পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) দশম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের উনিশতম অধ্যায় হলো ‘স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত’। এই পোস্টে ‘কষে দেখি – 19‘-এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান দেওয়া হয়েছে। আশাকরি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়তা করবে।
1. নিচের বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাগুলি যে বিন্দুতে প্রদত্ত অনুপাতে বিভক্ত তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
(i) \((6,-14)\) এবং \((-8,10)\) ; \(3:4\) অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে।
সমাধান –
যে বিন্দু \((6,-14)\) এবং \((-8,10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে \(3:4\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করেছে তা হল –
\(\left(\frac{3(-8)+4(6)}{3+4}, \frac{3(10)+4(-14)}{3+4}\right)\)= \( \left(\frac{-24+24}{7}, \frac{30-56}{7}\right)\)
= \( \left(0, \frac{-26}{7}\right)\) [উত্তর]
(ii) \((5,3)\) এবং \((-7,-2)\) ; \(2:3\) অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে
সমাধান –
যে বিন্দু \((5,3)\) এবং \((-7,-2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করেছে তা হল –
\(\left(\frac{2(-7)+3(5)}{2+3}, \frac{2(-2)+3(3)}{2+3}\right)\)= \( \left(\frac{-14+15}{5}, \frac{-4+9}{5}\right)\)
= \( \left(\frac{1}{5}, \frac{5}{5}\right)\)
= \( \left(\frac{1}{5}, 1\right)\) [উত্তর]
(iii) \((-1,2)\) এবং \((4,-5)\) ; \(3:2\) অনুপাতে বহিঃস্থভাবে।
সমাধান –
যে বিন্দু \((-1,2)\) এবং \((4,-5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে \(3:2\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করেছে তা হল –
\(\left(\frac{3(4)-2(-1)}{3-2}, \frac{3(-5)-2(2)}{3-2}\right)\)= \( \left(\frac{12+2}{1}, \frac{-15-4}{1}\right)\)
= \( (14, -19)\) [উত্তর]
(iv) \((3,2)\) এবং \((6,5)\) ; \(2:1\) অনুপাতে বহিঃস্থভাবে।
সমাধানঃ যে বিন্দু \((3,2)\) এবং \((6,5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে \(2:1\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করেছে তা হল –
\(\left(\frac{2(6)-1(3)}{2-1}, \frac{2(5)-1(2)}{2-1}\right)\)= \( \left(\frac{12-3}{1}, \frac{10-2}{1}\right)\)
= \( (9, 8)\) [উত্তর]
2. নিচের প্রত্যেক বিন্দুগুলোর সংযোজক সরলরেখাংশগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি
(i) \((5,4)\) এবং \((3,-4)\)
সমাধান –
\((5,4)\) এবং \((3,-4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরল রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left(\frac{5+3}{2}, \frac{4+(-4)}{2}\right)\)= \( \left(\frac{8}{2}, \frac{4-4}{2}\right)\)
= \( \left(\frac{8}{2}, \frac{0}{2}\right)\)
= \( (4,0)\) [উত্তর]
(ii) \((6,0)\) এবং \((0, 7)\)
সমাধান – \((6,0)\) এবং \((0, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরল রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+7}{2}\right)\)= \( \left(\frac{6}{2}, \frac{7}{2}\right)\)
= \( \left(3, \frac{7}{2}\right)\) [উত্তর]
3. \((1,3)\) বিন্দুটি \((4,6)\) ও \((6,5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ কী অনুপাতে বিভক্ত হয়েছে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \((1,3)\) বিন্দুটি \((4,6)\) ও \((6,5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে বিভক্ত করে।
\(\therefore \left(\frac{m(6)+n(4)}{m+n}, \frac{m(5)+n(6)}{m+n}\right) = (1,3)\)বা, \(\left(\frac{6m+4n}{m+n}, \frac{5m+6n}{m+n}\right) = (1,3)\)
\(\therefore \frac{6m+4n}{m+n} = 1\)বা, \(6m+4n = m+n\)
বা, \(6m – m = n – 4n\)
বা, \(5m = -3n\)
বা, \(\frac{m}{n} = -\frac{3}{5}\)
[ঋণাত্মক চিহ্নের অর্থ বহির্বিভক্ত করা]
\(\therefore (1,3)\) বিন্দুটি, \((4,6)\) ও \((6,5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে \(3:5\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করেছে। [উত্তর]
4. \((7,3)\) ও \((-9,6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরল রেখাংশ y-অক্ষ দ্বারা কী অনুপাতে বিভক্ত হয়েছে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, \((7,3)\) ও \((-9,6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ y-অক্ষ দ্বারা \(m:n\) অনুপাতে বিভক্ত হয়েছে।
\(\therefore\) y-অক্ষ এবং \((7,3)\) ও \((-9,6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরল রেখাংশের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক –
যেহেতু, y অক্ষের ওপর কোনো বিন্দুর ভুজ শূন্য হয়
\(\therefore \frac{-9m+7n}{m+n} = 0\)বা, \(-9m + 7n = 0\)
বা, \(-9m = -7n\)
বা, \(\frac{m}{n} = \frac{7}{9}\)
\(\therefore (7,3)\) ও \((-9,6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরল রেখাংশ y-অক্ষ দ্বারা \(7:9\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়েছে। [উত্তর]
5. প্রমাণ করি যে, A \((7,3)\), B \((9,6)\), C \((10,12)\) এবং D \((8,9)\) বিন্দুগুলি পরপর যুক্ত করলে সামান্তরিক গঠিত হবে।
সমাধান – ধরি, ABCD সামান্তরিকের AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক – \(\left(\frac{7+10}{2}, \frac{3+12}{2}\right) = \left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right)\)
ধরি, BD কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক – \(\left(\frac{9+8}{2}, \frac{6+9}{2}\right) = \left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right)\)
\(\therefore\) AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \(\left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করেছে।
\(\therefore\) ABCD একটি সামান্তরিক। [প্রমাণিত]
6. যদি, \((3,2)\), \((6,3)\), \((x,y)\) এবং \((6,5)\) বিন্দুগুলি পরস্পর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়, তাহলে \((x,y)\) কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, ABCD একটি সামান্তরিক যার A, B, C এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3,2)\), \((6,3)\), \((x,y)\) এবং \((6,5)\)।
AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = \(\left(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)\)
BD কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = \(\left(\frac{6+6}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (6,4)\)
যেহেতু সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
\(\therefore \left(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right) = (6,4)\)\(\therefore \frac{3+x}{2} = 6\)বা, \(3+x = 12\)
বা, \(x = 12-3\)
বা, \(x = 9\)
এবং, \(\frac{2+y}{2} = 4\)
বা, \(2+y = 8\)
বা, \(y = 8-2\)
বা, \(y = 6\)
\(\therefore (x,y) = (9,6)\) [উত্তর]
7. যদি, \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), \((x_3,y_3)\) এবং \((x_4,y_4)\) বিন্দুগুলি পরস্পর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক গঠিত হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, \(x_1+x_3 = x_2+x_4\) এবং \(y_1+y_3 = y_2+y_4\)
সমাধান –
ধরা যাক, ABCD একটি সামান্তরিক যার A, B, C এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), \((x_3,y_3)\) এবং \((x_4,y_4)\)।
এখন, AC কর্ণের মধ্যবিন্দু = \(\left(\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2}\right)\)
এবং BD কর্ণের মধ্যবিন্দু = \(\left(\frac{x_2+x_4}{2}, \frac{y_2+y_4}{2}\right)\)
যেহেতু, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
\(\therefore \left(\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2}\right) = \left(\frac{x_2+x_4}{2}, \frac{y_2+y_4}{2}\right)\)\(\therefore \frac{x_1+x_3}{2} = \frac{x_2+x_4}{2}\)বা, \(x_1 + x_3 = x_2 + x_4\) [প্রমাণিত]
এবং, \(\frac{y_1+y_3}{2} = \frac{y_2+y_4}{2}\)
বা, \(y_1+y_3 = y_2+y_4\) [প্রমাণিত]
8. ABC ত্রিভুজের A, B ও C শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-1,3)\), \((1,-1)\) এবং \((5,1)\); AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
যেহেতু, AD মধ্যমা,
\(\therefore\) D, BC-এর মধ্যবিন্দু
\(\therefore\) D বিন্দুর স্থানাঙ্ক = \(\left(\frac{1+5}{2}, \frac{-1+1}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{0}{2}\right) = (3,0)\)
\(\therefore\) AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য = \(\sqrt{[3 – (-1)]^2 + (0 – 3)^2}\) একক
= \( \sqrt{(3 + 1)^2 + (-3)^2}\) একক
= \( \sqrt{4^2 + 9}\) একক
= \( \sqrt{16 + 9}\) একক
= \( \sqrt{25}\) একক
= \( 5\) একক
\(\therefore\) AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য 5 একক।
9. একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2,-4)\), \((6,-2)\) এবং \((-4,2)\); ত্রিভুজটির তিনটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরা যাক, ABC ত্রিভুজের A, B এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((2,-4)\), \((6,-2)\) এবং \((-4,2)\) এবং AB, BC এবং CA বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E এবং F।
\(\therefore\) D বিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left(\frac{2+6}{2}, \frac{-4+(-2)}{2}\right)\)= \( \left(\frac{8}{2}, \frac{-6}{2}\right)\)
= \( (4,-3)\)
E বিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left(\frac{6+(-4)}{2}, \frac{-2+2}{2}\right)\)= \( \left(\frac{2}{2}, \frac{0}{2}\right)\)
= \( (1,0)\)
এবং F বিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left(\frac{2+(-4)}{2}, \frac{-4+2}{2}\right)\)= \( \left(\frac{-2}{2}, \frac{-2}{2}\right)\)
= \( (-1,-1)\)
\(\therefore\) AE মধ্যমার দৈর্ঘ্য –
\(\sqrt{(2-1)^2+(-4-0)^2}\) একক
= \( \sqrt{1^2+(-4)^2}\) একক
= \( \sqrt{1+16}\) একক
= \( \sqrt{17}\) একক
BF মধ্যমার দৈর্ঘ্য –
\(\sqrt{(6-(-1))^2+(-2-(-1))^2}\) একক
= \( \sqrt{(6+1)^2+(-2+1)^2}\) একক
= \( \sqrt{7^2+(-1)^2}\) একক
= \( \sqrt{49+1}\) একক
= \( \sqrt{50}\) একক
= \( \sqrt{25 \times 2}\) একক
= \( 5\sqrt{2}\) একক
CD মধ্যমার দৈর্ঘ্য –
\(\sqrt{(-4-4)^2+(2-(-3))^2}\) একক
= \( \sqrt{(-8)^2+(2+3)^2}\) একক
= \( \sqrt{64+5^2}\) একক
= \( \sqrt{64+25}\) একক
= \( \sqrt{89}\) একক
\(\therefore\) ABC ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(\sqrt{17}\) একক, \(5\sqrt{2}\) একক এবং \(\sqrt{89}\) একক।
10. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4,3)\), \((-2,7)\) এবং \((0,11)\); ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
সমাধান – ধরা যাক, ABC ত্রিভুজের A, B এবং C শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\) এবং \((x_3,y_3)\)।
ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু \((4,3)\)
\(\therefore \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) = (4,3)\)\(\therefore \frac{x_1+x_2}{2} = 4\)বা, \(x_1+x_2 = 8\) —(i)
\(\frac{y_1+y_2}{2} = 3\)বা, \(y_1+y_2 = 6\) —(ii)
ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু \((-2,7)\)
\(\therefore \left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right) = (-2,7)\)\(\therefore \frac{x_2+x_3}{2} = -2\)বা, \(x_2+x_3 = -4\) —(iii)
\(\frac{y_2+y_3}{2} = 7\)বা, \(y_2+y_3 = 14\) —(iv)
আবার, ABC ত্রিভুজের CA বাহুর মধ্যবিন্দু \((0,11)\)
\(\therefore \left(\frac{x_3+x_1}{2}, \frac{y_3+y_1}{2}\right) = (0,11)\)\(\therefore \frac{x_3+x_1}{2} = 0\)বা, \(x_3+x_1 = 0\) —(v)
\(\frac{y_3+y_1}{2} = 11\)বা, \(y_3+y_1 = 22\) —(vi)
এখন, (i), (iii) এবং (v) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
\(x_1+x_2 + x_2+x_3 + x_3+x_1 = 8 + (-4) + 0\)বা, \(2(x_1+x_2+x_3) = 4\)
বা, \(x_1+x_2+x_3 = 2\) — (vii)
(ii), (iv) এবং (vi) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
\(y_1+y_2 + y_2+y_3 + y_3+y_1 = 6 + 14 + 22\)বা, \(2(y_1+y_2+y_3) = 42\)
বা, \(y_1+y_2+y_3 = 21\) —(viii)
(vii) নং সমীকরণ থেকে (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\(x_1+x_2+x_3 – (x_2+x_3) = 2 – (-4)\)বা, \(x_1 = 6\)
আবার, (viii) নং সমীকরণ থেকে (iv) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\(y_1+y_2+y_3 – (y_2+y_3) = 21 – 14\)বা, \(y_1 = 7\)
\(\therefore\) A বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((6,7)\)
(vii) নং সমীকরণ থেকে (v) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\(x_1+x_2+x_3 – (x_3+x_1) = 2 – 0\)বা, \(x_2 = 2\)
(viii) নং সমীকরণ থেকে (vi) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\(y_1+y_2+y_3 – (y_3+y_1) = 21 – 22\)বা, \(y_2 = -1\)
\(\therefore\) B বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2,-1)\)
(vii) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\(x_1+x_2+x_3 – (x_1+x_2) = 2 – 8\)বা, \(x_3 = -6\)
(viii) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\(y_1+y_2+y_3 – (y_1+y_2) = 21 – 6\)বা, \(y_3 = 15\)
\(\therefore\) C বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-6,15)\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটির তিনটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((6,7)\), \((2,-1)\) এবং \((-6,15)\)।
11. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) \((l, 2m)\) এবং \((-l+2m, 2l-2m)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক
(a) \((l, m)\)
(b) \((l, -m)\)
(c) \((m, -l)\)
(d) \((m, l)\)
Ans – (d) \((m, l)\)
সমাধান – \((l, 2m)\) এবং \((-l+2m, 2l-2m)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left( \frac{l + (-l + 2m)}{2}, \frac{2m + 2l – 2m}{2} \right)\)= \( \left( \frac{l – l + 2m}{2}, \frac{2m + 2l – 2m}{2} \right)\)
= \( \left( \frac{2m}{2}, \frac{2l}{2} \right)\)
= \( (m, l)\)
(ii) \(A(1,5)\) এবং \(B(-4,7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে \(P\) বিন্দু অন্তঃস্থভাবে \(2:3\) অনুপাতে বিভক্ত করলে \(P\) বিন্দুর ভুজ
(a) \(-1\)
(b) \(11\)
(c) \(1\)
(d) \(-11\)
Ans – (a) \(-1\)
সমাধান – \(A(1,5)\) এবং \(B(-4,7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে \(P\) বিন্দু অন্তঃস্থভাবে \(2:3\) অনুপাতে বিভক্ত করলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left( \frac{2(-4) + 3(1)}{2+3}, \frac{2(7) + 3(5)}{2+3} \right)\)= \( \left( \frac{-8+3}{5}, \frac{14+15}{5} \right)\)
= \( \left( \frac{-5}{5}, \frac{29}{5} \right)\)
= \( \left( -1, \frac{29}{5} \right)\)
(iii) একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((7,9)\) এবং \((-1,-3)\); বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক
(a) \((3,3)\)
(b) \((4,6)\)
(c) \((3,-3)\)
(d) \((4,-6)\)
Ans – (a) \((3,3)\)
সমাধান –
আমরা জানি, ব্যাসের মধ্যবিন্দুই হল বৃত্তের কেন্দ্র।
\(\therefore\) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক –
\(\left( \frac{7+(-1)}{2}, \frac{9+(-3)}{2} \right)\)= \( \left( \frac{7-1}{2}, \frac{9-3}{2} \right)\)
= \( \left( \frac{6}{2}, \frac{6}{2} \right)\)
= \( (3, 3)\)
(iv) \((2,-5)\) এবং \((-3,-2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে একটি বিন্দু \(4:3\) অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে। ওই বিন্দুর কোটি
(a) \(-18\)
(b) \(-7\)
(c) \(18\)
(d) \(7\)
Ans – (d) \(7\)
সমাধান –
\((2,-5)\) এবং \((-3,-2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে একটি বিন্দু \(4:3\) অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে। ওই বিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left( \frac{4(-3) – 3(2)}{4-3}, \frac{4(-2) – 3(-5)}{4-3} \right)\)= \( \left( \frac{-12-6}{1}, \frac{-8+15}{1} \right)\)
= \( (-18, 7)\)
(v) \(PQRS\) সামান্তরিকের \(P(1,2)\), \(Q(4,6)\), \(R(5,7)\) এবং \(S(x,y)\) শীর্ষবিন্দু হলে,
(a) \(x=2, y=4\)
(b) \(x=3, y=4\)
(c) \(x=2, y=3\)
(d) \(x=2, y=5\)
Ans – (c) \(x=2, y=3\)
সমাধান –
\(PR\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left( \frac{1+5}{2}, \frac{2+7}{2} \right)\)= \( \left( \frac{6}{2}, \frac{9}{2} \right)\)
= \( \left( 3, \frac{9}{2} \right)\)
\(QS\) কর্ণের মধ্যবিন্দু –
\(\left( \frac{4+x}{2}, \frac{6+y}{2} \right)\)\(\therefore \left( \frac{4+x}{2}, \frac{6+y}{2} \right) = \left( 3, \frac{9}{2} \right)\)\(\therefore \frac{4+x}{2} = 3\)বা, \(4+x = 6\)
বা, \(x = 6-4\)
বা, \(x = 2\)
এবং, \(\frac{6+y}{2} = \frac{9}{2}\)
বা, \(6+y = 9\)
বা, \(y = 9-6\)
বা, \(y = 3\)
\(\therefore x=2, y=3\)12. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(i) একটি বৃত্তের কেন্দ্র C এবং ব্যাস AB; A এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((6, -7)\) এবং \((5, -2)\) হলে, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
ধরি, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\)।
\(\therefore \left(\frac{6+x}{2}, \frac{-7+y}{2}\right) = (5, -2)\)\(\therefore \frac{6+x}{2} = 5\)বা, \(6 + x = 10\)
বা, \(x = 4\)
এবং, \(\frac{-7+y}{2} = -2\)
বা, \(-7 + y = -4\)
বা, \(y = -4 + 7\)
বা, \(y = 3\)
\(\therefore\) B বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4, 3)\)।
(ii) P ও Q যথাক্রমে প্রথম ও তৃতীয় পাদে অবস্থিত এবং x অক্ষ ও y অক্ষ থেকে বিন্দুটির প্রত্যেকটির দূরত্ব যথাক্রমে 6 একক এবং 4 একক। PQ সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধান –
P ও Q যথাক্রমে প্রথম ও তৃতীয় পাদে অবস্থিত এবং x অক্ষ ও y অক্ষ থেকে বিন্দুটির প্রত্যেকটির দূরত্ব যথাক্রমে 6 একক এবং 4 একক।
\(\therefore\) P বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4, 6)\) এবং Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-4, -6)\)।
\(\therefore\) PQ সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left(\frac{4+(-4)}{2}, \frac{6+(-6)}{2}\right)\)= \( \left(\frac{4-4}{2}, \frac{6-6}{2}\right)\)
= \( (0, 0)\)
(iii) A ও B বিন্দু যথাক্রমে দ্বিতীয় ও চতুর্থ পাদে অবস্থিত এবং x অক্ষ ও y অক্ষ থেকে বিন্দুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দূরত্ব যথাক্রমে 8 একক ও 6 একক। AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধান –
A ও B বিন্দু যথাক্রমে দ্বিতীয় ও চতুর্থ পাদে অবস্থিত এবং x অক্ষ ও y অক্ষ থেকে বিন্দুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দূরত্ব যথাক্রমে 8 একক ও 6 একক।
\(\therefore\) A বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-6, 8)\) এবং B বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((6, -8)\)।
\(\therefore\) AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left(\frac{-6+6}{2}, \frac{8+(-8)}{2}\right)\)= \( \left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right)\)
= \( (0, 0)\)
\(\therefore\) AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 0)\)।
(iv) AB সরলরেখার ওপর P একটি বিন্দু এবং \(AP = PB\); A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, -4)\) এবং \((-5, 2)\); P বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধান –
AB সরলরেখার ওপর P একটি বিন্দু এবং \(AP = PB\)। \(\therefore\) P, AB-এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore\) P বিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left(\frac{3+(-5)}{2}, \frac{-4+2}{2}\right)\)= \( \left(\frac{-2}{2}, \frac{-2}{2}\right)\)
= \( (-1, -1)\) [উত্তর]
(v) ABCD আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল। B এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((7, 3)\) এবং \((2, 6)\); A ও C বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি।
সমাধান –
ABCD আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল। B এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((7, 3)\) এবং \((2, 6)\)।
\(\therefore\) A বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2, 3)\) এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((7, 6)\)। [উত্তর]
AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক –
\(\left(\frac{2+7}{2}, \frac{3+6}{2}\right)\)= \( \left(\frac{9}{2}, \frac{9}{2}\right)\) [উত্তর]
এই আর্টিকেলে নবম শ্রেণির গণিতের ‘স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : সরলরেখাংশের অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত‘ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 19’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরা হয়েছে। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে।
কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন