মাধ্যমিক ভৌতবিজ্ঞান – তাপের ঘটনাসমূহ – গাণিতিক উদাহরণ

আজকের এই আর্টিকেলে আমরা দশম শ্রেণির ভৌতবিজ্ঞানের দ্বিতীয় অধ্যায়, ‘গ্যাসের আচরণ’ – এর গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক উদাহরণগুলি নিয়ে আলোচনা করব। এই প্রশ্নগুলো কেবল মাধ্যমিক ভৌতবিজ্ঞান পরীক্ষার জন্য নয়, প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্যও অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ মাধ্যমিক ও চাকরির পরীক্ষায় এগুলো প্রায়ই আসে।

0°C ও 50°C উষ্ণতায় একটি লোহার দণ্ডের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 50 cm ও 50.03 cm। লোহার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক কত?

লোহার দণ্ডের প্রাথমিক উষ্ণতা (t₁) = 0°C ও প্রাথমিক দৈর্ঘ্য (l₁) = 50 cm এবং অন্তিম উষ্ণতা (t₂) = 50°C ও অন্তিম দৈর্ঘ্য (l₂) = 50.03 cm

∴ লোহার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক,

$a=\frac{l_2–l_1}{t_1{\mathrm{(t}}_2–t_{\mathrm{1)}}}$

বা, $a=\frac{50.03–50}{\mathrm{50(50}–\mathrm{0)}}$

বা, $a=\frac{0.03}{50\times 50}$ বা, $a=12\times {10}^{–6}/°C$

তামার একটি বৃত্তাকার রিং -এর ব্যাসার্ধ 5 cm। উষ্ণতা 200°C বাড়ানো হলে রিং -এর ব্যাসার্ধ কত হবে? তামার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক, a = 17 × 10^-6/°C।

রিং -এর প্রাথমিক ব্যাসার্ধ (r₁) = 5 cm, উষ্ণতা বৃদ্ধি (t) = 200°C

∴ রিং -এর অন্তিম ব্যাসার্ধ, r₂ = r₁ (1 + at)

বা, r₂ = 5(1 + 17 × 10^-6 × 200)

বা, r₂ = 5.017 cm

দুটি রেলস্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 10 km। সারাবছরে তাপমাত্রা 10°C থেকে 45°C -এর মধ্যে ওঠানামা করে। দুটি স্টেশনের মধ্যে রেললাইন পাতা হলে লাইনের নিরাপত্তার জন্য কতটা ফাঁক রাখতে হবে? ইস্পাতের দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক, a = 12 × 10^-6/°C।

রেললাইনের দৈর্ঘ্য (L) = 10 km = 10000 m। সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন উষ্ণতার পার্থক্য (t) = (45 – 10)°C = 35°C।

মনে করি, লাইনের নিরাপত্তার জন্য l দৈর্ঘ্য ফাঁক রাখতে হবে।

∴ l = Lat বা, l = 10000 × 12 × 10^-6 × 35

বা, l = 4.2 m

ধাতুর তৈরি একটি গোলকের তাপমাত্রা 50°C বাড়ানো হলে আয়তন 0.3% বৃদ্ধি পায়। ধাতুর আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক কত?

গোলকের প্রাথমিক আয়তন V হলে, আয়তন প্রসারণ = \(\frac{0.3V}{100}\) এবং উষ্ণতা বৃদ্ধি = 50°C

ধাতুর আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক,

\(\gamma=\frac{\frac{0.3V}{100}}{V\times50}\)

বা, γ = 60 × 10^-6/°C

একটি লোহা ও দস্তার দন্ডের দৈর্ঘ্য 0°C উষ্ণতায় 25.55 cm এবং 25.5 cm। কত উষ্ণতায় এদের দৈর্ঘ্য সমান হবে? লোহা ও দস্তার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক যথাক্রমে 10 × 10^-6/°C এবং 30 × 10^-6/°C।

লোহার দণ্ডের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য, l₁ = 25.55 cm

দস্তার দণ্ডের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য, l₂ = 25.5 cm

লোহার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক, a₁ = 10 × 10^-6/°C

দস্তার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক, a₂ = 30 × 10^-6/°C

উভয় দণ্ডেরই প্রাথমিক উষ্ণতা, t₁ = 0°C

ধরা যাক, উভয় দন্ডেরই অন্তিম উষ্ণতা t°c।

লোহার দণ্ডের ক্ষেত্রে অন্তিম দৈর্ঘ্য,

l = l₁ {1 + a₁(t – t₁)} 

= 25.55{1 + 10 × 10^-6(t − 0)}

= 25.55{1 + 10 × 10^-6t}

দস্তার দণ্ডের ক্ষেত্রে অন্তিম দৈর্ঘ্য,

l = l₂{1 + a₂(t – t₁)}

= 25.5{1 + 30 × 10^-6(t − 0)}

= 25.5{1 + 30 × 10^-6t}

প্রশ্নানুসারে,

25.55{1 +10 × 10^-6t} = 25.5{1 + 30 × 10^-6t}

বা, 25.55 + 255.5 × 10^-6t = 25.5 + 765 × 10^-6t

বা, (765 – 255.5) × 10^-6t = 25.55 – 25.5

বা, 509.5 × 10^-6t = 0.05

বা, $t=\frac{0.05\times {10}^6}{509.5}=98.13°C$

কাচ সাপেক্ষে পারদের আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক 15.3 × 10^-5/°C এবং কাচের আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক 27 × 10^-6/°C হলে পারদের প্রকৃত প্রসারণ গুণাঙ্ক কত?

পারদের আপাত প্রসারণ গুণাঙ্ক,

${\gamma }_a=15.3\times {10}^{–5}/°C$

কাচের আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক,

${\gamma }_g=27\times {10}^{–6}/°C=2.7\times {10}^{–5}/°C$

∴ পারদের প্রকৃত প্রসারণ গুণাঙ্ক, ${\gamma }_r={\gamma }_a+{\gamma }_g$

বা, ${\gamma }_r=15.3\times {10}^{–5}+2.7\times {10}^{–5}=18\times {10}^{–5}/°C$

একটি কাচের পাত্রে 0°C উষ্ণতায় 500 cm³ পারদ আছে। 100°C উষ্ণতায় পারদের আপাত প্রসারণ ও প্রকৃত প্রসারণ যথাক্রমে 7.65 cm³ ও 9 cm³ হলে পারদের আপাত ও প্রকৃত প্রসারণ গুণাঙ্ক নির্ণয় করো।

পারদের প্রাথমিক আয়তন = 500 cm³, উষ্ণতা বৃদ্ধি = (100 – 0)°C = 100°C, পারদের আপাত প্রসারণ = 7.65 cm³, পারদের প্রকৃত প্রসারণ = 9 cm³

পারদের আপাত প্রসারণ গুণাঙ্ক,

${\gamma }_a=\frac{\mathrm{আপাত\; প্রসারণ}}{\mathrm{প্রাথমিক\; আয়তন}\times \mathrm{উষ্ণতা\; বৃদ্ধি}}$$=\frac{7.65}{500\times 100}=15.3\times {10}^{–5}/°C$

পারদের প্রকৃত প্রসারণ গুণাঙ্ক,

${\gamma }_r=\frac{\mathrm{প্রকৃত\; প্রসারণ}}{\mathrm{প্রাথমিক\; আয়তন}\times \mathrm{উষ্ণতা\; বৃদ্ধি}}$$=\frac{9}{500\times 100}=18\times {10}^{–5}/°C$

নির্দিষ্ট ভরের কোনো গ্যাসের 0°C উষ্ণতায় আয়তন 100 cm³ এবং স্থির চাপে 20°C উষ্ণতায় আয়তন 107.33 cm³। গ্যাসের আয়তন গুণাঙ্ক নির্ণয় করো।

0°C উষ্ণতায় গ্যাসের আয়তন (V₀) = 100 cm³, অন্তিম উষ্ণতা (t) = 20°C ও অন্তিম আয়তন (V_t)= 107.33 cm³

∴ গ্যাসের আয়তন গুণাঙ্ক,

${\gamma }_p=\frac{V_t–V_0}{V_{0}t}$ বা, ${\gamma }_p=\frac{107.33–100}{100\times 20}$

${\gamma }_p=3.665\times {10}^{–3}/°C$

নির্দিষ্ট ভরের কোনো গ্যাসের স্থির চাপে 50°C 100°C উষ্ণতায় আয়তন যথাক্রমে 323 cm³ ও 373 cm³। গ্যাসের আয়তন গুণাঙ্ক নির্ণয় করো।

মনে করি, 0°C উষ্ণতায় গ্যাসের আয়তন = V₀, ও গ্যাসের আয়তন গুণাঙ্ক = γ_p

t₁ = 50°C উষ্ণতায় গ্যাসের আয়তন, V₁ = 323 cm³

∴ V₁ = V₀(1 + γ_p⋅t₁) —-(1)

আবার, t₂ = 100°C উষ্ণতায় গ্যাসের আয়তন V₂ = 373 cm³

∴ V₂ = V₀(1 + γ_p⋅t₂) —-(2)

(1) + (2) নং করে পাই,

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{1+{\gamma }_P·t_1}{1+{\gamma }_p·t_2}$ বা, $\frac{323}{373}=\frac{1+50{\gamma }_p}{1+100{\gamma }_p}$

বা, $323+32300{\gamma }_p=373+18650{\gamma }_p$

বা, $32300{\gamma }_p–18650{\gamma }_p=373–323$

বা, $13650{\gamma }_p=50$ বা, ${\gamma }_p=\frac{50}{13650}=\frac{1}{273}$

∴ গ্যাসের আয়তন গুণাঙ্ক, ${\gamma }_p=\frac{1}{273}/°C$

দুটি দণ্ডের বেধ, প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল ও তাপ পরিবাহিতাঙ্ক প্রত্যেকটির অনুপাত 1 : 2 হলে তাপীয় রোধের অনুপাত কত হবে?

মনে করি, দণ্ড দুটির বেধ, প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল ও তাপ পরিবাহিতাঙ্ক যথাক্রমে d₁, d₂ ; A₁, A₂, ও k₁, k₂

∴ $\frac{d_1}{d_2}=\frac{A_1}{A_2}=\frac{k_1}{k_2}=\frac{1}{2}$

প্রথম দন্ডের তাপীয় রোধ, $R_1=\frac{d_1}{k_1{A}_1}$ ও দ্বিতীয় দণ্ডের তাপীয় রোধ, $R_2=\frac{d_2}{k_2{A}_2}$

∴ $\frac{R_1}{R_2}=\frac{d_1}{k_1{A}_1}\times \frac{k_2{A}_2}{d_2}$
বা, $\frac{R_1}{R_2}=\frac{d_1}{d_2}\times \frac{k_2}{k_1}\times \frac{A_2}{A_1}$
বা, $\frac{R_1}{R_2}=\frac{1}{2}\times 2\times 2$
বা, $\frac{R_1}{R_2}=2$

∴ দণ্ড দুটির তাপীয় রোধের অনুপাত হবে R₁ : R₂ = 2 : 1

একটি দন্ডের দৈর্ঘ্য 20 cm, প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল 2 cm² হলে দণ্ডের তাপীয় রোধ কত? দণ্ডের উপাদানের তাপ পরিবাহিতাঙ্ক, k = 0.5 cal.cm^-1⋅°C^-1⋅s^-1।

দণ্ডের দৈর্ঘ্য (d) = 20 cm ও প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল (A) = 2 cm²

∴ দণ্ডটির তাপীয় রোধ,

$R_T=\frac{d}{kA}$ বা, $R_T=\frac{20}{0.5\times 2}$ বা, $R_T=20°C·s·ca{l}^{–1}$

একটি কাচের জানালার বেধ 0.5 cm ও ক্ষেত্রফল 1 m²। জানালার বাইরের ও ভিতরের তাপমাত্রা যথাক্রমে 40°C ও 10°C। জানালা দিয়ে 10 min সময়ে কত তাপ পরিবাহিত হবে? কাচের তাপ পরিবাহিতাঙ্ক, k = 0.0012 cal⋅cm^-1⋅°C^-1⋅s^-1।

জানালার কাচের বেধ (d) = 0.5 cm, ক্ষেত্রফল (A) = 1 m² = 10⁴ cm²

বাইরের ও ভিতরের মধ্যে তাপমাত্রার পার্থক্য $\left(\theta \right)$ = 40 -10 =30°C, তাপ পরিবাহিত হওয়ার সময় (t) = 10 min = 600 s

∴ পরিবাহিত তাপ, $Q=\frac{kA\theta t}{d}$

বা, $Q=\frac{0.0012\times {10}^4\times 30\times 600}{0.5}$

বা, $Q=4.32\times {10}^{5}cal$

A ও B দুটি সমান দৈর্ঘ্যের দণ্ড। এদের প্রত্যেকের দু-প্রান্তের তাপমাত্রা যথাক্রমে T₁°C ও T₂°C (T₁ > T₂)। কোন শর্ত পালিত হলে উভয় দণ্ডের তাপ পরিবহণের হার সমান হবে?

মনে করি, দন্ড দুটির প্রতিটির দৈর্ঘ্য = l, তাপ পরিবাহিতাঙ্ক যথাক্রমে k₁ ও k₂ এবং প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে A₁ ও A₂। দণ্ড দুটির মধ্য দিয়ে তাপ পরিবহণের হার সমান।

∴ \(\frac{k_1A_1\left(T_1-T_2\right)}l=\frac{k_2A_2\left(T_1-T_2\right)}l\)

বা, k₁A₁ = k₂A₂

সুতরাং, k₁A₁ = k₂A₂ এই শর্ত পালিত হলে উভয় দণ্ডের তাপ পরিবহণের হার সমান হবে।

1 m দীর্ঘ এবং 0.5 m² প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি দণ্ডের মধ্য দিয়ে তাপ পরিবহণের হার 6000 J/s। দণ্ডের তাপ পরিবাহিতাঙ্ক k = 200 W⋅m^-1⋅K^-1 হলে দুই প্রান্তের উষ্ণতার পার্থক্য কত হবে?

দণ্ডের দৈর্ঘ্য (d) = 1 m, প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল (A) = 0.5 m²

দণ্ডের মধ্য দিয়ে তাপ পরিবহণের হার ($\frac{Q}{t}$) = 6000 J/s

মনে করি, দণ্ডের দুই প্রান্তের উষ্ণতার পার্থক্য = $\theta °C$

$\frac{Q}{t}=\frac{kA·\theta }{d}$ বা, $6000=\frac{200\times 0.5\times \theta }{1}$

$100\theta =6000$ বা, $\theta =60°C$

একটি ঘরে 2টি কাচের জানালা আছে। প্রতিটি জানালার কাচের ক্ষেত্রফল 3 m² এবং কাচের বেধ 2 mm। কাচের ভিতরের ও বাইরের তলের উষ্ণতা যথাক্রমে 20°C ও -5°C হলে জানালাগুলি দিয়ে প্রতি মিনিটে পরিবহণের ফলে কী পরিমাণ তাপ ঘর থেকে বাইরে যাবে? (কাচের তাপ পরিবাহিতাঙ্ক 0.002 CGS unit)

এখানে k = 0.002 CGS unit,

$A=3m^2=3\times {10}^{4}c{m}^2$, ${\theta }_2=20°C$, ${\theta }_1=–5°C$, $t=60s$, $d=2mm=0.2cm$

আমরা জানি, $Q=\frac{kA\left({\mathrm{(\theta }}_2–{\theta }_1\right)\mathrm{)t}}{d}$ = $\frac{0.002\times 3\times {10}^4\mathrm{\{20}–(-\mathrm{5)\}}\times 60}{0.2}=45\times {10}^{4}cal$

অর্থাৎ প্রতিটি জানালা দিয়ে 45 × 10⁴ cal তাপ ঘর থেকে বাইরে বেরিয়ে যাবে।

∴ 2 × 45 × 10⁴ cal = 90 × 10⁴ cal তাপ 2টি জানালা দিয়ে বেরিয়ে যাবে।

এই আর্টিকেলে আমরা মাধ্যমিক ভৌতবিজ্ঞানের প্রথম অধ্যায় “গ্যাসের আচরণ” থেকে কিছু গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক উদাহরণ নিয়ে আলোচনা করেছি। এই প্রশ্নগুলো মাধ্যমিক ও চাকরির পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এসব প্রশ্ন প্রায়ই পরীক্ষায় আসে। আশা করি, এই আর্টিকেলটি আপনার জন্য সহায়ক হয়েছে। যদি কোনো প্রশ্ন বা অসুবিধা থাকে, টেলিগ্রামে আমাদের সাথে যোগাযোগ করতে দ্বিধা করবেন না; আমরা সাহায্য করার সর্বোচ্চ চেষ্টা করব। এছাড়া, যাদের এই তথ্য উপকারে আসতে পারে, তাদের সাথে শেয়ার করতে ভুলবেন না। ধন্যবাদ!