মাধ্যমিক গণিত – গোলক – কষে দেখি – 12

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের দ্বাদশ অধ্যায়, ‘গোলক’ -এর ‘কষে দেখি – 12’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।

1. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 10.5 সেমি.

∴ গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গসেমি.

= 4 × π × (10.5)² বর্গসেমি.

= \(4\times\frac{22}7\times\left(10.5\right)^2\) বর্গসেমি.

= \(4\times\frac{22}7\times10.5\times10.5\) বর্গসেমি.

= \(4 \times \frac{22}{7} \times \frac{105}{10} \times \frac{105}{10}\) বর্গসেমি

∴ গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 1386 বর্গসেমি.

2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি. 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি. 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে।

∴ চামড়ার বলের পরিমাণ = \(\frac{431.20}{17.50}=24.64\) বর্গ সেমি.

= 24.64 বর্গ সেমি.

ধরি বলটির ব্যাসার্ধ r সেমি.

∴ গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ সেমি.

শর্তানুসারে, 4πr² = 24.64

শর্তানুসারে, \(2\times\frac{22}7\times r^2=24.64\)

বা, \(r^2=\frac{24.64\times7}{22\times4}\)

বা, r² = 0.28 × 7

বা, r² = 1.96

বা, r² = (1.4)²

∴ r = 1.4

∴ বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 1.4 × 2 = 2.8 সেমি.

3. স্কুলে সটপাট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য (r) = 7 সেমি.

∴ বলটির ব্যাসার্ধ (r) = \(\frac72\) সেমি. = 3.5 সেমি.

বলটিতে লোহার পরিমান = বলটির আয়তন

= \(\frac43\mathrm{πr}^3\) ঘনসেমি.

= \(\frac43\times\mathrm\pi\times\left(3.5\right)^3\) ঘনসেমি.

= \(\frac43\times\frac{22}7\times3.5\times3.5\times3.5\) ঘনসেমি.

= \(\frac43\times\frac{22}7\times\frac{35}{10}\times\frac{35}{10}\times\frac{35}{10}\) ঘনসেমি.

= \(\frac{7\times7\times11}3\) ঘনসেমি.

= \(\frac{539}3\) ঘনসেমি.

= \(179.67\) ঘনসেমি.

∴ বলটিতে \(179.67\) ঘনসেমি. লোহা আছে।

4. 28 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।

সমাধান –

আমরা জানি, যেকোনো প্রকার বস্তুকে জলে নিমজ্জিত করলে বস্তুটি তার সম আয়তনের জল অপসারিত করে।

সুতরাং, অপসারিত জলের আয়তন = নিরেট গোলকের আয়তন

নিরেট গোলকের ব্যাস \((2r) = 28\) সেমি.

∴ নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ \(r = \frac{28}{2} = 14\) সেমি.

এখন নিরেট গোলকের আয়তন = বলটির আয়তন

= \(\frac{4}{3}\pi r^3\) ঘনসেমি.

= \(\frac{4}{3} \times \pi \times (14)^3\) ঘনসেমি.

= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14\) ঘনসেমি.

= \(\frac{4 \times 22 \times 14 \times 14 \times 2}{3}\) ঘনসেমি.

= \(\frac{34496}{3}\) ঘনসেমি.

= \(11498.667\) ঘনসেমি.

∴ নিরেট গোলকটি \(11498.667\) ঘনসেমি. জল অপসারিত করবে。

5. কোনো গোলকাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. থেকে 21 সেমি. হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান –

গ্যাস বেলুনটির ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে,

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গসেমি.

= 4 × π × (7)² বর্গসেমি.

আবার বেলুনটির ব্যাসার্ধ 21 সেমি হলে,

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গসেমি.

= 4 × π × (21)² বর্গসেমি.

∴ বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

= 4 × π × (7)² : 4 × π × (21)²

= (7)² : (21)²

= 49 : 441

= 1 : 9

6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে \(127\frac27\) বর্গ সেমি. পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

বাটিটি যেহেতু নিরেট নয় তাই শুধুমাত্র বক্রতলে পাত লাগবে।

ধরি, বাটিটির মুখের ব্যাসার্ধ r সেমি.

∴ বাটিটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr² বর্গ সেমি.

শর্তানুসারে, \(2\mathrm{πr}^2=127\frac27\)

বা, \(2\times\frac{22}7\times\mathrm r^2=\frac{891}7\)

বা, \(\require{cancel}\mathrm r^2=\frac{\displaystyle\overset{81}{\cancel{891}}}{\cancel7}\times\frac{\cancel7}{{\displaystyle\underset2{\cancel{22}}}\times2}\)

বা, \(\mathrm r^2=\frac{81}4\)

বা, \(\mathrm r^2=\left(\frac92\right)^2\)

∴ \(\mathrm r=\frac92\)

∴ বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(\require{cancel}2\mathrm r=\cancel2\times\frac9{\cancel2}=9\) সেমি.।

7. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি.। ওই গোলাটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং ওই লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

সমাধান –

নিরেট লোহার গোলাটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 2.1 সেমি.

∴ গোলাটির আয়তন = \(\frac43\mathrm{πr}^3\) ঘন সেমি.

= \(\frac43\times\mathrm\pi\times\left(2.1\right)^3\) ঘন সেমি.

= \(\require{cancel}\frac4{\cancel3}\times\frac{22}{\cancel7}\times2.1\times2.1\times\overset{\overset{0.1}{\cancel{0.3}}}{\cancel{2.1}}\) ঘন সেমি.

= 4 × 22 × 2.1 × 2.1 × 0.1 ঘন সেমি.

= 38.808 ঘন সেমি.

∴ গোলাটিতে 38.808 ঘন সেমি লোহা আছে।

এবং ওই লোহার গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ সেমি.

= 4 × π × (2.1)² বর্গ সেমি.

= \(\require{cancel}4\times\frac{22}{\cancel7}\times2.1\times\overset{0.3}{\cancel{2.1}}\) বর্গ সেমি.

= 4 × 22 × 2.1 × 0.3 বর্গ সেমি.

= 55.44 বর্গ সেমি.

এবং ওই লোহার গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 55.44 বর্গ সেমি.।

8. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.।

নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\left(r\right)=\frac{14}2\) সেমি. = 7 সেমি.

∴ নিরেট সিসার গোলকের আয়তন = \(\frac43\mathrm{πr}^3\) ঘন সেমি.

= \(\frac43\times\mathrm\pi\times\left(7\right)^3\) ঘন সেমি.

আবার গোলকটি গলানোর পর 3.5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের গোলকটির আয়তন হবে = \(\frac43\mathrm{πr}^3\) ঘন সেমি.

= \(\frac43\times\mathrm\pi\times\left(3.5\right)^3\) ঘন সেমি.

∴ গোলানোর পর গোলক তৈরি করা যাবে = \(\require{cancel}\frac{\cancel{\displaystyle\frac43}\times\cancel{\mathrm\pi}\times\left(7\right)^3}{\cancel{\frac43}\times\cancel{\mathrm\pi}\times\left(3.5\right)^3}\) টি।

= \(\require{cancel}\frac{\cancel7\times\cancel7\times\cancel7\times\overset2{\cancel{10}}\times\overset2{\cancel{10}}\times{\displaystyle\overset2{\cancel{10}}}}{\underset{\cancel7}{\cancel{35}}\times\underset{\cancel7}{\cancel{35}}\times{\displaystyle\underset{\cancel7}{\cancel{35}}}}\) টি।

∴ গোলানোর পর গোলক তৈরি করা যাবে 8 টি।

9. 3 সেমি., 4 সেমি. ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

আমরা জানি, গোলকের আয়তন = \(\frac43\mathrm{πr}^3\) ঘনএকক

3 সেমি ব্যাসার্ধের গোলকটির আয়তন = \(\frac43\times\frac{22}7\times\left(3\right)^3\) ঘন সেমি.

4 সেমি ব্যাসার্ধের গোলকটির আয়তন = \(\frac43\times\frac{22}7\times\left(4\right)^3\) ঘন সেমি.

5 সেমি ব্যাসার্ধের গোলকটির আয়তন = \(\frac43\times\frac{22}7\times\left(5\right)^3\) ঘন সেমি.

∴ তিনটি গোলকের মোট আয়তন = \(\frac43\times\frac{22}7\times\left(3\right)^3+\frac43\times\frac{22}7\times\left(4\right)^3+\frac43\times\frac{22}7\times\left(5\right)^3\) ঘন সেমি.

= \(\frac43\times\frac{22}7\left(3^3+4^3+5^3\right)\) ঘন সেমি.

= \(\frac43\times\frac{22}7\left(27+64+125\right)\) ঘন সেমি.

= \(\frac43\times\frac{22}7\times216\) ঘন সেমি.

তিনটি গোলক গলিয়ে একটি বড়ো গোলক তৈরি করা হল।

ধরি, বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য R সেমি.

∴ বড়ো গোলকটির আয়তন = \(\frac43\mathrm{πR}^3\) ঘন সেমি.

শর্তানুসারে, \(\frac43\times\frac{22}7\times\mathrm R^3=\frac43\times\frac{22}7\times216\)

বা, R³ = 216

বা, R³ = (6)³

∴ R = 6

∴ বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।

10. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি.। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাস 42 ডেসিমি।

∴ অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ \(\left(\mathrm r\right)=\frac{42}2\) ডেসিমি. = 21 ডেসিমি.।

∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr² বর্গ ডেসিমি.

= \(2\times\frac{22}7\times\left(21\right)^2\) বর্গ ডেসিমি.

= \(2\times\frac{22}{\cancel7}\times21\times\overset3{\cancel{21}}\) বর্গ ডেসিমি.

= 2772 বর্গ ডেসিমি.

= 27.72 বর্গমিটার।

∴ প্রতি বর্গমিটারে 35 টাকা হিসাবে গম্বুজটির উপরিতল রং করতে খরচ হবে = 27.72 × 35 = 970 টাকা 20 পয়সা।

11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি. এবং 17.5 সেমি.। গোলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান –

প্রথম গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি.

ধাতুর পাত থেকে তৈরি প্রথম গোলকের ব্যাসার্ধ \(\left(r\right)=\frac{21}2\) সেমি.

এবং দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য (r) = 21 সেমি.

এবং দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ \(\left(r\right)=\frac{17.5}2\) সেমি.

সুতরাং প্রথম গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গসেমি .

= \(4\times\frac{22}7\times\left(\frac{21}2\right)^2\) বর্গসেমি.

এবং দ্বিতীয় গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গসেমি.

= \(4\times\frac{22}7\times\left(\frac{17.5}2\right)^2\) বর্গসেমি .

∴ গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত

\(4\times\frac{22}7\times\left(\frac{21}2\right)^2:4\times\frac{22}7\times\left(\frac{17.5}2\right)^2\)

= \(\left(\frac{21}2\right)^2:\left(\frac{17.5}2\right)^2\)

= \(\frac{21\times21}4:\frac{17.5\times17.5}4\)

= 21 × 21 : 17.5 × 17.5

= 3 × 3 : 2.5 × 2.5

= 9 : 6.25

= 36 : 25

12. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট নতুন গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান –

ধরি, পুরানো গোলকের ব্যাসার্ধ R সেমি., নতুন গোলকের (কেটে নেওয়ার পর) ব্যাসার্ধ r সেমি.

তাহলে, প্রথম গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πR² বর্গ সেমি.

দ্বিতীয় গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ সেমি

প্রশ্নানুযায়ী, \(\frac12\times4\mathrm{πR}^2=4\mathrm{πr}^2\)

বা, \(\mathrm R^2=2\mathrm r^2\)

বা, \(\mathrm R=\mathrm r\sqrt2\)

কেটে নেওয়া অংশের আয়তন

= \(\frac43\mathrm{πR}^3-\frac43\mathrm{πr}^3\) ঘনএকক

= \(\frac43\mathrm\pi\left(\mathrm R^3-\mathrm r^3\right)\) ঘনএকক

অবশিষ্ট অংশের আয়তন

= \(\frac43\mathrm{πr}^3\) ঘনএকক

এখন কেটে নেওয়া অংশের সাথে অবশিষ্ট অংশের আয়তনের অনুপাত

= \(\frac43\mathrm\pi\left(\mathrm R^3-\mathrm r^3\right):\frac43\mathrm{πr}^3\)

= \(\left(\mathrm R^3-\mathrm r^3\right):\mathrm r^3\)

= \(\left\{\left(\mathrm r\sqrt2\right)^3-\mathrm r^3\right\}:\mathrm r^3\)

= \(\mathrm r^3\left(2\sqrt2-1\right):\mathrm r^3\)

= \(\left(2\sqrt2-1\right):1\)

13. 14 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

সমাধান –

ভূ-গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.

∴ ভূ-গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ সেমি.

= 4 × π × r² বর্গ সেমি.

= \(\require{cancel}2\times\frac{22}{\cancel7}\times14\times\overset2{\cancel{14}}\) বর্গ সেমি.

= 2464 বর্গ সেমি.।

ভূ-গোলকটির অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে।

এই দুটি বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল = 2πr² বর্গ সেমি.

= 2 × π × (0.7)² বর্গ সেমি.

= \(\require{cancel}2\times\frac{22}{\cancel7}\times\overset{0.1}{\cancel{0.7}}\times0.7\) বর্গ সেমি.

= 3.08 বর্গ সেমি.

∴ ভূ-গোলকটির গোলকের অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল = 2464 – 3.08 = 2460.92 বর্গ সেমি.।

14. 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি রেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান –

নিরেট লোহার গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 8 সেমি.

∴ নিরেট লোহার গোলকটির আয়তন = \(\frac43\pi r^3\) ঘন সেমি.

= \(\frac43\times\pi\times\left(8\right)^3\) ঘন সেমি.

= \(\frac43\times\frac{22}7\times\left(8\right)^3\) ঘন সেমি.

গোলকটিকে গলানোর পর 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের যে নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে তার আয়তন

= \(\frac43\pi r^3\) ঘন সেমি.

= \(\frac43\times\pi\times\left(1\right)^3\) ঘন সেমি.

= \(\frac43\times\frac{22}7\times\left(1\right)^3\) ঘন সেমি.

∴ গোলকটিকে গলিয়ে নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে

= \(\frac43\times\frac{22}7\times\left(8\right)^3\div\frac43\times\frac{22}7\times\left(1\right)^3\)

= (8)³ ÷ (1)

= 512 ÷ 1

= 512 টি।

15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) –

(i) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধিবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন

(a) \(\frac{32\mathrm{πr}^3}3\) ঘনএকক

(b) \(\frac{16\mathrm{πr}^3}3\) ঘনএকক

(c) \(\frac{8\mathrm{πr}^3}3\) ঘনএকক

(d) \(\frac{64\mathrm{πr}^3}3\) ঘনএকক

উত্তর – (a) \(\frac{32\mathrm{πr}^3}3\) ঘনএকক

(ii) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 1 : 8 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

(a) 1 : 2
(b) 1 : 4
(c) 1 : 8
(d) 1 : 16

উত্তর – (b) 1 : 4

(iii) 7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

(a) 588π বর্গ সেমি.
(b) 392π বর্গ সেমি.
(c) 147π বর্গ সেমি.
(d) 98π বর্গ সেমি.

উত্তর – (c) 147π বর্গ সেমি.

(iv) দুটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16 : 9 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত

(a) 64 : 27
(b) 4 : 3
(c) 27 : 64
(d) 3 : 4

উত্তর – (a) 64 : 27

(v) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও 3 গুণ আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য

(a) 1 একক
(b) 2 একক
(c) 3 একক
(d) 4 একক

উত্তর – (a) 1 একক

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুণ হবে।

উত্তর – বিবৃতিটি মিথ্যা।

(ii) দুটি অর্ধ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 9 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে 2 : 3.

উত্তর – বিবৃতিটি সত্য।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) একটি তলবিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম ___।

উত্তর – গোলক।

(ii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা ___।

উত্তর – 1 টি।

(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2। একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ___ πr² বর্গ একক।

উত্তর – 12πr².

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধান –

ধরি, অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধ r একক।

নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন = \(\frac23\mathrm{πr}^3\) ঘনএকক

নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr² বর্গএকক

শর্তানুসারে,

\(\frac23\mathrm{πr}^3=3\mathrm{πr}^2\)

বা, \(\frac{\mathrm r^3}{\mathrm r^2}=\frac92\)

বা, r = 4.5

∴ অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4.5 একক।

(ii) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়ই 12 সেমি.। গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধান –

ধরি, গোলকটির ব্যাসার্ধ r সেমি.

লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা (h) = 12 সেমি. এবং ব্যাস = 12 সেমি.

∴ ব্যাসার্ধ \(\left({\mathrm r}_1\right)=\frac{12}2\) সেমি. = 6 সেমি.

নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গএকক

এবং নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr₁h বর্গএকক

শর্তানুসারে,

4πr² = 2πr₁h

বা, 2r² = r₁h

বা, 2r² = 6 × 12 [∵ r₁ = 6 এবং h = 12]

বা, 2r² = 72

বা, r² = 36

বা, r² = (6)²

বা, r = 6

∴ গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

সমাধান –

ধরি, অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ r একক এবং নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ R একক।

নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr² বর্গএকক

এবং নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πR²

শর্তানুসারে,

3πr² = 4πR²

বা, \(\frac{\mathrm r^2}{\mathrm R^2}=\frac43\)

বা, \(\left(\frac{\mathrm r}{\mathrm R}\right)^2=\frac43\)

বা, \(\frac{\mathrm r}{\mathrm R}=\left(\frac43\right)^2\)

বা, \(\frac{\mathrm r}{\mathrm R}=\frac2{\sqrt3}\)

বা, \(r:R=2:\sqrt3\)

∴ অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত \(r:R=2:\sqrt3\)

(iv) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = S এবং আয়তন = V হলে, \(\frac{S^3}{V^2}\) -এর মান কত তা লিখি। (π-এর মান না বসিয়ে)

সমাধান –

ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ r একক।

∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল (S) = 4πr² বর্গএকক।

নিরেট গোলকের আয়তন = \(\frac43\mathrm{πr}^3\) ঘনএকক।

∴ \(\frac{\mathrm S^3}{\mathrm V^2}=\frac{\left(4\mathrm{πr}^2\right)^3}{\left({\displaystyle\frac43}\mathrm{πr}^3\right)^2}\)

বা, \(\frac{\mathrm S^3}{\mathrm V^2}=\frac{64\mathrm\pi^3\mathrm r^6}{\displaystyle\frac{16\mathrm\pi^2\mathrm r^6}9}\)

বা, \(\frac{\mathrm S^3}{\mathrm V^2}=64\mathrm\pi^3\mathrm r^6\times\frac9{16\mathrm\pi^2\mathrm r^6}\)

বা, \(\require{cancel}\frac{\mathrm S^2}{\mathrm V^2}=\overset4{\cancel{64}}\overset{\mathrm\pi}{\cancel{\mathrm\pi^3}}\cancel{\mathrm r^6}\times\frac9{\cancel{16}\cancel{\mathrm\pi^2}\cancel{\mathrm r^6}}\)

∴ \(\frac{\mathrm S^3}{\mathrm V^2}=36\mathrm\pi\)

∴ \(\frac{\mathrm S^3}{\mathrm V^2}\) এর মান 36π

(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি।

সমাধান –

ধরি, গোলকটির ব্যাসার্ধ r একক।

∴ গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক।

গোলকটির ব্যাসার্ধ 50% বৃদ্ধি করলে পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ

= \(\left(\mathrm r+\frac{50\mathrm r}{100}\right)\) একক

= \(\left(\mathrm r+\frac{\mathrm r}2\right)\) একক

= \(\left(\frac{2\mathrm r+\mathrm r}2\right)\) একক

= \(\frac{3\mathrm r}2\) একক

∴ গোলোকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল

= \(4\times\mathrm\pi\times\left(\frac{3\mathrm r}2\right)^2\) বর্গএকক

= \(\require{cancel}\cancel4\times\mathrm\pi\times\frac{9\mathrm r^2}{\cancel4}\) বর্গএকক

= 9πr² বর্গএকক

∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পেলো –

= \(\left(\frac{9\mathrm{πr}^2-4\mathrm{πr}^2}{4\mathrm{πr}^2}\times100\right)\%\)

= \(\left(\frac{5\mathrm{πr}^2}{4\mathrm{πr}^2}\times100\right)\%\)

= \(\require{cancel}\left(\frac{5\cancel{\mathrm{πr}^2}}{4\cancel{\mathrm{πr}^2}}\times100\right)\%\)

= \(\left(\frac54\times100\right)\%\)

= \(\require{cancel}\left(\frac5{\cancel4}\times\overset{25}{\cancel{100}}\right)\%\)

= 125%

∴ গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা 125% বৃদ্ধি পেল।

---

এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের দ্বাদশ অধ্যায়, ‘গোলক’ -এর ‘কষে দেখি – 12’ বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।

আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।