পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) নবম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের সপ্তম অধ্যায় হলো ‘বহুপদী সংখ্যামালা’। এই পোস্টে ‘কষে দেখি – 7.3‘-এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান দেওয়া হয়েছে। আশাকরি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়তা করবে।
1. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে \(x^3 -3x^2+2x +5\) –কে (i) \(x-2\) (ii) \(x+2\) (iii) \(2x-1\) (iv) \(2x+1\) দ্বারা ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে কত ভাগশেষ পাবো হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
(i) \(x-2\)
ধরি, \(f(x) = x^3 -3x^2+2x +5\)
\((x-2) = 0\)বা, \(x=2\)
\(\therefore\) (\(x-2\)) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(2\)
\(\therefore f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x-2)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ –
\(f(2) = (2)^3 -3(2)^2 +2(2)+5\)= \( 8-12+4+5\)
= \( 5\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ভাগশেষ \(5\)।
(ii) \(x+2\)
ধরি, \(f(x) = x^3 -3x^2+2x +5\)
\((x+2) = 0\)বা, \(x = -2\)
\(\therefore\) (\(x+2\)) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-2\)।
\(\therefore f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x+2)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ –
\(f(-2) = (-2)^3 -3(-2)^2 +2(-2)+5\)= \( -8-12-4+5\)
= \( -19\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ভাগশেষ \(-19\)।
(iii) \(2x-1\)
ধরি, \(f(x) = x^3 -3x^2+2x +5\)
\((2x-1) = 0\)বা, \(2x =1\)
বা, \(x = \frac{1}{2}\)
\((2x-1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(\frac{1}{2}\)
\(\therefore f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((2x-1)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ –
\(f \left(\frac{1}{2}\right)\)= \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 – 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right) + 5\)
= \( \frac{1}{8} – \frac{3}{4} + 1 + 5\)
= \( \frac{1-6+8+40}{8}\)
= \( \frac{43}{8}\)
= \( 5 \frac{3}{8}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ভাগশেষ \(5 \frac{3}{8}\)।
(iv) \(2x+1\)
ধরি, \(f(x) = x^3 -3x^2+2x +5\)
\((2x+1) =0\)বা, \(x= -\frac{1}{2}\)
\(\therefore (2x+1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-\frac{1}{2}\)
\(\therefore f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((2x+1)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ –
\(f \left(-\frac{1}{2}\right)\)= \( \left(-\frac{1}{2}\right)^3 – 3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 5\)
= \( -\frac{1}{8} – \frac{3}{4} – 1 + 5\)
= \( \frac{-1-6-8+40}{8}\)
= \( \frac{25}{8}\)
= \( 3 \frac{1}{8}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ভাগশেষ \(3 \frac{1}{8}\)।
2. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে \((x-1)\) দ্বারা নীচের বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করলে কী কী ভাগশেষ পাবো হিসাব করে লিখি।
(i) \(x^3-6x^2+13x+60\)
(ii) \(x^3-3x^2+4x+50\)
(iii) \(4x^3+4x^2-x-1\)
(iv) \(11x^3 -12x^2-x+7\)
সমাধান –
(i) \(x^3-6x^2+13x+60\)
ধরি, \(f(x) = x^3-6x^2+13x+60\)
\(x-1 =0\)বা, \(x =1\)
\(\therefore (x-1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 1।
\(\therefore f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x-1)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ-
= \( 1-6+13+60\)
= \( 68\)
(ii) \(x^3-3x^2+4x+50\)
ধরি, \(f(x) = x^3-3x^2+4x+50\)
\(x-1 =0\)বা, \(x =1\)
\(\therefore (x-1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 1।
\(\therefore f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x-1)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ –
\(f(1) = (1)^3 -3(1)^2+4(1) +50\)= \( 1-3+4+50\)
= \( 52\)
(iii) \(4x^3+4x^2-x-1\)
ধরি, \(f(x) = 4x^3+4x^2-x-1\)
\(x-1 =0\)বা, \(x =1\)
\(\therefore (x-1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 1।
\(\therefore f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x-1)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ –
\(f(1) = 4(1)^3+4(1)^2 -1-1\)= \( 4+4-1-1\)
= \( 6\)
(iv) ধরি, \(f(x) = 11x^3-12x^2-x+7\)
\((x-1)=0\)বা, \(x =1\)
\(\therefore (x-1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 1।
\(\therefore f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x-1)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ –
\(f(1) = 11(1)^3-12(1)^2-(1) +7\)= \( 11-12-1+7\)
= \( 5\)
4. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে \(p(x) = 4x^3+4x^2-x-1\) বহুপদী সংখ্যামালা \((2x+1)\) –এর গুণিতক কিনা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(p(x) = 4x^3+4x^2-x-1\)\(2x+1 =0\)বা, \(2x = -1\)
বা, \(x= -\frac{1}{2}\)
\(\therefore (2x+1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-\frac{1}{2}\)
\(\therefore p(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((2x+1)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ
\(p \left(-\frac{1}{2}\right)\)= \( 4\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 – \left(-\frac{1}{2}\right)-1\)
= \( 4 \left(-\frac{1}{8}\right) + 4 \left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2}-1\)
= \( -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2}-1\)
= \( 0\)
\(\therefore p(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((2x+1)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ 0 হয়। সুতরাং \(p(x)\) বহুপদী সংখ্যামালা \((2x+1)\) এর গুণিতক।
5. \((x-4)\) দ্বারা \((ax^3+3x^2-3)\) এবং \((2x^3-5x+a)\) বহুপদী সংখ্যামালাদ্বয়কে ভাগ করলে যদি একই ভাগশেষ থাকে তবে \(a\) এর মান কী হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = ax^3 +3x^2-3\) এবং \(g(x) = 2x^3 -5x+a\)
\(x-4 =0\)বা, \(x =4\)
\(\therefore (x-4)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 4।
\(\therefore f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x-4)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ
\(f(4) = a(4)^3+3(4)^2 -3\)= \( 64a +48 -3\)
= \( 64a +45\)
আবার, \(g(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x-4)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ
\(g(4) = 2(4)^3-5(4) +a\)= \( 128 -20 +a\)
= \( 108+a\)
শর্তানুসারে,
\(f(4) =g(4)\)বা, \(64a +45 = 108 +a\)
বা, \(64a-a = 108-45\)
বা, \(63a = 63\)
বা, \(a = \frac{63}{63}\)
বা, \(a = 1\)
\(\therefore a\) এর নির্ণেয় মান 1।
6. \(x^3+2x^2 -px-7\) এবং \(x^3 +px^2 -12x +6\) এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালাকে যথাক্রমে \((x+1)\) ও \((x-2)\) দ্বারা ভাগ করলে যদি \(R_1\) ও \(R_2\) ভাগশেষ পাওয়া যায় এবং যদি \(2R_1 +R_2 = 6\) হয়, তবে \(p\) এর মান কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = x^3+2x^2 -px-7\) এবং \(g(x) = x^3 +px^2 -12x +6\)
\(x+1= 0\)বা, \(x =-1\)
\(\therefore (x+1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য -1।
আবার, \((x-2) = 0\)
বা, \(x =2\)
\(\therefore (x-2)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 2।
\(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x+1)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ
\(f(-1) = (-1)^3+2(-1)^2 -p(-1)-7\)= \( -1+2 +p -7\)
= \( p -6\)
\(\therefore R_1 = p-6\)\(g(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x-2)\) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে নির্ণেয় ভাগশেষ
\(g(2) = (2)^3 +p(2)^2-12(2) +6\)= \( 8 +4p -24 +6\)
= \( 4p – 10\)
\(\therefore R_2 = 4p-10\)যেহেতু, \(2R_1 +R_2 = 6\)
\(\therefore 2(p-6) +(4p-10) = 6\)বা, \(2p-12 +4p-10 = 6\)
বা, \(6p -22 = 6\)
বা, \(6p = 28\)
বা, \(p = \frac{28}{6}\)
বা, \(p = \frac{14}{3}\)
বা, \(p= 4 \frac{2}{3}\)
\(\therefore p\) এর মান \(4 \frac{2}{3}\)।
7. \(x^4 – 2x^3 + 3x^2 – ax + b\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x-1)\) এবং \((x+1)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে \(5\) এবং \(19\) হয়। ওই বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x+2)\) দ্বারা ভাগ করলে কত ভাগশেষ হবে হিসাব করি।
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = x^4 – 2x^3 + 3x^2 – ax + b\)
\(x-1=0\)বা, \(x = 1\)
\(\therefore (x-1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(1\)
আবার, \(x+1=0\)
বা, \(x = -1\)
\(\therefore (x+1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-1\)
\(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x-1)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ \(5\)।
\(\therefore f(1) = (1)^4 – 2(1)^3 + 3(1)^2 – a(1) + b = 5\)বা, \(1 – 2 + 3 – a + b = 5\)
বা, \(2 – a + b = 5\)
বা, \(b – a = 5 – 2\)
বা, \(b – a = 3\) — (i)
\(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x+1)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ \(19\)।
\(\therefore f(-1) = (-1)^4 – 2(-1)^3 + 3(-1)^2 – a(-1) + b = 19\)বা, \(1 + 2 + 3 + a + b = 19\)
বা, \(a + b = 13\) — (ii)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
\(b – a + a + b = 3 + 13\)বা, \(2b = 16\)
বা, \(b = \frac{16}{2}\)
বা, \(b = 8\)
\(b\) এর প্রাপ্ত মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(a + 8 = 13\)বা, \(a = 13 – 8\)
বা, \(a = 5\)
\(\therefore a = 5\) এবং \(b = 8\)
\(\therefore f(x) = x^4 – 2x^3 + 3x^2 – 5x + 8\)\(x+2\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-2\)
\(\therefore f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x+2)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে –
\(f(-2) = (-2)^4 – 2(-2)^3 + 3(-2)^2 – 5(-2) + 8\)= \( 16 + 16 + 12 + 10 + 8\)
= \( 62\)
\(\therefore f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x+2)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় \(62\)।
8. যদি \(f(x) = \frac{a(x-b)}{a-b} + \frac{b(x-a)}{b-a}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(f(a)+f(b)=f(a+b)\)
সমাধান –
\(f(x) = \frac{a(x-b)}{a-b} + \frac{b(x-a)}{b-a}\)\(\therefore f(a) = \frac{a(a-b)}{a-b} + \frac{b(a-a)}{b-a} = a\)এবং \(f(b) = \frac{a(b-b)}{a-b} + \frac{b(b-a)}{b-a} = b\)
\(\therefore f(a) +f(b) = a+b\) [ প্রমাণিত ]
9. \(f(x) =ax+b\) এবং \(f(0)= 3\), \(f(2) = 5\) হলে, \(a\) ও \(b\) –এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(f(x) =ax+b\)\(f(0)= 3\)\(\therefore a(0) +b= 3\)বা, \(b = 3\)
আবার, \(f(2) = 5\)
\(\therefore a(2)+b = 5\)বা, \(2a +3 = 5\) [যেহেতু \(b = 3\) ]
বা, \(2a = 2\)
বা, \(a = 1\)
\(\therefore a = 1\) এবং \(b = 3\)।
10. \(f(x) = ax^2 + bx + c\) এবং \(f(0) = 2\), \(f(1) = 1\) ও \(f(4) = 6\) হলে, a, b ও c এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান –
\(f(x) = ax^2 + bx + c\)\(f(0) = 2\)\(\therefore a.0 + b.0 + c = 2\)বা, \(c = 2\)
আবার, \(f(1) = 1\)
\(\therefore a(1)^2 + b(1) + c = 1\)বা, \(a + b + c = 1\)
বা, \(a + b + 2 = 1\) [যেহেতু \(c = 2\)]
বা, \(a + b = 1 – 2\)
বা, \(a + b = -1\) —(i)
\(F(4) = 6\)\(\therefore a(4)^2 + b(4) + c = 6\)বা, \(16a + 4b + c = 6\)
বা, \(16a + 4b + 2 = 6\)
বা, \(16a + 4b = 4\) [যেহেতু \(c = 2\)]
বা, \(4a + b = 1\) —(iii)
(i) নং ও (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\(4a + b – (a + b) = 1 – (-1)\)বা, \(4a + b – a – b = 2\)
বা, \(3a = 2\)
বা, \(a = \frac{2}{3}\)
A এর প্রাপ্ত মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(4(2/3) + b = 1\)বা, \(b = 1 – \frac{8}{3}\)
বা, \(b = -\frac{5}{3}\)
\(\therefore a = \frac{2}{3}, b = -\frac{5}{3}\) এবং \(c = 2\)
11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) নীচের কোনটি একচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা?
(a) \(x + \frac{2}{x} + 3\)
(b) \(3\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + 5\)
(c) \(\sqrt{2}x^2 + \sqrt{3}x + 5\)
(d) \(x^{10} + y^5 + 8\)
উত্তর – (c) \(\sqrt{2}x^2 + \sqrt{3}x + 5\)
(ii) নীচের কোনটি বহুপদী সংখ্যামালা?
(a) \(x-1\)
(b) \(\frac{x-1}{x+1}\)
(c) \(x^2 – \frac{2}{x^2} + 5\)
(d) \(x^2 + 2\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x^2}} + 6\)
উত্তর – (a) \(x-1\)
(iii) নীচের কোনটি রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালা?
(a) \(x+x^2\)
(b) \(x+1\)
(c) \(5x^2-x+3\)
(d) \(x + \frac{1}{x}\)
উত্তর – (b) \(x+1\)
(iv) নীচের কোনটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা?
(a) \(\sqrt{x} – 4\)
(b) \(x^3 + x\)
(c) \(x^3 + 2x + 6\)
(d) \(x^2 + 5x + 6\)
উত্তর – (d) \(x^2 + 5x + 6\)
(v) \(\sqrt{3}\) বহুপদী সংখ্যামালার মাত্রা?
(a) \(\frac{1}{2}\)
(b) \(2\)
(c) \(1\)
(d) \(0\)
উত্তর – (d) \(0\)
12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্নঃ
(i) \(p(x) = 2x-3\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কত লিখি।
সমাধান –
\(p(x) = 2x-3 = 0\)\(\therefore 2x-3 = 0\)বা, \(x = \frac{3}{2}\)
\(\therefore\) বহুপদী সংখ্যামালাটির শূন্য \(\frac{3}{2}\)।
(ii) \(p(x) = x+4\) হলে, \(p(x) + p(-x)\) এর মান কত লিখি।
সমাধান –
\(p(x) = x+4\)\(\therefore p(-x) = -x+4\)\(\therefore p(x)+p(-x) = x+4 – x+4 = 8\)(iii) \(x^3+4x^2+4x-3\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \(x\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = x^3+4x^2+4x-3\)
\(x\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(= 0\)
\(f(x)\) –কে \(x\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ \(= f(0) = 0^3 + 4 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 – 3 = -3\)
(iv) \((3x-1)^7 = a_7x^7 + a_6x^6 + a_5x^5 + \cdots + a_1x + a_0\) হলে, \(a_7+a_6+a_5+a_4+\cdots+a_0\) –এর মান লিখি। [ যেখানে \(a_7, a_6, a_5, \ldots, a_0\) ধ্রুবক ]
সমাধান –
\((3x-1)^7 = a_7x^7 + a_6x^6 + a_5x^5 + \cdots + a_1x + a_0\)উভয়পক্ষে \(x\) এর স্থানে \(1\) বসিয়ে পাই,
\([3(1) – 1]^7 = a_7(1)^7 + a_6(1)^6 + a_5(1)^5 + \cdots + a_1(1) + a_0\)বা, \(2^7 = a_7 + a_6 + a_5 + \cdots + a_0\)
বা, \(128 = a_7 + a_6 + a_5 + \cdots + a_0\)
\(\therefore a_7 + a_6 + a_5 + \cdots + a_0 = 128\)।
এই আর্টিকেলে নবম শ্রেণির গণিতের ‘বহুপদী সংখ্যামালা’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 7.3’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরা হয়েছে। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে।
কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন