পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) নবম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের অষ্টম অধ্যায় হলো ‘উৎপাদকে বিশ্লেষণ’। এই পোস্টে ‘কষে দেখি – 8.5‘-এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান দেওয়া হয়েছে। আশাকরি, এই নোটসগুলো তোমাদের গণিত পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়তা করবে।
1. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।
(i) \((a+b)^2 – 5a – 5b + 6\)
সমাধান –
\((a+b)^2 – 5a – 5b + 6\)= \( (a+b)^2 – 5(a+b) + 6\)
ধরি, \((a+b) = x\)
\(\therefore\) প্রদত্ত রাশিমালাটি হল –
\(x^2 – 5x + 6\)= \( x^2 – (3+2)x + 6\)
= \( x^2 – 3x – 2x + 6\)
= \( x(x-3) – 2(x-3)\)
= \( (x-3)(x-2)\)
= \( (a+b-3)(a+b-2)\) [\(x = (a+b)\) বসিয়ে পাই]
(ii) \((x+1)(x+2)(3x-1)(3x-4) + 12\)
সমাধান –
\((x+1)(x+2)(3x-1)(3x-4) + 12\)= \( \{(x+1)(3x-1)\}\{(x+2)(3x-4)\} + 12\)
= \( (3x^2 + 3x – x – 1)(3x^2 + 6x – 4x – 8) + 12\)
= \( (3x^2 + 2x – 1)(3x^2 + 2x – 8) + 12\)
ধরি, \(3x^2 + 2x = a\)
= \( (a-1)(a-8) + 12\)
= \( a^2 – a – 8a + 8 + 12\)
= \( a^2 – 9a + 20\)
= \( a^2 – (5+4)a + 20\)
= \( a^2 – 5a – 4a + 20\)
= \( a(a-5) – 4(a-5)\)
= \( (a-5)(a-4)\)
= \( (3x^2+2x-5)(3x^2+2x-4)\) [\(a = 3x^2+2x\) বসিয়ে পাই]
= \( \{3x^2 + (5-3)x – 5\}(3x^2 + 2x – 4)\)
= \( (3x^2 + 5x – 3x – 5)(3x^2 + 2x – 4)\)
= \( \{x(3x+5) – 1(3x+5)\} (3x^2 + 2x – 4)\)
= \( (3x+5)(x-1)(3x^2 + 2x – 4)\)
(iii) \(x(x^2-1)(x+2)-8\)
সমাধান –
\(x(x^2-1)(x+2)-8\)= \( x(x+1)(x-1)(x+2) – 8\)
= \( \{x(x+1)\}\{(x-1)(x+2)\} – 8\)
= \( (x^2+x)(x^2-x+2x-2) – 8\)
= \( (x^2+x)(x^2+x-2) – 8\)
ধরি, \(x^2+x = a\)
= \( a(a-2) – 8\)
= \( a^2 – 2a – 8\)
= \( a^2 – (4-2)a – 8\)
= \( a^2 – 4a + 2a – 8\)
= \( a(a-4) + 2(a-4)\)
= \( (a-4)(a+2)\)
= \( (x^2+x – 4)(x^2+x+2)\)
(iv) \(7(a^2+b^2)^2 – 15(a^4-b^4) + 8(a^2-b^2)^2\)
সমাধান –
= \( 7(a^2+b^2)^2 – 15\{(a^2)^2 – (b^2)^2\} + 8(a^2-b^2)^2\)
= \( 7(a^2+b^2)^2 – 15(a^2+b^2)(a^2-b^2) + 8(a^2-b^2)^2\)
= \( 7(a^2+b^2)^2 – 7(a^2+b^2)(a^2-b^2) – 8(a^2+b^2)(a^2-b^2) + 8(a^2-b^2)^2\)
= \( 7(a^2+b^2)\{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)\} – 8(a^2-b^2)\{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)\}\)
= \( 7(a^2+b^2)(a^2+b^2-a^2+b^2) – 8(a^2-b^2)(a^2+b^2-a^2+b^2)\)
= \( 7(a^2+b^2)(2b^2) – 8(a^2-b^2)(2b^2)\)
= \( 2b^2\{7(a^2+b^2) – 8(a^2-b^2)\}\)
= \( 2b^2(7a^2+7b^2-8a^2+8b^2)\)
= \( 2b^2(15b^2-a^2)\)
(v) \((x^2-1)^2 + 8x(x^2+1) + 19x^2\)
সমাধান –
\((x^2-1)^2 + 8x(x^2+1) + 19x^2\)= \( (x^2+1)^2 – 4x^2 + 8x(x^2+1) + 19x^2\)
= \( (x^2+1)^2 + 8x(x^2+1) + 15x^2\)
= \( (x^2+1)^2 + (5+3)x(x^2+1) + 15x^2\)
= \( (x^2+1)^2 + 5x(x^2+1) + 3x(x^2+1) + 15x^2\)
= \( (x^2+1)(x^2+1+5x) + 3x(x^2+1+5x)\)
= \( (x^2+1+5x)(x^2+1+3x)\)
= \( (x^2+5x+1)(x^2+3x+1)\)
(vi) \((a-1)x^2 – x – (a-2)\)
সমাধান –
\((a-1)x^2 – x – (a-2)\)= \( (a-1)x^2 – \{(a-1)-(a-2)\}x – (a-2)\)
= \( (a-1)x^2 – (a-1)x + (a-2)x – (a-2)\)
= \( (a-1)x(x-1) + (a-2)(x-1)\)
= \( (x-1)\{x(a-1)+(a-2)\}\)
= \( (x-1)(ax – x + a – 2)\)
(vii) \((a-1)x^2 + a^2xy + (a+1)y^2\)
সমাধান –
\((a-1)x^2 + a^2xy + (a+1)y^2\)= \( (a-1)x^2 + \{(a+1)(a-1) + 1\}xy + (a+1)y^2\)
= \( (a-1)x^2 + (a+1)(a-1)xy + xy + (a+1)y^2\)
= \( (a-1)x\{x+(a+1)y\} + y\{x+(a+1)y\}\)
= \( \{x+(a+1)y\}\{(a-1)x+y\}\)
= \( (x+ay+y)(ax – x + y)\)
(viii) \(x^2 – qx – p^2 + 5pq – 6q^2\)
সমাধান –
\(x^2 – qx – p^2 + 5pq – 6q^2\)= \( x^2 – qx – (p^2 – 5pq + 6q^2)\)
= \( x^2 – qx – \{p^2 – (3+2)pq + 6q^2\}\)
= \( x^2 – qx – (p^2 – 3pq – 2pq + 6q^2)\)
= \( x^2 – qx – \{p(p-3q) – 2q(p-3q)\}\)
= \( x^2 – qx – (p-3q)(p-2q)\)
= \( x^2 – \{(p-2q)-(p-3q)\}x – (p-3q)(p-2q)\)
= \( x^2 – (p-2q)x + (p-3q)x – (p-3q)(p-2q)\)
= \( x\{x – (p-2q)\} + (p-3q)\{x – (p-2q)\}\)
= \( (x – p + 2q)(x + p – 3q)\)
(ix) \(2\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) – \left(a – \frac{1}{a}\right) – 7\)
সমাধান –
\(2\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) – \left(a – \frac{1}{a}\right) – 7\)= \( 2\left\{\left(a – \frac{1}{a}\right)^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}\right\} – \left(a – \frac{1}{a}\right) – 7\)
= \( 2\left\{\left(a – \frac{1}{a}\right)^2 + 2\right\} – \left(a – \frac{1}{a}\right) – 7\)
= \( 2\left(a – \frac{1}{a}\right)^2 + 4 – \left(a – \frac{1}{a}\right) – 7\)
= \( 2\left(a – \frac{1}{a}\right)^2 – \left(a – \frac{1}{a}\right) – 3\)
ধরি, \(\left(a – \frac{1}{a}\right) = x\)
= \( 2x^2 – x – 3\)
= \( 2x^2 – (3-2)x – 3\)
= \( 2x^2 – 3x + 2x – 3\)
= \( x(2x-3) + 1(2x-3)\)
= \( (2x-3)(x+1)\)
\(x = \left(a – \frac{1}{a}\right)\) বসিয়ে পাই,
= \( \left\{2\left(a – \frac{1}{a}\right) – 3\right\}\left\{\left(a – \frac{1}{a}\right) + 1\right\}\)
= \( \left(2a – 3 – \frac{2}{a}\right)\left(a – \frac{1}{a} + 1\right)\)
= \( \left\{2a – (4 – 1) – \frac{2}{a}\right\}\left(a – \frac{1}{a} + 1\right)\)
= \( \left(2a – 4 + 1 – \frac{2}{a}\right)\left(a – \frac{1}{a} + 1\right)\)
= \( \left\{2(a-2) + \frac{1}{a}(a-2)\right\}\left(a – \frac{1}{a} + 1\right)\)
= \( (a-2)\left(2 + \frac{1}{a}\right)\left(a – \frac{1}{a} + 1\right)\)
(x) \((x^2 – x)y^2 + y – (x^2 + x)\)
সমাধান –
\((x^2 – x)y^2 + y – (x^2 + x)\)= \( x(x-1)y^2 + y – x(x+1)\)
= \( x(x-1)y^2 + \{x^2 – (x+1)(x-1)\}y – x(x+1)\)
= \( x(x-1)y^2 + x^2y – (x+1)(x-1)y – x(x+1)\)
= \( xy\{(x-1)y + x\} – (x+1)\{(x-1)y + x\}\)
= \( (xy – y + x)(xy – x – 1)\)
2. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) \(a^2 – b^2 = 11 \times 9\) এবং a ও b ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (\(a > b\)) হলে,
(a) \(a = 11, b = 9\)
(b) \(a = 33, b = 3\)
(c) \(a = 10, b = 1\)
(d) \(a = 100, b = 1\)
উত্তর – (c) \(a = 10, b = 1\)
সমাধান –
\(a^2 – b^2 = 11 \times 9\)বা, \(a^2 – b^2 = 99\)
বা, \(a^2 – b^2 = 100 – 1\)
বা, \(a^2 – b^2 = (10)^2 – (1)^2\)
\(\therefore a = 10\) এবং \(b = 1\)
(ii) যদি \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1\) হয়, তাহলে \(a^3 + b^3\)–এর মান নির্ণয় করো।
(a) \(1\)
(b) \(a\)
(c) \(b\)
(d) \(0\)
উত্তর – (d) \(0\)
সমাধান –
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1\)বা, \(\frac{a^2 + b^2}{ab} = 1\)
বা, \(a^2 + b^2 = ab\)
বা, \(a^2 + b^2 – ab = 0\)
\(\therefore a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) = 0 \quad \)[যেহেতু, \((a^2 – ab + b^2) = 0]\)
(iii) \(25^3 – 75^3 + 50^3 + 3 \times 25 \times 75 \times 50\)–এর মান
(a) \(1\)
(b) \(0\)
(c) \(25\)
(d) \(50\)
উত্তর – (b) \(0\)
সমাধান –
\(25^3 – 75^3 + 50^3 + 3 \times 25 \times 75 \times 50\)= \( 25^3 + (-75)^3 + 50^3 – 3 \times 25 \times (-75) \times 50\)
= \( (25 – 75 + 50) \{25^2 + (-75)^2 + (50)^2 – (25)(-75) – (-75)(50) – (50)(25)\}\)
= \( 0 \quad\) [যেহেতু, \((25 – 75 + 50) = 0]\)
(iv) \(a+b+c = 0\) হলে, \(\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab}\)–এর মান
(a) \(0\)
(b) \(1\)
(c) \(-1\)
(d) \(3\)
উত্তর – (d) \(3\)
সমাধান –
\(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)\)বা, \(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = 0 \quad\) [যেহেতু, \((a+b+c) = 0]\)
বা, \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\)
\(\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab}\)= \( \frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc}\)
= \( \frac{3abc}{abc} \quad\) [যেহেতু, \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc]\)
= \( 3\)
(v) \(x^2 – px + 12 = (x-3)(x-a)\) একটি অভেদ হলে, a ও p এর মান যথাক্রমে
(a) \(a = 4, p = 7\)
(b) \(a = 7, p = 4\)
(c) \(a = 4, p = -7\)
(d) \(a = -4, p = 7\)
উত্তর – (a) \(a = 4, p = 7\)
সমাধান –
\(x^2 – px + 12 = (x-3)(x-a)\)বা, \(x^2 – px + 12 = x^2 – 3x – ax + 3a\)
বা, \(x^2 – px + 12 = x^2 – (3+a)x + 3a\)
যেহেতু এটি একটি অভেদ,
\(\therefore 3+a = p\) —(i)
এবং \(3a = 12\) —(ii)
(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই, \(a = 4\)
a-এর প্রাপ্ত মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
বা, \(3+a = p\)
বা, \(p = 3+4\)
বা, \(p = 7\)
\(\therefore a = 4\) এবং \(p = 7\)
3. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন
(i) \(\frac{(b^2-c^2)^3+(c^2-a^2)^3+(a^2-b^2)^3}{(b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3}\)
সমাধান –
ধরি, \((b^2-c^2) = x\), \((c^2-a^2) = y\) এবং \((a^2-b^2) = z\)
\(\therefore x+y+z = (b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2) = 0\)আমরা জানি, \(x^3+y^3+z^3 -3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 -xy-yz-zx)\)
\(\therefore x^3+y^3+z^3 – 3xyz = 0\) [যেহেতু, \((x+y+z) = 0\)]
বা, \(x^3+y^3+z^3 = 3xyz\)
\(\therefore (b^2-c^2)^3 + (c^2-a^2)^3 + (a^2-b^2)^3 = 3(b^2-c^2)(c^2-a^2)(a^2-b^2)\) —(i)
ধরি, \((b-c) = p\), \((c-a) = q\) এবং \((a-b) = r\)
\(\therefore p+q+r = (b-c+c-a+a-b) = 0\)আমরা জানি, \(p^3+q^3+r^3 -3pqr = (p+q+r)(p^2+q^2+r^2 -pq-qr-rp)\)
\(\therefore p^3+q^3+r^3 -3pqr = 0\) [যেহেতু, \((p+q+r) = 0\)]
বা, \(p^3+q^3+r^3 = 3pqr\)
\(\therefore (b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 = 3(b-c)(c-a)(a-b)\) —(ii)
প্রদত্ত রাশিটি,
\(\frac{(b^2-c^2)^3+(c^2-a^2)^3+(a^2-b^2)^3}{(b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3}\)= \( \frac{3(b^2-c^2)(c^2-a^2)(a^2-b^2)}{3(b-c)(c-a)(a-b)}\)
[(i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই]
= \( \frac{3(b+c)(b-c)(c+a)(c-a)(a+b)(a-b)}{3(b-c)(c-a)(a-b)}\)
= \( (b+c)(c+a)(a+b)\)
(ii) \(a^3+b^3+c^3 -3abc = 0\) এবং \(a+b+c \neq 0\) হলে, \(a, b\) ও \(c\) এর মান লিখি।
সমাধান –
\(a^3+b^3+c^3 -3abc = 0\)বা, \((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0\)
দুটি রাশির গুণফল শূন্য এবং \((a+b+c) \neq 0\)
\(\therefore (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0\)বা, \(\frac{1}{2} \times 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0\)
বা, \(\frac{1}{2} (2a^2+2b^2+2c^2 -2ab-2bc-2ca) = 0\)
বা, \(\frac{1}{2} (a^2 -2ab +b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2) = 0\)
বা, \(\{(a-b)^2 +(b-c)^2+(c-a)^2\} = 0\)
তিনটি বর্গ রাশির যোগফল শূন্য
\(\therefore\) তারা আলাদা আলাদাভাবে শূন্য।
\(\therefore (a-b) = 0\)বা, \(a = b\) —(i)
এবং \((b-c) = 0\)
বা, \(b = c\) —(ii)
এবং \((c-a) = 0\)
বা, \(c = a\) —(iii)
(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
\(a = b = c\) [ইহাই নির্ণেয় সম্পর্ক]
(iii) \(a^2 -b^2 = 224\) এবং \(a\) ও \(b\) (\(a < b\)) ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে, \(a\) ও \(b\)-এর মান লিখি।
সমাধান –
\(a^2 -b^2 = 224\)বা, \(a^2 -b^2 = 225-1\)
বা, \(a^2-b^2 = (-15)^2 -(-1)^2\)
\(\therefore a =-15\) এবং \(b = -1\)
(iv) \(3x = a+b+c\) হলে, \((x-a)^3+(x-b)^3+(x-c)^3 – 3(x-a)(x-b)(x-c)\) -এর মান কত লিখি।
সমাধান –
\(3x = a+b+c\)বা, \(x+x+x= a+b+c\)
বা, \((x-a)+(x-b)+(x-c) = 0\)
প্রদত্ত রাশি,
\((x-a)^3+(x-b)^3+(x-c)^3 – 3(x-a)(x-b)(x-c)\)= \( \{(x-a)+(x-b)+(x-c)\}\{(x-a)^2+(x-b)^2+(x-c)^2 -(x-a)(x-b)-(x-b)(x-c) -(x-c)(x-a) \}\)
= \( 0\) [ যেহেতু, \((x-a)+(x-b)+(x-c) = 0\) ]
(v) \(2x^2 +px+6 =(2x-a)(x-2)\) একটি অভেদ হলে, \(a\) ও \(p\) এর মান কত লিখি।
সমাধান –
\(2x^2 +px+6 =(2x-a)(x-2)\)বা, \(2x^2+px+6 = 2x^2 -ax -4x +2a\)
বা, \(2x^2+px+6 = 2x^2 -(a+4)x +2a\)
উভয় পক্ষ তুলনা করে পাই,
\(\therefore 2a = 6\)বা, \(a = 6/2\)
বা, \(a = 3\)
এবং \(p = -(a+4)\)
বা, \(p = -(3+4)\)
বা, \(p = -7\)
\(\therefore a = 3\) এবং \(p = -7\)
এই আর্টিকেলে নবম শ্রেণির গণিতের ‘উৎপাদকে বিশ্লেষণ’ অধ্যায়ের ‘কষে দেখি – 8.5’-এর সমস্ত গাণিতিক সমস্যার সমাধান তুলে ধরা হয়েছে। আশা করি, এই পোস্টটি আপনাদের বা শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়ক হবে।
কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হলে নিচে কমেন্ট করতে পারেন অথবা সরাসরি আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগাযোগ করতে পারেন। আমরা আপনাদের সব প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন