মাধ্যমিক গণিত – বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য – কষে দেখি 15.2

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের পঞ্চদশ অধ্যায়, ‘বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য’ -এর ‘কষে দেখি – 15.2’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।

1. 16 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি. দূরত্বে অবস্থিত একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

প্রদত্ত – একটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি.। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি. দূরে একটি বহিঃস্থ বিন্দু অবস্থিত।

নির্ণেয় – বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

সমাধান –

ধরা যাক, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস হলো 16 সেমি.।

∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ (r) = 216​ = 8 সেমি.।

ধরা যাক, কেন্দ্র O থেকে 17 সেমি. দূরে অবস্থিত বহিঃস্থ বিন্দুটি হলো P।

∴ OP = 17 সেমি.।

এখন, P বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকটি বৃত্তকে A বিন্দুতে স্পর্শ করে। সুতরাং, PA হলো নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।

O, A যুক্ত করা হলো।

∴ OA = ব্যাসার্ধ = 8 সেমি.।

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এবং ওই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থান করে। ∴ OA ⊥ PA সুতরাং, ∆OAP একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার ∠OAP = 90° এবং অতিভুজ হলো OP।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²

বা, (OP)² = (OA)² + (PA)²

বা, (17)² = (8)² + (PA)²

বা, 289 = 64 + (PA)²

বা, (PA)² = 289 – 64

বা, (PA)² = 225

বা, PA = √225​

∴ PA = 15

সুতরাং, নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হলো 15 সেমি.।

2. একটি বৃত্তের উপর P ও Q বিন্দু দুটিতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি A বিন্দুতে ছেদ করেছে, ∠PAQ =60° হলে ∠APQ এর মান নির্ণয় করি।

প্রদত্ত – একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত P ও Q বিন্দুতে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠PAQ = 60°

নির্ণেয় – ∠APQ-এর মান নির্ণয় করতে হবে।

সমাধান –

ধরা যাক, একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে বৃত্তের উপর AP এবং AQ দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা হয়েছে।

P, Q যুক্ত করা হলো, যার ফলে ∆APQ গঠিত হলো।

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো বহিঃস্থ বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়, তাদের দৈর্ঘ্য সমান হয়।

∴ AP = AQ

যেহেতু ∆APQ-এর দুটি বাহু (AP ও AQ) সমান, সুতরাং এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

∴ ∠APQ = ∠AQP (সমান বাহুর বিপরীত কোণ দুটি সমান)

এখন, ত্রিভুজ ∆APQ-এর তিনটি কোণের সমষ্টি 180°।

∴ ∠PAQ + ∠APQ + ∠AQP = 180°

বা, 60° + ∠APQ + ∠APQ = 180° [∵ প্রদত্ত ∠PAQ = 60° এবং ∠AQP = ∠APQ]

বা, 2∠APQ = 180° – 60°

বা, 2∠APQ = 120°

বা, ∠APQ = \(\frac{120° }2\)

∴ ∠APQ = 60°

সুতরাং, ∠APQ-এর নির্ণেয় মান হলো 60°।

3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR একটি ব্যাস হলে, প্রমান করি যে OA ∥ RQ।

প্রদত্ত – O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR বৃত্তটির একটি ব্যাস।

প্রামাণ্য বিষয় – OA ∥ RQ

অঙ্কন – O, A; O, Q এবং R, Q যুক্ত করা হলো।

প্রমাণ –

যেহেতু বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AP এবং AQ দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা হয়েছে, আমরা জানি কেন্দ্র O এবং বহিঃস্থ বিন্দু A-এর সংযোজক সরলরেখা (OA) কেন্দ্রস্থ কোণ ∠POQ-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

∴ ∠AOP = ∠AOQ

সুতরাং, ∠POQ = ∠AOP + ∠AOQ = 2∠AOP — (i)

এখন, ∆ORQ-এর ক্ষেত্রে, OR = OQ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ) সুতরাং, ∆ORQ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

∴ ∠ORQ = ∠OQR (সমান বাহুর বিপরীত কোণ)

আবার, ∆ORQ-এর RO বাহুকে P পর্যন্ত বর্ধিত করায় বহিঃস্থ কোণ ∠POQ উৎপন্ন হয়েছে।

আমরা জানি, ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ তার অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুটির সমষ্টির সমান।

∴ ∠POQ = ∠ORQ + ∠OQR

বা, ∠POQ = ∠ORQ + ∠ORQ [∵ ∠OQR = ∠ORQ]

বা, ∠POQ = 2∠ORQ — (ii)

এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই, 2∠AOP = 2∠ORQ

∴ ∠AOP = ∠ORQ

এখন, OA এবং RQ দুটি সরলরেখাকে PR ছেদক যথাক্রমে O ও R বিন্দুতে ছেদ করায় একজোড়া অনুরূপ কোণ ∠AOP এবং ∠ORQ (বা ∠PRQ) উৎপন্ন হয়েছে, এবং তারা পরস্পর সমান।

আমরা জানি, দুটি সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে যদি একজোড়া অনুরূপ কোণ সমান হয়, তবে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হয়।

সুতরাং, OA ∥ RQ। (প্রমাণিত)

4. প্রমাণ করতে হবে যে, বৃত্তের পরিলিখিত কোনো চতুর্ভুজের যেকোনো দুটি বিপরীত বাহুর দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন সম্মুখ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক।

(দুটি কোণের সমষ্টি 180° বা 2 সমকোণ হলে তাদের সম্পূরক কোণ বলে)।

প্রদত্ত – মনে করি, ABCD চতুর্ভুজটি O-কেন্দ্রিক একটি বৃত্তকে AB, BC, CD এবং DA বাহুতে যথাক্রমে P, Q, R, S বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

প্রামাণ্য বিষয় – ∠AOB + ∠COD = 180° এবং ∠BOC + ∠DOA = 180°।

অঙ্কন – O,A; O,B; O,C; O,D এবং O,P; O,Q; O,R; O,S যুক্ত করা হলো।

প্রমাণ –

যেহেতু বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে বৃত্তের উপর AP এবং AS দুটি স্পর্শক,

∴ ∆OAP এবং ∆OAS সর্বসম। (SSS বা RHS শর্তানুসারে)

সুতরাং, ∠AOP = ∠AOS

একইভাবে, বহিঃস্থ বিন্দু B, C, ও D থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের জন্য আমরা পাই –

∠BOP = ∠BOQ

∠COQ = ∠COR

∠DOR = ∠DOS

এখন, O বিন্দুর চারিদিকে উৎপন্ন কোণগুলির সমষ্টি 360°।

∴ (∠AOP + ∠AOS) + (∠BOP + ∠BOQ) + (∠COQ + ∠COR) + (∠DOR + ∠DOS) = 360°

বা, (∠AOP + ∠AOP) + (∠BOP + ∠BOP) + (∠COR + ∠COR) + (∠DOR + ∠DOR) = 360° [উপরের সম্পর্কগুলি থেকে পাই]

বা, 2∠AOP + 2∠BOP + 2∠COR + 2∠DOR = 360°

বা, 2(∠AOP + ∠BOP + ∠COR + ∠DOR) = 360°

বা, 2{(∠AOP + ∠BOP) + (∠COR + ∠DOR)} = 360°

বা, 2(∠AOB + ∠COD) = 360°

বা, ∠AOB + ∠COD = 2360°​

∴ ∠AOB + ∠COD = 180°

যেহেতু চতুর্ভুজের কেন্দ্রস্থ চারটি কোণের সমষ্টি (∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOA) = 360°

∴ ∠BOC + ∠DOA = 360° – (∠AOB + ∠COD)

বা, ∠BOC + ∠DOA = 360° – 180° = 180°

সুতরাং, বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি কেন্দ্রে পরস্পর সম্পূরক কোণ উৎপন্ন করে। (প্রমাণিত)

5. প্রমাণ করি যে বৃত্তে পরিলিখিত সামান্তরিক মাত্রই রম্বস।

প্রদত্ত – ধরা যাক, ABCD একটি সামান্তরিক যা একটি বৃত্তকে পরিলিখিত করে। সামান্তরিকটির AB, BC, CD, এবং DA বাহুগুলি বৃত্তটিকে যথাক্রমে P, Q, R, এবং S বিন্দুতে স্পর্শ করে।

প্রামাণ্য বিষয় – ABCD একটি রম্বস।

প্রমাণ – আমরা জানি, বৃত্তের কোনো বহিঃস্থ বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়, তাদের দৈর্ঘ্য সমান হয়।

এখন, A, B, C, ও D বহিঃস্থ বিন্দুগুলি থেকে অঙ্কিত স্পর্শকগুলির জন্য আমরা পাই –

• AP = AS — (i)
• BP = BQ — (ii)
• CR = CQ — (iii)
• DR = DS — (iv)

উপরের চারটি সমীকরণ যোগ করে পাই, (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)

বা, AB + CD = (AS + DS) + (BQ + CQ)

বা, AB + CD = AD + BC

এখন, যেহেতু ABCD একটি সামান্তরিক, আমরা জানি এর বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান।

∴ AB = CD এবং AD = BC

উপরের সমীকরণে এই মানগুলি বসিয়ে পাই,

AB + AB = AD + AD

বা, 2AB = 2AD

বা, AB = AD

অর্থাৎ, ABCD সামান্তরিকটির একজোড়া সন্নিহিত বাহু (AB এবং AD) সমান।

আমরা জানি, যে সামান্তরিকের একজোড়া সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তাকে রম্বস বলে।

সুতরাং, ABCD সামান্তরিকটি একটি রম্বস। (প্রমাণিত)

6. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠COD = 56°, ∠COE = 40°, ∠ACD = x° এবং ∠BCE = y° হলে প্রমাণ করি যে OD = OC = OE এবং x – y = 8

প্রদত্ত – A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত সাধারণ স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু। O বিন্দু থেকে অঙ্কিত OD এবং OE স্পর্শক দুটি যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করে। আরও প্রদত্ত, ∠COD = 56°, ∠COE = 40°, ∠ACD = x° এবং ∠BCE = y°।

প্রামাণ্য বিষয় – (i) OD = OC = OE (ii) x – y = 8

প্রমাণ –

(i) OD = OC = OE প্রমাণ –

A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ক্ষেত্রে, O একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং সেখান থেকে OC ও OD দুটি স্পর্শক। আমরা জানি, বৃত্তের কোনো বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকগুলির দৈর্ঘ্য সমান হয়।

∴ OD = OC — (1)

আবার, B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ক্ষেত্রে, O একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং সেখান থেকে OC ও OE দুটি স্পর্শক।

∴ OC = OE — (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ থেকে পাই, OD = OC = OE। (প্রথম অংশ প্রমাণিত)

(ii) x – y = 8 প্রমাণ –

এখন, ∆OCD-এর ক্ষেত্রে, যেহেতু OD = OC, এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

∴ ∠OCD = ∠ODC আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°।

∴ ∠OCD = \(\frac{180° – ∠COD}{2} = \frac{180° – 56°}{2} = \frac{124°}{2} = 62°\)

একইভাবে, ∆OCE-এর ক্ষেত্রে, যেহেতু OC = OE, এটিও একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

∴ ∠OCE = ∠OEC

∴ ∠OCE = \(\frac{180° – ∠COE}{2} = \frac{180° – 40°}{2} = \frac{140°}{2} = 70°\)

যেহেতু A কেন্দ্রীয় বৃত্তের C বিন্দুতে OC একটি স্পর্শক এবং AC স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ,

∴ AC ⊥ OC সুতরাং, ∠ACO = 90°

বা, ∠ACD + ∠OCD = 90°

বা, x° + 62° = 90°

বা, x = 90 – 62 = 28

আবার, B কেন্দ্রীয় বৃত্তের C বিন্দুতে OC একটি স্পর্শক এবং BC স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ,

∴ BC ⊥ OC

সুতরাং, ∠BCO = 90°

বা, ∠BCE + ∠OCE = 90°

বা, y° + 70° = 90°

বা, y = 90 – 70 = 20

এখন, x – y = 28 – 20 = 8

সুতরাং, x – y = 8। (দ্বিতীয় অংশ প্রমাণিত)

7. A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি বৃত্ত বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃ স্পর্শ করেছে। O যদি ওই বৃত্তের কেন্দ্র হয় তবে প্রমাণ করি যে , AO +BO = ধ্রুবক

প্রদত্ত – A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। ধরা যাক, A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি বৃহত্তর এবং B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি ক্ষুদ্রতর। অপর একটি বৃত্ত, যার কেন্দ্র O, বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে – AO + BO = ধ্রুবক।

প্রমাণ –

ধরা যাক,

• A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃহত্তর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = \(R_A\)
• B কেন্দ্রবিশিষ্ট ক্ষুদ্রতর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = \(R_B\)
• O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = \(r\)

যেহেতু A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি নির্দিষ্ট, সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধ \(R_A\) এবং \(R_B\) ধ্রুবক।

প্রথম শর্ত অনুযায়ী, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করে। যখন দুটি বৃত্ত অন্তঃস্পর্শ করে, তখন তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধ দুটির বিয়োগফলের সমান হয় এবং কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শবিন্দু সমরেখ হয়।

সুতরাং, A, O এবং X বিন্দু তিনটি সমরেখ।

∴ AO = AX – OX

বা, AO = \(R_A – r\) …..(i)

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে।

যখন দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করে, তখন তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধ দুটির যোগফলের সমান হয় এবং কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শবিন্দু সমরেখ হয়।

সুতরাং, B, O এবং Y বিন্দু তিনটি সমরেখ।

∴ BO = BY + OY

বা, BO = \(R_B + r\) …..(ii)

এখন, (i) নং এবং (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

AO + BO = (\(R_A – r\)) + (\(R_B + r\))

∴ AO + BO = \(R_A + R_B\)

যেহেতু \(R_A\) এবং \(R_B\) উভয়েই নির্দিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ হওয়ায় এরা ধ্রুবক, সুতরাং তাদের যোগফলও একটি ধ্রুবক।

∴ AO + BO = ধ্রুবক (প্রমাণিত)

8. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমান করি যে AP ∥ BQ

প্রদত্ত – A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দুগামী একটি সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রামাণ্য (প্রমাণ করতে হবে) – AP ∥ BQ (AP এবং BQ সমান্তরাল)।

অঙ্কন – A, P এবং B, Q বিন্দু দুটি সরলরেখা দ্বারা যুক্ত করা হলো।

∆APO ত্রিভুজের ক্ষেত্রে A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AP এবং AO উভয়ই একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

সুতরাং, AP = AO।

যেহেতু ত্রিভুজের সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলো সমান হয়,

∴ ∠APO = ∠AOP …..(i)

∆BQO ত্রিভুজের ক্ষেত্রে B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের BQ এবং BO উভয়ই একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

সুতরাং, BQ = BO।

একইভাবে, ত্রিভুজের সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলো সমান হয়,

∴ ∠BQO = ∠BOQ …..(ii)

P, O, Q একটি সরলরেখা। O বিন্দুতে সরলরেখাটি বৃত্ত দুটিকে স্পর্শ করেছে। ∠AOP এবং ∠BOQ হলো পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।

সুতরাং, ∠AOP = ∠BOQ …..(iii)

এখন, (i), (ii) এবং (iii) নং সমীকরণ থেকে পাই, ∠APO = ∠AOP = ∠BOQ = ∠BQO

সুতরাং, ∠APO = ∠BQO।

কিন্তু ∠APO এবং ∠BQO কোণ দুটি AP ও BQ সরলরেখা এবং তাদের ছেদক PQ দ্বারা উৎপন্ন একান্তর কোণ। যেহেতু একান্তর কোণদ্বয় পরস্পর সমান, সেহেতু সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে।

∴ AP ∥ BQ (প্রমাণিত)

9. তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে।প্রমান করি যে ওই বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

প্রদত্ত – মনে করি, r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট তিনটি সমান বৃত্তের কেন্দ্র যথাক্রমে A, B এবং C। বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শবিন্দু P, B ও C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শবিন্দু Q এবং C ও A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শবিন্দু R।

প্রামাণ্য (প্রমাণ করতে হবে) – △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

অঙ্কন – বৃত্ত তিনটির কেন্দ্র A, B ও C পরস্পর যুক্ত করে △ABC গঠন করা হলো।

আপনার দেওয়া প্রমাণটি সম্পূর্ণ সঠিক এবং যুক্তিযুক্ত। এর বিন্যাস এবং ধাপগুলো নির্ভুল। এটিকে আরও স্পষ্ট করে সাজিয়ে নিচে দেওয়া হলো।

প্রমাণ – আমরা জানি, দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয় এবং স্পর্শবিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করে।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য – A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি P বিন্দুতে স্পর্শ করায় A, P, B বিন্দু তিনটি সমরেখ।

সুতরাং, AB = AP + BP যেহেতু AP = r এবং BP = r (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ),

∴ AB = r + r = 2r

BC বাহুর দৈর্ঘ্য – অনুরূপভাবে, B ও C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি Q বিন্দুতে স্পর্শ করায় B, Q, C বিন্দু তিনটি সমরেখ।

∴ BC = BQ + CQ = r + r = 2r

AC বাহুর দৈর্ঘ্য – একইভাবে, C ও A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি R বিন্দুতে স্পর্শ করায় C, R, A বিন্দু তিনটি সমরেখ।

∴ AC = CR + AR = r + r = 2r

এখন, △ABC-তে আমরা পাই, AB = BC = AC = 2r

যেহেতু △ABC ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, সুতরাং, △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)

10.

প্রদত্ত – একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তটিকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে। উপচাপ BC-এর উপর অবস্থিত X বিন্দুতে অঙ্কিত অপর একটি স্পর্শক AB ও AC সরলরেখাকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রামাণ্য (প্রমাণ করতে হবে) – △ADE-এর পরিসীমা = 2AB।

প্রমাণ – আমরা জানি, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকগুলির দৈর্ঘ্য সমান হয়।

এই উপপাদ্য অনুযায়ী,

1. বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি হলো AB এবং AC। ∴ AB = AC …..(i)
2. বহিঃস্থ বিন্দু D থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি হলো DB এবং DX। ∴ DB = DX …..(ii)
3. বহিঃস্থ বিন্দু E থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি হলো EC এবং EX। ∴ EC = EX …..(iii)

এখন, △ADE-এর পরিসীমা

= AD + DE + AE

= AD + (DX + EX) + AE [যেহেতু DE = DX + EX]

= AD + DB + EC + AE [ (ii) ও (iii) থেকে DX ও EX-এর মান বসিয়ে]

= (AD + DB) + (EC + AE)

= AB + AC = AB + AB [ (i) নং সমীকরণ অনুযায়ী, AC = AB]

= 2AB

সুতরাং, △ADE-এর পরিসীমা = 2AB (প্রমাণিত)

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তকে B বিন্দুতে স্পর্শ করে। OB = 5 সেমি এবং AO = 13 সেমি হলে, AB-এর দৈর্ঘ্য কত?

(a) 12 সেমি.
(b) 13 সেমি.
(c) 6.5 সেমি.
(d) 6 সেমি.

উত্তর – (a) 12 সেমি.

সমাধান –

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এবং ওই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থান করে।

• এখানে, AB হলো স্পর্শক এবং OB হলো B বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
• সুতরাং, OB ⊥ AB, যার অর্থ ∠OBA = 90°।
• এর ফলে, △AOB একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ হলো AO।

সমকোণী ত্রিভুজ △AOB-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,

(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²

AO² = OB² + AB²

প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই,

latex^2 = (5)^2 + AB^2[/latex]

বা, \( 169 = 25 + AB^2\)

বা, \( AB^2 = 169 – 25\)

বা, \( AB^2 = 144\)

বা, \( AB = \sqrt{144}\)

বা, \( AB = 12\)

অর্থাৎ,স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 12 সেমি.

(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। AB বৃত্তদুটির একটি সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। ∠ACB-এর পরিমাণ কত?

(a) 60°
(b) 45°
(c) 30°
(d) 90°

উত্তর – (d) 90°

সমাধান –

C বিন্দুতে বৃত্তদুটির একটি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা হলো যা AB সরলরেখাকে D বিন্দুতে ছেদ করে।

এখন, D বিন্দু থেকে প্রথম বৃত্তের উপর DA এবং DC দুটি স্পর্শক।

∴ DA = DC (∵ বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকগুলির দৈর্ঘ্য সমান)

সুতরাং, ∆ADC-এর ক্ষেত্রে, DA = DC হওয়ায় এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

∴ ∠DAC = ∠DCA

আবার, একই ভাবে D বিন্দু থেকে দ্বিতীয় বৃত্তের উপর DB এবং DC দুটি স্পর্শক।

∴ DB = DC

সুতরাং, ∆BDC-এর ক্ষেত্রে, DB = DC হওয়ায় এটিও একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

∴ ∠DBC = ∠DCB

এখন, সম্পূর্ণ ∆ACB ত্রিভুজ থেকে আমরা পাই, ∠CAB + ∠CBA + ∠ACB = 180° (∵ ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°)

বা, ∠DAC + ∠DBC + ∠ACB = 180° [যেহেতু ∠CAB এবং ∠DAC একই কোণ, এবং ∠CBA ও ∠DBC একই কোণ]

বা, ∠DCA + ∠DCB + ∠ACB = 180° [কারণ আমরা প্রমাণ করেছি ∠DAC = ∠DCA এবং ∠DBC = ∠DCB]

বা, (∠DCA + ∠DCB) + ∠ACB = 180°

বা, ∠ACB + ∠ACB = 180° [যেহেতু চিত্রানুযায়ী, ∠ACB = ∠DCA + ∠DCB]

বা, 2∠ACB = 180°

বা, ∠ACB = 180° / 2

∴ ∠ACB = 90°

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। O বিন্দু থেকে 13 সেমি দূরত্বে P একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে বৃত্তের দুটি স্পর্শক PQ এবং PR হলে, PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কত?

(a) 60 বর্গ সেমি.
(b) 30 বর্গ সেমি.
(c) 120 বর্গ সেমি.
(d) 150 বর্গ সেমি.

উত্তর – (a) 60 বর্গ সেমি.

সমাধান –

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ OR = 5 সেমি এবং কেন্দ্র O থেকে P বিন্দুর দূরত্ব OP = 13 সেমি।

আমরা জানি, বৃত্তের যেকোনো স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব হয়। সুতরাং, OR ⊥ PR। এর ফলে, ∆OPR একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার ∠ORP = 90°।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

\(OR^2 + PR^2 = OP^2\)

বা, \(5^2 + PR^2 = 13^2\)

বা, \(25 + PR^2 = 169\)

বা, \(PR^2 = 169 – 25\)

বা, \(PR^2 = 144\)

বা, \(PR = \sqrt{144}\)

\(\therefore PR = 12\) সেমি

(iv) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি ও 3 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

(a) 2 সেমি
(b) 2.5 সেমি
(c) 1.5 সেমি
(d) 8 সেমি

উত্তর – (d) 8 সেমি

সমাধান –

আমরা জানি, দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের যোগফলের সমান হয়।

এখানে, প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₁​ = 5 সেমি দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₂​ = 3 সেমি

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে নির্ণেয় দূরত্ব = r₁​+r₂​ = (5 + 3) সেমি = 8 সেমি

(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3.5 সেমি ও 2 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

(a) 5.5 সেমি
(b) 1 সেমি
(c) 1.5 সেমি
(d) কোনোটিই নয়

উত্তর – (c) 1.5 সেমি

সমাধান –

আমরা জানি, দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অন্তরফলের (বিয়োগফলের) সমান হয়।

এখানে, বৃহত্তর বৃত্তের ব্যাসার্ধ, R = 3.5 সেমি ক্ষুদ্রতর বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 2 সেমি

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে নির্ণেয় দূরত্ব = (R − r) = (3.5 – 2) সেমি = 1.5 সেমি

আপনার প্রদত্ত বিবৃতি এবং উত্তর দুটিই সঠিক। তবে, বাক্য গঠন এবং স্পষ্টতার জন্য কিছু পরিমার্জন করা যেতে পারে। নিচে একটি সংশোধিত সংস্করণ দেওয়া হলো, যেখানে প্রতিটি উত্তরের পেছনে কারণটিও ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লেখো

(i) একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বিন্দু P; বৃত্তে অঙ্কিত কোনো স্পর্শক P-বিন্দুগামী নয়।

উত্তর – সত্য

ব্যাখ্যা – একটি স্পর্শক বৃত্তকে শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে (পরিধির উপর) স্পর্শ করে। বৃত্তের ভেতরের (অন্তঃস্থ) কোনো বিন্দু দিয়ে যাওয়া সরলরেখা বৃত্তটিকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, যা একটি ছেদক (secant) তৈরি করে, স্পর্শক নয়। তাই বৃত্তের ভেতরের কোনো বিন্দু দিয়ে স্পর্শক আঁকা সম্ভব নয়।

(ii) একটি বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল দুটির বেশি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।

উত্তর – মিথ্যা

ব্যাখ্যা – একটি বৃত্তে কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল করে সর্বোচ্চ দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা সম্ভব। এই স্পর্শক দুটি বৃত্তের ব্যাসের দুই প্রান্তবিন্দুতে অবস্থান করে। দুটির বেশি সমান্তরাল স্পর্শক আঁকা যায় না।

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন

(i) পাশের চিত্রে বৃত্তের কেন্দ্র O এবং BOA বৃত্তের ব্যাস। বৃত্তের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত BA কে T বিন্দুতে ছেদ করে। ∠PBO = 30° হলে ∠PTA এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান –

ত্রিভুজ ∆OPB তে, OP = OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] সুতরাং, ∆OPB একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

এবং, ∠PBO = 30° (প্রদত্ত)

∴ ∠BPO = ∠PBO = 30°

এখন, ∆OPB এর বহিঃস্থ কোণ ∠AOP অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের (∠OPB এবং ∠OBP) সমষ্টির সমান।

∴ ∠AOP = ∠OPB + ∠OBP = 30° + 30° = 60°

যেহেতু A, O, T বিন্দু তিনটি সমরেখ,

সুতরাং ∠POT = ∠AOP = 60°।

আবার, আমরা জানি বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এবং ওই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থান করে।

সুতরাং, OP ⊥ PT

∴ ∠OPT = 90°

এখন, ∆OPT এর তিনটি কোণের সমষ্টি 180°।

∴ ∠PTO + ∠POT + ∠OPT = 180°

বা, ∠PTO + 60° + 90° = 180°

বা, ∠PTO + 150° = 180°

বা, ∠PTO = 180° – 150°

∴ ∠PTO = 30°

যেহেতু T, B, A বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত, তাই ∠PTO এবং ∠PTA একই কোণ।

সুতরাং, ∠PTA = 30° [উত্তর]

(ii) পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজটি একটি বৃত্তে পরিলিখিত এবং বৃত্তকে P,Q,R বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি AP = 4 সেমি., BP = 6 সেমি., AC = 12 সেমি. এবং BC = x সেমি. হয়, তাহলে x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের ওপর যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়, তাদের স্পর্শবিন্দু পর্যন্ত দৈর্ঘ্য সমান হয়।

এই উপপাদ্য অনুযায়ী –

A বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক হলো AP এবং AR।

যেহেতু AP = 4 সেমি., সুতরাং AR = 4 সেমি.।

B বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক হলো BP এবং BQ।

যেহেতু BP = 6 সেমি., সুতরাং BQ = 6 সেমি.।

C বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক হলো CQ এবং CR।

প্রদত্ত AC = 12 সেমি.।

CR = AC – AR = (12 – 4) সেমি. = 8 সেমি.।

সুতরাং, CQ = CR = 8 সেমি.।

এখন, BC বাহুর দৈর্ঘ্য হলো BQ এবং CQ এর যোগফল।

x = BC = BQ + CQ

বা, x = (6 + 8) সেমি.

বা, x = 14 সেমি.

∴ x এর মান 14 সেমি.। (উত্তর)

(iii) পাশের চিত্রে A,B,C কেন্দ্র বিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। যদি AB = 5 সেমি., BC = 7 সেমি. এবং CA = 6 সেমি. হয় তাহলে A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান –

ধরি, A, B, এবং C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত তিনটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \(r_A\), \(r_B\), এবং \(r_C\) সেমি.।

যেহেতু বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তাই যেকোনো দুটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব তাদের নিজ নিজ ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান হবে।

প্রশ্নানুযায়ী,

\(r_A + r_B = AB = 5\) সেমি. ……..(i)

\(r_B + r_C = BC = 7\) সেমি. ……..(ii)

\(r_C + r_A = CA = 6\) সেমি. ……..(iii)

এখন, (i), (ii) এবং (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই –

\((r_A + r_B) + (r_B + r_C) + (r_C + r_A) = 5 + 7 + 6\)

বা, \(2r_A + 2r_B + 2r_C = 18\)

বা, \(2(r_A + r_B + r_C) = 18\)

বা, \(r_A + r_B + r_C = 9\) ……..(iv)

আমাদের A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ অর্থাৎ \(r_A\)-এর মান নির্ণয় করতে হবে। এর জন্য (iv) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই –

\((r_A + r_B + r_C) – (r_B + r_C) = 9 – 7\)

বা, \(r_A = 2\)

সুতরাং, A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2সেমি.। (উত্তর)

(iv) পাশের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তের অপর একটি বিন্দু R –তে অঙ্কিত স্পর্শক CP ও CQ কে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। যদি CP = 11 সেমি. এবং BC = 7 সেমি. হয়, তাহলে BR এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের ওপর যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়, তাদের স্পর্শবিন্দু পর্যন্ত দৈর্ঘ্য সমান হয়।

C বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক হলো CP এবং CQ।

∴ CP = CQ

যেহেতু CP = 11 সেমি. (প্রদত্ত), সুতরাং CQ = 11 সেমি.।

আবার, B বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক হলো BQ এবং BR।

∴ BR = BQ

এখন, CQ সরলরেখা থেকে আমরা পাই,

BQ = CQ – BC

মান বসিয়ে পাই, BQ = (11 – 7) সেমি. = 4 সেমি.।

যেহেতু BR = BQ, সুতরাং BR = 4 সেমি.। (উত্তর)

5.

---

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের পঞ্চদশ অধ্যায়, ‘বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য’ -এর ‘কষে দেখি – 15.2’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।

আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।