এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের উনবিংশ অধ্যায়, ‘বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এই আর্টিকেলটি তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে বিশেষভাবে সাহায্য করবে।
প্রয়োগ 1. আমাদের বাড়ির ধানের মরাই-এর নীচের অংশ লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি এবং উপরের অংশ শঙ্কু আকৃতির। এই মরাইটির ভূমীতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.1 মিটার, চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা 2 মিটার এবং শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 1.4 মিটার। কিন্তু এই মরাইটিতে, এর আয়তনের \(\frac{2}{3}\) অংশ ধান রাখা হয়েছে। মরাইয়ে রাখা ধানের আয়তন কীভাবে পাব দেখি।
সমাধান –
মরাই-এর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = \(\frac{2.1}{2}\) মিটার = \(\frac{21}{20}\) মিটার
চোঙাকৃতি অংশের আয়তন = \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times 2\) ঘন মিটার = 6.93 ঘন মিটার
শঙ্কু-আকৃতির অংশের আয়তন = \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{14}{10}\) ঘন মিটার
= \(\frac{77 \times 21}{1000}\) ঘন মিটার = 1.617 ঘন মিটার
∴ ওই মরাইটির আয়তন = (6.93 + 1.617) ঘন মিটার = 8.547 ঘন মিটার।
∴ ওই মরাইটিতে রাখা ধানের আয়তন = \(\frac{2}{3} \times 8.547\) ঘন মিটার = 5.698 ঘন মিটার।
প্রয়োগ 2. কিন্তু যদি 25 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লোহার তৈরি ফাঁপা চোঙের বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. এবং অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হয় এবং চোঙটি গলিয়ে এর অর্ধেক উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হয়, তবে শঙ্কুটির ভূমীতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত হবে নির্ণয় করি।
সমাধান –
ফাঁপা চোঙটির বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \( = \frac{14}{2}\) সেমি. = 7 সেমি., অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \( = \frac{10}{2}\) সেমি. = 5 সেমি., চোঙটির উচ্চতা = 25 সেমি.
∴ চোঙটিতে লোহার পরিমাণ = \(\pi (R^2 – r^2) \times\)
উচ্চতা = \(\pi (7^2 – 5^2) \times 25\) ঘন সেমি.
\(= \pi \times 24 \times 25\) ঘন সেমি.
নিরেট শঙ্কুর উচ্চতা \(= \frac{25}{2}\) সেমি.
ধরি, শঙ্কুটির ভূমীতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r সেমি.
শর্তানুসারে, \(\frac{1}{3} \pi \times r^2 \times \frac{25}{2} = \pi \times 24 \times 25\)
∴ \(r = \pm 12\) [নিজে হিসাব করে লিখি]
কিন্তু ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। ∴ \(r \neq -12\), সুতরাং \(r = 12\)
∴ শঙ্কুটির ভূমীতলের ব্যাস = \(2 \times r\) সেমি. = \(24\) সেমি.।
প্রয়োগ 3. রুপার পাত দিয়ে তৈরি একটি অর্ধগোলাকার বাটির মুখের বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ৪ সেমি. এবং ভিতরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 4 সেমি.। বাটিটিকে গলিয়ে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা হলো। শঙ্কুটির উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
বাটির বাইরের ব্যাসার্ধ \(R = \frac{8}{2} = 4\) সেমি.,
ভিতরের ব্যাসার্ধ \(r = \frac{4}{2} = 2\) সেমি.।
বাটিতে রুপার পরিমাণ = বাইরের অর্ধগোলকের আয়তন – ভিতরের অর্ধগোলকের আয়তন
\(= \frac{2}{3}\pi R^3 – \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi (4^3 – 2^3)\) ঘন সেমি.
\(= \frac{2}{3}\pi (64 – 8) = \frac{2}{3}\pi \times 56 = \frac{112}{3}\pi\) ঘন সেমি.
শঙ্কুর ভূমির ব্যাস = 8 সেমি.
∴ ব্যাসার্ধ \(r_1 = \frac{8}{2} = 4\) সেমি.।
ধরি, শঙ্কুর উচ্চতা = h সেমি.
শঙ্কুর আয়তন \(= \frac{1}{3}\pi r_1^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 4^2 \times h = \frac{16}{3}\pi h\) ঘন সেমি.
শর্তানুসারে,
\(\frac{16}{3}\pi h = \frac{112}{3}\pi\)∴ \(h = \frac{112}{16} = 7\)
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা = 7 সেমি.।
প্রয়োগ 4. একটি লম্ব বৃত্তাকার ড্রামে কিছু জল আছে। 2.8 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট ব্যাস ও 3 ডেসিমি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরো ওই জলে সম্পূর্ণ ডোবালাম। এর ফলে ড্রামের জলতল 0.64 ডেসিমি. উপরে উঠে এল। ড্রামটির ভূমিলনের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান –
শঙ্কুর ভূমিলনের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = \(\frac{2.8}{2}\) ডেসিমি. = 1.4 ডেসিমি. এবং উচ্চতা = 3 ডেসিমি.
∴ শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{1}{3} \pi \times (1.4)^2 \times 3\) ঘন ডেসিমি.
ধরি, ড্রামটির ভূমিলনের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r ডেসিমি.
শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরোটি ড্রামের জলে ডোবানোর ফলে ড্রামে জলতল 0.64 ডেসিমি. উপরে উঠেছে।
∴ ড্রামে বৃদ্ধিপ্রাপ্ত জলের আয়তন = শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরোর আয়তন।
∴ \(\pi r^2 \times 0.64 = \frac{1}{3} \pi \times (1.4)^2 \times 3\) বা, \(r^2 = \frac{(1.4)^2}{0.64}\)
বা, \(r = \pm \frac{1.4}{0.8}\) [নিজে করি]
কিন্তু, ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। ∴ \(r \neq -\frac{1.4}{0.8}\), সুতরাং, \(r = \frac{1.4}{0.8} = \frac{7}{4}\)
∴ ড্রামটির ভূমিলনের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = \(2 \times \frac{7}{4} = \frac{7}{2}\) ডেসিমি।
প্রয়োগ 5. 28 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙে কিছু জল আছে এবং তাতে সমান ব্যাসের তিনটি নিরেট লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডোবানো যায়। গোলকগুলি ডোবানোর আগে জলতলের যে উচ্চতা ছিল গোলকগুলি ডোবানোর ফলে জলতলের উচ্চতা তার থেকে 7 সেমি. বৃদ্ধি পায়। গোলকগুলির ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি।
শর্তানুযায়ী, \(3 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \pi \times 14^2 \times 7\)
∴ \(r = \sqrt[3]{343} = 7\)
∴ গোলকগুলির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = \(2 \times 7 = 14\) সেমি.
প্রয়োগ 6. 21 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ ও 21 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার ড্রাম এবং 21 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট লোহার গোলক নিলাম। ওই ড্রাম ও নিরেট লোহার গোলকটির আয়তন অনুপাত হিসাব করে লিখি। (ড্রামের বেধ অগ্রাহ্য করব)। এবার ড্রামটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ করে ওই গোলকটি ড্রামটিতে সম্পূর্ণ ডুবিয়ে তুলে নিলাম। এরফলে এখন ড্রামে জলের গভীরতা কত হলো নির্ণয় করি।
সমাধান –
ড্রামটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 21 সেমি. এবং উচ্চতা 21 সেমি.
∴ ড্রামটির আয়তন = \(\pi \times 21^2 \times 21\) ঘন সেমি.
গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি.
∴ ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{21}{2}\) সেমি.
∴ গোলকটির আয়তন = \(\frac{4}{3} \times \pi \times \left(\frac{21}{2}\right)^3\) ঘন সেমি.
∴ ড্রামের আয়তন : গোলকের আয়তন = \(\pi \times 21 \times 21 \times 21 : \frac{4}{3} \pi \times \frac{21 \times 21 \times 21}{2 \times 2 \times 2} = 6:1\)
গোলকটিকে সম্পূর্ণ ডুবিয়ে তুলে নেওয়ায় গোলকটি তার সমআয়তন জল অপসারিত করল।
ধরি, গোলকটি h সেমি. উচ্চতার জল অপসারণ করে।
শর্তানুসারে, \(\pi \times 21^2 \times h = \frac{4}{3} \pi \times \left(\frac{21}{2}\right)^3\)
বা, \(\pi \times 21 \times 21 \times h = \frac{4}{3} \pi \times \frac{21 \times 21 \times 21}{8}\)
∴ \(h = \frac{21}{6} = 3.5\)
∴ ড্রামে এখন জলের গভীরতা \(21\) সেমি. – \(3.5\) সেমি. = \(17.5\) সেমি।
প্রয়োগ 7. একটি নিরেট অর্ধগোলক ও একটি নিরেট শঙ্কুর ভূমিলনের ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান ও উচ্চতা সমান হলে তাদের আয়তনের অনুপাত এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হিসাব করে লিখি।
সমাধান –
অর্ধগোলক ও শঙ্কুর ভূমিলনের ব্যাসের দৈর্ঘ্য সমান। সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান।
মনে করি, অর্ধগোলক ও শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) একক।
অর্ধগোলকের উচ্চতা = অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
প্রদত্ত শর্তানুসারে, শঙ্কুর উচ্চতা = \(r\) একক।
∴ শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা = \(\sqrt{r^2+r^2}\) একক = \(\sqrt{2} r\) একক
এখানে, অর্ধগোলকের আয়তন/শঙ্কুর আয়তন = \(\frac{\frac{2}{3}\pi r^3}{\frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r}\)
= \(\frac{2}{1}\)
∴ অর্ধগোলক ও শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত \(2:1\) এবং অর্ধগোলক এবং শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = \(\frac{2\pi r^2}{\pi \cdot r \cdot \sqrt{2} \cdot r}\)
= \(\frac{\sqrt{2}}{1}\)
= \(\sqrt{2}:1\)
প্রয়োগ 8. 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট পিতলের গোলককে পিটিয়ে 7 সেমি. লম্বা একটি লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে দণ্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি। দণ্ডটি ও গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান –
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(r\) সেমি.
শর্তানুসারে, \(\pi r^2 \times 7 = \frac{4}{3} \pi \times (21)^3\) [∵ 2.1 ডেসিমি. = 21 সেমি.]
∴ \(r^2 = \frac{4}{3} \times \frac{21 \times 21 \times 21}{7}\) বা, \(r = \pm 42\)
কিন্তু ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
সুতরাং, \(r \neq -42\) ∴ \(r = 42\)
∴ দণ্ডের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 42 সেমি.। ∴ দণ্ডের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 84 সেমি.
দণ্ড ও গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = \(7:3\)
প্রয়োগ 9. 9 সেমি. দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসবিশিষ্ট একটি অর্ধগোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে। ওই জল 3 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাস ও 4 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করে রাখব। হিসাব করে দেখি পাত্রটি খালি করতে কতগুলি বোতল দরকার।
সমাধান –
মনে করি, \(n\) সংখ্যক বোতল দরকার।
1 টি বোতলে জল রাখা যায় = \(\pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times 4\) ঘন সেমি. [∵ ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য \(\frac{3}{2}\) সেমি.]
∴ \(n\) টি বোতলে জল রাখা যায় = \(\pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times 4 \times n\) ঘন সেমি.
শর্তানুসারে, \(\pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times 4 \times n = \frac{2}{3} \pi \left(\frac{9}{2}\right)^3\)
∴ \(n = \frac{\frac{2}{3} \times 9 \times 9 \times 9}{4 \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2}} = \frac{6 \times 9 \times 9}{3 \times 3} = 54\)
∴ জলপূর্ণ পাত্রটি খালি করতে 54 টি বোতল দরকার।
প্রয়োগ 10. \(12\sqrt{2}\) সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট এবং 21 মিটার লম্বা একটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ি থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদবিশিষ্ট একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগ তৈরি করলে তাতে কত পরিমাণ কাঠ থাকবে এবং কত পরিমাণ কাঠ নষ্ট হবে হিসাব করি।
সমাধান –
লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি কাঠের গুঁড়ির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = \(\frac{12\sqrt{2}}{2}\) সেমি. = \(6\sqrt{2}\) সেমি.
কাঠের গুঁড়ির দৈর্ঘ্য = 21 মিটার = 2100 সেমি.
কাঠের গুঁড়ির আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
= \(\frac{22}{7} \times 6\sqrt{2} \times 6\sqrt{2} \times 2100\) ঘন সেমি.
= 475200 ঘন সেমি. = 475.2 ঘন ডেসিমি.
বৃত্তাকার প্রস্থচ্ছেদবিশিষ্ট কাঠের গুঁড়িকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদবিশিষ্ট কাঠের লগে পরিণত করতে হবে।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসের দৈর্ঘ্য
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি.
সুতরাং, \(\sqrt{2} a = 12\sqrt{2}\)
∴ \(a = 12\)
∴ আয়তঘনাকার কাঠের লগের আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
= \(12 \times 12 \times 2100\) ঘন সেমি.
= 302400 ঘন সেমি.
= 302.4 ঘন ডেসিমি.
∴ আয়তঘনাকার কাঠের লগে কাঠ থাকবে 302.4 ঘন ডেসিমি. এবং কাঠ নষ্ট হবে \((475.2 – 302.4)\) ঘন ডেসিমি. = 172.8 ঘন ডেসিমি.
প্রয়োগ 11. 13 মিটার দীর্ঘ এবং 11 মিটার প্রশস্ত একটি ছাদের জল বের হওয়ার নলটি বৃষ্টির সময় বন্ধ ছিল। বৃষ্টির পর দেখা গেল ছাদে 7 সেমি. গভীর জল দাঁড়িয়ে গেছে। যে নলটি দিয়ে জল বের হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. এবং চোঙাকারে মিনিটে 200 মিটার দৈর্ঘ্যের জল বের হয়। নলটি খুলে দিলে কতক্ষণে সব জল বেরিয়ে যাবে হিসাব করি।
সমাধান –
ছাদে যে জল দাঁড়িয়েছে তার আয়তন = \(1300 \times 1100 \times 7\) ঘন সেমি.
নল দিয়ে প্রতি মিনিটে জল বের হয় = \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 200 \times 100\) ঘন সেমি.
= \(11 \times 7 \times 100 \times 100\) ঘন সেমি.
[∵ চোঙাকৃতি জলস্তম্ভের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = \(\frac{7}{2}\) সেমি. এবং জলস্তম্ভের দৈর্ঘ্য 200 মিটার = \(200 \times 100\) সেমি.]
নলটি খুলে দিলে সব জল বেরিয়ে যেতে সময় লাগবে = \(\frac{1300 \times 1100 \times 7}{11 \times 7 \times 100 \times 100}\) মিনিট
= \(13\) মিনিট
এই আর্টিকেলে মাধ্যমিক (দশম শ্রেণী) গণিতের উনবিংশ অধ্যায়, ‘বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা’ -এর প্রয়োগমূলক বিভাগের সমস্ত সমস্যার সমাধান করা হয়েছে।
আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে কিছুটা হলেও সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন, মতামত বা সাহায্যের প্রয়োজন হয়, নিচে কমেন্ট করে জানাতে পারেন অথবা টেলিগ্রামের মাধ্যমে যোগাযোগ করতে পারেন—আমরা আপনাদের সকল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বদা প্রস্তুত।
মন্তব্য করুন