পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) নবম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের দ্বিতীয় অধ্যায় হলো ‘সূচকের নিয়মাবলি’। এই পোস্টে ‘কষে দেখি – 2’-এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান দেওয়া হয়েছে। আশাকরি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়তা করবে।
1. মান নির্ণয় করি
(i) \( \sqrt[5]{8}^{\frac{5}{2}} \times (16)^{-\frac{3}{2}}\)
সমাধান –
\( \sqrt[5]{8}^{\frac{5}{2}} \times (16)^{-\frac{3}{2}}\)= \( (8)^{\frac{1}{5} \times \frac{5}{2}} \times (2)^{4 \times \frac{-3}{2}}\)
= \( (8)^{\frac{1}{2}} \times (2)^{-6}\)
= \( (2)^{3 \times \frac{1}{2}} \times (2)^{-6}\)
= \( 2^{\frac{3}{2}} \times 2^{-6}\)
= \( (2)^{\frac{3}{2}-6}\)
= \( (2)^{\frac{3-12}{2}}\)
= \( 2^{\frac{-9}{2}}\) [উত্তর]
(ii) \({(125)^{-2} \times (16)^{-\frac{3}{2}}}^{-\frac{1}{6}}\)
সমাধান –
\({(125)^{-2} \times (16)^{\frac{-3}{2}}}^{\frac{-1}{6}}\)= \( {(5)^{3 \times (-2)} \times 2^{4 \times \frac{-3}{2}}}^{\frac{-1}{6}}\)
= \( (5^{-6} \times 2^{-6})^{\frac{-1}{6}}\)
= \( (5 \times 2)^{-6 \times \frac{-1}{6}}\)
= \( (5 \times 2)^1\)
= \( 10\) [উত্তর]
(iii) \(4^{\frac{1}{3}} \times [2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}}] \div 9^{\frac{1}{4}}\)
সমাধান –
\(4^{\frac{1}{3}} \times [2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}}] \div 9^{\frac{1}{4}}\)= \( (2)^{2 \times \frac{1}{3}} \times [2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}}] \div (3)^{2 \times \frac{1}{4}}\)
= \( (2)^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \div 3^{\frac{1}{2}}\)
= \( \frac{(2)^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}\)
= \( 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}\)
= \( 2^{\frac{3}{3}}\)
= \( 2^1\)
= \( 2\) [উত্তর]
2. সরল করি
(i) \((8a^3 \div 27x^{-3})^{\frac{2}{3}} \times (64a^3 \div 27x^{-3})^{-\frac{2}{3}}\)
সমাধান –
\((8a^3 \div 27x^{-3})^{\frac{2}{3}} \times (64a^3 \div 27x^{-3})^{-\frac{2}{3}}\)= \( \left(\frac{8a^3}{27x^{-3}}\right)^{\frac{2}{3}} \times \left(\frac{64a^3}{27x^{-3}}\right)^{\frac{-2}{3}}\)
= \( \left(\frac{8a^3x^3}{27}\right)^{\frac{2}{3}} \times \left(\frac{64a^3x^3}{27}\right)^{\frac{-2}{3}}\)
= \( \left(\frac{2ax}{3}\right)^{3 \times \frac{2}{3}} \times \left(\frac{4ax}{3}\right)^{3 \times \frac{-2}{3}}\)
= \( \left(\frac{2ax}{3}\right)^2 \times \left(\frac{4ax}{3}\right)^{-2}\)
= \( \left(\frac{2ax}{3}\right)^2 \times \frac{1}{\left(\frac{4ax}{3}\right)^2}\)
= \( \frac{4a^2x^2}{9} \times \frac{1}{\frac{16a^2x^2}{9}}\)
= \( \frac{4a^2x^2}{9} \times \frac{9}{16a^2x^2}\)
= \( \frac{1}{4}\) [উত্তর]
(ii) \(\left\{(x^{-5})^{\frac{2}{3}}\right\}^{-\frac{3}{10}}\)
সমাধান –
\(\left\{(x^{-5})^{\frac{2}{3}}\right\}^{-\frac{3}{10}}\)= \( \left\{x^{-5 \times \frac{2}{3}}\right\}^{-\frac{3}{10}}\)
= \( \left\{x^{\frac{-10}{3}}\right\}^{-\frac{3}{10}}\)
= \( x^{\frac{-10}{3} \times \frac{-3}{10}}\)
= \( x\) [উত্তর]
(iii) \([\{(2^{-1})^{-1}\}^{-1}]^{-1}\)
সমাধান –
\([\{(2^{-1})^{-1}\}^{-1}]^{-1}\)= \( \left[\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\right\}^{-1}\right]^{-1}\)
= \( \left[\left\{1 \div \frac{1}{2}\right\}^{-1}\right]^{-1}\)
= \( [\{1 \times 2\}^{-1}]^{-1}\)
= \( [\{2\}^{-1}]^{-1}\)
= \( \left[\frac{1}{2}\right]^{-1}\)
= \( 1 \div \frac{1}{2}\)
= \( 1 \times 2\)
= \( 2\) [উত্তর]
(iv) \(\sqrt[3]{a^{-2}} \cdot b \times \sqrt[3]{b^{-2}} \cdot c \times \sqrt[3]{c^{-2}} \cdot a\)
সমাধান –
\(\sqrt[3]{a^{-2}} \cdot b \times \sqrt[3]{b^{-2}} \cdot c \times \sqrt[3]{c^{-2}} \cdot a\)= \( a^{\frac{-2}{3}} \cdot b \times b^{\frac{-2}{3}} \cdot c \times c^{\frac{-2}{3}} \cdot a\)
= \( (a^{\frac{-2}{3}} \times a) \times (b^{\frac{-2}{3}} \times b) \times (c^{\frac{-2}{3}} \times c)\)
= \( a^{\frac{-2}{3}+1} \times b^{\frac{-2}{3}+1} \times c^{\frac{-2}{3}+1}\)
= \( a^{\frac{1}{3}} \times b^{\frac{1}{3}} \times c^{\frac{1}{3}}\)
= \( (abc)^{\frac{1}{3}}\)
= \( \sqrt[3]{abc}\) [উত্তর]
(v) \(\left( \frac{4^{m+\frac{1}{4}} \times \sqrt{2 \times 2^m}}{2 \cdot \sqrt{2^{-m}}} \right)^{\frac{1}{m}}\)
সমাধান –
\(\left( \frac{4^{m+\frac{1}{4}} \times \sqrt{2 \times 2^m}}{2 \cdot \sqrt{2^{-m}}} \right)^{\frac{1}{m}}\)= \( \left( \frac{2^{2m + 2 \times \frac{1}{4}} \times 2^{\frac{1+m}{2}}}{2 \cdot 2^{\frac{-m}{2}}} \right)^{\frac{1}{m}}\)
= \( \left( \frac{2^{2m+\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1+m}{2}}}{2 \cdot 2^{\frac{-m}{2}}} \right)^{\frac{1}{m}}\)
= \( \left( \frac{2^{\frac{4m+1}{2}} \times 2^{\frac{1+m}{2}}}{2^{1-\frac{m}{2}}} \right)^{\frac{1}{m}}\)
= \( \left( \frac{2^{\frac{4m+1+1+m}{2}}}{2^{\frac{2-m}{2}}} \right)^{\frac{1}{m}}\)
= \( \left( \frac{2^{\frac{5m+2}{2}}}{2^{\frac{2-m}{2}}} \right)^{\frac{1}{m}}\)
= \( \left( 2^{\frac{5m+2}{2} – \frac{2-m}{2}} \right)^{\frac{1}{m}}\)
= \( \left( 2^{\frac{5m+2-2+m}{2}} \right)^{\frac{1}{m}}\)
= \( \left( 2^{\frac{6m}{2}} \right)^{\frac{1}{m}}\)
= \( 2^{3m \times \frac{1}{m}}\)
= \( 2^3\)
= \( 8\) [উত্তর]
(vi) \(9^{-3} \times \frac{16^{\frac{1}{4}}}{6^{-2}} \times (\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}}\)
সমাধান –
\(9^{-3} \times \frac{16^{\frac{1}{4}}}{6^{-2}} \times \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{4}{3}}\)= \( (3^2)^{-3} \times \frac{(2^4)^{\frac{1}{4}}}{(3 \times 2)^{-2}} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{3 \times (\frac{-4}{3})}\)
= \( 3^{-6} \times \frac{2^{4 \times \frac{1}{4}}}{3^{-2} \times 2^{-2}} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}\)
= \( 3^{-6} \times \frac{2^1}{3^{-2} \times 2^{-2}} \times (3^{-1})^{-4}\)
= \( 3^{-6} \times 3^2 \times 2^{1+2} \times 3^4\)
= \( 3^{-6} \times 3^2 \times 2^3 \times 3^4\)
= \( 3^{-6+2+4} \times 2^3\)
= \( 3^{6-6} \times 2^3\)
= \( 3^0 \times 8\)
= \( 8\) [উত্তর]
(vii) \(\left(\frac{x^a}{x^b}\right)^{a^2+ab+b^2} \times \left(\frac{x^b}{x^c}\right)^{b^2+bc+c^2} \times \left(\frac{x^c}{x^a}\right)^{c^2+ca+a^2}\)
সমাধান –
= \( x^{(a-b)(a^2+ab+b^2)} \times x^{(b-c)(b^2+bc+c^2)} \times x^{(c-a)(c^2+ca+a^2)}\)
= \( x^{(a^3-b^3)} \times x^{(b^3-c^3)} \times x^{(c^3-a^3)}\)
= \( x^{(a^3-b^3+b^3-c^3+c^3-a^3)}\)
= \( x^0\)
= \( 1\) [উত্তর]
3. মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজাও
(i) \(5^{\frac{1}{2}}, 10^{\frac{1}{4}}, 6^{\frac{1}{3}}\)
সমাধান –
2, 4 ও 3 এর লসাগু = 12
\(\therefore 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{6}{12}} = (5^6)^{\frac{1}{12}} = (15625)^{\frac{1}{12}}\)
এবং, \(10^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{12}} = (10^3)^{\frac{1}{12}} = (1000)^{\frac{1}{12}}\)
এবং, \(6^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{4}{12}} = (6^4)^{\frac{1}{12}} = (1296)^{\frac{1}{12}}\)
স্পষ্টতই, \(1000 < 1296 < 15625\)
\(\therefore (1000)^{\frac{1}{12}} < (1296)^{\frac{1}{12}} < (15625)^{\frac{1}{12}}\)\(\therefore 10^{\frac{1}{4}} < 6^{\frac{1}{3}} < 5^{\frac{1}{2}}\) [নির্ণেয় ঊর্ধ্বক্রম]
(ii) \(3^{\frac{1}{3}}, 2^{\frac{1}{2}}, 8^{\frac{1}{4}}\)
সমাধান –
3, 2 ও 4 এর লসাগু = 12
\(\therefore 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{12}} = (3^4)^{\frac{1}{12}} = 81^{\frac{1}{12}}\)
এবং, \(2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{6}{12}} = (2^6)^{\frac{1}{12}} = 64^{\frac{1}{12}}\)
এবং, \(8^{\frac{1}{4}} = 8^{\frac{3}{12}} = (8^3)^{\frac{1}{12}} = 512^{\frac{1}{12}}\)
স্পষ্টতই, \(64 < 81 < 512\)
\(\therefore 64^{\frac{1}{12}} < 81^{\frac{1}{12}} < 512^{\frac{1}{12}}\)\(\therefore 2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{3}} < 8^{\frac{1}{4}}\) [নির্ণেয় ঊর্ধ্বক্রম]
(iii) \(2^{60}, 3^{48}, 4^{36}, 5^{24}\)
সমাধান –
\(60, 48, 36\) এবং \(24\) –এর গসাগু \(12\)
\(\therefore 2^{60} = (2^5)^{12} = 32^{12}\)
\(3^{48} = (3^4)^{12} = 81^{12}\)
\(4^{36} = (4^3)^{12} = 64^{12}\)
\(5^{24} = (5^2)^{12} = 25^{12}\)
স্পষ্টতই, \(25 < 32 < 64 < 81\)
\(\therefore 25^{12} < 32^{12} < 64^{12} < 81^{12}\)\(\therefore 5^{24} < 2^{60} < 4^{36} < 3^{48}\) [নির্ণেয় ঊর্ধ্বক্রম]
4. প্রমাণ করি –
(i) \(\left(\frac{a^q}{a^r}\right)^p \times \left(\frac{a^r}{a^p}\right)^q \times \left(\frac{a^p}{a^q}\right)^r = 1\)
সমাধান –
\(\left(\frac{a^q}{a^r}\right)^p \times \left(\frac{a^r}{a^p}\right)^q \times \left(\frac{a^p}{a^q}\right)^r\)= \( (a^{q-r})^p \times (a^{r-p})^q \times (a^{p-q})^r\)
= \( a^{p(q-r)} \times a^{q(r-p)} \times a^{r(p-q)}\)
= \( a^{pq-pr} \times a^{qr-qp} \times a^{rp-rq}\)
= \( a^{pq-pr+qr-qp+rp-rq}\)
= \( a^0\)
= \( 1\) [প্রমাণিত]
(ii) \(\left(\frac{x^m}{x^n}\right)^{m+n} \times \left(\frac{x^n}{x^l}\right)^{n+l} \times \left(\frac{x^l}{x^m}\right)^{l+m} = 1\)
সমাধান –
\(\left(\frac{x^m}{x^n}\right)^{m+n} \times \left(\frac{x^n}{x^l}\right)^{n+l} \times \left(\frac{x^l}{x^m}\right)^{l+m}\)= \( (x^{m-n})^{m+n} \times (x^{n-l})^{n+l} \times (x^{l-m})^{l+m}\)
= \( x^{(m-n)(m+n)} \times x^{(n-l)(n+l)} \times x^{(l-m)(l+m)}\)
= \( x^{m^2-n^2} \times x^{n^2-l^2} \times x^{l^2-m^2}\)
= \( x^{m^2-n^2+n^2-l^2+l^2-m^2}\)
= \( x^0\)
= \( 1\) [প্রমাণিত]
(iii) \(\left(\frac{x^m}{x^n}\right)^{m+n-l} \times \left(\frac{x^n}{x^l}\right)^{n+l-m} \times \left(\frac{x^l}{x^m}\right)^{l+m-n} = 1\)
সমাধান –
\(\left(\frac{x^m}{x^n}\right)^{m+n-l} \times \left(\frac{x^n}{x^l}\right)^{n+l-m} \times \left(\frac{x^l}{x^m}\right)^{l+m-n}\)= \( (x^{m-n})^{m+n-l} \times (x^{n-l})^{n+l-m} \times (x^{l-m})^{l+m-n}\)
= \( x^{(m-n)(m+n-l)} \times x^{(n-l)(n+l-m)} \times x^{(l-m)(l+m-n)}\)
= \( x^{(m^2-n^2-ml+nl)} \times x^{(n^2-l^2-nm+lm)} \times x^{(l^2-m^2-ln+mn)}\)
= \( x^{(m^2-n^2-ml+nl + n^2-l^2-nm+lm + l^2-m^2-ln+mn)}\)
= \( x^0\)
= \( 1\) [প্রমাণিত]
(iv) \(\left(a^{\frac{1}{x-y}}\right)^{\frac{1}{x-z}} \times \left(a^{\frac{1}{y-z}}\right)^{\frac{1}{y-x}} \times \left(a^{\frac{1}{z-x}}\right)^{\frac{1}{z-y}} = 1\)
সমাধান –
\(\left(a^{\frac{1}{x-y}}\right)^{\frac{1}{x-z}} \times \left(a^{\frac{1}{y-z}}\right)^{\frac{1}{y-x}} \times \left(a^{\frac{1}{z-x}}\right)^{\frac{1}{z-y}}\)= \( a^{\frac{1}{(x-y)(x-z)}} \times a^{\frac{1}{(y-z)(y-x)}} \times a^{\frac{1}{(z-x)(z-y)}}\)
= \( a^{\frac{1}{(x-y)(x-z)} + \frac{1}{(y-z)(y-x)} + \frac{1}{(z-x)(z-y)}}\)
= \( a^{\frac{-(y-z)-(z-x)-(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}}\)
= \( a^{\frac{-y+z-z+x-x+y}{(x-y)(y-z)(z-x)}}\)
= \( a^0\)
= \( 1\) [প্রমাণিত]
5. \(x+z=2y\) এবং \(b^2=ac\) হলে দেখাই যে \(a^{y-z} b^{z-x} c^{x-y}=1\)
সমাধান –
\(x+z = 2y\)বা, \(x-y = y-z\)
এখন, \(a^{y-z} b^{z-x} c^{x-y}\)
= \( a^{y-z} b^{z-x} c^{y-z} \quad [\because x-y = y-z]\)
= \( (ac)^{y-z} b^{z-x}\)
= \( (b^2)^{y-z} b^{z-x}\)
= \( b^{2y-2z} b^{z-x}\)
= \( b^{2y-2z+z-x}\)
= \( b^{2y-(x+z)}\)
= \( b^{2y-2y} \quad [\text{যেহেতু}, x+z = 2y]\)
= \( b^0\)
= \( 1 \quad \)
6. \(a = xy^{p-1}, b = xy^{q-1}, c = xy^{r-1}\) হলে দেখাই যে, \(a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q} = 1\)
সমাধান –
\(a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q}\)= \( (xy^{p-1})^{q-r} (xy^{q-1})^{r-p} (xy^{r-1})^{p-q}\)
= \( x^{q-r} y^{(p-1)(q-r)} x^{r-p} y^{(q-1)(r-p)} x^{p-q} y^{(r-1)(p-q)}\)
= \( x^{q-r+r-p+p-q} y^{(p-1)(q-r)+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)}\)
= \( x^0 y^{(pq-q-rp+r + qr-r-pq+p + rp-p-qr+q)}\)
= \( x^0 y^0\)
= \( 1\)
7. \(x^{\frac{1}{a}} = y^{\frac{1}{b}} = z^{\frac{1}{c}}\) এবং \(xyz = 1\) হলে, দেখাই যে, \(a+b+c = 0\)
সমাধান –
ধরি, \(x^{\frac{1}{a}} = y^{\frac{1}{b}} = z^{\frac{1}{c}} = k \quad [k (\neq 0) \text{ একটি আনুপাতিক ধ্রুবক}]\)
\(\therefore x^{\frac{1}{a}} = k\)বা, \(x = k^a\)
\(y^{\frac{1}{b}} = k\)বা, \(y = k^b\)
এবং, \(z^{\frac{1}{c}} = k\)
বা, \(z = k^c\)
আবার, \(xyz = 1\)
\(\therefore k^a \cdot k^b \cdot k^c = 1\)বা, \(k^{a+b+c} = k^0\)
বা, \(a+b+c = 0 \quad \)
8. \(a^x = b^y = c^z\) এবং \(abc = 1\) হলে দেখাই যে \(xy+yz+zx=0\)
সমাধান –
ধরি, \(a^x = b^y = c^z = k\)
\(\therefore a = k^{\frac{1}{x}} ; b = k^{\frac{1}{y}} , c = k^{\frac{1}{z}}\)আবার, \(abc = 1\)
বা, \(k^{\frac{1}{x}} \times k^{\frac{1}{y}} \times k^{\frac{1}{z}} = 1\)
বা, \(k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = k^0\)
বা, \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\)
বা, \(\frac{yz+zx+xy}{xyz} = 0\)
বা, \(xy+yz+zx = 0 \quad \)
9. সমাধান করি
(i) \(49^x = 7^3\)
সমাধান –
বা, \((7)^{2x} = (7)^3\)
বা, \(2x = 3\)
বা, \(x = 3/2\)
বা, \(x = 1\)পূর্ণ \(1/2\) [উত্তর]
(ii) \(2^{x+2} + 2^{x-1} = 9\)
সমাধান –
বা, \(2^x \cdot 2^2 + 2^x \cdot 2^{-1} = 9\)
বা, \(2^x \cdot 4 + 2^x (1/2) = 9\)
বা, \(2^x (4 + 1/2) = 9\)
বা, \(2^x (9/2) = 9\)
বা, \(2^x = 9 \times 2/9\)
বা, \(2^x = 2^1\)
বা, \(x = 1\) [উত্তর]
(iii) \(2^{x+1} + 2^{x+2} = 48\)
সমাধান –
বা, \(2^x \cdot 2 + 2^x \cdot 2^2 = 48\)
বা, \(2^x \cdot 2 + 2^x \cdot 4 = 48\)
বা, \(2^x (2+4) = 48\)
বা, \(2^x \times 6 = 48\)
বা, \(2^x = 8\)
বা, \(2^x = 2^3\)
বা, \(x = 3\) [উত্তর]
(iv) \(2^{4x} \cdot 4^{3x-1} = \frac{4^{2x}}{2^{3x}}\)
সমাধান –
\(2^{4x} \cdot 4^{3x-1} = \frac{4^{2x}}{2^{3x}}\)বা, \(2^{4x} \cdot (2^2)^{3x-1} = \frac{(2^2)^{2x}}{2^{3x}}\)
বা, \(2^{4x} \cdot 2^{6x-2} = \frac{2^{4x}}{2^{3x}}\)
বা, \(2^{4x} \cdot 2^{6x-2} = 2^{4x-3x}\)
বা, \(2^{10x-2} = 2^x\)
বা, \(10x – 2 = x\)
বা, \(10x – x = 2\)
বা, \(9x = 2\)
বা, \(x = 2/9\) [উত্তর]
(v) \(9 \times 81^x = 27^{2-x}\)
সমাধান –
বা, \(3^2 \times 3^{4x} = 3^{3(2-x)}\)
বা, \(3^{(2+4x)} = 3^{(6-3x)}\)
বা, \(2+4x = 6-3x\)
বা, \(4x+3x = 6-2\)
বা, \(7x = 4\)
বা, \(x = 4/7\) [উত্তর]
(vi) \(2^{(5x+4)} + 2^9 = 2^{10}\)
সমাধান –
বা, \(2^{(5x+4)} = 2^{10} – 2^9\)
বা, \(2^{(5x+4)} = 2^9(2 – 1)\)
বা, \(2^{(5x+4)} = 2^9\)
বা, \(5x + 4 = 9\)
বা, \(5x = 9 – 4\)
বা, \(5x = 5\)
বা, \(x = 5/5\)
বা, \(x = 1\) [উত্তর]
(vii) \(6^{(2x+4)} = 3^{3x} \cdot 2^{x+8}\)
সমাধান –
বা, \((3 \times 2)^{(2x+4)} = 3^{3x} \cdot 2^{x+8}\)
বা, \(3^{(2x+4)} \cdot 2^{(2x+4)} = 3^{3x} \cdot 2^{x+8}\)
বা, \(\frac{3^{2x+4}}{3^{3x}} = \frac{2^{x+8}}{2^{2x+4}}\)
বা, \(3^{(2x+4-3x)} = 2^{(x+8-2x-4)}\)
বা, \(3^{4-x} = 2^{4-x}\)
বা, \((3/2)^{4-x} = 1\)
বা, \((3/2)^{4-x} = (3/2)^0\)
বা, \(4-x = 0\)
বা, \(x = 4\) (উত্তর)
10. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) \((0.243)^{0.2} \times (10)^{0.6}\) এর মান
(a) 0.3
(b) 3
(c) 0.9
(d) 9
উত্তর – (b) 3
সমাধান –
\((0.243)^{0.2} \times 10^{0.6}\)= \( \left(\frac{243}{1000}\right)^{\frac{2}{10}} \times 10^{\frac{6}{10}}\)
= \( \left(\frac{3^5}{10^3}\right)^{\frac{1}{5}} \times 10^{\frac{3}{5}}\)
= \( 3^{5 \times \frac{1}{5}} \times 10^{-3 \times \frac{1}{5}} \times 10^{\frac{3}{5}}\)
= \( 3 \times 10^{-\frac{3}{5}} \times 10^{\frac{3}{5}}\)
= \( 3 \times 10^0\)
= \( 3\) [উত্তর]
(ii) \(2^{1/2} \times 2^{-1/2} \times (16)^{1/2}\) এর মান
(a) 1
(b) 2
(c) 4
(d) 9
উত্তর – (c) 4
সমাধান –
\(2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{-1}{2}} \times 16^{\frac{1}{2}}\)= \( 2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{-1}{2}} \times 2^{4 \times \frac{1}{2}}\)
= \( 2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{-1}{2}} \times 2^2\)
= \( 2^{\frac{-1}{2} + \frac{1}{2}} \times 2^2\)
= \( 2^0 \times 2^2\)
= \( 4\)
(iii) \(4^x = 8^3\) হলে x এর মান
(a) 3/2
(b) 9/2
(c) 3
(d) 9
উত্তর – (b) 9/2
সমাধান –
\(4^x = 8^3\)বা, \(2^{2x} = \{(2)^3\}^3\)
বা, \(2^{2x} = 2^9\)
বা, \(2x = 9\)
বা, \(x = 9/2\)
(iv) \(20^{-x} = 1/7\) হলে \((20)^{2x}\) এর মান
(a) 1/49
(b) 7
(c) 49
(d) 1
উত্তর – (c) 49
সমাধান –
\(20^{-x} = 1/7\)বা, \((20^{-x}) = 7^{-1}\)
বা, \((20^{-x})^{-2} = (7^{-1})^{-2}\)
বা, \(20^{2x} = 7^2\)
বা, \(20^{2x} = 49\)
(v) \(4 \times 5^x = 500\) হলে \(x^x\) এর মান
(a) 8
(b) 1
(c) 64
(d) 27
উত্তর – (d) 27
সমাধান –
\(4 \times 5^x = 500\)বা, \(5^x = 500/4\)
বা, \(5^x = 125\)
বা, \(5^x = 5^3\)
বা, \(x = 3\)
\(\therefore x^x = 3^3 = 27\)11. সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্ন
(i) \((27)^x=(81)^y\), হলে x : y কত হয় লিখি।
সমাধান –
\((27)^x = (81)^y\)বা, \(3^{3x} = 3^{4y}\)
বা, \(3x = 4y\)
বা, \(\frac{x}{y} = \frac{4}{3}\)
বা, \(x:y = 4:3\)
\(\therefore x : y = 4:3\) [উত্তর]
(ii) \((5^5 + 0.01)^2 – (5^5 – 0.01)^2 = 5^x\) হলে x এর মান কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\((5^5 + 0.01)^2 – (5^5 – 0.01)^2 = 5^x\)বা, \(4 \times 5^5 \times 0.01 = 5^x\) [সূত্র: \((a+b)^2 – (a-b)^2 = 4ab\)]
বা, \(0.04 \times 5^5 = 5^x\)
বা, \(\left(\frac{4}{100}\right) \times 5^5 = 5^x\)
বা, \(\left(\frac{1}{25}\right) \times 5^5 = 5^x\)
বা, \(5^{-2} \times 5^5 = 5^x\)
বা, \(5^{-2+5} = 5^x\)
বা, \(5^3 = 5^x\)
বা, \(x = 3\) (উত্তর)
(iii) \(3 \times 27^x = 9^{x+4}\) হলে x এর মান কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
\(3 \times 27^x = 9^{x+4}\)বা, \(3 \times 3^{3x} = 3^{2(x+4)}\)
বা, \(3^{1+3x} = 3^{2x+8}\)
বা, \(1+3x = 2x+8\)
বা, \(3x – 2x = 8 – 1\)
বা, \(x = 7\) (উত্তর)
(iv) \(\sqrt[3]{\left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{1}{2}}}\) এর মান কত হিসাব করে লিখি।
\(\sqrt[3]{\left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{1}{2}}}\)= \( \sqrt[3]{\left(\frac{1}{2^6}\right)^{\frac{1}{2}}}\)
= \( \sqrt[3]{(2^{-6})^{\frac{1}{2}}}\)
= \( \sqrt[3]{2^{-3}}\)
= \( 2^{-3 \times \frac{1}{3}}\)
= \( 2^{-1}\)
= \( \frac{1}{2}\)
(v) \(3^{3^3}\) এবং \((3^3)^3\) এর মধ্যে কোনটি বৃহত্তর যুক্তিসহ লিখি।
সমাধান –
\(3^{3^3} = 3^{27}\)এবং, \((3^3)^3 = 3^9\)
যেহেতু, \(27 > 9\)
\(\therefore 3^{27} > 3^9\)\(\therefore 3^{3^3} > (3^3)^3\)অর্থাৎ, \(3^{3^3}\) এবং \((3^3)^3\) এর মধ্যে \(3^{3^3}\) বৃহত্তম।
এই আর্টিকেলে নবম শ্রেণির গণিতের ‘সূচকের নিয়মাবলি’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 2’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরা হয়েছে। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে।
কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন