পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) নবম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের অষ্টম অধ্যায় হলো ‘উৎপাদকে বিশ্লেষণ’। এই পোস্টে ‘কষে দেখি – 8.1‘-এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান দেওয়া হয়েছে। আশাকরি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়তা করবে।
নিচের বহুপদী সংখ্যামালা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি
1. \(x^3-3x+2\)
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = x^3-3x+2\)
\(x =1\) বসিয়ে পাই,
\(f(1) = (1)^3 -3(1) +2\)= \( 1-3+2\)
= \( 3-3\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক \((x-1)\)
\(x^3-3x+2\)= \( x^3 -x -2x +2\)
= \( x(x^2-1)-2(x-1)\)
= \( x(x+1)(x-1)-2(x-1)\)
= \( (x-1)\{x(x+1)-2\}\)
= \( (x-1)(x^2 +x-2)\)
বিকল্প পদ্ধতি –
\(x^3-3x+2\)
সমাধান –
\(x^3-3x+2\)= \( x^3 -1 -3x +3\)
= \( (x-1)(x^2+x+1) -3(x-1)\) [যেহেতু, \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)]
= \( (x-1) (x^2+x+1-3)\)
= \( (x-1)(x^2+x-2)\)
2. \(x^3+2x+3\)
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = x^3+2x+3\)
\(x = -1\) বসিয়ে পাই,
= \( -1-2+3\)
= \( -3+3\)
= \( 0\)
গুণনীয়ক উপপাদ্য থেকে পাই \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক \((x+1)\)
= \( x^3+x^2-x^2-x+3x+3\)
= \( x^2(x+1) – x(x+1)+3(x+1)\)
= \( (x+1)(x^2-x+3)\)
বিকল্প পদ্ধতি –
\(x^3+2x+3\)
= \( x^3+2x +2+1\)
= \( x^3+1+2x+2\)
= \( (x+1)(x^2-x+1)+2(x+1)\) [যেহেতু, \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)]
= \( (x+1)(x^2-x+1+2)\)
= \( (x+1) (x^2-x+3)\)
3. \(a^3 -12a -16\)
সমাধান –
ধরি, \(f(a) = a^3 -12a -16\)
\(a= -2\) বসিয়ে পাই,
\(f(-2) =(-2)^3 -12(-2) -16\)= \( -8 +24 -16\)
= \( -8 +8\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \((a+2)\), \(f(a)\) এর একটি উৎপাদক।
\(a^3 -12a -16\)= \( a^3 + 2a^2 – 2a^2 – 4a-8a -16\)
= \( a^2(a+2) -2a(a+2) -8(a+2)\)
= \( (a+2) (a^2 -2a -8)\)
= \( (a+2) \{a^2 -(4-2)a -8\}\)
= \( (a+2)(a^2 -4a +2a -8)\)
= \( (a+2) \{a(a-4) +2(a-4)\}\)
= \( (a+2)(a+2)(a-4)\)
= \( (a+2)^2(a-4)\)
বিকল্প পদ্ধতি –
\(a^3 -12a -16\)
= \( a^3 -12a +8 – 24\)
= \( a^3 +8 -12a -24\)
= \( (a)^3 + (2)^3 -12(a+2)\)
= \( (a+2)\{a^2 -2a+(2)^2\} -12(a+2)\)
= \( (a+2)(a^2 -2a+4) -12(a+2)\)
= \( (a+2)(a^2 -2a +4 -12)\)
= \( (a+2) (a^2 -2a -8)\)
= \( (a+2) \{a^2 -(4-2)a -8\}\)
= \( (a+2)(a^2 -4a +2a -8)\)
= \( (a+2) \{a(a-4) +2(a-4)\}\)
= \( (a+2)(a+2)(a-4)\)
= \( (a+2)^2(a-4)\)
4. \(x^3 – 6x + 4\)
সমাধান –
\(x^3 – 6x + 4\)ধরি, \(f(x) = x^3 – 6x + 4\)
\(x = 2\) বসিয়ে পাই,
\(\therefore\) গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \((x-2)\), \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক
\(x^3 – 6x + 4\)= \( x^3 – 2x^2 + 2x^2 – 4x – 2x + 4\)
= \( x^2 (x-2) + 2x(x-2) – 2(x-2)\)
= \( (x-2)(x^2 + 2x – 2)\)
বিকল্প পদ্ধতি –
\(x^3 – 6x + 4\)
= \( x^3 – 8 – 6x + 12\)
= \( \{x^3 – (2)^3\} – 6(x-2)\)
= \( (x-2)\{x^2 + 2x + (2)^2\} – 6(x-2)\)
= \( (x-2)(x^2 + 2x + 4) – 6(x-2)\)
= \( (x-2) (x^2 + 2x + 4 – 6)\)
= \( (x-2)(x^2 + 2x – 2)\)
5. \(x^3 – 19x – 30\)
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = x^3 – 19x – 30\)
\(x = -2\) বসিয়ে পাই,
\(f(-2) = (-2)^3 – 19(-2) – 30\)= \( -8 + 38 – 30\)
= \( -38 + 38\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \((x+2)\), \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক।
\(x^3 – 19x – 30\)= \( x^3 + 2x^2 – 2x^2 – 4x – 15x – 30\)
= \( x^2(x+2) – 2x(x+2) – 15(x+2)\)
= \( (x+2) (x^2 – 2x – 15)\)
= \( (x+2)\{x^2 – (5-3)x – 15\}\)
= \( (x+2)(x^2 – 5x + 3x – 15)\)
= \( (x+2)\{x(x-5) + 3(x-5)\}\)
= \( (x+2)(x-5)(x+3)\)
বিকল্প পদ্ধতি –
\(x^3 – 19x – 30\)
= \( x^3 + 8 – 19x – 38\)
= \( x^3 + (2)^3 – 19(x+2)\)
= \( (x+2)\{x^2 – 2x + (2)^2\} – 19(x+2)\)
= \( (x+2)(x^2 – 2x + 4) – 19(x+2)\)
= \( (x+2)(x^2 – 2x + 4 – 19)\)
= \( (x+2)(x^2 – 2x – 15)\)
= \( (x+2)\{x^2 – (5-3)x – 15\}\)
= \( (x+2)(x^2 – 5x + 3x – 15)\)
= \( (x+2)\{x(x-5) + 3(x-5)\}\)
= \( (x+2)(x-5)(x+3)\)
6. \(4a^3 – 9a^2 + 3a + 2\)
ধরি, \(f(a) = 4a^3 – 9a^2 + 3a + 2\)
\(a = 1\) বসিয়ে পাই,
\(f(1) = 4(1)^3 – 9(1)^2 + 3(1) + 2\)= \( 4 – 9 + 3 + 2\)
= \( 9 – 9\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \((a-1)\), \(f(a)\) এর একটি উৎপাদক।
\(4a^3 – 9a^2 + 3a + 2\)= \( 4a^3 – 4a^2 – 5a^2 + 5a – 2a + 2\)
= \( 4a^2 (a-1) – 5a(a-1) – 2(a-1)\)
= \( (a-1) (4a^2 – 5a – 2)\)
বিকল্প পদ্ধতি –
\(4a^3 – 9a^2 + 3a + 2\)= \( 4a^3 – 9a^2 + 9a – 6a – 4 + 6\)
= \( 4a^3 – 4 – 9a^2 + 9a – 6a + 6\)
= \( 4(a^3-1) – 9a(a-1) – 6(a-1)\)
= \( 4 (a-1)(a^2+a+1) – 9a (a-1) – 6(a-1)\)
= \( (a-1) (4a^2 + 4a + 4 – 9a – 6)\)
= \( (a-1) (4a^2 – 5a – 2)\)
7. \(x^3 -9x^2 +23x -15\)
সমাধান –
ধরি, \(f(x) = x^3 -9x^2 +23x -15\)
\(x = 1\) বসিয়ে পাই,
\(f(1) = 4(1)^3 – 9(1)^2 + 3(1) + 2\)= \( 4 – 9 + 3 + 2\)
= \( 9 – 9\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \((x-1)\), \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক।
\(x^3 -9x^2 +23x -15\)= \( x^3 – x^2 -8x^2+8x + 15x -15\)
= \( x^2(x-1) -8x(x-1) +15(x-1)\)
= \( (x-1) (x^2 -8x+15)\)
= \( (x-1)\{x^2 -(5+3)x+15\}\)
= \( (x-1)(x^2 -5x-3x+15)\)
= \( (x-1)\{x(x-5)-3(x-5)\}\)
= \( (x-1)(x-5)(x-3)\)
8. \(5a^3 +11a^2 +4a-2\)
সমাধান –
ধরি, \(f(a) = 5a^3 +11a^2 +4a-2\)
\(a= -1\) বসিয়ে পাই,
\(f(-1) = 5(-1)^3 +11(-1)^2 +4(-1) -2\)= \( -5 +11 -4 -2\)
= \( 11-11\)
= \( 0\)
\(\therefore\) গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \((a+1)\), \(f(a)\) এর একটি উৎপাদক।
\(5a^3 +11a^2 +4a-2\)= \( 5a^3 + 5a^2 +6a^2 +6a-2a-2\)
= \( 5a^2(a+1)+6a(a+1)-2(a+1)\)
= \( (a+1)(5a^2+6a-2)\)
9. \(2x^3 – x^2 + 9x + 5\)
ধরি, \(f(x) = 2x^3 – x^2 + 9x + 5\)
\(x = -\frac{1}{2}\) বসিয়ে পাই,
\(f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 – \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 9\left(-\frac{1}{2}\right) + 5\)= \( 2\left(-\frac{1}{8}\right) – \frac{1}{4} – \frac{9}{2} + 5\)
= \( -\frac{1}{4} – \frac{1}{4} – \frac{9}{2} + 5\)
= \( \frac{-1 – 1 – 18 + 20}{4}\)
= \( \frac{-20 + 20}{4}\)
= \( 0\)
∴ গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \((2x+1)\), \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক।
\(2x^3 – x^2 + 9x + 5\)= \( 2x^3 + x^2 – 2x^2 – x + 10x + 5\)
= \( x^2(2x+1) – x(2x+1) + 5(2x+1)\)
= \( (2x+1)(x^2 – x + 5)\)
10. \(2y^3 – 5y^2 – 19y + 42\)
সমাধান –
ধরি, \(f(y) = 2y^3 – 5y^2 – 19y + 42\)
\(y = 2\) বসিয়ে পাই,
\(f(2) = 2(2)^3 – 5(2)^2 – 19(2) + 42\)= \( 16 – 20 – 38 + 42\)
= \( 58 – 58\)
= \( 0\)
∴ গুণনীয়ক উপপাদ্য অনুসারে \((y-2)\), \(f(y)\) এর একটি উৎপাদক।
\(2y^3 – 5y^2 – 19y + 42\)= \( 2y^3 – 4y^2 – y^2 + 2y – 21y + 42\)
= \( 2y^2 (y-2) – y(y-2) – 21(y-2)\)
= \( (y-2)(2y^2 – y – 21)\)
= \( (y-2) \{2y^2 – (7-6)y – 21\}\)
= \( (y-2)(2y^2 + 6y – 7y – 21)\)
= \( (y-2) \{2y(y+3) – 7(y+3)\}\)
এই আর্টিকেলে নবম শ্রেণির গণিতের ‘উৎপাদকে বিশ্লেষণ’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 8.1’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরা হয়েছে। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে।
কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন