পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) নবম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের সপ্তম অধ্যায় হলো ‘বহুপদী সংখ্যামালা’। এই পোস্টে ‘কষে দেখি – 7.4‘-এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান দেওয়া হয়েছে। আশাকরি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়তা করবে।
1. নিচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির মধ্যে কোনগুলির একটি উৎপাদক \((x+1)\) হিসেব করে লিখি।
(i) \(2x^3+3x^2-1\)
(ii) \(x^4+x^3-x^2+4x+5\)
(iii) \(7x^3+x^2+7x+1\)
(iv) \(3+3x-5x^3-5x^4\)
(v) \(x^4+x^2+x+1\)
(vi) \(x^3+x^2+x+1\)
সমাধান –
(i) \(2x^3+3x^2-1\)
ধরি, \(f(x) = 2x^3+3x^2-1\)
\(x+1 = 0\)বা, \(x = -1\)
\(\therefore (x+1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-1\)
\(\therefore f(-1) = 2(-1)^3+3(-1)^2-1\)= \( -2+3-1\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \((x+1)\), \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক।
(ii) \(x^4+x^3-x^2+4x+5\)
ধরি, \(f(x) = x^4+x^3-x^2+4x+5\)
\(x+1= 0\)বা, \(x = -1\)
\(\therefore (x+1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-1\)
\(\therefore f(-1) = (-1)^4+(-1)^3-(-1)^2+4(-1)+5\)= \( 1-1-1-4+5\)
= \( -5+5\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \((x+1)\), \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক।
(iii) \(7x^3+x^2+7x+1\)
ধরি, \(f(x) = 7x^3+x^2+7x+1\)
\(x+1 = 0\)বা, \(x =-1\)
\(\therefore (x+1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-1\)
\(\therefore f(-1)= 7(-1)^3+(-1)^2+7(-1)+1\)= \( -7+1-7+1\)
= \( -12\)\(\neq 0\)
\(\therefore (x+1)\), \(f(x) = 7x^3+x^2+7x+1\) এর উৎপাদক \((x+1)\) নয়।
(iv) \(3+3x-5x^3-5x^4\)
ধরি, \(f(x) = 3+3x-5x^3-5x^4\)
\(x+1 = 0\)বা, \(x=-1\)
\(\therefore (x+1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-1\)
\(\therefore f(-1) = 3+3(-1) -5(-1)^3 -5(-1)^4\)= \( 3-3+5-5\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \((x+1)\), \(f(x)= 3+3x-5x^3-5x^4\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক।
(v) \(x^4+x^2+x+1\)
ধরি, \(f(x)= x^4+x^2+x+1\)
\(x+1 = 0\)বা, \(x =-1\)
\(\therefore (x+1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-1\)
\(\therefore f(-1) = (-1)^4+(-1)^2+(-1)+1\)= \( 1+1-1+1\)
= \( 2\) \(\neq 0\)
\(\therefore (x+1)\), \(f(x) = x^4+x^2+x+1\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক নয়।
(vi) \(x^3+x^2+x+1\)
ধরি, \(f(x) = x^3+x^2+x+1\)
\(x+1=0\)বা, \(x =-1\)
\(\therefore (x+1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-1\)
= \( -1+1-1+1\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \((x+1)\), \(f(x)= x^3+x^2+x+1\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক।
2. গুণনিয়ক উপপাদ্য ব্যবহার করে নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি \(f(x)\)-এর একটি উৎপাদক \(g(x)\) কিনা লিখি।
(i) \(f(x) = x^4 – x^2 – 12\) এবং \(g(x) = x + 2\)
(ii) \(f(x) = 2x^3 + 9x^2 – 11x – 30\) এবং \(g(x) = x + 5\)
(iii) \(f(x) = 2x^3 + 7x^2 – 24x – 45\) এবং \(g(x) = x – 3\)
(iv) \(f(x) = 3x^3 + x^2 – 20x + 12\) এবং \(g(x) = 3x – 2\)
সমাধান –
(i) \(f(x) = x^4 – x^2 – 12\) এবং \(g(x) = x + 2\)
\(g(x) = x + 2 = 0\)\(\therefore x + 2 = 0\)বা, \(x = -2\)
\(\therefore g(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-2\)।
\(f(x) = x^4 – x^2 – 12\)\(\therefore f(-2) = (-2)^4 – (-2)^2 – 12\)= \( 16 – 4 – 12\)
= \( 16 – 16\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনিয়ক উপপাদ্য অনুসারে \(g(x)\), \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক।
(ii) \(f(x) = 2x^3 + 9x^2 – 11x – 30\) এবং \(g(x) = x + 5\)
\(g(x) = x + 5 = 0\)\(\therefore x + 5 = 0\)বা, \(x = -5\)
\(\therefore g(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-5\)।
= \( 2(-125) + 9(25) + 55 – 30\)
= \( -250 + 225 + 55 – 30\)
= \( -25 + 25\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনিয়ক উপপাদ্য অনুসারে \(g(x)\), \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক।
(iii) \(f(x) = 2x^3 + 7x^2 – 24x – 45\) এবং \(g(x) = x – 3\)
\(g(x) = x – 3 = 0\)\(\therefore x – 3 = 0\)বা, \(x = 3\)
\(\therefore g(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(3\)।
\(f(x) = 2x^3 + 7x^2 – 24x – 45\)\(\therefore f(3) = 2(3)^3 + 7(3)^2 – 24(3) – 45\)= \( 54 + 63 – 72 – 45\)
= \( 117 – 117\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনিয়ক উপপাদ্য অনুসারে \(g(x)\), \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক।
(iv) \(f(x) = 3x^3 + x^2 – 20x + 12\) এবং \(g(x) = 3x – 2\)
\(g(x) = 3x – 2 = 0\)\(\therefore 3x – 2 = 0\)বা, \(x = \frac{2}{3}\)
\(\therefore g(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(\frac{2}{3}\)।
\(f(x) = 3x^3 + x^2 – 20x + 12\)\(\therefore f\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 – 20\left(\frac{2}{3}\right) + 12\)= \( 3 \times \frac{8}{27} + \frac{4}{9} – \frac{40}{3} + 12\)
= \( \frac{24}{27} + \frac{4}{9} – \frac{40}{3} + 12\)
= \( \frac{24}{27} + \frac{12}{27} – \frac{360}{27} + \frac{324}{27}\)
= \( \frac{24 + 12 – 360 + 324}{27}\)
= \( \frac{360 – 360}{27}\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনিয়ক উপপাদ্য অনুসারে \(g(x)\), \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক।
3. k-এর মান কত হলে \(x+2\) দ্বারা \(2x^4+3x^3+2kx^2+3x+6\) বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = 2x^4+3x^3+2kx^2+3x+6\) এবং \(g(x) = x+2\)
\(g(x) = x+2\)= \( 0\)
বা, \(x+2 = 0\)
বা, \(x = -2\)
\(\therefore g(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-2\)
যেহেতু, \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাটি \(g(x)\) বহুপদী সংখ্যামালা দ্বারা বিভাজ্য
\(\therefore f(-2) = 0\) [গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \(2(-2)^4+3(-2)^3+2k(-2)^2+3(-2)+6 = 0\)
বা, \(32 – 24 + 8k – 6 + 6 = 0\)
বা, \(8k + 8 = 0\)
বা, \(8k = -8\)
বা, \(k = -8/8\)
বা, \(k = -1\)
\(\therefore k = -1\) হলে \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালা \(g(x)\) বহুপদী সংখ্যামালা দ্বারা বিভাজ্য হবে।
4. \(k\)-এর মান কত হলে, নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি \(f(x)\) –এর একটি উৎপাদক \(g(x)\) হবে হিসেব করি
(i) \(f(x) = 2x^3+9x^2+x+k\) এবং \(g(x) = x-1\)
সমাধান –
\(g(x) = x-1 = 0\)বা, \(x=1\)
\(\therefore g(x) = x-1\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(1\)।
\(f(x) = 2x^3+9x^2+x+k\)যেহেতু \(g(x)\), \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক হবে,
\(\therefore f(1) = 0\) [গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \(2(1)^3+9(1)^2+1+k = 0\)
বা, \(2+9+1+k = 0\)
বা, \(12+k = 0\)
বা, \(k = -12\)
\(\therefore k = -12\) হলে \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক \(g(x)\) হবে।
(ii) \(f(x)= kx^2-3x+k\) এবং \(g(x) = x-1\)
সমাধান –
\(g(x) = x-1 = 0\)\(\therefore x-1 =0\)বা, \(x =1\)
\(f(x) = kx^2-3x+k\)যেহেতু \(g(x)\), \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক হবে,
\(\therefore f(1) = 0\) [গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \(k(1)^2 -3(1) + k =0\)
বা, \(k -3 +k =0\)
বা, \(2k -3= 0\)
বা, \(2k =3\)
বা, \(k = \frac{3}{2}\)
\(\therefore k = \frac{3}{2}\) হলে \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক \(g(x)\) হবে।
(iii) \(f(x) = 2x^4+x^3-kx^2-x+6\) এবং \(g(x) = 2x-3\)
সমাধান –
\(g(x) = 2x-3 = 0\)\(\therefore 2x-3 =0\)বা, \(x = \frac{3}{2}\)
\(f(x) = 2x^4 +x^3-kx^2-x+6\)\(\therefore f\left(\frac{3}{2}\right) = 0\) [গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \(2\left(\frac{3}{2}\right)^4 + \left(\frac{3}{2}\right)^3 – k\left(\frac{3}{2}\right)^2 – \frac{3}{2} + 6 = 0\)
বা, \(2\times\frac{81}{16} + \frac{27}{8} – k\times\frac{9}{4} – \frac{3}{2} + 6 = 0\)
বা, \(\frac{81}{8} + \frac{27}{8} – \frac{9k}{4} – \frac{3}{2} + 6 = 0\)
বা, \(\frac{81+27-18k-12+48}{8} = 0\)
বা, \(144 -18k =0\)
বা, \(18k = 144\)
বা, \(k = \frac{144}{18}\)
বা, \(k = 8\)
\(\therefore k = 8\) হলে \(f(x)\) –এর একটি উৎপাদক \(g(x)\) হবে।
(iv) \(f(x) = 2x^3+kx^2+11x+k+3\) এবং \(g(x) = 2x-1\)
সমাধান –
\(g(x) = 2x-1 = 0\)\(\therefore 2x-1 =0\)বা, \(2x = 1\)
বা, \(x = \frac{1}{2}\)
\(f(x) = 2x^3+kx^2+11x+k+3\)যেহেতু \(g(x)\), \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক হবে,
\(\therefore f\left(\frac{1}{2}\right) = 0\) [গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \(2\left(\frac{1}{2}\right)^3 + k\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 11\left(\frac{1}{2}\right) + k + 3 = 0\)
বা, \(2\times\frac{1}{8} + k\times\frac{1}{4} + \frac{11}{2} + k + 3 = 0\)
বা, \(\frac{1}{4} + \frac{k}{4} + \frac{11}{2} + k + 3 = 0\)
বা, \(\frac{1+k+22+4k+12}{4} = 0\)
বা, \(5k+35 =0\)
বা, \(5k = -35\)
বা, \(k = -\frac{35}{5}\)
বা, \(k = -7\)
\(\therefore k = -7\) হলে \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক \(g(x)\) হবে।
5. \(ax^4+2x^3-3x^2+bx-4\) বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক \(x^2-4\) হলে \(a\) ও \(b\) এর মান হিসেব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = ax^4+2x^3-3x^2+bx-4\)
\(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক \(x^2-4 = (x+2)(x-2)\)
ধরি, \(p(x) = (x+2)\) এবং \(q(x) = (x-2)\)
\(p(x) = (x+2)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-2\)
\(\therefore f(-2) = 0\) [গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \(a(-2)^4+2(-2)^3-3(-2)^2+b(-2)-4 = 0\)
বা, \(16a -16 -12 -2b -4 = 0\)
বা, \(16a-2b = 32\)
বা, \(8a – b = 16\) — (i)
আবার, \(q(x) = x-2\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(2\)।
\(\therefore f(2) = 0\) [গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \(a(2)^4+2(2)^3-3(2)^2+b(2)-4 = 0\)
বা, \(16a +16 -12 +2b -4 = 0\)
বা, \(16a+2b = 0\)
বা, \(8a+b = 0\) — (ii)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
\(16a = 16\)বা, \(a = \frac{16}{16}\)
বা, \(a = 1\)
\(a\) -এর প্রাপ্ত মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(8(1)+b = 0\)বা, \(b = -8\)
\(\therefore a = 1\) এবং \(b = -8\)
6. \(x^3 + 3x^2 + 2ax + b\) বহুপদী সংখ্যামালার দুটি উৎপাদক \((x+1)\) ও \((x+2)\) হলে, \(a\) ও \(b\) এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 2ax + b\)
\((x+1) = 0\)বা, \(x = -1\)
\(\therefore (x+1)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-1\)
যেহেতু, \((x+1)\), \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক,
\(\therefore f(-1) = 0\) [উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \((-1)^3 + 3(-1)^2 + 2a(-1) + b = 0\)
বা, \(-1 + 3 – 2a + b = 0\)
বা, \(-2a + b = -2\)
বা, \(2a – b = 2\) — (i)
আবার, \((x+2) = 0\)
বা, \(x = -2\)
\(\therefore (x+2)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-2\)
যেহেতু, \((x+2)\), \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক,
\(\therefore f(-2) = 0\) [উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \((-2)^3 + 3(-2)^2 + 2a(-2) + b = 0\)
বা, \(-8 + 12 – 4a + b = 0\)
বা, \(4 – 4a + b = 0\)
বা, \(-4a + b = -4\)
বা, \(4a – b = 4\) — (ii)
(i) নং সমীকরণকে \(2\) দ্বারা গুণ করে (ii) নং সমীকরণের সাথে বিয়োগ করে পাই,
\(4a – 2b – (4a – b) = 4 – 4\)বা, \(4a – 2b – 4a + b = 0\)
বা, \(b = 0\)
\(b\) এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(2a – b = 2\)বা, \(2a = 2\) [যেহেতু \(b = 0\)]
বা, \(a = \frac{2}{2}\)
বা, \(a = 1\)
\(\therefore a = 1\) এবং \(b = 0\)
7. \(ax^3+bx^2+x-6\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x-2)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হয় এবং বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক \((x+2)\) হলে \(a\) ও \(b\) এর মান কত হবে হিসাব করি।
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = ax^3+bx^2+x-6\)
\(x-2 = 0\)বা, \(x = 2\)
\(\therefore (x-2)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(2\)।
\(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x-2)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় \(4\)।
\(\therefore f(2) = 4\) [ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \(a(2)^3+b(2)^2+2-6 = 4\)
বা, \(8a+4b -4 = 4\)
বা, \(8a +4b = 8\)
বা, \(4a+ b = 2\) —(i)
আবার, \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক \((x+2)\)
\(x+2 =0\)বা, \(x = -2\)
\(\therefore (x+2)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-2\)।
\(\therefore f(-2) = 0\) [গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \(a(-2)^3+b(-2)^2+(-2) -6 = 0\)
বা, \(-8a+4b -8 = 0\)
বা, \(-4(2a -b +2) = 0\)
বা, \(2a-b +2 =0\)
বা, \(2a-b = -2\) —(ii)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
\(4a+b +2a-b = 2-2\)বা, \(6a = 0\)
বা, \(a = 0\)
\(a\)-এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(4(0) +b = 2\)বা, \(b = 2\)
\(\therefore a =0\) এবং \(b = 2\)
8. \(n\) যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে, দেখাও যে, \(x^n – y^n\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক \(x-y\)।
সমাধান –
\(x – y = 0\)বা, \(x = y\)
ধরি, \(f(x, y) = x^n – y^n\)
\(\therefore\) ভাগশেষ \(f(x, y) = x^n – x^n\)
= \( 0\)
যেহেতু, \(x^n – y^n\) কে \(x-y\) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ \(0\) হয়, তাই \(x^n – y^n\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক \((x-y)\)।
9. \(n\) যেকোনো অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে, দেখাও যে \(x^n + y^n\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক \((x+y)\)।
সমাধান –
\(x + y = 0\)বা, \(x = -y\)
ধরি, \(f(x, y) = x^n + y^n\)
\(\therefore\) ভাগশেষ \(f(-y, y) = (-y)^n + y^n\)
= \( -y^n + y^n\) [যেহেতু \(n\) ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা]
= \( 0\)
যেহেতু, \(x^n + y^n\) কে \(x+y\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ \(0\) হয়, তাই \(x^n + y^n\) বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক \(x+y\) হবে।
10. \(n\) যেকোনো একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে, দেখাও যে \(x^n + y^n\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক কখনই \(x-y\) হবে না।
সমাধান –
\(x – y = 0\)বা, \(x = y\)
ধরি, \(f(x, y) = x^n + y^n\)
\(\therefore\) ভাগশেষ \(f(y, y) = y^n + y^n\)
= \( 2y^n\)
\(\ne 0\)\(\therefore x^n + y^n\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক কখনই \((x-y)\) হবে না।
11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) \(x^3+6x^2+4x+k\) বহুপদী সংখ্যামালাটি \((x+2)\) দ্বারা বিভাজ্য হলে, \(k\) এর মান
(a) \(-6\)
(b) \(-7\)
(c) \(-8\)
(d) \(-10\)
Ans – (c) \(-8\)
সমাধান –
\((x+2) = 0\)বা, \(x = -2\)
\((x+2)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-2\)
ধরি, \(f(x) = x^3+6x^2+4x+k\)
যেহেতু, \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালা \((x+2)\) দ্বারা বিভাজ্য
\(\therefore\) \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালাকে \((x+2)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে \(0\)।
\(\therefore\) \(f(-2) = 0\) [ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \((-2)^3+6(-2)^2+4(-2) + k = 0\)
বা, \(-8 + 24 – 8 + k = 0\)
বা, \(k = -24 + 8 + 8\)
বা, \(k = -8\)
(ii) \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার \(f(-1/2) = 0\) হলে, \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক হবে
(a) \(2x-1\)
(b) \(2x+1\)
(c) \(x-1\)
(d) \(x+1\)
Ans – (b) \(2x+1\)
(iii) \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার \((x-1)\) একটি উৎপাদক, কিন্তু \(g(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক নয়। সুতরাং \((x-1)\) একটি উৎপাদক হবে
(a) \(f(x)g(x)\)
(b) \(-f(x) + g(x)\)
(c) \(f(x) – g(x)\)
(d) \(\{f(x)+g(x)\}g(x)\)
Ans – (a) \(f(x)g(x)\)
(iv) \(x^n+1\) বহুপদী সংখ্যামালার \((x+1)\) একটি উৎপাদক হবে যখন
(a) \(n\) একটি অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
(b) \(n\) একটি যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
(c) \(n\) একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা
(d) \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
Ans – (a) \(n\) একটি অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
(v) \(an^4+bn^3+cn^2+dn+e\) বহুপদী সংখ্যামালার \(n^2-1\) উৎপাদক হলে
(a) \(a+c+e = b+d\)
(b) \(a+b+e = c+d\)
(c) \(a+b+c = d+e\)
(d) \(b+c+d = a+e\)
Ans – (a) \(a+c+e = b+d\)
সমাধান –
\(n^2-1 = 0\)বা, \(n^2 = 1\)
বা, \(n = \pm 1\)
\(\therefore\) \(n^2-1\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(1\) এবং \(-1\)।
ধরি, \(f(n) = an^4+bn^3+cn^2+dn+e\)
\(f(n)\) বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক \((n^2-1) = (n+1)(n-1)\)
\(\therefore\) \(f(1) = 0\) [গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে]
বা, \(a(1)^4+b(1)^3+c(1)^2+d(1)+e = 0\)
বা, \(a+b+c+d+e = 0\)
এবং \(f(-1) = 0\)
বা, \(a(-1)^4+b(-1)^3+c(-1)^2+d(-1)+e = 0\)
বা, \(a-b+c-d+e = 0\)
বা, \(a+c+e = b+d\)
12. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(i) \(x^3+ax^2-2x+a-12\) বহুপদী সংখ্যামালার \((x+a)\) একটি উৎপাদক হলে, \(a\) –এর মান কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = x^3+ax^2-2x+a-12\)
\((x+a) = 0\)বা, \(x = -a\)
\(\therefore (x+a)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-a\)
যেহেতু, \((x+a)\), \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক,
\(\therefore f(-a) = 0\) [ গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে ]
বা, \((-a)^3 + a(-a)^2 – 2(-a) + a – 12 = 0\)
বা, \(-a^3 + a^3 + 2a + a – 12 = 0\)
বা, \(3a = 12\)
\(\therefore a\) এর মান \(4\)।
(ii) \(k^2x^3 – kx^2 + 3kx – k\) বহুপদী সংখ্যামালার \(x-3\) একটি উৎপাদক হলে, \(k\) এর মান কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = k^2x^3 – kx^2 + 3kx – k\)
\(x-3 = 0\)বা, \(x = 3\)
\(\therefore (x-3)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(3\)
যেহেতু, \(f(x)\) বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক \((x-3)\),
\(\therefore f(3) = 0\) [ গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে ]
বা, \(k^2(3)^3 – k(3)^2 + 3k(3) – k = 0\)
বা, \(27k^2 – 9k + 9k – k = 0\)
বা, \(27k^2 – k = 0\)
বা, \(k(27k – 1) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য।
হয়, \(k = 0\)
অথবা, \(27k – 1 = 0\)
বা, \(k = \frac{1}{27}\)
\(\therefore k = 0\) অথবা \(\frac{1}{27}\)।
(iii) \(f(x) = 2x+5\) হলে, \(f(x) + f(-x)\) –এর মান কত হবে লিখি।
সমাধান –
\(f(x) = 2x+5\)\(\therefore f(-x) = 2(-x) + 5 = -2x + 5\)\(\therefore f(x) + f(-x) = 2x+5 – 2x+5 = 10\)(iv) \(px^2+5x+r\) বহুপদী সংখ্যামালার \((x-2)\) এবং \((x-\frac{1}{2})\) উভয়ই উৎপাদক হলে, \(p\) ও \(r\)-এর মধ্যে সম্পর্ক হিসেব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = px^2+5x+r\)
\(x-2 = 0\)বা, \(x = 2\)
\(\therefore (x-2)\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(2\)
\(px^2+5x+r\) বহুপদী সংখ্যামালার \((x-2)\) একটি উৎপাদক।
\(\therefore f(2) = 0\) [ গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে ]
বা, \(p(2)^2 + 5(2) + r = 0\)
বা, \(4p + 10 + r = 0\)
বা, \(4p + r = -10\) — (i)
আবার, \((x-\frac{1}{2}) = 0\)
বা, \(x = \frac{1}{2}\)
\(\therefore (x-\frac{1}{2})\) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(\frac{1}{2}\)
\(px^2+5x+r\) বহুপদী সংখ্যামালার \((x-\frac{1}{2})\) একটি উৎপাদক।
\(\therefore f\left(\frac{1}{2}\right) = 0\)বা, \(p\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{2}\right) + r = 0\)
বা, \(\frac{p}{4} + \frac{5}{2} + r = 0\)
বা, \(\frac{p + 10 + 4r}{4} = 0\)
বা, \(p + 10 + 4r = 0\)
বা, \(p + 4r = -10\) — (ii)
(i) নং ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,
\(4p + r = p + 4r\)বা, \(4p – p = 4r – r\)
বা, \(3p = 3r\)
বা, \(p = r\)
\(\therefore p\) ও \(r\) এর মধ্যে সম্পর্ক হল \(p = r\)।
(v) \(f(x) = 2x+3\) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কত হবে লিখি।
সমাধান –
\(f(x) = 2x+3\)বা, \(2x+3 = 0\)
বা, \(2x = -3\)
বা, \(x = -\frac{3}{2}\)
\(\therefore\) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য \(-\frac{3}{2}\)।
এই আর্টিকেলে নবম শ্রেণির গণিতের ‘বহুপদী সংখ্যামালা’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 7.4’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরা হয়েছে। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে।
কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন