পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) নবম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের চতুর্থ অধ্যায় হলো ‘স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয়’। এই পোস্টে ‘কষে দেখি – 4’-এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান দেওয়া হয়েছে। আশাকরি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়তা করবে।
1. মূলবিন্দু থেকে নীচের বিন্দুগুলির দূরত্ব নির্ণয় করি
(i) (7,-24)
(ii) (3,-4)
(iii) (a+b, a-b)
সমাধান –
(i) (7,-24)
মূলবিন্দু (0,0) থেকে (7,-24) এর দূরত্ব
= \( \sqrt{(7 – 0)^2 + (-24 – 0)^2}\) একক
= \( \sqrt{(7)^2 + (-24)^2}\) একক
= \( \sqrt{49 + 576}\) একক
= \( \sqrt{625}\) একক
= \( \sqrt{5 \times 5 \times 5 \times 5}\) একক
= \( (5 \times 5)\) একক
= \( 25\) একক (উত্তর)
(ii) (3,-4)
মূলবিন্দু (0,0) থেকে (3,-4) বিন্দুর দূরত্ব
= \( \sqrt{(3 – 0)^2 + (-4 – 0)^2}\) একক
= \( \sqrt{9 + 16}\) একক
= \( \sqrt{25}\) একক
= \( 5\) একক (উত্তর)
(iii) (a+b, a-b)
মূলবিন্দু (0,0) থেকে (a+b, a-b) বিন্দুর দূরত্ব
= \( \sqrt{(a + b – 0)^2 + (a – b – 0)^2}\) একক
= \( \sqrt{(a + b)^2 + (a – b)^2}\) একক
= \( \sqrt{2(a^2 + b^2)}\) একক
2. নীচের বিন্দুযুগলগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি
(i) (5,7) এবং (8,3)
(ii) (7,0) এবং (2,-12)
(iii) (-3/2,0) এবং (0,-2)
(iv) (3,6) এবং (-2,-6)
(v) (1,-3) এবং (8,3)
(vi) (5,7) এবং (8,3)
(i) (5,7) এবং (8,3)
সমাধান –
(5,7) এবং (8,3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= \( \sqrt{(8 – 5)^2 + (3 – 7)^2}\) একক
= \( \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}\) একক
= \( \sqrt{9 + 16}\) একক
= \( \sqrt{25}\) একক
= \( 5\) একক
(ii) (7,0) এবং (2,-12)
সমাধান –
(7,0) এবং (2,-12) বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব
= \( \sqrt{(2 – 7)^2 + (-12 – 0)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2}\) একক
= \( \sqrt{25 + 144}\) একক
= \( \sqrt{169}\) একক
= \( 13\) একক
(iii) (-3/2,0) এবং (0,-2)
সমাধান –
(-3/2,0) এবং (0,-2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= \( \sqrt{\{0 – (-\frac{3}{2})\}^2 + (-2 – 0)^2}\) একক
= \( \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-2)^2}\) একক
= \( \sqrt{\frac{9}{4} + 4}\) একক
= \( \sqrt{\frac{9+16}{4}}\) একক
= \( \sqrt{\frac{25}{4}}\) একক
= \( \frac{5}{2}\) একক
= \( 2.5\) একক
(iv) (3,6) এবং (-2,-6)
সমাধান –
(3,6) এবং (-2,-6) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= \( \sqrt{(-2 – 3)^2 + (-6 – 6)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2}\) একক
= \( \sqrt{25 + 144}\) একক
= \( \sqrt{169}\) একক
= \( 13\) একক
(v) (1,-3) এবং (8,3)
সমাধান –
(1,-3) এবং (8,3) বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব
= \( \sqrt{(8 – 1)^2 + \{3 – (-3)\}^2}\) একক
= \( \sqrt{(7)^2 + (3 + 3)^2}\) একক
= \( \sqrt{49 + 36}\) একক
= \( \sqrt{85}\) একক
(vi) (5,7) এবং (8,3)
সমাধান –
(5,7) এবং (8,3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= \( \sqrt{(8 – 5)^2 + (3 – 7)^2}\) একক
= \( \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}\) একক
= \( \sqrt{9 + 16}\) একক
= \( \sqrt{25}\) একক
= \( 5\) একক
3. প্রমাণ করি যে, (-2,-11) বিন্দুটি (-3,7) ও (4,6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী।
সমাধান –
(-2,-11) এবং (-3,7) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= \( \sqrt{\{-3 – (-2)\}^2 + \{7 – (-11)\}^2}\) একক
= \( \sqrt{(-3 + 2)^2 + (7 + 11)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-1)^2 + (18)^2}\) একক
= \( \sqrt{1 + 324}\) একক
= \( \sqrt{325}\) একক
আবার, (-2,-11) বিন্দু থেকে (4,6) বিন্দুর দূরত্ব
= \( \sqrt{\{4 – (-2)\}^2 + \{6 – (-11)\}^2}\) একক
= \( \sqrt{(4 + 2)^2 + (6 + 11)^2}\) একক
= \( \sqrt{(6)^2 + (17)^2}\) একক
= \( \sqrt{36 + 289}\) একক
= \( \sqrt{325}\) একক
\(\therefore\) (-2,-11) বিন্দুটি (-3,7) ও (4,6) বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী।
4. হিসেব করে দেখাই যে (7,9), (3,-7) এবং (-3,3) বিন্দুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান –
ধরা যাক, A (7,9), B (3,-7) এবং C (-3,3) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
এখন, \(AB = \sqrt{(3-7)^2 + (-7-9)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-4)^2 + (-16)^2}\) একক
= \( \sqrt{16 + 256}\) একক
= \( \sqrt{272}\) একক
\(BC = \sqrt{(-3-3)^2 + \{3-(-7)\}^2}\) একক
= \( \sqrt{(-6)^2 + (10)^2}\) একক
= \( \sqrt{36 + 100}\) একক
= \( \sqrt{136}\) একক
\(CA = \sqrt{(-3-7)^2 + (3-9)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-10)^2 + (-6)^2}\) একক
= \( \sqrt{100 + 36}\) একক
= \( \sqrt{136}\) একক
এখন, \(BC^2 + CA^2 = (\sqrt{136})^2 + (\sqrt{136})^2 = 136 + 136 = 272 = (\sqrt{272})^2 = AB^2\)
\(\therefore AB^2 = BC^2 + CA^2\)
\(\therefore\) ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
5. প্রমাণ করি যে, উভয়ক্ষেত্রে নীচের বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
(i) (1,4), (4,1) ও (8,8)
সমাধান –
ধরা যাক, A(1,4), B(4,1) এবং C(8,8) বিন্দু তিনটি ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু।
\(\therefore AB = \sqrt{(4-1)^2 + (1-4)^2}\) একক
= \( \sqrt{(3)^2 + (-3)^2}\) একক
= \( \sqrt{9 + 9}\) একক
= \( \sqrt{18}\) একক
এবং, \(BC = \sqrt{(8-4)^2 + (8-1)^2}\) একক
= \( \sqrt{(4)^2 + (7)^2}\) একক
= \( \sqrt{16 + 49}\) একক
= \( \sqrt{65}\) একক
এবং, \(CA = \sqrt{(8-1)^2 + (8-4)^2}\) একক
= \( \sqrt{(7)^2 + (4)^2}\) একক
= \( \sqrt{49 + 16}\) একক
= \( \sqrt{65}\) একক
\(\therefore\) ABC ত্রিভুজের BC ও CA বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। অর্থাৎ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সুতরাং (1,4), (4,1) ও (8,8) বিন্দুগুলি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
6. প্রমাণ করি যে, A(3,3), B(8,-2) ও C(-2,-2) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। ABC এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান –
ABC ত্রিভুজের AB বাহুর দৈর্ঘ্য
= \( \sqrt{(8-3)^2 + (-2-3)^2}\) একক
= \( \sqrt{(5)^2 + (-5)^2}\) একক
= \( \sqrt{25 + 25}\) একক
= \( \sqrt{50}\) একক
ABC ত্রিভুজের BC বাহুর দৈর্ঘ্য
= \( \sqrt{(-2-8)^2 + \{-2-(-2)\}^2}\) একক
= \( \sqrt{(-10)^2 + (-2+2)^2}\) একক
= \( \sqrt{100}\) একক
= \( 10\) একক
ABC এর AC বাহুর দৈর্ঘ্য
= \( \sqrt{(-2-3)^2 + (-2-3)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2}\) একক
= \( \sqrt{25 + 25}\) একক
= \( \sqrt{50}\) একক
এখন, \(AB^2 + AC^2\)
= \( (\sqrt{50})^2 + (\sqrt{50})^2\)
= \( 50 + 50\)
= \( 100\)
= \( (10)^2\)
= \( BC^2\)
\(\therefore AB^2 + AC^2 = BC^2\)\(\therefore\) ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
আবার ABC সমকোণী ত্রিভুজের \(AB = AC\)
\(\therefore\) ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)
অতিভুজ BC-এর দৈর্ঘ্য 10 একক।
7. হিসেব করে দেখাই যে, (2,1), (0,0), (-1,2) এবং (1,3) বিন্দু চারটি একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিক বিন্দু।
সমাধান –
ধরা যাক, A(2,1), B(0,0), C(-1,2) এবং D(1,3) হল একটি চতুর্ভুজের চারটি কৌণিক বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে চতুর্ভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র।
এখন, \(AB = \sqrt{(0-2)^2 + (0-1)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2}\) একক
= \( \sqrt{4+1}\) একক
= \( \sqrt{5}\) একক
\(BC = \sqrt{(-1-0)^2 + (2-0)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-1)^2 + (2)^2}\) একক
= \( \sqrt{1+4}\) একক
= \( \sqrt{5}\) একক
\(CD = \sqrt{(1-(-1))^2 + (3-2)^2}\) একক
= \( \sqrt{(1+1)^2 + (1)^2}\) একক
= \( \sqrt{4+1}\) একক
= \( \sqrt{5}\) একক
\(DA = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2}\) একক
= \( \sqrt{(1)^2 + (-2)^2}\) একক
= \( \sqrt{1+4}\) একক
= \( \sqrt{5}\) একক
কর্ণ \(AC = \sqrt{(-1-2)^2 + (2-1)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-3)^2 + (1)^2}\) একক
= \( \sqrt{9+1}\) একক
= \( \sqrt{10}\) একক
কর্ণ \(BD = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2}\) একক
= \( \sqrt{(1)^2 + (3)^2}\) একক
= \( \sqrt{1+9}\) একক
= \( \sqrt{10}\) একক
\(\therefore\) ABCD চতুর্ভুজের \(AB = BC = CD = DA\) এবং কর্ণ \(AC =\) কর্ণ \(BD\)।
সুতরাং চতুর্ভুজ ABCD একটি বর্গক্ষেত্র। (প্রমাণিত)
8. হিসেব করে দেখি, y এর মান কী হলে (2,y) এবং (10,-9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে।
সমাধান –
(2,y) এবং (10,-9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক।
\(\therefore \sqrt{(10-2)^2 + (-9-y)^2} = 10\)বা, \(\sqrt{(8)^2 + \{-(9+y)\}^2} = 10\)
বা, \(\sqrt{64 + (9+y)^2} = 10\)
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,
\(64 + (9+y)^2 = 100\)বা, \(64 + 81+18y +y^2 = 100\)
বা, \(y^2 + 18y + 145-100=0\)
বা, \(y^2 +18y + 45 = 0\)
বা, \(y^2 + (15+3)y + 45=0\)
বা, \(y^2 +15y +3y +45 = 0\)
বা, \(y(y+15) +3(y+15) = 0\)
বা, \((y+15) (y+3) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য
\(\therefore\) হয়, \((y+15) = 0\)
বা, \(y = -15\)
অথবা, \((y+3) = 0\)
বা, \(y = -3\)
\(\therefore\) y এর মান -15 বা -3 হলে (2,y) এবং (10,-9) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব 10 একক হবে।
9. x অক্ষের উপর এমন একটি বিন্দু খুঁজি যা (3,5) ও (1,3) বিন্দুগুলি থেকে সমদূরবর্তী।
সমাধান –
ধরি, x অক্ষের উপর বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (a,0)।
শর্তানুসারে,
\(\sqrt{(3 – a)^2 + (5 – 0)^2} = \sqrt{(1 – a)^2 + (3 – 0)^2}\)বা, \(\sqrt{(3 – a)^2 + 25} = \sqrt{(1 – a)^2 + 9}\)
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,
\((3-a)^2 +25 = (1-a)^2+9\)বা, \(9-6a+a^2 +25 = 1-2a +a^2+9\)
বা, \(a^2-a^2-6a+2a+9 -9+25-1 = 0\)
বা, \(-4a = -24\)
বা, \(a = 6\)
∴ নির্ণেয় বিন্দুটি হল (6,0) যা (3,5) ও (1,3) বিন্দুগুলি থেকে সমদূরবর্তী।
10. O(0,0), A(4,3) এবং B(8,6) বিন্দু তিনটি সমরেখ কিনা হিসাব করে লিখি।
সমাধান – O(0,0), A(4,3) এবং B(8,6) বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে যদি \(OA + AB = OB\) হয়।
\(OA = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2}\) একক
= \( \sqrt{(4)^2 + (3)^2}\) একক
= \( \sqrt{16+9}\) একক
= \( \sqrt{25}\) একক
= \( 5\) একক
\(AB = \sqrt{(8-4)^2 + (6-3)^2}\) একক
= \( \sqrt{(4)^2 + (3)^2}\) একক
= \( \sqrt{16+9}\) একক
= \( \sqrt{25}\) একক
= \( 5\) একক
\(OB = \sqrt{(8-0)^2 + (6-0)^2}\) একক
= \( \sqrt{(8)^2 + (6)^2}\) একক
= \( \sqrt{64+36}\) একক
= \( \sqrt{100}\) একক
= \( 10\) একক
\(\therefore OA+AB = (5+5)\) একক = \( 10\) একক = \( OB\)
\(\therefore OA + AB = OB\)সুতরাং O(0,0), A(4,3), B(8,6) বিন্দুত্রয় সমরেখ।
11. দেখাই যে, (2,2), (-2,-2) এবং (-2√3, 2√3) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান –
ধরা যাক, A(2,2), B(-2,-2) এবং C \((-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3})\) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
এখন \(AB = \sqrt{(-2 – 2)^2 + (-2 – 2)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2}\) একক
= \( \sqrt{16 + 16}\) একক
= \( \sqrt{32}\) একক
\(BC = \sqrt{\{-2\sqrt{3} – (-2)\}^2 + \{2\sqrt{3} – (-2)\}^2}\) একক
= \( \sqrt{(2 – 2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3} + 2)^2}\) একক
= \( \sqrt{2 \{(2)^2 + (2\sqrt{3})^2\}}\) একক [যেহেতু, \((a+b)^2 +(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)\)]
= \( \sqrt{2(4 + 12)}\) একক
= \( \sqrt{32}\) একক
\(CA = \sqrt{\{2 – (-2\sqrt{3})\}^2 + \{2 – (2\sqrt{3})\}^2}\) একক
= \( \sqrt{(2 + 2\sqrt{3})^2 + (2 – 2\sqrt{3})^2}\) একক
= \( \sqrt{2 \{(2)^2 + (2\sqrt{3})^2\}}\) একক [যেহেতু, \((a+b)^2 +(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)\)]
= \( \sqrt{2(4 + 12)}\) একক
= \( \sqrt{32}\) একক
\(\therefore\) ABC ত্রিভুজের AB = BC = CA
\(\therefore\) ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
12. দেখাই যে, (-7,12), (19,18), (15,-6) এবং (-11,-12) বিন্দুগুলি পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।
সমাধান –
ধরা যাক, A(-7,12), B(19,18), C(15,-6) এবং D(-11,-12) হল একটি চতুর্ভুজের চারটি কৌণিক বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
এখন, \(AB = \sqrt{\{19 – (-7)\}^2 + (18 – 12)^2}\) একক
= \( \sqrt{(19+7)^2 + (6)^2}\) একক
= \( \sqrt{(26)^2 + 36}\) একক
= \( \sqrt{676 + 36}\) একক
= \( \sqrt{712}\) একক
\(BC = \sqrt{(15 – 19)^2 + (-6 – 18)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-4)^2 + (-24)^2}\) একক
= \( \sqrt{16 + 576}\) একক
= \( \sqrt{592}\) একক
\(CD = \sqrt{(-11 – 15)^2 + (-12 + 6)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-26)^2 + (-6)^2}\) একক
= \( \sqrt{676 + 36}\) একক
= \( \sqrt{712}\) একক
এবং \(DA = \sqrt{\{-7 – (-11)\}^2 + \{12 – (-12)\}^2}\) একক
= \( \sqrt{(-7 + 11)^2 + (24)^2}\) একক
= \( \sqrt{(4)^2 + (24)^2}\) একক
= \( \sqrt{16 + 576}\) একক
= \( \sqrt{592}\) একক
\(\therefore\) ABCD চতুর্ভুজের AB = CD এবং BC = DA। অর্থাৎ ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান। সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)
13. দেখাই যে, (2,-2), (8,4), (5,7) এবং (-1,1) বিন্দুগুলি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান –
ধরা যাক, A(2,-2), B(8,4), C(5,7) এবং D(-1,1) হল একটি চতুর্ভুজের চারটি কৌণিক বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
এখন, \(AB = \sqrt{(8-2)^2 + \{4-(-2)\}^2}\) একক
= \( \sqrt{(6)^2 + (4+2)^2}\) একক
= \( \sqrt{36 + (6)^2}\)
= \( \sqrt{36 + 36}\) একক
= \( \sqrt{72}\) একক
\(BC = \sqrt{(5-8)^2 + (7-4)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-3)^2 + (3)^2}\) একক
= \( \sqrt{9 + 9}\) একক
= \( \sqrt{18}\) একক
\(CD = \sqrt{(-1-5)^2 + (1-7)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2}\) একক
= \( \sqrt{36 + 36}\) একক
= \( \sqrt{72}\) একক
এবং \(DA = \sqrt{\{2-(-1)\}^2 + \{1-(-2)\}^2}\) একক
= \( \sqrt{(2+1)^2 + (1+2)^2}\) একক
= \( \sqrt{(3)^2 + (3)^2}\) একক
= \( \sqrt{9 + 9}\) একক
= \( \sqrt{18}\) একক
কর্ণ \(AC = \sqrt{(5-2)^2 + \{7-(-2)\}^2}\) একক
= \( \sqrt{(3)^2 + (7+2)^2}\) একক
= \( \sqrt{9 + 81}\) একক
= \( \sqrt{90}\) একক
কর্ণ \(BD = \sqrt{(-1-8)^2 + (1-4)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-9)^2 + (-3)^2}\) একক
= \( \sqrt{81 + 9}\) একক
= \( \sqrt{90}\) একক
\(\therefore\) ABCD চতুর্ভুজের \(AB = CD\), \(BC = DA\) এবং কর্ণ \(AC =\) কর্ণ \(BD\)। অর্থাৎ ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান এবং কর্ণ দ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান। সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র। (প্রমাণিত)
14. দেখাই যে, (2,5), (5,9), (9,12) এবং (6,8) বিন্দুগুলি পরস্পর যোগ করলে একটি রম্বস উৎপন্ন হয়।
সমাধান –
ধরা যাক, A(2,5), B(5,9), C(9,12) এবং D(6,8) হল একটি চতুর্ভুজের চারটি কৌণিক বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে চতুর্ভুজটি একটি রম্বস।
এখন, \(AB = \sqrt{(5-2)^2 + (9-5)^2}\) একক
= \( \sqrt{(3)^2 + (4)^2}\) একক
= \( \sqrt{9 + 16}\) একক
= \( \sqrt{25}\) একক
= \( 5\) একক
\(BC = \sqrt{(9-5)^2 + (12-9)^2}\) একক
= \( \sqrt{(4)^2 + (3)^2}\) একক
= \( \sqrt{16 + 9}\) একক
= \( \sqrt{25}\) একক
= \( 5\) একক
\(CD = \sqrt{(6-9)^2 + (8-12)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2}\) একক
= \( \sqrt{9 + 16}\) একক
= \( \sqrt{25}\) একক
= \( 5\) একক
এবং \(DA = \sqrt{(6-2)^2 + (8-5)^2}\) একক
= \( \sqrt{(4)^2 + (3)^2}\) একক
= \( \sqrt{16 + 9}\) একক
= \( \sqrt{25}\) একক
= \( 5\) একক
\(\therefore\) ABCD চতুর্ভুজের \(AB = BC = CD = DA\)। সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি রম্বস। (প্রমাণিত)
15. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) \((a+b, c-d)\) এবং \((a-b, c+d)\) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব
(a) \(2\sqrt{(a^2 + c^2)}\)
(b) \(2\sqrt{(b^2 + d^2)}\)
(c) \(\sqrt{(a^2 + c^2)}\)
(d) \(\sqrt{(b^2 + d^2)}\)
উত্তর – (b) \(2\sqrt{(b^2+d^2)}\)
সমাধান –
\((a+b, c-d)\) এবং \((a-b, c+d)\) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব
= \( \sqrt{\{(a-b) – (a+b)\}^2 + \{(c+d) – (c-d)\}^2}\)
= \( \sqrt{(a-b-a-b)^2 + (c+d-c+d)^2}\)
= \( \sqrt{(-2b)^2 + (2d)^2}\)
= \( \sqrt{4b^2 + 4d^2}\)
= \( \sqrt{4(b^2 + d^2)}\)
= \( 2\sqrt{(b^2 + d^2)}\)
(ii) \((x,-7)\) এবং \((3,-3)\) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক হলে, \(x\)-এর মানগুলি হল –
(a) 0 অথবা 6
(b) 2 অথবা 3
(c) 5 অথবা 1
(d) 6 অথবা 0
উত্তর – (a) 0 অথবা 6
সমাধান –
\((x,-7)\) এবং \((3,-3)\) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক।
\(\therefore \sqrt{(3-x)^2 + \{-3 – (-7)\}^2} = 5\)বা, \(\sqrt{(3-x)^2 + (-3+7)^2} = 5\)
বা, \(\sqrt{(3-x)^2 + (4)^2} = 5\)
বা, \(\sqrt{(3-x)^2 + 16} = 5\)
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,
\((3-x)^2 + 16 = 25\)বা, \((3-x)^2 = 25-16\)
বা, \((3-x)^2 = 9\)
বা, \(3-x = \pm\sqrt{9}\)
বা, \(3-x = \pm 3\)
\(\therefore 3-x = 3\)বা, \(x = 0\)
অথবা, \(3-x = – 3\)
বা, \(x = 6\)
\(\therefore x = 0\) অথবা \(x = 6\)
(iii) যদি \((x,4)\) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হয়, তাহলে \(x\) এর মান
(a) \(\pm 4\)
(b) \(\pm 5\)
(c) \(\pm 3\)
(d) কোনোটিই নয়
উত্তর – (c) \(\pm 3\)
সমাধান –
\(\therefore \sqrt{(x-0)^2 + (4-0)^2} = 5\)বা, \(\sqrt{x^2 + 16} = 5\)
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,
\(x^2 + 16 = 25\)বা, \(x^2 = 25-16\)
বা, \(x^2 = 9\)
বা, \(x = \pm\sqrt{9}\)
বা, \(x = \pm 3\)
(iv) \((3,0)\), \((-3,0)\) এবং \((0,3)\) বিন্দু তিনটি যোগ করলে যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হয় সেটি
(a) সমবাহু
(b) সমদ্বিবাহু
(c) বিষমবাহু
(d) সমকোণী সমদ্বিবাহু
উত্তর – (d) সমকোণী সমদ্বিবাহু
সমাধান –
ধরা যাক, \(A(3,0)\), \(B(-3,0)\) এবং \(C(0,3)\) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
এখন \(AB = \sqrt{(-3 – 3)^2 + (0 – 0)^2}\) একক
= \( \sqrt{(-6)^2}\) একক
= \( \sqrt{36}\) একক
= \( 6\) একক
\(BC = \sqrt{\{0 – (-3)\}^2 + (3 – 0)^2}\) একক
= \( \sqrt{3^2 + 3^2}\) একক
= \( \sqrt{9 + 9}\) একক
= \( \sqrt{18}\) একক
\(CA = \sqrt{(3 – 0)^2 + (0 – 3)^2}\) একক
= \( \sqrt{3^2 + (-3)^2}\) একক
= \( \sqrt{9 + 9}\) একক
= \( \sqrt{18}\) একক
\(BC^2 + CA^2 = (\sqrt{18})^2+(\sqrt{18})^2 = 18+18 = 36 = (6)^2 = AB^2\)\(\therefore\) ABC ত্রিভুজের \(BC\) ও \(CA\) বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান এবং
\(BC^2+CA^2 =AB^2\)\(\therefore\) ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
(v) একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0,0)\) এবং বৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3,4)\) হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
(a) \(5\) একক
(b) \(4\) একক
(c) \(3\) একক
(d) কোনোটিই নয়
উত্তর – (a) \(5\) একক
সমাধান –
বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0,0)\) এবং বৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3,4)\) হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
= \( \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} \text{ একক}\) একক
= \( \sqrt{9 + 16} \) একক
= \( \sqrt{25} \) একক
= \( 5 \) একক
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(i) মূলবিন্দু থেকে (-4,y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক হলে, y-এর মান কত লিখি।
সমাধান –
মূলবিন্দু (0,0) থেকে (-4,y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক
\( \therefore \sqrt{(-4 – 0)^2 + (y – 0)^2} = 5 \)বা, \( \sqrt{16 + y^2} = 5 \)
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,
\( 16 + y^2 = 25 \)বা, \( y^2 = 25-16 \)
বা, \( y^2 = 9 \)
বা, \( y = \pm\sqrt{9} \)
বা, \( y = \pm 3 \)
\( \therefore \) y-এর মান \( \pm 3 \)।
(ii) y-অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যার থেকে (2,3) এবং (-1,2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান।
সমাধান –
ধরি, y-অক্ষের উপর বিন্দুটি হল (0,a) যার থেকে (2,3) এবং (-1,2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান।
\( \therefore \sqrt{(2-0)^2 + (3-a)^2} = \sqrt{(-1-0)^2 + (2-a)^2} \)বা, \( \sqrt{4 + (3-a)^2} = \sqrt{1 + (2-a)^2} \)
উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,
\( 4+ (3-a)^2 = 1+(2-a)^2 \)বা, \( 4 + 9 – 6a +a^2 = 1+4-4a+a^2 \)
বা, \( 13-6a+a^2 = 5-4a+a^2 \)
বা, \( 13-5 = 6a -4a \)
বা, \( 8 = 2a \)
বা, \( a = 8/2 \)
বা, \( a = 4 \)
\( \therefore \) y-অক্ষের উপর বিন্দুটির স্থানাঙ্ক হল \( 0,4\)।
(iii) x-অক্ষ এবং y-অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাতে x-অক্ষ, y-অক্ষ এবং বিন্দু দুটির সংযোগকারী সরলরেখাংশ দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়।
সমাধান –
x-অক্ষ এবং y-অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল \( 6,0\) এবং \( 0,6\)
এই বিন্দু দুটির সংযোগকারী সরলরেখাংশ দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়।
(iv) x-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব x-অক্ষ থেকে সমান।
সমাধান –
x-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল – \(6,3\) এবং \( 6,-3 \) যাদের দূরত্ব x-অক্ষ থেকে সমান।
(v) y-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব y-অক্ষ থেকে সমান।
সমাধান – y-অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল \( 8,6\) এবং \(-8,6 \) যাদের দূরত্ব y-অক্ষ থেকে সমান।
এই আর্টিকেলে নবম শ্রেণির গণিতের ‘স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয়’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 4’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরা হয়েছে। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে।
কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন