এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের ষষ্ঠ অধ্যায়, ‘চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমাহার বৃদ্ধি বা হ্রাস’ -এর ‘কষে দেখি – 6.1’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
1. আমার কাছে 5000 টাকা আছে। আমি ওই টাকা একটি ব্যাঙ্কে বার্ষিক 8.5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে জমা রাখলাম। 2 বছর পরে সুদে আসলে মোট কত পাবো হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
আসল (P) = 5000 টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 8.5%
সময় (n) = 2 বছর
∴ সমূল চক্রবৃদ্ধি =
\(= P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \)টাকা
\(= 5000\left(1+\frac{8.5}{100}\right)^2 \)টাকা
\(= 5000\left(1+\frac{85}{1000}\right)^2 \)টাকা
\(= 5000\left(\frac{1085}{1000}\right)^2 \)টাকা
\(= 5000 \times \frac{1085}{1000} \times \frac{1085}{1000} \)টাকা
\(= 5 \times 1085 \times \frac{1085}{1000} \)টাকা
\(\approx 5886.13 \)টাকা
উত্তর – অর্থাৎ 2 বছর পর আমি সুদে আসলে 5886.13 (প্রায়) টাকা পাবো।
2. 5000 টাকার বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে নির্ণয় করি।
সমাধান –
আসল (P) = 5000 টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 8%
সময় (n) = 3 বছর
∴ সমূল চক্রবৃদ্ধি =
\(= P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \)টাকা
\(= 5000\left(1+\frac{8}{100}\right)^3 \)টাকা
\(= 5000\left(1+\frac{2}{25}\right)^3 \)টাকা
\(= 5000\left(\frac{108}{100}\right)^3 \)টাকা
\(= 5000 \times \frac{108}{100} \times \frac{108}{100} \times \frac{108}{100} \)টাকা
\(= 6298.56 \)টাকা
উত্তর – 5000 টাকার বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 6298.56 টাকা।
3. গৌতম বাবু 2000 টাকা বার্ষিক 6% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 2 বছরের জন্য ধার দিয়েছেন। 2 বছর পরে তিনি কত টাকা চক্রবৃদ্ধি সুদ দেবেন তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
আসল (P) = 2000 টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 6%
সময় (n) = 2 বছর
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ =
\(= P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n – P\) টাকা
\(= 2000\left(1+\frac{6}{100}\right)^2 – 2000\) টাকা
\(= 2000\left(\left(1+\frac{6}{100}\right)^2 – 1\right)\) টাকা
\(= 2000\left(\left(1+\frac{6}{100}-1\right)\left(1+\frac{6}{100}+1\right)\right)\) টাকা
\(= 2000 \times \left(2+\frac{6}{100}\right) \times \frac{6}{100}\) টাকা
\(= 2000 \times \frac{206}{100} \times \frac{6}{100}\) টাকা
\(= 247.20\) টাকা
উত্তর – 2 বছর পরে গৌতম বাবু 247.20 টাকা সুদ দেবে।
4. 30000 টাকার বার্ষিক 9% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করো।
সমাধান –
আসল (P) = 30000 টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 9%
সময় (n) = 3 বছর
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ =
\(= P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n – P\) টাকা
\(= 30000\left(1+\frac{9}{100}\right)^3 – 30000\) টাকা
\(= 30000\left(\frac{109}{100}\right)^3 – 30000\) টাকা
\(= 30000\left(\left(\frac{109}{100}\right)^3 – 1\right)\) টাকা
\(= 30000\left(\frac{1295029}{1000000} – 1\right)\) টাকা
\(= 30000\left(\frac{1295029 – 1000000}{1000000}\right)\) টাকা
\(= 30000\left(\frac{295029}{1000000}\right)\) টাকা
\(= \frac{295029}{100} \times 3\) টাকা\(= 8850.87\) টাকা
উত্তর – নির্ণেয় চক্রবৃদ্ধি সুদ 8850.87 টাকা।
5. বার্ষিক 5% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে 80000 টাকার \(2\frac12\) বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
আসল (P) = 80000 টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 5%
সময় (n) = \(2\frac12\) বছর
∴ সমূল চক্রবৃদ্ধি(প্রথম 2 বছরের) =
\(= P\left(1+\frac{5}{100}\right)^2\) টাকা
\(= 80000\left(1+\frac{1}{20}\right)^2\) টাকা
\(= 80000 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20}\) টাকা\(= 800 \times 21 \times 21\) টাকা
\(= 352800\) টাকা
পরবর্তী \(\frac12\) বছরের সুদ =
\(= \frac{P \times t \times r}{100}\)\(= \frac{88200 \times \frac{1}{2} \times 5}{100}\)\(= \frac{441 \times 5}{1}\)\(= 2205\) টাকা
উত্তর – \(2\frac12\) বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে (88200+2205) টাকা = 90405 টাকা।
6. ছন্দাদেবী বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কিছু টাকা 2 বছরের জন্য ধার করবেন। চক্রবৃদ্ধি সুদ 2496 টাকা হলে, ছন্দাদেবী কত টাকা ধার করেছিলেন নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, ছন্দা দেবী \(x\) টাকা ধার করেছিলেন।
∴ আসল (P) = \(x\) টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 8%
সময় (n) = 2 বছর
সুদ (C.I) = 2496 টাকা
\(x\left(1+\frac{8}{100}\right)^2 – x = 2496\)বা, \( x\left(\left(1+\frac{8}{100}\right)^2 – 1\right) = 2496\)
বা, \( x\left(\left(1+\frac{8}{100}-1\right)\left(1+\frac{8}{100}+1\right)\right) = 2496 \) [ \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) ]
বা, \( x\left(2+\frac{8}{100}\right) \times \frac{8}{100} = 2496\)
বা, \( x \times \frac{208}{100} \times \frac{8}{100} = 2496\)
বা, \( x = \frac{2496 \times 100 \times 100}{8 \times 208}\)
বা, \( x = 15000\)
উত্তর – ছন্দাদেবী 15000 টাকা ধার করেছিলেন।
7. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কোন আসলের 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 2648 হয়, তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, আসল (P) = \(x\) টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
সুদ (C.I) = 2648 টাকা
\(x\left(1+\frac{10}{100}\right)^3 – x = 2648\)বা, \( x\left(\left(1+\frac{10}{100}\right)^3 – 1\right) = 2648\)
বা, \( x\left(\left(\frac{110}{100}\right)^3 – 1\right) = 2648\)
বা, \( x\left(\left(\frac{11}{10}\right)^3 – 1\right) = 2648\)
বা, \( x\left(\frac{1331}{1000} – 1\right) = 2648\)
বা, \( x\left(\frac{1331 – 1000}{1000}\right) = 2648\)
বা, \( x\left(\frac{331}{1000}\right) = 2648\)
বা, \( x = \frac{2648 \times 1000}{331}\)
বা, \( x = 8000\)
উত্তর – আসলের পরিমাণ ছিল 8000 টাকা।
8. রহমত চাচা বার্ষিক 9% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কিছু টাকা সমবায় ব্যাঙ্কে জমা রেখে 2 বছর পর সুদে-আসলে 29702.50 টাকা ফেরত পেলেন। রহমত চাচা কত টাকা সমবায় ব্যাঙ্কে জমা রেখেছিলেন তা নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, রহমত চাচা সমবায় ব্যাঙ্কে \(x\) টাকা জমা রেখেছিলেন।
∴ আসল (P) = \(x\) টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 9%
সময় (n) = 2 বছর
সুদ-আসল বা সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = 29702.50 টাকা
বা, \(P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n = A\)
বা, \(x\left(1+\frac{9}{100}\right)^2 = 29702.50\)
বা, \( x\left(\frac{109}{100}\right)^2 = 29702.50\)
বা, \( x \times \frac{109}{100} \times \frac{109}{100} = 29702.50\)
বা, \( x = \frac{29702.50 \times 100 \times 100}{109 \times 109}\)
বা, \( x = \frac{2970250 \times 100}{109 \times 109}\)
বা, \( x = 25000\)
উত্তর – রহমত চাচা সমবায় ব্যাঙ্কে 25000 টাকা জমা রেখেছিলেন।
9. বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হারে সুদে কত টাকার 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 31492.80 টাকা হবে, তা নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হারে সুদে x টাকার 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 31492.80 টাকা হবে।
সুতরাং, আসল (P) = x টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 8%
সময় (n) = 3 বছর
সুদ-আসল বা সমূল চক্রবৃদ্ধি (A) = 31492 টাকা
সুতরাং, \( x \left(1 + \frac{8}{100}\right)^3 = 31492.80 \)
বা, \( x \left(\frac{108}{100}\right)^3 = 31492.80 \)
বা, \( x \times \frac{108}{100} \times \frac{108}{100} \times \frac{108}{100} = 31492.80 \)
বা, \( x = \frac{31492.80 \times 100 \times 100 \times 100}{108 \times 108 \times 108} \)
বা, \( x = 25000 \)
উত্তর – বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হারে সুদে 25000 টাকার 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 31492.80 টাকা হবে।
10. বার্ষিক 7.5% সুদের হারে 12000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর নির্ণয় করি।
সমাধান –
আসল (P) = 12000 টাকা
সরল সুদের হার (r) = 7.5%
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 7.5%
সময় (n) = 2 বছর
2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = \( =P\left[(1+\frac{r}{100})^{n}-P\right] \text{ টাকা} \)
\( =12000\left[(1+\frac{7.5}{100})^{2}-1\right] \) টাকা
\( =12000\left[(1+\frac{75}{1000})^{2}-1\right] \) টাকা
\( =12000\left[(\frac{1000+75}{1000})^{2}-1\right] \)\( =12000\left[(\frac{1075}{1000})^{2}-1\right] \)\( =12000\left[(\frac{43}{40})^{2}-1\right] \)\( =12000\left[\frac{1849}{1600}-1\right] \)\( =12000\left[\frac{1849-1600}{1600}\right] \)\( =12000\times\frac{249}{1600} \)\( =120\times\frac{249}{16} \)\( =30\times\frac{249}{4} \)\( =7.5\times249 \)\( =1867.50\) টাকা
2 বছরের সরল সুদ \( =\frac{P\times t\times r}{100} \)
\( =\frac{12000\times2\times7.5}{100} \)\( =120\times2\times7.5 \)\( =240\times7.5 \)সুতরাং 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর
\( =(1867.50-1800) \)টাকা
\( =67.50 \)টাকা
উত্তরঃ চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর \(76.25\) টাকা।
11. 10,000 টাকার বার্ষিক 5% সুদের হারে 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
আসল P =10000 টাকা
সরল সুদের হার r =5%
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার R = 5%
সময় n = 3 বছর
3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ \(=P\left[\left(1+\frac{R}{100}\right)^n -1\right]\)
\(=10000\left[\left(1+\frac{5}{100}\right)^3-1\right]\)\(=10000\left[\left(1+\frac{1}{20}\right)^3-1\right]\)\(=10000\left[\left(\frac{21}{20}\right)^3-1\right]\)\(=10000\left[\frac{9261}{8000}-1\right]\)\(=10000\left[\frac{9261-8000}{8000}\right]\)\(=10000 \times \frac{1261}{8000}\)\(=1576.25\) টাকা
3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ \(=1576.25\) টাকা
আবার, 3 বছরের সরল সুদ \(= P \times n \times r / 100\)
\(=\frac{10000 \times 3 \times 5}{100}\) টাকা
\(=1500\) টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর \(= (1576.25 -1500)\) টাকা
\(= 76.25\) টাকা
উত্তর – চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর \(76.25\) টাকা।
12. বার্ষিক 9% সুদের হারে কিছু টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 129.60 টাকা হলে, ওই টাকার পরিমাণ হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, আসলের পরিমাণ x টাকা
∴ আসল (P) = x টাকা
সুদের হার (r) = 9%
সময় (n) = 2 বছর
এখন, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ \(=P(1+\frac{r}{100})^n – P\) টাকা
\(=x(1+\frac{9}{100})^2 – x\) টাকা
\(=x[(1+\frac{9}{100})^2 – 1]\) টাকা
\(=x[(1+\frac{9}{100} – 1)(1+\frac{9}{100} + 1)]\) টাকা [∵ \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)]
\(=x[(2+\frac{9}{100})(\frac{9}{100})]\) টাকা
\(=x(\frac{209}{100})(\frac{9}{100})\) টাকা
\(=x(\frac{1881}{10000})\) টাকা
আবার 2 বছরের সরল সুদ \(=\frac{P \times t \times r}{100}\) টাকা
\(=\frac{x \times 2 \times 9}{100}\) টাকা
\(=\frac{18x}{100}\) টাকা
শর্তানুসারে,
\(\frac{1881x}{10000} – \frac{18x}{100} = 129.60\)\(\frac{1881x – 1800x}{10000} = 129.60\)বা, \(\frac{81x}{10000} = 129.60\)
বা, \(81x = 1296000\)
বা, \(x=16000\)
উত্তর – বার্ষিক 9% সুদের হারে 16000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 129.60 টাকা।
13. যদি বার্ষিক 10% হারে কিছু টাকার 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 930 টাকা হয়, তবে ওই টাকার পরিমাণ হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, আসলের পরিমাণ x টাকা
আসল (P) = x টাকা
সুদের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
এখন, 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ \(=P(1+\frac{r}{100})^n – P\) টাকা
\(=x(1+\frac{10}{100})^3 – x\) টাকা
\(=x[(1+\frac{10}{100})^3 – 1]\) টাকা
\(=x[(\frac{110}{100})^3 – 1]\) টাকা
\(=x[(\frac{11}{10})^3 – 1]\) টাকা
\(=x(\frac{1331}{1000} – 1)\) টাকা
\(=x(\frac{331}{1000})\) টাকা
3 বছরের সরল সুদ \(=\frac{P \times t \times r}{100}\) টাকা
\(=\frac{x \times 3 \times 10}{100}\) টাকা
\(=\frac{30x}{100}\) টাকা
\(=\frac{3x}{10}\) টাকা
শর্তানুসারে,
\(\frac{331x}{1000} – \frac{3x}{10} = 930\)\(\frac{331x – 300x}{1000} = 930\)\(\frac{31x}{1000} = 930\)বা, \(31x = 930 \times 1000\)
বা, \(x = \frac{930000}{31}\)
বা, \(x = 30000\)
উত্তর – ওই টাকার পরিমাণ অর্থাৎ আসলের পরিমাণ 30000 টাকা।
13. যদি বার্ষিক 10% হারে কিছু টাকার 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 930 টাকা হয়, তবে ওই টাকার পরিমাণ হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, আসলের পরিমাণ x টাকা
সুদের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
এখন, 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ \(=P(1+\frac{r}{100})^n – P\) টাকা
\(=x(1+\frac{10}{100})^3 – x\) টাকা
\(=x[(1+\frac{10}{100})^3 – 1]\) টাকা
\(=x[(\frac{110}{100})^3 – 1]\) টাকা
\(=x[(\frac{11}{10})^3 – 1]\) টাকা
\(=x(\frac{1331}{1000} – 1)\) টাকা
\(=x(\frac{331}{1000})\) টাকা
3 বছরের সরল সুদ \(=\frac{P \times t \times r}{100}\) টাকা
\(=\frac{x \times 3 \times 10}{100}\) টাকা
\(=\frac{30x}{100}\) টাকা
\(=\frac{3x}{10}\) টাকা
শর্তানুসারে,
\(\frac{331x}{1000} – \frac{3x}{10} = 930\)\(\frac{331x – 300x}{1000} = 930\)\(\frac{31x}{1000} = 930\)বা, \(31x = 930 \times 1000\)
বা, \(x = \frac{930000}{31}\)
বা, \(x = 30000\)
উত্তর – ওই টাকার পরিমাণ অর্থাৎ আসলের পরিমাণ 30000 টাকা।
14.বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে যদি প্রথম বছর 7% এবং দ্বিতীয় বছর 8% হয় , তবে 6000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
সুদের হার প্রথম বছরে (r₁) = 7%
সুদের হার দ্বিতীয় বছরে (r₂) = 8%
আসল (P) = 6000 টাকা
সময় (n) = 2 বছর
এখন, 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি \(=P(1+\frac{r_1}{100})(1+\frac{r_2}{100})\) টাকা
\(=6000(1+\frac{7}{100})(1+\frac{8}{100})\) টাকা
\(=6000(\frac{107}{100})(\frac{108}{100})\) টাকা
\(=\frac{6 \times 107 \times 108}{10}\) টাকা
\(=6933.60\) টাকা
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ \(=(6933.60-6000)\) টাকা
\(=933.60\) টাকা
উত্তর – 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 933.60 টাকা।
15. বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার যদি প্রথম বছর 5% এবং দ্বিতীয় বছর 6% হয়, তবে 5000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।
সমাধান –
আসল (P) = 5000 টাকা সুদের হার প্রথম বছরে (r₁) = 5% সুদের হার দ্বিতীয় বছরে (r₂) = 6% সময়(n)=2 বছর
2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ \(=P(1+\frac{r_1}{100})(1+\frac{r_2}{100})-P\) টাকা
\(=5000(1+\frac{5}{100})(1+\frac{6}{100})-5000\) টাকা
\(=5000(\frac{105}{100})(\frac{106}{100})-5000\) টাকা
\(=5565-5000\) টাকা
\(=565\) টাকা
উত্তর – 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 565 টাকা।
16. কোনো নির্দিষ্ট পরিমাণ মূলধনের 1 বছরের সরল সুদ 50 টাকা এবং 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 102 টাকা হলে, মূলধনের পরিমাণ ও বার্ষিক সুদের হার নির্ণয় করো।
সমাধান –
ধরি মূলধনের পরিমাণ (P)= x টাকা
এবং বার্ষিক সুদের হার r%
সময় = 2 বছর
শর্তানুসারে,
\(\frac{x \times 1 \times r}{100}=50\)বা, \(xr=5000\)…..(i)
এবং
\(x(1+\frac{r}{100})^2-x=102\)…..(ii)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(x(1+\frac{r}{100})^2-x=102\)বা, \(x[(1+\frac{r}{100})^2-1]=102\)
বা, \(x[(1+\frac{r}{100}-1)(1+\frac{r}{100}+1)]=102\) [∵ \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)]
বা, \(x[(\frac{r}{100})(2+\frac{r}{100})]=102\)
বা, \(x(\frac{2r}{100}+\frac{r^2}{10000})=102\)
বা, \(\frac{2xr}{100}+\frac{xr^2}{10000}=102\)
বা, \(\frac{2 \times 5000}{100} + \frac{5000r}{10000} = 102\) [∵ \(xr=5000\)]
বা, \(100 + \frac{r}{2} = 102\)
বা, \(\frac{r}{2} = 102-100\)
বা, \(\frac{r}{2}=2\)
বা, \(r=4\)
r-এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x(4)=5000\)বা, \(x=\frac{5000}{4}\)
বা, \(x=1250\)
উত্তর – মূলধনের পরিমাণ 1250 টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার 4%।
17. কোনো মূলধনের 2 বছরের সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে 8400 টাকা এবং 8652 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক সুদের হার নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, মূলধনের পরিমাণ x টাকা এবং সুদের হার r%
সময় = 2 বছর।
2 বছরের সুদ 8400 টাকা
বা, \(2xr=840000\)
বা, \(xr=420000\) —-(i)
আবার, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 8652 টাকা
∴ \(x(1+\frac{r}{100})^2-x=8652\) —-(ii)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(x(1+\frac{r}{100})^2-x=8652\)বা, \(x[(1+\frac{r}{100})^2-1]=8652\)
বা, \(x(1+\frac{r}{100}-1)(1+\frac{r}{100}+1)=8652\) [∵ \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)]
বা, \(x(\frac{r}{100})(2+\frac{r}{100})=8652\)
বা, \(xr(\frac{2+\frac{r}{100}}{100})=8652\)
বা, \(420000(\frac{2+\frac{r}{100}}{100})=8652\) [∵ \(xr=420000\)]
বা, \(\frac{2+\frac{r}{100}}{100}=\frac{865200}{420000}\)
বা, \(2+\frac{r}{100}=2.06\)
বা, \(\frac{r}{100}=0.06\)
বা, \(r=6\)
∴ সুদের হার 6%
এখন r এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(x(6)=420000\)বা, \(x=\frac{420000}{6}\)
বা, \(x=70000\)
উত্তর – মূলধনের পরিমাণ 70000 টাকা এবং সুদের হার 6%।
18. 6 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 6000 টাকার 1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করি।
সমাধান –
আসল (P) = 6000 টাকা
সুদের হার (r) = 8%
সময়(n) = 1 বছর
1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ (6 মাস অন্তর দেয় চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 8%) =
\(=P(1+\frac{r/2}{100})^{2n} – P\) টাকা
\(=6000(1+\frac{8/2}{100})^{2\times 1} – 6000\) টাকা
\(=6000(1+\frac{4}{100})^{2} – 6000\) টাকা
\(=6000[(1+\frac{4}{100})^2 – 1]\) টাকা
\(=6000(1+\frac{4}{100}-1)(1+\frac{4}{100}+1)\) টাকা
\(=6000(\frac{4}{100})(2+\frac{4}{100})\) টাকা
\(=6000 \times \frac{4}{100} \times \frac{204}{100}\) টাকা
\(=6 \times 4 \times \frac{204}{10}\) টাকা
\(=489.60\) টাকা
উত্তর – সুদের পরিমাণ 489.60 টাকা।
19. 3 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 6250 টাকার 9 মাসের চক্রবৃদ্ধি সুদ হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
আসল (P) = 6250 টাকা
3 মাস অন্তর দেয় বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 10%
সময় = 9 মাস = \(\frac{9}{12}\) বছর = \(\frac{3}{4}\) বছর
∴ সুদের পর্ব = \(\frac{12}{3} = 4\)
এখন 9 মাসের চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ
\(=P[(1+\frac{r/4}{100})^{4n} – 1]\) টাকা
\(=6250[(1+\frac{10/4}{100})^{4 \times \frac{3}{4}} – 1]\) টাকা
\(=6250[(1+\frac{10}{400})^3 – 1]\) টাকা
\(=6250[(1+\frac{1}{40})^3 – 1]\) টাকা
\(=6250[(\frac{41}{40})^3 – 1]\) টাকা
\(=6250(\frac{68921}{64000} – 1)\) টাকা
\(=6250(\frac{68921-64000}{64000})\) টাকা
\(=6250 \times \frac{4921}{64000}\) টাকা\(=480.57\) টাকা (Approx)
উত্তর – 9 মাসের চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ 480.57 টাকা প্রায়।
20. যদি 60000 টাকার 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 69984 টাকা হয়, তবে বার্ষিক সুদের হার হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, বার্ষিক সুদের হার r %
শর্তানুসারে,
\(60000(1+\frac{r}{100})^2=69984\)বা, \(1+\frac{r}{100}^2=\frac{69984}{60000}\)
বা, \(^2=\frac{4374}{3750}\)
বা, \(1+\frac{r}{100}^2=\frac{729}{625}\)
বা, \(1+\frac{r}{100}^2=(\frac{27}{25})^2\)
বা, \(1+\frac{r}{100}=\frac{27}{25}\)
বা, \(\frac{r}{100}=\frac{27}{25}-1\)
বা, \(\frac{r}{100}=\frac{2}{25}\)
বা, \(r=8\)
উত্তর – বার্ষিক সুদের হার 8%।
21. বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরে 40000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 46656 টাকা হবে, তা নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, n বছরে বার্ষিক 8% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 40000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 46656 টাকা হবে।
শর্তানুসারে,
\(40000(1+\frac{8}{100})^n = 46656\)বা, \((1+\frac{8}{100})^n = \frac{46656}{40000}\)
বা, \((\frac{108}{100})^n = \frac{729}{625}\)
বা, \((\frac{27}{25})^n = (\frac{27}{25})^2\)
বা, \(n=2\)
উত্তর – 2 বছরে 40000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 46656 টাকা হবে।
22. শতকরা বার্ষিক কত চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 10000 টাকার 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 12100 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, বার্ষিক r% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 10000 টাকার 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি 12100 টাকা হবে।
শর্তানুসারে,
\(10000(1+\frac{r}{100})^2=12100\)বা, \((1+\frac{r}{100})^2 = \frac{12100}{10000}\)
বা, \((1+\frac{r}{100})^2=\frac{121}{100}\)
বা, \((1+\frac{r}{100})^2=(\frac{11}{10})^2\)
বা, \(1+\frac{r}{100}=\frac{11}{10}\)
বা, \(\frac{r}{100}=\frac{11}{10}-1\)
বা, \(\frac{r}{100}=\frac{1}{10}\)
বা, \(r=\frac{100}{10}\)
বা, \(r=10\)
উত্তর – শতকরা চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 10%
23. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরে 50000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 60500 টাকা হবে নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে n বছরে 50000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 60500 টাকা হবে।
শর্তানুসারে, \(50000(1+\frac{10}{100})^n=60500\)
বা, \((\frac{110}{100})^n=\frac{60500}{50000}\)
বা, \((\frac{11}{10})^n=\frac{121}{100}\)
বা, \((\frac{11}{10})^n=(\frac{11}{10})^2\)
বা, \(n=2\)
উত্তর – 2 বছরে 50000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে 60500 টাকা।
24. বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে কত বছরে 300000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 399300 টাকা হবে, তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে n বছরে 300000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি 399300 টাকা হবে।
শর্তানুসারে,
\(300000(1+\frac{10}{100})^n = 399300\)বা, \((1+\frac{10}{100})^n = \frac{399300}{300000}\)
বা, \((\frac{110}{100})^n = \frac{3993}{3000}\)
বা, \((\frac{11}{10})^n = \frac{1331}{1000}\)
বা, \((\frac{11}{10})^n = (\frac{11}{10})^3\)
বা, \(n=3\)
উত্তর –3 বছরে 300000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে 399300 টাকা।
Here is the text extracted from the image:
25. সুদের পর্ব 6 মাস হলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 1600 টাকার \(\frac{1}{2}\) বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সুদ আসল নির্ণয় করি।
সমাধান –
আসল (P) = 1600 টাকা
সময় (n) = 1 \(\frac{1}{2}\) বছর = \(\frac{3}{2}\) বছর
সুদের হার (r%) = 10%
সুদের পর্ব = \(\frac{12}{6}=2\)
∴ 1 \(\frac{1}{2}\(\) বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি \(\)=P(1+\frac{r/2}{100})^{2n}\) টাকা
\(=1600(1+\frac{10/2}{100})^{2 \times \frac{3}{2}}\) টাকা
\(=1600(1+\frac{5}{100})^3\) টাকা
\(=1600(\frac{105}{100})^3\) টাকা
\(=1600(\frac{21}{20})^3\) টাকা
\(=1600 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20}\) টাকা
\(=1852.20\) টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ = (1852.20-1600) টাকা = 252.20 টাকা
উত্তর – চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ হবে 252.20 টাকা এবং সুদ আসলের পরিমাণ হবে 1852.20 টাকা।
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের ষষ্ঠ অধ্যায়, ‘চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমাহার বৃদ্ধি বা হ্রাস’ -এর ‘কষে দেখি – 6.1’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন