যাঙ্ক থেকে কতগুলি পাঁচ টাকার নোট এবং কতগুলি দশ টাকার নোট পেলেন হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, পাঁচ টাকার নোটের সংখ্যা \(x\) টি এবং দশ টাকার নোটের সংখ্যা \(y\) টি।
শর্তানুসারে,
\(x + y = 70 \quad -(i)\)\(5x + 10y = 590 \quad -(ii)\)(i) নং সমীকরণকে 10 দ্বারা গুণ করে (ii) নং সমীকরণ থেকে বিয়োগ করে পাই,
\((10x + 10y) – (5x + 10y) = 700 – 590\)বা, \(10x + 10y – 5x – 10y = 110\)
বা, \(5x = 110\)
বা, \(x = 22\)
\(x\)-এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(22 + y = 70\)বা, \(y = 70 – 22\)
বা, \(y = 48\)
∴ পাঁচ টাকার নোটের সংখ্যা 22 টি এবং দশ টাকার নোটের সংখ্যা 48 টি।
5. আমাদের স্কুলের ব্ল্যাকবোর্ডে এমন একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ লিখব যার হরটি লব অপেক্ষা 5 বেশি এবং লব ও হরের সঙ্গে যদি 3 যোগ করি তবে ভগ্নাংশটি \(\frac{3}{4}\) হবে। সমীকরণ গঠন করি ও সমাধান করে প্রকৃত ভগ্নাংশটি ব্ল্যাকবোর্ডে লিখি।
সমাধান –
ধরি, ভগ্নাংশটি হল \(\frac{x}{y}\)। অর্থাৎ \(x\) হল লব এবং \(y\) হল হর, যেখানে \(x < y\)।
শর্তানুসারে,
\(y = x + 5 \quad -(i)\)এবং, \(\frac{x + 3}{y + 3} = \frac{3}{4} \quad -(ii)\)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(4(x + 3) = 3(y + 3)\)বা, \(4x + 12 = 3y + 9\)
বা, \(4x – 3y = -12 + 9\)
বা, \(4x – 3y = -3\)
বা, \(-3y = -4x – 3\)
বা, \(3y = 4x + 3\)
বা, \(y = \frac{4x + 3}{3} \quad -(iii)\)
(i) নং ও (iii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(y\)-এর মান তুলনা করে পাই,
\(x + 5 = \frac{4x + 3}{3}\)বা, \(3(x + 5) = 4x + 3\)
বা, \(3x + 15 = 4x + 3\)
বা, \(3x – 4x = -15 + 3\)
বা, \(-x = -12\)
বা, \(x = 12\)
\(x\)-এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(y = x + 5\)বা, \(y = 12 + 5\)
বা, \(y = 17\)
∴ ভগ্নাংশটি হল \(\frac{12}{17}\)।
6. মারিয়া তার খাতায় দুটি এমন সংখ্যা লিখেছে যে প্রথম সংখ্যার সঙ্গে 21 যোগ করলে তা দ্বিতীয় সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। আবার দ্বিতীয় সংখ্যার সঙ্গে 12 যোগ করলে তা প্রথম সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। হিসাব করে মারিয়ার লেখা সংখ্যাদুটি লিখি।
সমাধান –
ধরি, মারিয়ার লেখা দুটি সংখ্যা হল \(x\) এবং \(y\)।
শর্তানুসারে,
\(x + 21 = 2y \quad -(i)\)এবং, \(y + 12 = 2x \quad -(ii)\)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(x – 2y = -21 \quad -(iii)\)(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(-2x + y = -12 \quad -(iv)\)(iii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে (iv) নং সমীকরণের সাথে যোগ করে পাই,
\((2x – 4y) + (-2x + y) = -42 + (-12)\)বা, \(2x – 4y – 2x + y = -42 – 12\)
বা, \(-3y = -54\)
বা, \(y = \frac{-54}{-3}\)
বা, \(y = 18\)
\(y\)–এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x + 21 = 2y\)বা, \(x + 21 = 2(18)\)
বা, \(x + 21 = 36\)
বা, \(x = 36 – 21\)
বা, \(x = 15\)
∴ মারিয়ার লেখা সংখ্যা দুটি হল \(15\) এবং \(18\)।
7. লালিমা ও রমেন দুজনেই তাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করে। লালিমা 4 দিনে ও রমেন 3 দিনে একসঙ্গে বাগান পরিষ্কার করলে কাজটির \(\frac{2}{3}\) অংশ সম্পন্ন হয়। আবার লালিমা 3 দিন ও রমেন 6 দিনে একসঙ্গে বাগান পরিষ্কার করলে কাজটির \(\frac{11}{12}\) অংশ সম্পন্ন হয়। সহ সমীকরণ গঠন করি এবং সমাধান করে লালিমা ও রমেন পৃথক ভাবে কাজটি করলে কতদিনে শেষ করবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান – ধরি, লালিমা এবং রমেন পৃথকভাবে যথাক্রমে \(x\) দিনে ও \(y\) দিনে কাজটি সম্পন্ন করবে।
∴ লালিমা \(x\) দিনে কাজ করে 1 অংশ।
লালিমা 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{x}\) অংশ।
লালিমা 4 দিনে কাজ করে \(\frac{4}{x}\) অংশ।
এবং, রমেন \(y\) দিনে কাজ করে 1 অংশ।
রমেন 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{y}\) অংশ।
∴ রমেন 3 দিনে কাজ করে \(\frac{3}{y}\) অংশ।
আবার, লালিমা \(x\) দিনে কাজ করে 1 অংশ।
লালিমা 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{x}\) অংশ।
লালিমা 3 দিনে কাজ করে \(\frac{3}{x}\) অংশ।
এবং, রমেন \(y\) দিনে কাজ করে 1 অংশ।
রমেন 1 দিনে কাজ করে \(\frac{1}{y}\) অংশ।
∴ রমেন 6 দিনে কাজ করে \(\frac{6}{y}\) অংশ।
শর্তানুসারে,
\(\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{2}{3} \quad -(i)\)\(\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{11}{12} \quad -(ii)\)ধরি, \(\frac{1}{x} = u\) এবং \(\frac{1}{y} = v\)
∴ (i) নং ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(4u + 3v = \frac{2}{3} \quad -(iii)\)এবং, \(3u + 6v = \frac{11}{12} \quad -(iv)\)
(iii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(3(4u + 3v) = 2\)বা, \(12u + 9v = 2\)
বা, \(12u = 2 – 9v\)
বা, \(u = \frac{2 – 9v}{12} \quad -(v)\)
(iv) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(12(3u + 6v) = 11\)বা, \(36u + 72v = 11\)
বা, \(u = \frac{11 – 72v}{36} \quad -(vi)\)
(v) ও (vi) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(u\)–এর মানের তুলনা করে পাই,
\(\frac{2 – 9v}{12} = \frac{11 – 72v}{36}\)বা, \(2 – 9v = \frac{11 – 72v}{3}\)
বা, \(3(2 – 9v) = 11 – 72v\)
বা, \(6 – 27v = 11 – 72v\)
বা, \(72v – 27v = 11 – 6\)
বা, \(45v = 5\)
বা, \(v = \frac{5}{45}\)
বা, \(v = \frac{1}{9}\)
\(v\)–এর মান (v) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(u = \frac{2 – 9v}{12}\)বা, \(u = \frac{2 – 9 \times \frac{1}{9}}{12}\)
বা, \(u = \frac{1}{12}\)
এখন, যেহেতু \(\frac{1}{x} = u\) এবং \(\frac{1}{y} = v\)
∴ \(x = \frac{1}{u} = 1 \div \frac{1}{12} = 1 \times 12 = 12\)
এবং \(y = \frac{1}{v} = 1 \div \frac{1}{9} = 1 \times 9 = 9\)
∴ লালিমা কাজটি একা করে 12 দিনে এবং রমেন কাজটি একা সম্পন্ন করে 9 দিনে।
8. আমার মা দুধরনের শরবত তৈরি করেছেন। প্রথম ধরনের 100 লিটার শরবতে 5 কিগ্রা. চিনি এবং দ্বিতীয় ধরনের 100 লিটার শরবতে 8 কিগ্রা চিনি আছে। আমি দুধরনের শরবত মিশিয়ে 150 লিটার শরবত তৈরি করব, যাতে চিনির পরিমাণ থাকবে \(9 \frac{2}{3}\) কিগ্রা। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করে দেখি 150 লিটার শরবতে দুধরনের শরবত কতটা পরিমাণ থাকবে?
সমাধান – ধরি, 150 লিটার শরবতে দুধরনের শরবতের পরিমাণ যথাক্রমে \(x\) লিটার এবং \(y\) লিটার।
∴ \(x + y = 150 \quad -(i)\)
প্রথম ধরনের,
100 লিটার শরবতে চিনির পরিমাণ 5 কিগ্রা।
1 লিটার শরবতে চিনির পরিমাণ \(\frac{5}{100}\) কিগ্রা।
\(x\) লিটার শরবতে চিনির পরিমাণ \(\frac{5x}{100}\) কিগ্রা।
দ্বিতীয় ধরনের,
100 লিটার শরবতে চিনির পরিমাণ 8 কিগ্রা।
1 লিটার শরবতে চিনির পরিমাণ \(\frac{8}{100}\) কিগ্রা।
\(y\) লিটার শরবতে চিনির পরিমাণ \(\frac{8y}{100}\) কিগ্রা।
শর্তানুসারে,
\(\frac{5x}{100} + \frac{8y}{100} = 9\frac{2}{3}\)বা, \(\frac{5x + 8y}{100} = \frac{29}{3}\)
বা, \(15x + 24y = 2900 \quad -(iii)\)
(i) নং সমীকরণকে 24 দ্বারা গুণ করে পাই,
\(24x + 24y = 3600 \quad -(iv)\)(iv) নং সমীকরণ থেকে (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\(24x + 24y – 15x – 24y = 3600 – 2900\)বা, \(9x = 700\)
বা, \(x = \frac{700}{9}\)
বা, \(x = 77\frac{7}{9}\)
\(x\)–এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(77\frac{7}{9} + y = 150\)বা, \(\frac{700}{9} + y = 150\)
বা, \(y = 150 – \frac{700}{9}\)
বা, \(y = \frac{1350 – 700}{9}\)
বা, \(y = \frac{650}{9}\)
বা, \(y = 72\frac{2}{9}\)
∴ প্রথম প্রকার শরবতের পরিমাণ \(77\frac{7}{9}\) লিটার এবং দ্বিতীয় প্রকার শরবতের পরিমাণ \(72\frac{2}{9}\) লিটার।
9. গত বছর বকুলতলা গ্রাম পঞ্চায়েত নির্বাচনে অখিলবাবু ও ছন্দাদেবী প্রার্থী ছিলেন। অখিলবাবু ছন্দাদেবীকে 75 টি ভোটে পরাজিত করলেন। অখিলবাবু কে যারা ভোট দিয়েছেন তাদের 20% যদি ছন্দাদেবীকে ভোট দিতেন, তাহলে ছন্দাদেবী 19 টি ভোটে জিততে পারতেন। সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করে দেখি, কে কত ভোট পেয়েছেন?
সমাধান –
ধরি, অখিলবাবুকে ভোট দিয়েছেন \(x\) জন এবং ছন্দাদেবীকে ভোট দিয়েছেন \(y\) জন।
এখন, অখিলবাবু ছন্দাদেবীকে 75 টি ভোটে পরাজিত করলেন।
\(\therefore x – y = 75 \quad -(i)\)আবার, অখিলবাবুকে যারা ভোট দিয়েছেন তাদের 20% যদি ছন্দাদেবীকে ভোট দিতেন, তাহলে ছন্দাদেবী 19 টি ভোটে জিততে পারতেন।
\(\therefore y + \frac{20x}{100} = \left(x – \frac{20x}{100}\right) + 19 \quad -(ii)\)(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(y + \frac{20x}{100} = \left(x – \frac{20x}{100}\right) + 19\)বা, \(y + \frac{x}{5} = x – \frac{x}{5} + 19\)
বা, \(y – x + \frac{x}{5} + \frac{x}{5} = 19\)
বা, \(y – x + \frac{2x}{5} = 19\)
বা, \(\frac{5y – 5x + 2x}{5} = 19\)
বা, \(5y – 3x = 95 \quad -(iii)\)
(i) নং সমীকরণকে 5 দ্বারা গুণ করে পাই,
\(5x – 5y = 375 \quad -(iv)\)(iii) নং ও (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
\(5y – 3x + 5x – 5y = 95 + 375\)বা, \(2x = 470\)
বা, \(x = 235\)
\(x\)-এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x – y = 75\)বা, \(235 – y = 75\)
বা, \(y = 235 – 75\)
বা, \(y = 160\)
∴ অখিলবাবুর প্রাপ্ত ভোটের সংখ্যা 235 টি এবং ছন্দাদেবীর প্রাপ্ত ভোটের সংখ্যা 160 টি।
10. রফিকদের আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য 2 মিটার এবং প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 75 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। কিন্তু দৈর্ঘ্য 2 মিটার হ্রাস এবং প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 15 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। সহ-সমীকরণ গঠন করে রফিকদের মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, রফিকদের আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য \(x\) মিটার এবং প্রস্থ \(y\) মিটার।
∴ আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের ক্ষেত্রফল \(xy\) বর্গমিটার।
মেঝের দৈর্ঘ্য 2 মিটার এবং প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে, মেঝের ক্ষেত্রফল হয় \((x+2)(y+3)\) বর্গমিটার। এবং, মেঝের দৈর্ঘ্য 2 মিটার হ্রাস এবং প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে মেঝের ক্ষেত্রফল হয় \((x-2)(y+3)\) বর্গমিটার।
শর্তানুসারে,
\((x+2)(y+3) – xy = 75 \quad -(i)\)\((x-2)(y+3) – xy = 15 \quad -(ii)\)(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\((x+2)(y+3) – xy = 75\)বা, \(xy + 2y + 3x + 6 – xy = 75\)
বা, \(3x + 2y = 75 – 6\)
বা, \(3x + 2y = 69 \quad -(iii)\)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(xy – 2y + 3x – 6 – xy = 15\)বা, \(3x – 2y = 15 + 6\)
বা, \(3x – 2y = 21 \quad -(iv)\)
(iii) নং ও (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
\(3x + 2y + 3x – 2y = 69 + 21\)বা, \(6x = 90\)
বা, \(x = \frac{90}{6}\)
বা, \(x = 15\)
\(x\)-এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(3(15) + 2y = 69\)বা, \(45 + 2y = 69\)
বা, \(2y = 69 – 45\)
বা, \(2y = 24\)
বা, \(y = \frac{24}{2}\)
বা, \(y = 12\)
∴ আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং প্রস্থ 12 মিটার।
11. আমার বন্ধু মেরি ঈশানকে বলল, তোমার টাকার \(\frac{1}{3}\) অংশ আমায় দাও তাহলে আমার 200 টাকা হবে। ঈশান মেরিকে বলল, তোমার টাকার অর্ধেক আমাকে দিলে আমার 200 টাকা হবে। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করে দেখি কার কাছে কত টাকা আছে?
সমাধান –
ধরি, মেরির কাছে \(x\) টাকা এবং ঈশানের কাছে \(y\) টাকা আছে।
শর্তানুসারে,
\(x + \frac{y}{3} = 200 \quad -(i)\)এবং \(y + \frac{x}{2} = 200 \quad -(ii)\)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(x + \frac{y}{3} = 200\)বা, \(\frac{3x + y}{3} = 200\)
বা, \(3x + y = 600 \quad -(iii)\)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(y + \frac{x}{2} = 200\)বা, \(\frac{2y + x}{2} = 200\)
বা, \(x + 2y = 400 \quad -(iv)\)
(iii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে (iv) নং সমীকরণ থেকে বিয়োগ করে পাই,
\((6x + 2y) – (x + 2y) = 1200 – 400\)বা, \(6x + 2y – x – 2y = 800\)
বা, \(5x = 800\)
বা, \(x = \frac{800}{5}\)
বা, \(x = 160\)
\(x\)-এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(3(160) + y = 600\)বা, \(480 + y = 600\)
বা, \(y = 600 – 480\)
বা, \(y = 120\)
∴ মেরির কাছে 160 টাকা এবং ঈশানের কাছে 120 টাকা ছিল।
12. আজ আমার দাদা ও তার কিছু বন্ধুরা একসঙ্গে মেলায় যাবে। তাই আমার দাদু তাদের মধ্যে কিছু টাকা সমান ভাগে ভাগ করে দিলেন। দেখছি, যদি 2 জন বন্ধু কম থাকত তবে প্রত্যেকে 18 টাকা পেত। আবার যদি 3 জন বন্ধু বেশি থাকত তবে প্রত্যেকে 12 টাকা পেত। দাদারা কত জন মেলায় গিয়েছিল এবং দাদু মোট কত টাকা তাদের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিয়েছিলেন হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, দাদারা \(x\) জন বন্ধু ছিল এবং দাদু \(y\) টাকা তাদের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিয়েছিলেন।
∴ 2 জন বন্ধু কম থাকলে প্রত্যেকে পেত \(\frac{y}{x-2}\) টাকা করে।
এবং, 3 জন বন্ধু বেশি থাকলে প্রত্যেকে পেত \(\frac{y}{x+3}\) টাকা করে।
শর্তানুসারে,
\(\frac{y}{x-2} = 18 \quad -(i)\)এবং \(\frac{y}{x+3} = 12 \quad -(ii)\)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(y = 18(x – 2)\)বা, \(y = 18x – 36\)
বা, \(y – 18x = -36 \quad -(iii)\)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(y = 12(x + 3)\)বা, \(y = 12x + 36\)
বা, \(y – 12x = 36 \quad -(iv)\)
(iii) নং ও (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\((y – 18x) – (y – 12x) = -36 – 36\)বা, \(y – 18x – y + 12x = -72\)
বা, \(-6x = -72\)
বা, \(x = \frac{-72}{-6}\)
বা, \(x = 12\)
\(x\)-এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(y – 18(12) = -36\)বা, \(y – 216 = -36\)
বা, \(y = 216 – 36\)
বা, \(y = 180\)
∴ দাদারা 12 জন বন্ধুমিলে মেলায় গিয়েছিল এবং দাদু তাদের 180 টাকা দিয়েছিলেন।
13. আমার দাদার একটি থলিতে 1 টাকার মুদ্রা ও 50 পয়সার মুদ্রা মিলিয়ে 350 টাকা আছে। আমার বোন ওই টাকার থলি থেকে এক তৃতীয়াংশ 50 পয়সা বের করে তার জায়গায় সমসংখ্যক 1 টাকার মুদ্রা রেখে দিল এবং ওই থলিতে মোট টাকার পরিমাণ 400 টাকা হল। প্রথমে দাদার থলিতে আলাদাভাবে 1 টাকার মুদ্রা ও 50 পয়সার মুদ্রা কতগুলো ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, দাদার থলিতে 1 টাকার মুদ্রার সংখ্যা \(x\) টি এবং 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা \(y\) টি।
\(x\) টি 1 টাকার মুদ্রা = \(x\) টাকা এবং \(y\) টি 50 পয়সার মুদ্রা = \(\frac{y}{2}\) টাকা।
শর্তানুসারে,
\(x + \frac{y}{2} = 350 \quad -(i)\)টাকার থলি থেকে এক তৃতীয়াংশ 50 পয়সা বের করে নিলে, এখন 50 পয়সার সংখ্যা = \((y – \frac{y}{3})\) টি = \(\frac{2y}{3}\) টি।
\(\therefore\) 50 পয়সা মিলিয়ে মোট টাকার পরিমাণ = \((\frac{1}{2} \times \frac{2y}{3})\) টাকা = \(\frac{y}{3}\) টাকা।
এক তৃতীয়াংশ 50 পয়সা বের করে তার জায়গায় সমসংখ্যক 1 টাকার মুদ্রা রেখে দিলে, থলিতে 1 টাকার মুদ্রার সংখ্যা হবে = \((x + \frac{y}{3})\) টি।
\(\therefore (x + \frac{y}{3})\) টি 1 টাকার মুদ্রা = \((x + \frac{y}{3})\) টাকা।
\(\therefore \frac{y}{3} + x + \frac{y}{3} = 400 \quad -(ii)\)বা, \(x + \frac{2y}{3} = 400 \quad -(iii)\)
(i) নং সমীকরণ ও (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\((x + \frac{y}{2}) – (x + \frac{2y}{3}) = 350 – 400\)বা, \(x + \frac{y}{2} – x – \frac{2y}{3} = -50\)
বা, \(\frac{3y – 4y}{6} = -50\)
বা, \(\frac{-y}{6} = -50\)
বা, \(y = 300\)
\(y\)-এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x + \frac{300}{2} = 350\)বা, \(x + 150 = 350\)
বা, \(x = 350 – 150\)
বা, \(x = 200\)
\(\therefore\) 1 টাকার মুদ্রার সংখ্যা 200 টি এবং 50 পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 300 টি।
14. আজ মামার বাড়ি যাব। তাই একটি মোটর গাড়ি আমাদের বাড়ি থেকে সমবেগে মামার বাড়ির দিকে রওনা দিল। যদি গাড়িটির গতিবেগ ঘণ্টায় 9 কিমি. বেশি হতো তবে ওই পথ অতিক্রম করতে 3 ঘণ্টা সময় কম লাগত। আবার গতিবেগ যদি ঘণ্টায় 6 কিমি. কম হতো তবে ওই পথ অতিক্রম করতে তার 3 ঘণ্টা সময় বেশি লাগত। আমাদের বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব এবং গাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিমি. ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, আমার বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব \(x\) কিমি এবং মোটর গাড়ির গতিবেগ \(y\) কিমি/ঘণ্টা।
\(\therefore\) আমার বাড়ি থেকে মামার বাড়ি যেতে সময় লাগবে = \( \frac{x}{y}\) ঘণ্টা। [যেহেতু, সময় = দূরত্ব/গতিবেগ]
যদি গাড়িটির গতিবেগ ঘণ্টায় 9 কিমি. বেশি হতো তবে ওই পথ অতিক্রম করতে সময় লাগত = \( \frac{x}{y+9}\) ঘণ্টা। [যেহেতু, সময় = দূরত্ব/গতিবেগ]
আবার, যদি গাড়িটির গতিবেগ ঘণ্টায় 6 কিমি. কম হতো তবে ওই পথ অতিক্রম করতে সময় লাগত = \( \frac{x}{y-6}\) ঘণ্টা। [যেহেতু, সময় = দূরত্ব/গতিবেগ]
শর্তানুসারে,
\(\frac{x}{y} – \frac{x}{y+9} = 3 \quad -(i)\)\(\frac{x}{y-6} – \frac{x}{y} = 3 \quad -(ii)\)(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{x}{y} – \frac{x}{y+9} = 3\)বা, \(\frac{x(y+9) – xy}{y(y+9)} = 3\)
বা, \(\frac{xy + 9x – xy}{y(y+9)} = 3\)
বা, \(\frac{9x}{y(y+9)} = 3\)
বা, \(9x = 3y(y+9)\)
বা, \(3x = y(y+9)\)
বা, \(x = \frac{y(y+9)}{3} \quad -(iii)\)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{x}{y-6} – \frac{x}{y} = 3\)বা, \(\frac{xy – x(y-6)}{y(y-6)} = 3\)
বা, \(\frac{xy – xy + 6x}{y(y-6)} = 3\)
বা, \(\frac{6x}{y(y-6)} = 3\)
বা, \(6x = 3y(y-6)\)
বা, \(2x = y(y-6)\)
বা, \(x = \frac{y(y-6)}{2} \quad -(iv)\)
(iii) নং ও (iv) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,
\(\frac{y(y+9)}{3} = \frac{y(y-6)}{2}\)বা, \(\frac{y+9}{3} = \frac{y-6}{2}\) [যেহেতু, \(y \neq 0\), উভয়পক্ষে \(y\) দ্বারা ভাগ করে পাই]
বা, \(2(y+9) = 3(y-6)\)
বা, \(2y + 18 = 3y – 18\)
বা, \(2y – 3y = -18 – 18\)
বা, \(-y = -36\)
বা, \(y = 36\)
\(y\)-এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = \frac{36(36+9)}{3}\)বা, \(x = \frac{36 \times 45}{3}\)
বা, \(x = 12 \times 45\)
বা, \(x = 540\)
\(\therefore\) আমার বাড়ি থেকে মামার বাড়ির দূরত্ব 540 কিমি এবং মোটর গাড়ির গতিবেগ 36 কিমি./ঘণ্টা।
15. মোহিত এমন একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা লিখবে যেটি তার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 4 গুণ অপেক্ষা 3 বেশি। এবং সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা হয় তা মূল সংখ্যার চেয়ে 18 বেশি। হিসাব করে দেখি মোহিত কোন সংখ্যা লিখবে?
সমাধান –
ধরি, মোহিতের লেখা সংখ্যার এককের অঙ্ক \(x\) এবং দশকের অঙ্ক \(y\)।
\(\therefore\) সংখ্যাটি হল – \(10y + x\)
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা হয় তা হল – \(10x + y\)
শর্তানুসারে,
\(10y + x = 4(x+y) + 3 \quad -(i)\)এবং, \((10x + y) – (10y + x) = 18 \quad -(ii)\)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(10y + x = 4(x+y) + 3\)বা, \(10y + x = 4x + 4y + 3\)
বা, \(10y + x – 4x – 4y = 3\)
বা, \(6y – 3x = 3\)
বা, \(2y – x = 1 \quad -(iii)\)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\((10x + y) – (10y + x) = 18\)বা, \(10x + y – 10y – x = 18\)
বা, \(9x – 9y = 18\)
বা, \(x – y = 2 \quad -(iv)\)
(iii) নং ও (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
\((2y – x) + (x – y) = 1 + 2\)বা, \(2y – x + x – y = 3\)
বা, \(y = 3\)
\(y\)–এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(2(3) – x = 1\)বা, \(6 – x = 1\)
বা, \(x = 6 – 1\)
বা, \(x = 5\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সংখ্যাটি হল – \(10y + x = 10(3) + 5 = 35\)
16. আমি একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা লিখব যার অঙ্কদুটির সমষ্টি 14 এবং সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে অঙ্কদুটি সমান হবে। সমীকরণ গঠন করি ও সমাধান করে দেখি দুই অঙ্কের সংখ্যাটি কী হবে।
সমাধান –
ধরি, দুই অঙ্কের সংখ্যার এককের ঘরের অঙ্ক \(x\) এবং দশকের ঘরের অঙ্ক \(y\)।
\(\therefore\) সংখ্যাটি হবে \((10y + x)\)
দুই অঙ্কের সংখ্যাটির অঙ্কদুটির সমষ্টি 14।
\(\therefore x + y = 14 \quad -(i)\)আবার, সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে নতুন সংখ্যাটি হয় –
= \( (10y + x) – 29\)
= \( 10y + x – 29\)
= \( 10y + x – 30 + 1\)
= \( 10(y – 3) + (x + 1)\)
এবং, সংখ্যাটি থেকে 29 বিয়োগ করলে অঙ্কদুটি সমান হবে।
\(\therefore y – 3 = x + 1\)বা, \(y – x = 3 + 1\)
বা, \(y – x = 4 \quad -(ii)\)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
\(x + y + y – x = 14 + 4\)বা, \(2y = 18\)
বা, \(y = \frac{18}{2}\)
বা, \(y = 9\)
\(y\)-এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x + y = 14\)বা, \(x + 9 = 14\)
বা, \(x = 5\)
\(\therefore\) সংখ্যাটি হবে \((10y + x) = \{10(9) + 5\} = 95\)।
17. রহমত চাচা তার নৌকা নিয়ে স্রোতের অনুকূলে 6 ঘণ্টায় 30 মাইল গিয়ে এই পথ স্রোতের প্রতিকূলে 10 ঘণ্টায় ফিরে এলেন। স্থির জলে রহমত চাচার নৌকার গতিবেগ ও স্রোতের গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, নৌকার গতিবেগ \(x\) মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের গতিবেগ \(y\) মাইল/ঘণ্টা।
স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = \((x+y)\) মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = \((x-y)\) মাইল/ঘণ্টা।
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকাটি 30 মাইল অতিক্রম করতে সময় লাগবে \(\frac{30}{x+y}\) ঘণ্টা। [যেহেতু, সময় = দূরত্ব/গতিবেগ]
এবং, স্রোতের প্রতিকূলে নৌকাটি 30 মাইল অতিক্রম করতে সময় লাগবে \(\frac{30}{x-y}\) ঘণ্টা। [যেহেতু, সময় = দূরত্ব/গতিবেগ]
শর্তানুসারে,
\(\frac{30}{x+y} = 6\) —(i)
\(\frac{30}{x-y} = 10\) —(ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{30}{x+y} = 6\)বা, \(x+y = \frac{30}{6}\)
বা, \(x+y = 5\) —(iii)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{30}{x-y} = 10\)বা, \(x-y = \frac{30}{10}\)
বা, \(x-y = 3\) —(iv)
(iii) নং ও (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
\(x+y + x-y = 5+3\)বা, \(2x = 8\)
বা, \(x = \frac{8}{2}\)
বা, \(x = 4\)
\(x\)–এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(4 + y = 5\)বা, \(y = 5-4\)
বা, \(y = 1\)
∴ স্থির জলে নৌকার বেগ 4 মাইল/ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ 1 মাইল/ঘণ্টা।
18. হাওড়া স্টেশন থেকে একটি ট্রেন ছাড়ার 1 ঘণ্টা পরে বিশেষ কারণে 1 ঘণ্টা দেরি করে এবং তারপর পূর্বের বেগের \(\frac{3}{5}\) অংশ বেগে চলে নির্দিষ্ট সময়ের 3 ঘণ্টা পরে গন্তব্য স্থলে পৌঁছায়। যদি বিশেষ কারণটি পূর্বস্থান থেকে আরও 50 কিমি. দূরবর্তী স্থানে হত, তাহলে ট্রেনটি আগের চেয়ে 1 ঘণ্টা 20 মিনিট পূর্বে গন্তব্য স্থলে পৌঁছাত। ট্রেনটি মোট কত পথ চলেছিল এবং পূর্বের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, ট্রেনটির গতিবেগ ছিল ঘণ্টায় \(x\) কিমি. এবং ট্রেনটি \(y\) ঘণ্টায় গন্তব্য স্থলে পৌঁছায়।
\(\therefore\) গন্তব্যস্থলের দূরত্ব \(xy\) কিমি.।
প্রথম 1 ঘণ্টায় ট্রেনটি যায় \(x\) কিমি.
\(\therefore\) অবশিষ্ট পথ = \((xy – x)\) কিমি.
1 ঘণ্টা দেরি করার পর ট্রেনটির গতিবেগ হয় ঘণ্টায় \(\frac{3x}{5}\) কিমি.
\(\therefore\) অবশিষ্ট \((xy – x)\) কিমি পথ যেতে সময় লাগে \(\frac{xy-x}{\frac{3x}{5}}\) ঘণ্টা।
\(\therefore 1 + 1 + \frac{xy-x}{\frac{3x}{5}} = y + 3\)বা, \(\frac{xy-x}{\frac{3x}{5}} = y + 3 – 2\)
বা, \(x(y-1) \times \frac{5}{3x} = y+1\)
বা, \(\frac{5(y-1)}{3} = y+1\)
বা, \(5y – 5 = 3y + 3\)
বা, \(5y – 3y = 5 + 3\)
বা, \(2y = 8\)
বা, \(y = \frac{8}{2}\)
বা, \(y = 4\) —(i)
50 কিমি. দূরবর্তী স্থানে যদি বিশেষ কারণটি হতো, তখন স্থানটির দূরত্ব হত \((x + 50)\) কিমি.।
তখন হাওড়া স্টেশন থেকে ওই স্থানটি পৌঁছাতে সময় লাগত \(\frac{x+50}{x}\) ঘণ্টা।
তখন অবশিষ্ট পথ হতো \((xy – x – 50)\) কিমি.।
1 ঘণ্টা দেরি করার পর ঘণ্টায় \(\frac{3x}{5}\) কিমি. পথ যেতে সময় লাগত \(\frac{xy-x-50}{\frac{3x}{5}}\) ঘণ্টা।
1 ঘণ্টা 20 মিনিট = \(1\frac{20}{60}\) ঘণ্টা = \(1\frac{1}{3}\) ঘণ্টা = \(\frac{4}{3}\) ঘণ্টা।
\(\therefore \frac{x+50}{x} + 1 + \frac{xy-x-50}{\frac{3x}{5}} = y + 3 – \frac{4}{3}\)\(y = 4\) বসিয়ে পাই,
\(\frac{x+50}{x} + \frac{5(xy-x-50)}{3x} = 4 + 3 – \frac{4}{3} – 1\)বা, \(\frac{x+50}{x} + \frac{5(4x – x – 50)}{3x} = 6 – \frac{4}{3}\)
বা, \(\frac{x+50}{x} + \frac{5(3x-50)}{3x} = \frac{18-4}{3}\)
বা, \(\frac{x+50}{x} + \frac{5(3x-50)}{3x} = \frac{14}{3}\)
বা, \(\frac{3(x+50) + 5(3x-50)}{3x} = \frac{14}{3}\)
বা, \(\frac{3x+150 + 15x – 250}{3x} = \frac{14}{3}\)
বা, \(\frac{18x – 100}{3x} = \frac{14}{3}\)
বা, \(18x – 100 = 14x\)
বা, \(18x – 14x = 100\)
বা, \(4x = 100\)
বা, \(x = \frac{100}{4}\)
বা, \(x = 25\)
\(\therefore\) ট্রেনটি মোট পথ চলেছিল \(xy\) কিমি. = \((25 \times 4)\) কিমি. = 100 কিমি. এবং ট্রেনটির গতিবেগ ছিল ঘণ্টায় 25 কিমি.।
19. মৌসুমি দুই অঙ্কের একটি সংখ্যাকে অঙ্কদুটির সমষ্টি দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল 6 এবং ভাগশেষ 6 পায়। যদি মৌসুমি অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করে সংখ্যাটিকে অঙ্কদুটির সমষ্টি দিয়ে ভাগ করে তাহলে ভাগফল 4 এবং ভাগশেষ 9 হয়। সহ সমীকরণ গঠন করে মৌসুমির সংখ্যাটি লেখো।
সমাধান –
ধরি, মৌসুমির লেখা সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক \(x\) এবং দশকের ঘরের অঙ্ক \(y\)।
\(\therefore\) সংখ্যাটি হল \((10y+x)\)
অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে লিখলে সংখ্যাটি হবে – \((10x+y)\)
দুই অঙ্কের একটি সংখ্যাকে অঙ্কদুটির সমষ্টি দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল 6 এবং ভাগশেষ 6।
\(\therefore 10y+x = 6(x+y) +6\) —(i) [যেহেতু, ভাজ্য = ভাজক \(\times\) ভাগফল + ভাগশেষ]
আবার, \(10x+y = 4(x+y)+9\) —(ii) [যেহেতু, ভাজ্য = ভাজক \(\times\) ভাগফল + ভাগশেষ]
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(10y+x = 6x+6y+6\)বা, \(10y+x -6x-6y = 6\)
বা, \(4y -5x = 6\) —(iii)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(10x+y = 4(x+y)+9\)বা, \(10x+y -4x-4y = 9\)
বা, \(6x -3y = 9\)
বা, \(2x – y = 3\) —(iv)
(iv) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করে পাই,
\(8x – 4y = 12\) —(v)
(iii) নং ও (v) নং সমীকরণদ্বয়কে যোগ করে পাই,
\(4y -5x +8x -4y = 6+12\)বা, \(3x = 18\)
বা, \(x = \frac{18}{3}\)
বা, \(x = 6\)
\(x\)–এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(2(6) – y = 3\)বা, \(12 – y = 3\)
বা, \(y = 12-3\)
বা, \(y = 9\)
\(\therefore\) সংখ্যাটি হল \((10y+x) = 10(9)+6 = 96\)।
20. ফরিদাবিবি কয়েকটি বাক্সে কমলালেবু রাখতে গিয়ে দেখলেন যে তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 20 টি কমলালেবু বেশি রাখেন তাহলে 3 টি বাক্স কম লাগে। আবার তিনি যদি প্রত্যেকটি বাক্সে 5 টি কমলালেবু কম রাখেন তাহলে 1 টি বাক্স বেশি লাগে। সহসমীকরণ গঠন করে হিসাব করি ফরিদাবিবির কাছে কতগুলি কমলালেবু এবং কতগুলি বাক্স ছিল।
সমাধান –
ধরি, ফরিদাবিবির কাছে \(x\) টি কমলালেবু এবং \(y\) টি বাক্স ছিল।
\(\therefore\) একটি বাক্সে কমলালেবুর সংখ্যা \(\frac{x}{y}\) টি।
শর্তানুসারে,
\(\frac{x}{y} + 20 = \frac{x}{y-3} \quad -(i)\)এবং, \(\frac{x}{y} – 5 = \frac{x}{y+1} \quad -(ii)\)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{x}{y} + 20 = \frac{x}{y-3}\)বা, \(\frac{x}{y-3} – \frac{x}{y} = 20\)
বা, \(\frac{xy – x(y-3)}{y(y-3)} = 20\)
বা, \(\frac{xy – xy + 3x}{y(y-3)} = 20\)
বা, \(\frac{3x}{y(y-3)} = 20\)
বা, \(x = \frac{20y(y-3)}{3} \quad -(iii)\)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{x}{y} – 5 = \frac{x}{y+1}\)বা, \(\frac{x}{y} – \frac{x}{y+1} = 5\)
বা, \(\frac{x(y+1) – xy}{y(y+1)} = 5\)
বা, \(\frac{xy + x – xy}{y(y+1)} = 5\)
বা, \(\frac{x}{y(y+1)} = 5\)
বা, \(x = 5y(y+1) \quad -(iv)\)
(iii) নং ও (iv) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,
\(\frac{20y(y-3)}{3} = 5y(y+1)\)\(y \neq 0\) বলে উভয়পক্ষে \(y\) দ্বারা ভাগ করে পাই,
\(\frac{20(y-3)}{3} = 5(y+1)\)বা, \(20(y-3) = 15(y+1)\)
বা, \(20y – 60 = 15y + 15\)
বা, \(20y – 15y = 60 + 15\)
বা, \(5y = 75\)
বা, \(y = \frac{75}{5}\)
বা, \(y = 15\)
\(y\)-এর প্রাপ্ত মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x = 5 \times 15 \times (15+1)\)বা, \(x = 75 \times 16\)
বা, \(x = 1200\)
\(\therefore\) ফরিদাবিবির কাছে কমলালেবুর সংখ্যা 1200 টি এবং বাক্সের সংখ্যা 15 টি।
21. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(i) যদি \(x = 3t\) এবং \(y = \frac{2t}{3} – 1\) হয়, তাহলে \(t\)–এর কোন মানের জন্য \(x = 3y\) হবে?
সমাধান –
যেহেতু, \(x = 3y\)
\(\therefore 3t = 3\left(\frac{2t}{3} – 1\right)\)বা, \(3t = 2t – 3\)
বা, \(3t – 2t = -3\)
বা, \(t = -3\)
\(\therefore t = -3\) হলে \(x = 3y\) হবে।
(ii) \(k\)–এর কোন মানের জন্য \(2x+5y = 8\) এবং \(2x-ky = 3\) সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না?
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না যদি, \(x\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(y\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) ধ্রুবক পদের অনুপাত হয়।
\(\therefore \frac{2}{2} = \frac{5}{-k} \neq \frac{8}{3}\)বা, \(\frac{2}{2} = \frac{5}{-k}\)
বা, \(k = -5\)
\(\therefore k = -5\) হলে, \(2x+5y = 8\) এবং \(2x-ky = 3\) সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না।
(iii) \(x, y\) বাস্তব সংখ্যা এবং \((x-5)^2 + (x-y)^2 = 0\) হলে, \(x\) এবং \(y\)–এর মান কত?
সমাধান –
\((x-5)^2 + (x-y)^2 = 0\)এক্ষেত্রে, দুটি বর্গ রাশির যোগফল শূন্য; অতএব তারা আলাদা আলাদাভাবে শূন্য।
\(\therefore x-5 = 0\)বা, \(x = 5\)
এবং \(x-y = 0\)
বা, \(x = y\)
\(\therefore x = y = 5\)(iv) \(x^2 + y^2 – 2x + 4y = -5\) হলে, \(x\) এবং \(y\)–এর মান কত?
সমাধান – \(x^2 + y^2 – 2x + 4y = -5\)
বা, \(x^2 + y^2 – 2x + 4y + 5 = 0\)
বা, \((x^2 – 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 0\)
বা, \((x-1)^2 + (y+2)^2 = 0\)
এক্ষেত্রে দুটি বর্গ রাশির যোগফল শূন্য; অতএব তারা আলাদা আলাদাভাবে শূন্য।
\(\therefore x-1 = 0\)বা, \(x = 1\)
এবং, \(y+2 = 0\)
বা, \(y = -2\)
\(\therefore x = 1, y = -2\)(v) \(r\)–এর কোন মানের জন্য \(rx – 3y – 1 = 0\) এবং \((4-r)x – y + 1 = 0\) সমীকরণদ্বয়ের সমাধান সম্ভব নয়?
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না যদি, \(x\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(y\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) ধ্রুবক পদের অনুপাত হয়।
\(\therefore \frac{r}{4-r} = \frac{-3}{-1} \neq \frac{-1}{1}\)বা, \(\frac{r}{4-r} = \frac{-3}{-1}\)
বা, \(\frac{r}{4-r} = 3\)
বা, \(r = 3(4-r)\)
বা, \(r = 12 – 3r\)
বা, \(r + 3r = 12\)
বা, \(4r = 12\)
বা, \(r = \frac{12}{4}\)
বা, \(r = 3\)
\(\therefore r = 3\) হলে \(rx – 3y – 1 = 0\) এবং \((4-r)x – y + 1 = 0\) সমীকরণদ্বয়ের সমাধান সম্ভব নয়।
(vi) \(a_1x+b_1y+c_1 = 0\) সমীকরণকে \(y = mx+c\) আকারে লিখি, যেখানে \(m\) ও \(c\) ধ্রুবক।
সমাধান –
\(a_1x+b_1y+c_1 = 0\)বা, \(b_1y = -a_1x – c_1\)
বা, \(y = \frac{-a_1x – c_1}{b_1}\)
বা, \(y = \left(-\frac{a_1}{b_1}\right)x + \left(-\frac{c_1}{b_1}\right)\)
(vii) \(k\)–এর কোন মানের জন্য \(kx – 21y + 15 = 0\) এবং \(8x – 7y = 0\) সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সমাধান থাকবে?
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সমাধান থাকবে যদি, \(x\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) \(y\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত হয়।
\(\therefore \frac{k}{8} \neq \frac{-21}{-7}\)বা, \(\frac{k}{8} \neq 3\)
বা, \(k \neq 24\)
\(\therefore k \neq 24\) হলে \(kx – 21y + 15 = 0\) এবং \(8x – 7y = 0\) সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সমাধান থাকবে।
(viii) \(a\) ও \(b\)–এর কোন মানের জন্য \(5x + 8y = 7\) এবং \((a+b)x + (a-b)y = (2a + b + 1)\) সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে?
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে যদি, \(x\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(y\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ধ্রুবক পদের অনুপাত হয়।
\(\therefore \frac{5}{a+b} = \frac{8}{a-b} = \frac{7}{2a+b+1}\)বা, \(\frac{a+b}{5} = \frac{a-b}{8} = \frac{2a+b+1}{7} = k\) (ধরি) [যেখানে, \(k \neq 0\) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক]
\(\therefore a+b = 5k \quad -(i)\)এবং, \(a-b = 8k \quad -(ii)\)
এবং, \(2a + b + 1 = 7k \quad -(iii)\)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
\(a+b + a-b = 5k + 8k\)বা, \(2a = 13k\)
বা, \(a = \frac{13k}{2} \quad -(iv)\)
আবার, (i) ও (ii) বিয়োগ করে পাই,
\(a+b – (a-b) = 5k – 8k\)বা, \(a+b – a + b = -3k\)
বা, \(2b = -3k\)
বা, \(b = -\frac{3k}{2} \quad -(v)\)
(iii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(2a + b + 1 = 7k\)বা, \(2\left(\frac{13k}{2}\right) + \left(-\frac{3k}{2}\right) + 1 = 7k\) [যেহেতু, \(a = \frac{13k}{2}\) এবং \(b = -\frac{3k}{2}\)]
বা, \(13k – \frac{3k}{2} + 1 = 7k\)
বা, \(13k – \frac{3k}{2} – 7k = -1\)
বা, \(6k – \frac{3k}{2} = -1\)
বা, \(\frac{12k – 3k}{2} = -1\)
বা, \(\frac{9k}{2} = -1\)
বা, \(9k = -2\)
বা, \(k = -\frac{2}{9} \quad -(vi)\)
(vi) নং থেকে \(k\)–এর মান (iv) ও (v) নং এ বসিয়ে পাই,
\(a = \frac{13}{2} \times \left(-\frac{2}{9}\right) = -\frac{13}{9}\)\(b = -\frac{3}{2} \times \left(-\frac{2}{9}\right) = \frac{1}{3}\)\(\therefore\) \(a\)–এর মান \(-\frac{13}{9}\) এবং \(b\)–এর মান \(\frac{1}{3}\)।
22. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) \(4x+3y=7\) এবং \(7x-3y=4\) সমীকরণদ্বয়ের
(a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে।
(b) অসংখ্য সমাধান আছে।
(c) কোনো সমাধান নেই।
(d) কোনোটিই নয়।
Ans – (a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে।
সমাধান –
\(4x+3y=7\) এবং \(7x-3y=4\) সমীকরণদ্বয়ের
\(x\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(\frac{4}{7}\)
\(y\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(\frac{3}{-3}\)
\(\therefore\) \(x\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) \(y\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত।
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে।
(ii) \(3x+6y=15\) এবং \(6x+12y=30\) সমীকরণদ্বয়ের
(a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে।
(b) অসংখ্য সমাধান আছে।
(c) কোনো সমাধান নেই।
(d) কোনোটিই নয়।
Ans – (b) অসংখ্য সমাধান আছে।
সমাধান –
\(x\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
\(y\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\) এবং, ধ্রুবক পদের অনুপাত
= \(\frac{15}{30}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) \(x\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(\) \(y\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(\) ধ্রুবক পদের অনুপাত।
\(\therefore\) প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান আছে।
(iii) \(4x+4y=20\) এবং \(5x+5y=30\) সমীকরণদ্বয়ের
(a) একটি নির্দিষ্ট সমাধান আছে।
(b) অসংখ্য সমাধান আছে।
(c) কোনো সমাধান নেই।
(d) কোনোটিই নয়।
Ans – (c) কোনো সমাধান নেই।
সমাধান –
\(x\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(\frac{4}{5}\)
\(y\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(\frac{4}{5}\) এবং, ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\)
\(\therefore\) \(x\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(\) \(y\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) ধ্রুবক পদের অনুপাত।
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান নেই।
(iv) নিম্নলিখিত সমীকরণগুলির মধ্যে কোনটির সমাধান \((1,1)\)?
(a) \(2x+3y=9\)
(b) \(6x+2y=9\)
(c) \(3x+2y=5\)
(d) \(4x+6y=8\)
Ans – (c) \(3x+2y=5\)
সমাধান – \(3x+2y=3(1)+2(1)=3+2=5\)
(v) \(4x+3y=25\) এবং \(5x-2y=14\) সমীকরণদ্বয়ের সমাধান
(a) \(x=4, y=3\)
(b) \(x=3, y=4\)
(c) \(x=3, y=3\)
(d) \(x=4, y=-3\)
Ans – (a) \(x=4, y=3\)
সমাধান – একমাত্র \(x=4, y=3\) মানগুলি প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে সিদ্ধ করে।
(vi) \(x+y=7\) সমীকরণের সমাধানগুলি হলো
(a) \((1,6), (3,-4)\)
(b) \((1,-6), (4,3)\)
(c) \((1,6), (4,3)\)
(d) \((-1,6), (-4,3)\)
Ans – (c) \((1,6), (4,3)\)
সমাধান – \(x=1, y=6\) এবং \(x=4, y=3\) এই মানগুলিই শুধুমাত্র প্রদত্ত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে।
\(1+6=7\) এবং \(4+3=7\)।
এই আর্টিকেলে নবম শ্রেণির গণিতের ‘রৈখিক সহসমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 5.7’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরা হয়েছে। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে।
কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন