এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের নবম অধ্যায়, ‘দ্বিঘাত করণী’ -এর ‘কষে দেখি – 9.2’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
1. (a) \(3^\frac{1}{2}\) ও \(\sqrt{3}\) -এর গুণফল নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(3^\frac{1}{2}\) ও \(\sqrt{3}\) -এর গুণফল
= \(3^\frac{1}{2} \times \sqrt{3}\)
= \(\sqrt{3} \times \sqrt{3}\)
= \(3\)
1. (b) \(2\sqrt{2}\) -কে কত দিয়ে গুণ করলে 4 পাব লিখি।
সমাধান –
\(\frac{4}{2\sqrt{2}}\)= \(\frac{4 \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\) [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= \(\frac{4\sqrt{2}}{2 \times 2}\)
= \(\frac{4\sqrt{2}}{4}\)
= \(\sqrt{2}\)
∴ \(2\sqrt{2}\) -কে \(\sqrt{2}\) দিয়ে গুণ করলে 4 পাব।
1. (c) \(3\sqrt{5}\) এবং \(5\sqrt{3}\) -এর গুণফল নির্ণয় করি।
সমাধান –
∴ \(3\sqrt{5}\) এবং \(5\sqrt{3}\) -এর গুণফল
= \(3\sqrt{5} \times 5\sqrt{3}\)
= \(15\sqrt{15}\)
1. (d) \(\sqrt{6} \times \sqrt{15} = x\sqrt{10}\) হলে, x -এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(\sqrt{6} \times \sqrt{15} = x\sqrt{10}\)বা, \(x = \frac{\sqrt{6} \times \sqrt{15}}{\sqrt{10}}\)
বা, \(x = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2} \times \sqrt{5} \times \sqrt{3}}{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}\)
বা, \(x = \sqrt{3} \times \sqrt{3}\)
বা, \(x = 3\)
∴ x এর মান \(3\)।
1. (e) \((\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} – \sqrt{3}) = 25 – x^{2}\) একটি সমীকরণ হলে, x -এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
বা, \((\sqrt{5})^{2} – (\sqrt{3})^{2} = 25 – x^{2}\)
বা, \(5 – 3 = 25 – x^{2}\)
বা, \(x^{2} = 25 – 2\)
বা, \(x^{2} = 23\)
বা, \(x = \pm \sqrt{23}\)
∴ x এর মান \(\pm \sqrt{23}\)
2. গুণফল নির্ণয় করি
সমাধান –
(a) \(\sqrt{7} \times \sqrt{14}\)
(b) \(\sqrt{12} \times 2\sqrt{3}\)
(c) \(\sqrt{5} \times \sqrt{15} \times \sqrt{3}\)
(d) \(\sqrt{2}(3 + \sqrt{5})\)
(e) \((\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})\)
(f) \((2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})(4\sqrt{2} + \sqrt{5})\)
(g) \((\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)(2 – \sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})\)
(a) \(\sqrt{7} \times \sqrt{14}\)
= \(\sqrt{7} \times \sqrt{7 \times 2}\)
= \(\sqrt{7} \times \sqrt{7} \times \sqrt{2}\)
= \(7\sqrt{2}\)
(b) \(\sqrt{12} \times 2\sqrt{3}\)
= \(\sqrt{2 \times 2 \times 3} \times 2\sqrt{3}\)
= \(2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3}\)
= \(4 \times 3\)
= \(12\)
(c) \(\sqrt{5} \times \sqrt{15} \times \sqrt{3}\)
= \(\sqrt{5} \times \sqrt{3} \times \sqrt{5} \times \sqrt{3}\)
= \(5 \times 3\)
= \(15\)
(d) \(\sqrt{2}(3 + \sqrt{5})\)
= \(3\sqrt{2} + \sqrt{10}\)
(e) \((\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} – \sqrt{3})\)
= \((\sqrt{2})^{2} – (\sqrt{3})^{2}\)
= \(2 – 3\)
= \(-1\)
(f) \((2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})(4\sqrt{2} + \sqrt{5})\)
= \(2\sqrt{3}(4\sqrt{2} + \sqrt{5}) + 3\sqrt{2}(4\sqrt{2} + \sqrt{5})\)
= \(8\sqrt{6} + 2\sqrt{15} + 24 + 3\sqrt{10}\)
= \(24 + 8\sqrt{6} + 2\sqrt{15} + 3\sqrt{10}\)
(g) \((\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)(2 – \sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})\)
= \(\{(\sqrt{3})^{2} – (1)^{2}\}(2 – \sqrt{3}) \cdot 2(2 + \sqrt{3})\)
= \((3 – 1) \times (2 – \sqrt{3}) \times 2 \times (2 + \sqrt{3})\)
= \(2 \times 2 \times \{(2)^{2} – (\sqrt{3})^{2}\}\)
= \(4 \times (4 – 3)\)
= \(4 \times 1\)
= \(4\)
3. (a) \(\sqrt{5}\) -এর করণী নিরসক উৎপাদক \(\sqrt{x}\) হলে, x -এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি। [যেখানে x একটি পূর্ণসংখ্যা]
সমাধান –
\(\sqrt{5}\) -এর করণী নিরসক উৎপাদক \(\sqrt{x}\)
∴ \(\sqrt{5} \times \sqrt{x} = 5\)
বা, \(\sqrt{x} = \frac{5}{\sqrt{5}}\)
বা, \(\sqrt{x} = \frac{5 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}\)
বা, \(\sqrt{x} = \frac{5\sqrt{5}}{5}\)
বা, \(\sqrt{x} = \sqrt{5}\)
বা, \(x = 5\) [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]
∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান \(5\)।
3. (b) \(3\sqrt{2} \div 3\) -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
∴ \(3\sqrt{2} \div 3\)
= \(\frac{3\sqrt{2}}{3}\)
= \(\sqrt{2}\)
∴ \(3\sqrt{2} \div 3\) -এর মান \(\sqrt{2}\)।
3. (c) \(7 \div \sqrt{48}\) -এর হরের করণী নিরসন করতে হরকে কত দিয়ে গুণ করতে হবে তা লিখি।
সমাধান –
∴ \(7 \div \sqrt{48}\)
= \(\frac{7}{\sqrt{48}}\)
= \(\frac{7}{\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3}}\)
= \(\frac{7}{2 \times 2 \times \sqrt{3}}\)
= \(\frac{7}{4\sqrt{3}}\)
= \(\frac{7 \times \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \times \sqrt{3}}\) [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= \(\frac{7\sqrt{3}}{12}\)
∴ \(7 \div \sqrt{48}\) -এর হরের করণী নিরসন করতে হরকে ন্যূনতম \(\sqrt{3}\) দ্বারা গুণ করতে হবে।
3. (d) \((\sqrt{5} + 2)\) -এর করণী নিরসক উৎপাদক নির্ণয় করি যা করণীটির অনুবন্ধী করণী।
সমাধান –
\((\sqrt{5} + 2)\) এর করণী নিরসক উৎপাদক বের করতে হবে।
করণীটির অনুবন্ধী (conjugate) হবে \((\sqrt{5} – 2)\)।
এখন, দুটি গুণফল নির্ণয় করি:
\((\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} – 2) = (\sqrt{5})^{2} – (2)^{2}\)= \(5 – 4 = 1\)
অতএব, \((\sqrt{5} + 2)\) এর করণী নিরসক উৎপাদক হল \(1\)।
3. (e) \((\sqrt{5} + \sqrt{2}) \div \sqrt{7} = \frac{1}{7}(\sqrt{35} + a)\) হলে, a -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
∴ \((\sqrt{5} + \sqrt{2}) \div \sqrt{7} = \frac{1}{7}(\sqrt{35} + a)\)
বা, \(\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{35} + a}{7}\)
বা, \(\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{35} + a}{7}\)
বা, \(\frac{\sqrt{35} + \sqrt{14}}{7} = \frac{\sqrt{35} + a}{7}\)
বা, \(\sqrt{35} + \sqrt{14} = \sqrt{35} + a\)
বা, \(a = \sqrt{14}\)
∴ a -এর মান \(\sqrt{14}\)।
3. (f) \(\frac{5}{\sqrt{3} – 2}\) -এর হরের একটি করণী নিরসক উৎপাদক লিখি যা অনুবন্ধী করণী নয়।
সমাধান –
আমরা \(\frac{5}{\sqrt{3} – 2}\) এর হরের করণী নিরসক উৎপাদক নির্ণয় করবো।
প্রথমে, \(\frac{5}{\sqrt{3} – 2}\) এর হরকে \(\sqrt{3} + 2\) দিয়ে গুণ করব, কারণ আমরা অনুবন্ধী করণী ব্যবহার করতে চাই না।
তাহলে, \(\frac{5}{\sqrt{3} – 2} \times \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 2} = \frac{5(\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} – 2)(\sqrt{3} + 2)}\)
= \(\frac{5(\sqrt{3} + 2)}{3 – 4} = \frac{5(\sqrt{3} + 2)}{-1} = -5(\sqrt{3} + 2)\)
তাহলে, \(\frac{5}{\sqrt{3} – 2}\) এর হরের একটি করণী নিরসক উৎপাদক হল \(-5(\sqrt{3} + 2)\)
4. \((9 – 4\sqrt{5})\) ও \((-2 – \sqrt{7})\) মিশ্র দ্বিঘাত করণীদ্বয়ের অনুবন্ধী করণীদ্বয় লিখি।
সমাধান –
\((9 – 4\sqrt{5})\) -এর অনুবন্ধী করণী হল \((9 + 4\sqrt{5})\) এবং \((-2 – \sqrt{7})\) এর অনুবন্ধী করণীটি হল \((-2 + \sqrt{7})\)
5. নীচের মিশ্র দ্বিঘাত করণীর 2 টি করে করণী নিরসক উৎপাদক লিখি –
(i) \(\sqrt{5} + \sqrt{2}\)
(ii) \(13 + \sqrt{6}\)
(iii) \(\sqrt{8} – 3\)
(iv) \(\sqrt{17} – \sqrt{15}\)
সমাধান –
(i) \(\sqrt{5} + \sqrt{2}\)
\(\sqrt{5} + \sqrt{2}\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক হল \((\sqrt{5} – \sqrt{2})\) এবং \((-\sqrt{5} + \sqrt{2})\)
(ii) \(13 + \sqrt{6}\)
\(13 + \sqrt{6}\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক হল \((13 – \sqrt{6})\) এবং \((-13 + \sqrt{6})\)
(iii) \(\sqrt{8} – 3\)
\(\sqrt{8} – 3\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক হল \((\sqrt{8} + 3)\) এবং \((-\sqrt{8} + 3)\)
(iv) \(\sqrt{17} – \sqrt{15}\)
\(\sqrt{17} – \sqrt{15}\) এর দুটি করণী নিরসক উৎপাদক হল \((\sqrt{17} + \sqrt{15})\) এবং \((-\sqrt{17} – \sqrt{15})\)
6. হরের করণী নিরসন করি –
(i) \(\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\)
(ii) \(\frac{\sqrt{2} – 1 + \sqrt{6}}{\sqrt{5}}\)
(iii) \(\frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3} + 1}\)
(iv) \(\frac{3 + \sqrt{5}}{\sqrt{7} – \sqrt{3}}\)
(v) \(\frac{3\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{5} – 1}\)
(vi) \(\frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2} – 2\sqrt{3}}\)
সমাধান –
(i) \(\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\)
\(\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\)= \(\frac{(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}}\) [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= \(\frac{2\sqrt{18} + 3\sqrt{12}}{6}\)
= \(\frac{2\sqrt{3 \times 3 \times 2} + 3\sqrt{2 \times 2 \times 3}}{6}\)
= \(\frac{2 \times 3\sqrt{2} + 3 \times 2\sqrt{3}}{6}\)
= \(\frac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{3}}{6}\)
= \(\frac{6(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{6}\)
= \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)
(ii) \(\frac{\sqrt{2} – 1 + \sqrt{6}}{\sqrt{5}}\)
\(\frac{\sqrt{2} – 1 + \sqrt{6}}{\sqrt{5}}\)= \(\frac{(\sqrt{2} – 1 + \sqrt{6}) \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}\) [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= \(\frac{\sqrt{10} – \sqrt{5} + \sqrt{30}}{5}\)
= \(\frac{1}{5}(\sqrt{10} – \sqrt{5} + \sqrt{30})\)
(iii) \(\frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3} + 1}\)
\(\frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3} + 1}\)= \(\frac{(\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)}\) [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= \(\frac{(\sqrt{3} – 1)^{2}}{(\sqrt{3})^{2} – (1)^{2}}\)
= \(\frac{(\sqrt{3})^{2} – 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + (1)^{2}}{3 – 1}\)
= \(\frac{3 – 2\sqrt{3} + 1}{2}\)
= \(\frac{4 – 2\sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{2(2 – \sqrt{3})}{2}\)
= \(2 – \sqrt{3}\)
(iv) \(\frac{3 + \sqrt{5}}{\sqrt{7} – \sqrt{3}}\)
\(\frac{3 + \sqrt{5}}{\sqrt{7} – \sqrt{3}}\)= \(\frac{(3 + \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} – \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})}\) [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= \(\frac{3\sqrt{7} + \sqrt{35} + 3\sqrt{3} + \sqrt{15}}{(\sqrt{7})^{2} – (\sqrt{3})^{2}}\)
= \(\frac{3\sqrt{7} + \sqrt{35} + 3\sqrt{3} + \sqrt{15}}{7 – 3}\)
= \(\frac{\sqrt{35} + \sqrt{15} + 3\sqrt{7} + 3\sqrt{3}}{4}\)
= \(\frac{1}{4}(3\sqrt{7} + \sqrt{35} + 3\sqrt{3} + \sqrt{15})\)
(v) \(\frac{3\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{5} – 1}\)
\(\frac{3\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{5} – 1}\)= \(\frac{(3\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{5} + 1)}{(2\sqrt{5} – 1)(2\sqrt{5} + 1)}\) [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= \(\frac{6\sqrt{10} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 1}{(2\sqrt{5})^{2} – (1)^{2}}\)
= \(\frac{6\sqrt{10} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 1}{20 – 1}\)
= \(\frac{6\sqrt{10} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 1}{19}\)
= \(\frac{1}{19}(6\sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 3\sqrt{2} + 1)\)
(vi) \(\frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2} – 2\sqrt{3}}\)
\(\frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2} – 2\sqrt{3}}\)= \(\frac{(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2} – 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}\)
= \(\frac{(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^{2}}{(3\sqrt{2})^{2} – (2\sqrt{3})^{2}}\)
= \(\frac{(3\sqrt{2})^{2} + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^{2}}{18 – 12}\)
= \(\frac{18 + 12\sqrt{6} + 12}{6}\)
= \(\frac{30 + 12\sqrt{6}}{6}\)
= \(\frac{6(5 + 2\sqrt{6})}{6}\)
= \(5 + 2\sqrt{6}\)
7. প্রথমটিকে দ্বিতীয়টি দিয়ে ভাগ করে ভাজককে মূলদ সংখ্যায় পরিণত করি।
(i) \(3\sqrt{2} + \sqrt{5}, \sqrt{2} + 1\)
(ii) \(2\sqrt{3} – \sqrt{2}, \sqrt{2} – \sqrt{3}\)
(iii) \(3 + \sqrt{6}, \sqrt{3} + \sqrt{2}\)
সমাধান –
(i) \(3\sqrt{2} + \sqrt{5}, \sqrt{2} + 1\)
\(3\sqrt{2} + \sqrt{5} \div \sqrt{2} + 1\)= \(\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + 1}\)
= \(\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{2} – 1}\) [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= \(\frac{(3\sqrt{2} + \sqrt{5})(\sqrt{2} – 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} – 1)}\)
= \(\frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} – 3\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} – \sqrt{5} \cdot 1}{(\sqrt{2})^{2} – (1)^{2}}\)
= \(\frac{6 – 3\sqrt{2} + \sqrt{10} – \sqrt{5}}{2 – 1}\)
= \(6 – 3\sqrt{2} + \sqrt{10} – \sqrt{5}\)
(ii) \(2\sqrt{3} – \sqrt{2}, \sqrt{2} – \sqrt{3}\)
\(2\sqrt{3} – \sqrt{2} \div \sqrt{2} – \sqrt{3}\)= \(\frac{2\sqrt{3} – \sqrt{2}}{\sqrt{2} – \sqrt{3}}\)
= \(\frac{2\sqrt{3} – \sqrt{2}}{\sqrt{2} – \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}\) [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= \(\frac{(2\sqrt{3} – \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} – \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}\)
= \(\frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} – \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} – \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{(\sqrt{2})^{2} – (\sqrt{3})^{2}}\)
= \(\frac{2\sqrt{6} + 6 – 2 – \sqrt{6}}{2 – 3}\)
= \(\frac{4 + \sqrt{6}}{-1}\)
= \(-(4 + \sqrt{6})\)
(iii) \(3 + \sqrt{6}, \sqrt{3} + \sqrt{2}\)
\(3 + \sqrt{6} \div \sqrt{3} + \sqrt{2}\)= \(\frac{3 + \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}\)
= \(\frac{3 + \sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} – \sqrt{2}}{\sqrt{3} – \sqrt{2}}\) [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= \(\frac{(3 + \sqrt{6})(\sqrt{3} – \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} – \sqrt{2})}\)
= \(\frac{3\sqrt{3} – 3\sqrt{2} + \sqrt{18} – \sqrt{12}}{(\sqrt{3})^{2} – (\sqrt{2})^{2}}\)
= \(\frac{3\sqrt{3} – 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} – 2\sqrt{3}}{3 – 2}\) [since \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)]
= \(\frac{\sqrt{3}}{1}\)
= \(\sqrt{3}\)
8. মান নির্ণয় করি –
(i) \(\frac{2\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} – \frac{4\sqrt{5} – 1}{\sqrt{5} – 1}\)
(ii) \(\frac{8 + 3\sqrt{2}}{3 + \sqrt{5}} – \frac{8 – 3\sqrt{2}}{3 – \sqrt{5}}\)
সমাধান –
(i) \(\frac{2\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} – \frac{4\sqrt{5} – 1}{\sqrt{5} – 1}\)
\(\frac{2\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} – \frac{4\sqrt{5} – 1}{\sqrt{5} – 1}\)= \(\frac{(2\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} – 1) – (4\sqrt{5} – 1)(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} – 1)}\)
= \(\frac{(10 – 2\sqrt{5} + \sqrt{5} – 1) – (20 + 4\sqrt{5} – \sqrt{5} – 1)}{(\sqrt{5})^{2} – (1)^{2}}\)
= \(\frac{(9 – \sqrt{5}) – (19 + 3\sqrt{5})}{5 – 1}\)
= \(\frac{9 – \sqrt{5} – 19 – 3\sqrt{5}}{4}\)
= \(\frac{-10 – 4\sqrt{5}}{4}\)
= \(\frac{-2(5 + 2\sqrt{5})}{4}\)
= \(-\frac{5 + 2\sqrt{5}}{2}\)
(ii) \(\frac{8 + 3\sqrt{2}}{3 + \sqrt{5}} – \frac{8 – 3\sqrt{2}}{3 – \sqrt{5}}\)
\(\frac{8 + 3\sqrt{2}}{3 + \sqrt{5}} – \frac{8 – 3\sqrt{2}}{3 – \sqrt{5}}\)= \(\frac{(8 + 3\sqrt{2})(3 – \sqrt{5}) – (8 – 3\sqrt{2})(3 + \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 – \sqrt{5})}\)
= \(\frac{(24 + 9\sqrt{2} – 8\sqrt{5} – 3\sqrt{10}) – (24 – 9\sqrt{2} + 8\sqrt{5} – 3\sqrt{10})}{(3)^{2} – (\sqrt{5})^{2}}\)
= \(\frac{24 + 9\sqrt{2} – 8\sqrt{5} – 3\sqrt{10} – 24 + 9\sqrt{2} – 8\sqrt{5} + 3\sqrt{10}}{9 – 5}\)
= \(\frac{18\sqrt{2} – 16\sqrt{5}}{4}\)
= \(\frac{2(9\sqrt{2} – 8\sqrt{5})}{4}\)
= \(\frac{9\sqrt{2} – 8\sqrt{5}}{2}\)
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের নবম অধ্যায়, ‘দ্বিঘাত করণী’ -এর ‘কষে দেখি – 9.2’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন