পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) নবম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের পঞ্চম অধ্যায় হলো ‘রৈখিক সহসমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)’। এই পোস্টে ‘কষে দেখি – 5.2‘-এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান দেওয়া হয়েছে। আশাকরি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়তা করবে।
1. নীচের সমীকরণগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধানযোগ্য কিনা লিখি ও সমাধানযোগ্য হলে সমাধানটি বা অসংখ্য সমাধানের ক্ষেত্রে 3 টি সমাধান লিখি।
(a) \(2x +3y -7 = 0\) ; \(3x+2y -8 = 0\)
(b) \(4x-y = 11\) ; \(-8x +2y = -22\)
(c) \(7x+3y = 42\) ; \(21x +9y = 42\)
(d) \(5x +y = 13\) ; \(5x+ 5y = 12\)
(a) \(2x +3y -7 = 0\) ; \(3x + 2y – 8 = 0\)
(a) \( 2x +3y -7 = 0\)
\(3x+2y -8 = 0\)প্রদত্ত সহ সমীকরণদুটি হল –
\(2x +3y -7 = 0\) —(i)
\(3x+2y -8 = 0\) —(ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(2x = 7 -3y\)বা, \(x = \frac{7-3y}{2}\)
| x | 2 | 5 | -4 |
| y | 1 | -1 | 5 |
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(3x+2y -8 = 0\)বা, \(3x = 8-2y\)
বা, \(x = \frac{8-2y}{3}\)
| x | 0 | 2 | -2 |
| y | 4 | 1 | 7 |
ছক কাগজে \(XOX’\) এবং \(YOY’\) দুটি পরস্পর লম্ব অঙ্কন করে, ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে \((2,1)\), \((5,-1)\) এবং \((-4,5)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে AB এবং \((0,4)\), \((4,-2)\) এবং \((-2,7)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে CD সরলরেখা অঙ্কন করা হল।
AB ও CD সরলরেখাদ্বয় পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে। P বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2,1)\)
∴ সমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান, \(x = 2\), \(y = 1\)
(b) \(4x-y = 11\) ; \(-8x +2y = -22\)
প্রদত্ত সহ-সমীকরণ দুটি হল –
\(4x-y = 11\) —(i)
\(-8x +2y = -22\) —(ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(4x-y = 11\)বা, \(4x = 11+y\)
বা, \(x = \frac{11+y}{4}\)
| x | 3 | 2 | 4 |
| y | 1 | -3 | 5 |
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
বা, \(-8x = -22 -2y\)
বা, \(x = \frac{-22-2y}{-8}\)
বা, \(x = \frac{22+2y}{8}\)
| x | 3 | 2 | 4 |
| y | 1 | -3 | 5 |
\(XOX’\) ও \(YOY’\) দুটি পরস্পর লম্ব অঙ্কন করে, ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (i) নং ও (ii) নং সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করা হল। দেখা যাচ্ছে লেখচিত্রদ্বয় পরস্পর সমপতিত হয়ে \(AB\) সরলরেখা তৈরি হয়েছে; সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে।
∴ সমীকরণ দুটির তিনটি সাধারণ সমাধান,
\(x = 3, y = 1\)\(x = 2, y = -3\)এবং \(x = 4, y = 5\)
(c) \(7x+3y = 42\) ; \(21x +9y = 42\)
প্রদত্ত সহ-সমীকরণ দুটি হল –
\(7x+3y = 42\) — (i)
\(21x +9y = 42\) — (ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(7x = 42 -3y\)বা, \(x = \frac{42 -3y}{7}\)
| x | 6 | 3 | 9 |
| y | 0 | 7 | -7 |
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(21x +9y = 42\)বা, \(21x = 42 – 9y\)
বা, \(x = \frac{42-9y}{21}\)
| x | 2 | -1 | 5 |
| y | 0 | 7 | -7 |
ছক কাগজে \(XOX’\) এবং \(YOY’\) দুটি পরস্পর লম্ব অঙ্কন করে, ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে \((6,0)\), \((3,7)\) এবং \((9,-7)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে \(AB\) এবং \((2,0)\), \((-1,7)\) এবং \((5,-7)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে \(CD\) সরলরেখা অঙ্কন করা হল।
লেখচিত্র থেকে পরিষ্কার যে, \(AB\) এবং \(CD\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল। তাই এক্ষেত্রে সমীকরণদ্বয়ের কোনো সাধারণ সমাধান নেই (সমাধানযোগ্য নয়)।
(d) \(5x + y = 13\) ; \(5x + 5y = 12\)
প্রদত্ত সহ-সমীকরণ দুটি হল –
\(5x + y = 13\) — (i)
\(5x + 5y = 12\) — (ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(5x + y = 13\)বা, \(5x = 13 – y\)
বা, \(x = \frac{13 – y}{5}\)
| x | 1 | 2 | 3 |
| y | 8 | 3 | -2 |
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(5x + 5y = 12\)বা, \(5x = 12 – 5y\)
বা, \(x = \frac{12 – 5y}{5}\)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(5x + 5y = 12\)বা, \(5x = 12 – 5y\)
বা, \(x = \frac{12 – 5y}{5}\)
| x | 12/5 | 2/5 | 0 |
| y | 0 | 2 | 12/5 |
ছক কাগজে \(XOX’\) এবং \(YOY’\) দুটি পরস্পর লম্ব অঙ্কন করে, ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে \((1,8)\), \((2,3)\) এবং \((3,-2)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে \(AB\) এবং \((\frac{12}{5},0)\), \((\frac{2}{5},2)\) এবং \((0,\frac{12}{5})\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে \(CD\) সরলরেখা অঙ্কন করা হল।
\(AB\) ও \(CD\) সরলরেখা পরস্পরকে \(P\) বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং সমীকরণদ্বয় সমাধানযোগ্য। \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\frac{53}{20}, -\frac{1}{4})\)
∴ সমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান \(x = \frac{53}{20}\) এবং \(y = -\frac{1}{4}\)
2. নীচের প্রতিজোড়া সমীকরণগুলির একই চলের সহগগুলির একই চলের সহগগুলির ও ধ্রুবকগুলির অনুপাতের সম্পর্ক নির্ণয় করে সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য কিনা লিখি ও সমীকরণগুলির লেখচিত্র এঁকে যাচাই করি।
(a) \(x+5y = 7\) , \(x+5y = 20\)
সমাধান –
প্রদত্ত সহ-সমীকরণদ্বয় হল –
\(x+5y = 7\) — (i)
বা, \(x+5y-7 = 0\)
এবং, \(x+5y = 20\) — (ii)
বা, \(x+5y -20 = 0\)
সমীকরণদ্বয়ের, \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(1:1\), \(y\) –এর সহগ দ্বয়ের অনুপাত = \(5:5 = 1:1\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(7:20\)
∴ \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(y\) –এর সহগ দ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) ধ্রুবক পদের অনুপাত
সুতরাং সমীকরণদ্বয় সমাধানযোগ্য নয়।
লেখচিত্রের মাধ্যমে যাচাই –
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
বা, \(x = 7-5y\)
| x | 7 | 2 | -3 |
| y | 0 | 1 | 2 |
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(x+5y = 20\)বা, \(x = 20-5y\)
| x | 0 | 10 | 5 |
| y | 4 | 2 | 3 |
ছক কাগজে \(XOX’\) এবং \(YOY’\) দুটি পরস্পর লম্ব অঙ্কন করে, ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে \((7,0)\), \((-3,2)\) এবং \((2,1)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে \(AB\) এবং \((0,4)\), \((10,2)\) এবং \((5,3)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে \(CD\) সরলরেখা অঙ্কন করা হল।
লেখচিত্র থেকে পরিষ্কার যে, \(AB\) এবং \(CD\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল। তাই সেক্ষেত্রে সমীকরণদ্বয় সমাধানযোগ্য নয়।
(b) \(2x+y = 8\) , \(2y -3x= -5\)
সমাধান –
প্রদত্ত সহ-সমীকরণদ্বয় হল –
\(2x+y = 8\) — (i)
বা, \(2x+y -8 = 0\)
এবং, \(2y -3x= -5\) — (ii)
বা, \(-3x +2y +5 = 0\)
এখন, \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(= 2 : -3\), \(y\) –এর সহগ দ্বয়ের অনুপাত \(= 1:2\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত \(= -8 : 5\)
∴ \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) \(y\) –এর সহগ দ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) ধ্রুবক পদের অনুপাত
সুতরাং, সমীকরণদ্বয় সমাধানযোগ্য এবং সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ সমাধান থাকবে।
লেখচিত্রের সাহায্যে যাচাই:
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(2x = 8-y\)বা, \(x = \frac{8-y}{2}\)
| x | 4 | 0 | 8 |
| y | 0 | 8 | -8 |
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(2y -3x= -5\)বা, \(-3x = -2y -5\)
বা, \(3x = 2y+5\)
বা, \(x = \frac{2y+5}{3}\)
| x | 3 | 5 | -1 |
| y | 2 | 5 | -4 |
ছক কাগজে \(XOX’\) এবং \(YOY’\) দুটি পরস্পর লম্ব অঙ্কন করে, ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে \((4,0)\), \((0,8)\) এবং \((8,-8)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে \(AB\) এবং \((3,2)\), \((5,5)\) এবং \((-1,-4)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে \(CD\) সরলরেখা অঙ্কন করা হল।
\(AB\) ও \(CD\) সরলরেখা পরস্পরকে \(P\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3,2)\)
∴ সমীকরণদুটির সাধারণ সমাধান হল \(x = 3\) এবং \(y = 2\)।
(c) \(5x+8y = 14\), \(15x+24y = 42\)
সমাধান –
প্রদত্ত সহ-সমীকরণদ্বয় হল –
\(5x+8y = 14\) — (i)
বা, \(5x +8y -14 = 0\)
এবং, \(15x+24y = 42\) — (ii)
বা, \(15x + 24y -42 = 0\)
এখন, \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(5 : 15 = 1:3\), \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(8 : 24 = 1:3\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(-14 : -42 = 1:3\)
∴ \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ধ্রুবক পদের অনুপাত
সুতরাং, সমীকরণদ্বয় সমাধানযোগ্য কিন্তু এদের অসংখ্য সাধারণ সমাধান থাকবে।
লেখচিত্রের মাধ্যমে যাচাই –
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(5x + 8y = 14\)বা, \(5x = 14-8y\)
বা, \(x = \frac{14-8y}{5}\)
| x | 6 | -2 | -10 |
| y | -2 | 3 | 8 |
আবার, (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(15x+24y =42\)বা, \(5x+8y = 14\) [যেহেতু উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করলে]
বা, \(x = \frac{14-8y}{5}\)
| x | 6 | -2 | -10 |
| y | -2 | 3 | 8 |
ছক কাগজে \(XOX’\) এবং \(YOY’\) দুটি পরস্পর লম্ব অঙ্কন করে, ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (i) ও (ii) নং সমীকরণের লেখচিত্রদ্বয় অঙ্কন করা হয়েছে এবং তারা পরস্পর সমপতিত হয়ে একটি সরলরেখা \(AB\) তৈরি হয়েছে।
যেহেতু সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমপতিত হয়েছে, সুতরাং সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সাধারণ সমাধান থাকবে।
(d) \(3x+2y = 6\) , \(12x+8y = 24\)
সমাধান –
প্রদত্ত সহ-সমীকরণদ্বয় হল –
\(3x+2y = 6\) — (i)
বা, \(3x +2y -6 = 0\)
এবং, \(12x+8y = 24\) — (ii)
বা, \(12x +8y -24 = 0\)
এখন সমীকরণদ্বয়ের, \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(3 :12 = 1:4\), \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(2 :8 = 1:4\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(-6 : -24 = 1:4\)
∴ \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ধ্রুবক পদের অনুপাত
∴ প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে।
লেখচিত্রের মাধ্যমে যাচাই –
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(3x+2y = 6\)বা, \(3x = 6 -2y\)
বা, \(x = \frac{6-2y}{3}\)
| x | -2 | 0 | 4 |
| y | 6 | 3 | -3 |
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(12x+8y = 24\)বা, \(x = \frac{24 -8y}{12}\)
বা, \(x = \frac{6-2y}{3}\)
| x | -2 | 0 | 4 |
| y | 6 | 3 | -3 |
ছক কাগজে \(XOX’\) এবং \(YOY’\) দুটি পরস্পর লম্ব অঙ্কন করে, ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে (i) ও (ii) নং সমীকরণের লেখচিত্রদ্বয় অঙ্কন করা হয়েছে এবং তারা পরস্পর সমপতিত হয়ে একটি সরলরেখা \(AB\) তৈরি হয়েছে।
যেহেতু সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমপতিত হয়েছে, সুতরাং সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সাধারণ সমাধান থাকবে।
3. নীচের প্রতিজোড়া সমীকরণগুলি একই চলের সহগগুলির ও ধ্রুবকগুলির অনুপাতের সম্পর্ক নির্ণয় করে সমীকরণগুলির লেখচিত্রগুলি সমান্তরাল বা পরস্পর ছেদী বা সমপাতিত হবে কিনা লিখি।
(a) \(5x+3y = 11\), \(2x -7y = -12\)
সমাধান –
প্রদত্ত সহ-সমীকরণদ্বয় হল –
\(5x+3y = 11\)বা, \(5x +3y – 11 = 0\)
এবং \(2x -7y = -12\)
বা, \(2x – 7y +12 = 0\)
∴ সমীকরণদ্বয়ের, \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(5 : 2\), \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(3 : -7\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(– 11 : 12\)
∴ \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) ধ্রুবক পদের অনুপাত
∴ প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের লেখচিত্র দুটি পরস্পর ছেদী হবে।
(b) \(6x -8y = 2\), \(3x-4y = 1\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(6x -8y = 2\)বা, \(6x – 8y -2 = 0\)
এবং, \(3x-4y = 1\)
বা, \(3x -4y -1 = 0\)
∴ সমীকরণদ্বয়ের, \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(6 : 3 = 2:1\), \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(-8 : -4 = 2:1\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(-2 : -1 = 2:1\)
∴ \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ধ্রুবক পদের অনুপাত
∴ প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের লেখচিত্রগুলি সমপাতিত হবে।
(c) \(8x-7y= 0\), \(8x-7y = 56\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(8x-7y= 0\)এবং, \(8x-7y = 56\)
বা, \(8x -7y -56 = 0\)
∴ সমীকরণদ্বয়ের, \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(8:8 = 1:1\), \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(-7 : -7 = 1:1\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(0 : -56\)
∴ \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) ধ্রুবক পদের অনুপাত
∴ প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের লেখচিত্রগুলি সমান্তরাল হবে।
(d) \(4x-3y = 6\), \(4y-5x = -7\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(4x-3y = 6\)বা, \(4x -3y -6 =0\)
এবং, \(4y-5x = -7\)
বা, \(-5x +4y +7 = 0\)
∴ \(x\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(4 : -5\), \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(-3 : 4\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(-6 : 7\)
∴ \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) ধ্রুবক পদের অনুপাত
∴ প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের লেখচিত্রদ্বয় পরস্পর ছেদী হবে।
4. নীচের প্রতিজোড়া সমীকরণ গুলির মধ্যে যেগুলি সমাধানযোগ্য তাদের লেখচিত্র এঁকে সমাধান করি এবং অসংখ্য সমাধানের ক্ষেত্রে 3 টি সমাধান লিখি।
(a) \(4x+3y =20\) , \(8x+6y = 40\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(4x+3y = 20\)বা, \(4x +3y -20 = 0\)
এবং, \(8x+6y = 40\)
বা, \(8x +6y – 40 = 0\)
বা, \(4x +3y -20 = 0\)
সমীকরণদ্বয়ের \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(4 :4 = 1:1\), \(y\) –এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(3:3 = 1:1\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(– 20 : -20 = 1: 1\)
∴ \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ধ্রুবক পদের অনুপাত
সুতরাং, সহ-সমীকরণদ্বয়ের লেখচিত্রদুটি পরস্পর সমপাতিত হবে এবং সমীকরণদ্বয়ের অসংখ্য সমাধান থাকবে।
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(4x+3y = 20\)বা, \(4x = 20 – 3y\)
বা, \(x = \frac{20-3y}{4}\)
| x | 5 | 2 | -1 |
| y | 0 | 4 | 8 |
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(4x+3y = 20\)বা, \(4x = 20 – 3y\)
বা, \(x = \frac{20-3y}{4}\)
| x | 5 | 2 | -1 |
| y | 0 | 4 | 8 |
দুটি সমীকরণ একই, তাই সমীকরণ দুটির অসংখ্য সমাধান থাকবে।
∴ সমীকরণদুটির 3 টি সাধারণ সমাধান হল (\(x=5, y=0\)), (\(x=2, y=4\)) এবং (\(x=-1, y=8\))
(b) \(4x+3y = 20\) , \(12x +9y = 20\)
সমাধান – প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(4x+3y = 20\)বা, \(4x +3y – 20 = 0\)
এবং, \(12x +9y = 20\)
বা, \(12x +9y – 20 = 0\)
সমীকরণদ্বয়ের, \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(4 : 12 = 1:3\), \(y\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(3 : 9 = 1:3\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(-20 : -20 = 1:1\)
∴ \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(y\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) ধ্রুবক পদের অনুপাত
∴ প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না।
(c) \(4x+3y = 20\), \(\frac{3x}{4} – \frac{y}{8} = 1\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(4x+3y = 20\) — (i)
বা, \(4x+3y -20 = 0\)
এবং, \(\frac{3x}{4} – \frac{y}{8} = 1\) — (ii)
বা, \(\frac{6x-y}{8} = 1\)
বা, \(6x-y = 8\)
বা, \(6x-y -8 = 0\)
সমীকরণদ্বয়ের, \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(4 : 6 = 2:3\), \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(3 : -1\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(-20 : -8 = 5:2\)
∴ \(x\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) \(y\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত
∴ সমীকরণদ্বয়ের একটি নির্দিষ্ট সাধারণ সমাধান থাকবে।
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(4x+3y = 20\)বা, \(4x = 20 – 3y\)
বা, \(x = \frac{20 – 3y}{4}\)
| x | 5 | 2 | -1 |
| y | 0 | 4 | 8 |
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(6x – y = 8\)বা, \(6x = 8 + y\)
বা, \(x = \frac{8 + y}{6}\)
| x | 1 | 2 | 0 |
| y | -2 | 4 | -8 |
ছক কাগজে \(XOX’\) এবং \(YOY’\) দুটি পরস্পর লম্ব অঙ্কন করে, ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে \((5,0)\), \((2,4)\) এবং \((-1,8)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে \(AB\) এবং \((1,-2)\), \((2,4)\) এবং \((0,-8)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে \(CD\) সরলরেখা অঙ্কন করা হল।
\(AB\) ও \(CD\) সরলরেখা পরস্পরকে \(P\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2,4)\)
∴ সমীকরণদুটির সাধারণ সমাধান হল \(x = 2\) এবং \(y = 4\)
(d) \(p-q = 3\), \(\frac{p}{3} + \frac{q}{2} = 6\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(p-q = 3\) — (i)
বা, \(p-q-3 = 0\)
এবং, \(\frac{p}{3} + \frac{q}{2} = 6\) — (ii)
বা, \(\frac{2p+3q}{6} = 6\)
বা, \(2p+3q = 36\)
বা, \(2p+3q – 36 = 0\)
সমীকরণদ্বয়ের, \(p\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(1 : 2\), \(q\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(-1 : 3\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(-3 : -36 = 1:12\)
∴ \(p\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) \(q\)–এর সহগদ্বয়ের অনুপাত
∴ সমীকরণদ্বয়ের একটি নির্দিষ্ট সাধারণ সমাধান বর্তমান।
(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(p-q = 3\)বা, \(p = 3+q\)
| p | 3 | 7 | 0 |
| q | 0 | 4 | -3 |
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(\frac{p}{3} + \frac{q}{2} = 6\)বা, \(2p+3q = 36\)
বা, \(p = \frac{36-3q}{2}\)
| p | 6 | 0 | 3 |
| q | 8 | 12 | 10 |
ছক কাগজে \(XOX’\) এবং \(YOY’\) দুটি পরস্পর লম্ব অঙ্কন করে, ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুকে 1 একক ধরে \((3,0)\), \((7,4)\) এবং \((0,-3)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে \(AB\) এবং \((6,8)\), \((0,12)\) এবং \((3,10)\) বিন্দুগুলি স্থাপন করে \(CD\) সরলরেখা অঙ্কন করা হল।
\(AB\) ও \(CD\) সরলরেখা পরস্পরকে \(P\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((9,6)\)
∴ সমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান হল \(p = 9\), \(q = 6\)
(e) \(p – q = 3\), \(\frac{p}{5} – \frac{q}{5} = 3\)
সমাধান –
\(p – q = 3\)বা, \(p – q – 3 = 0\)
এবং, \(\frac{p}{5} – \frac{q}{5} = 3\)
বা, \(p – q = 15\)
বা, \(p – q – 15 = 0\)
সমীকরণদ্বয়ের, \(p\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(1 : 1\), \(q\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(-1 : -1 = 1 : 1\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(-3 : -15 = 1 : 5\)
∴ \(p\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(q\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) ধ্রুবক পদের অনুপাত
∴ সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান সম্ভব নয়।
(f) \(p – q = 3\), \(8p – 8q – 3 = 0\)
সমাধান –
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হল –
\(p – q = 3\)বা, \(p – q – 3 = 0\)
এবং, \(8p – 8q – 3 = 0\)
সমীকরণদ্বয়ের, \(p\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(1 : 8\), \(q\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(-1 : -8 = 1 : 8\) এবং ধ্রুবক পদের অনুপাত = \(-3 : -3 = 1 : 1\)
∴ \(p\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = \(q\)-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত \(\neq\) ধ্রুবক পদের অনুপাত
সুতরাং, সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান সম্ভব নয়।
5. তথাগত একটি দুইচলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ \(x + y = 5\) লিখেছে। আমি আর একটি দুইচলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ লিখি যাতে দুটি সমীকরণের লেখচিত্র
(a) পরস্পর সমান্তরাল হবে
উত্তর – \(x + y = 7\)
(b) পরস্পর ছেদী হবে
উত্তর – \(2x + 3y = 20\)
(c) পরস্পর সমপাতিত হবে
উত্তর – \(2x + 2y = 10\)
এই আর্টিকেলে নবম শ্রেণির গণিতের ‘রৈখিক সহসমীকরণ (দুই চল বিশিষ্ট)’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 5.2’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরা হয়েছে। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে।
কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন