মাধ্যমিক গণিত – গোলক – প্রয়োগ

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের দ্বাদশ অধ্যায়, ‘গোলক’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।

প্রয়োগ 1. বলটির ব্যাস 42 সেমি., তবে বলটিতে কতটা চামড়া আছে হিসাব করি।

সমাধান –

বলটির ব্যাস = 42 সেমি.

বলটির ব্যাসার্ধ = \(\frac{42}2\) সেমি. = 21 সেমি.

∴ বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ সেমি.

= 4 × π × (21)² বর্গ সেমি.

= \(\require{cancel}4\times\frac{22}{\cancel7}\times21\times\overset3{\cancel{21}}\) বর্গ সেমি.

= 88 × 63 বর্গ সেমি.

= 5544 বর্গ সেমি.

∴ বলটিতে 5544 বর্গ সেমি. চামড়া আছে।

প্রয়োগ 2. লোহার পাতে তৈরি একটি গোলকের ব্যাস 14 সেমি.। গোলকটিকে রং করতে প্রতি বর্গ সেমি. 2.50 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে হিসাব করি।

সমাধান –

গোলকের ব্যাস 14 সেমি.

গোলকের ব্যাসার্ধ = \(\frac{14}2\) সেমি. = 7 সেমি.

∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ সেমি.

= 4 × π × (7)² বর্গ সেমি.

= \(\require{cancel}4\times\frac{22}{\cancel7}\times7\times\cancel7\) বর্গ সেমি.

= 22 × 28 বর্গ সেমি.

= 616 বর্গ সেমি.

∴ প্রতি বর্গ সেমি. 2.50 টাকা হিসাবে রং করতে খরচ পড়বে 616 × 2.50 = 1540 টাকা।

প্রয়োগ 3. 14 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট গোলকাকার নিরেট পাথরের বলে কতটা পরিমাণ পাথর আছে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

গোলকাকার নিরেট পাথরের বলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = \(\frac{14}2\) সেমি. = 7 সেমি.

∴ গোলকাকার নিরেট পাথরের বলে পাথর আছে = \(\frac43\mathrm{πr}^3\) ঘন সেমি.

= \(\frac43\times\mathrm\pi\times\left(7\right)^3\) ঘন সেমি.

= \(\require{cancel}\frac43\times\frac{22}{\cancel7}\times7\times7\times\cancel7\) ঘন সেমি.

= \(\frac{4312}3\) ঘন সেমি.

= 1437.33 ঘন সেমি.

∴ 4 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট গোলকাকার নিরেট পাথরের বলে 1437.33 ঘন সেমি. পরিমাণ পাথর আছে।

প্রয়োগ 4. 0.7 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কোনো পাথরের গোলকাকার বল চৌবাচ্চার জলে ডোবালে কতটা পরিমাণ জল অপসারিত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

পাথরের বলটির ব্যাসার্ধ 0.7 ডেসিমি. = \(\frac7{10}\) ডেসিমি.

∴ পাথরের বলটির আয়তন = \(\frac43\mathrm{πr}^3\) ঘন ডেসিমি.

= \(\frac43\times\mathrm\pi\times\left(\frac7{10}\right)^3\) ঘন ডেসিমি.

= \(\require{cancel}\frac43\times\frac{22}{\cancel7}\times\frac{\cancel7}{10}\times\frac7{10}\times\frac7{10}\) ঘন ডেসিমি.

= \(\frac{4312}{3000}\) ঘন ডেসিমি.

= 1.44 ঘন ডেসিমি.।

∴ পাথরের গোলকাকার বল চৌবাচ্চার জলে ডোবালে 1.44 ঘন ডেসিমি. জল অপসারিত হবে।

প্রয়োগ 5. যদি কোনো গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2464 বর্গ মিটার হয়, তবে ওই গোলকের আয়তন কত হবে হিসাব করি।

সমাধান –

ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) মিটার।

শর্তানুসারে, \(4\pi r^2 = 2464\)

বা, \(4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 2464\)

বা, \(r^2 = 2464 \times \frac{7}{22 \times 4}\)

বা, \(\require{cancel} r^2 = \overset{\overset{28}{\cancel{112}}}{\cancel{2464}} \times \frac{7}{\cancel{22} \times \cancel{4}}\)

বা, \(r^2 = 28 \times 7\)

বা, \(r^2 = 7^2 \times 2^2\)

বা, \(r = 7 \times 2\)

∴ \(r = 14\)

∴ ওই গোলকের আয়তন = \(\frac{4}{3}\pi r^3\) ঘন মিটার

= \(\frac{4}{3} \times \pi \times (14)^3\) ঘন মিটার

= \(\require{cancel} \frac{4}{3} \times \frac{22}{\cancel{7}} \times 14 \times 14 \times \overset{2}{\cancel{14}}\) ঘন মিটার

= \(\frac{34496}{3}\) ঘন মিটার

∴ গোলকের আয়তন = 11498.67 ঘন মিটার।

প্রয়োগ 6. যদি একটি অর্ধগোলকাকার নিরেট ঘনবস্তুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. হয়, তবে তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

অর্ধগোলকাকার নিরেট ঘনবস্তুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r = 14 সেমি.

অর্ধগোলকাকার নিরেট ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr² বর্গ সেমি.

= \(3\times\mathrm\pi\times\left(14\right)^2\) বর্গ সেমি.

= \(\require{cancel}3\times\frac{22}{\cancel7}\times14\times\overset2{\cancel{14}}\) বর্গ সেমি.

= 66 × 28 বর্গ সেমি.

= 1848 বর্গ সেমি.

প্রয়োগ 7. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে যদি 173.25 বর্গ সেমি. পাত লাগে, তবে ওই বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

[উত্তর সংকেত – বাটিটি যেহেতু নিরেট নয় তাই শুধুমাত্র বক্রতলে পাত লাগবে]

ধরি, অর্ধগোলাকৃতি বাটিটির মুখের ব্যাস r সেমি.

তাহলে অর্ধগোলাকৃতি বাটিটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr² বর্গ সেমি.

শর্তানুসারে, 2πr² = 173.25

বা, \(2\times\frac{22}7\times r^2=173.25\)

বা, \(\require{cancel}r^2=\frac{{\displaystyle\overset{15.75}{\cancel{\cancel{173.25}}}}\times7}{2\times{\displaystyle\underset2{\cancel{22}}}}\)

বা, \(r^2=\frac{11025}4\)

বা, \(r=\sqrt{\frac{11025}4}\)

বা, \(r=\frac{10.5}2\)

∴ r = 5.25

∴ ওই বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2r = 5.25 × 2 = 10.5 সেমি।

প্রয়োগ 8. যদি একটি পাথরের অর্ধগোলকাকার নিরেট ঘনবস্তুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. হয়, তবে তাতে কতটা পরিমাণ পাথর আছে হিসাব করি।

সমাধান –

পাথরের অর্ধগোলকাকার নিরেট ঘনবস্তুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r = 14 সেমি.

নিরেট অর্ধগোলকাকার Paperweight-এ পাথর আছে = \(\frac43\mathrm{πr}^3\) ঘনসেমি.

= \(\frac43\times\mathrm\pi\times\left(14\right)^3\) ঘনসেমি.

= \(\frac43\times\mathrm\pi\times14\times14\times14\) ঘনসেমি.

= \(\require{cancel}\frac43\times\frac{22}{\cancel7}\times14\times14\times\overset2{\cancel{14}}\) ঘনসেমি.

= \(\frac{34496}3\) ঘনসেমি.

= 5749.33

প্রয়োগ 9. দুটি গোলকাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

ধরি, দুটি গোলকাকার ঘনবস্তুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে r₁, একক ও r₂ একক।

শর্তানুসারে,

\(\frac{4\mathrm{πr}_1^2}{4\mathrm{πr}_2^2}=\frac14\)

বা, \(\left(\frac{{\mathrm r}_1}{{\mathrm r}_2}\right)^2=\left(\frac12\right)^2\)

∴ \(\frac{{\mathrm r}_1}{{\mathrm r}_2}=\frac12\)

∴ প্রথম গোলকের আয়তনদ্বিতীয় গোলকের আয়তন

= \(\frac{{\displaystyle\frac43}\mathrm{πr}_1^3}{\frac43\mathrm{πr}_2^3}\)

= \(\left(\frac{{\mathrm r}_1}{r_2}\right)^3\)

= \(\left(\frac12\right)^3\)

= \(\frac18\)

∴ গোলকাকার ঘনবস্তুদুটির আয়তনের অনুপাত 1 : 8।

প্রয়োগ 10. যদি দুটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1 : 2 হয়, তবে তাদের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

ধরি, দুটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে, একক r₁ ও 2r₁, একক।

প্রথম গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \(4\pi r_1^2\) বর্গ একক

দ্বিতীয় গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = \(4\pi\left(2r_1\right)^2\) = \(16\pi r_1^2\) বর্গ একক

∴ প্রথম গোলকের ও দ্বিতীয় গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত \(4\pi r_1^2:16\pi r_1^2\) = 1 : 4

প্রয়োগ 11. যদি একটি গোলকের আয়তন ও পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হয়, তবে গোলকটির ব্যাসার্ধের সাংখ্যমান হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

ধরি, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক।

∴ গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক

এবং আয়তন = \(\frac43\pi r^3\) ঘন একক

প্রশ্নানুসারে, \(\frac43\pi r^3=4\pi r^2\) (যেহেতু সাংখ্যমান সমান)

∴ r = 3 [∵ r ≠ 0]

∴ গোলকটির ব্যাসার্ধের সাংখ্যমান 3.

প্রয়োগ 12. 1 সেমি. ও 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 1 সেমি পুরু ফাঁপা গোলকে পরিণত করা হলে, নতুন গোলকটির বাইরের বক্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

ধরি, নতুন গোলকের বহিঃব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) সেমি.

∴ ওই গোলকের অন্তঃব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(= (r – 1)\) সেমি.

প্রশ্নানুসারে,

\(\frac{4}{3}\pi r^3 – \frac{4}{3}\pi (r_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (1^3) + \frac{4}{3}\pi (6^3)\)

বা, \(\frac{4}{3}\pi\left( r^{3}-\left(r-1\right)^{3}\right)=\frac{4}{3}\pi\left(1+216\right)\)

বা, \(r^3 – r^3 + 3r^2 – 3r + 1 = 217\)

বা, \(3r^2 – 3r – 216 = 0\)

বা, \(r^2 – r – 72 = 0\)

বা, \(r^2 – 9r + 8r – 72 = 0\)

বা, \(r(r – 9) + 8(r – 9) = 0\)

বা, \((r – 9)(r + 8) = 0\)

হয়, \(r – 9 = 0\) ∴ \(r = 9\)

নতুবা, \(r + 8 = 0\) ∴ \(r = – 8\)

যেহেতু ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই \(r \neq -8\); সুতরাং \(r = 9\)

∴ নতুন গোলকটির বহিঃব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r = 9\) সেমি.

∴ বাইরের বক্রতলের ক্ষেত্রফল \(= 4\pi r^2\) বর্গ সেমি.

\(= 4 \times \pi \times (9)^2\) বর্গ সেমি.

\(= 4\times\frac{22}7\times9\times9\) বর্গ সেমি.

\(= \frac{7128}7\) বর্গ সেমি.

\(= 1018.29\) বর্গ সেমি.

---

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের দ্বাদশ অধ্যায়, ‘গোলক’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।

আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।