মাধ্যমিক ভৌতবিজ্ঞান – গ্যাসের আচরণ – গাণিতিক উদহারণ

এ আর্টিকেলে আমরা মাধ্যমিক ভৌতবিজ্ঞান বইয়ের গ্যাসের আচরণ অধ্যায়ের গাণিতিক উদহারণ নিয়ে আলোচনা করব। যেগুলি মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ। গ্যাসের আচরণ অধ্যায়ের গাণিতিক উদহারণ গুলি আপনি যদি ভালো করে দেখে, মুখস্ত করে যান, তাহলে মাধ্যমিক পরীক্ষায় গ্যাসের আচরণ অধ্যায়ের গাণিতিক উদহারণ থেকে যা প্রশ্নই আসুক না কেন আপনি সঠিক উত্তর দিতে পারবেন।

স্থির তাপমাত্রায় কোনো নির্দিষ্ট ভরের গ্যাসের আয়তন ও চাপ যথাক্রমে 750 mL 80 cm Hg ; ওই তাপমাত্রায় কত চাপে গ্যাসটির আয়তন 1000 mL হবে?

গ্যাসের প্রাথমিক চাপ (p₁) = 80 cm Hg,

প্রাথমিক আয়তন (V₁) = 750 mL এবং অন্তিম আয়তন (V₂) = 1000 mL

মনে করি, গ্যাসটির অন্তিম চাপ P₂ ; যেহেতু গ্যাসটির উষ্ণতা স্থির, সেহেতু বয়েলের সূত্রানুযায়ী,

$P_1{V}_1=P_2{V}_2$ বা, $P_2=\frac{P_1{V}_1}{V_2}$

$P_2=\frac{80\times 750}{1000}$ বা, $P_2=60 cm Hg$

∴ ওই তাপমাত্রায় 60 cm Hg চাপে গ্যাসটির আয়তন 1000 mL হবে।

নির্দিষ্ট ভরের কোনো গ্যাসের তাপমাত্রা 27° C ; কত ডিগ্রি সেলসিয়াস উষ্ণতায় ওই গ্যাসের আয়তন দ্বিগুণ হবে যদি চাপ অপরিবর্তিত রাখা হয়?

গ্যাসের প্রাথমিক তাপমাত্রা (T₁) = 27+273 = 300 K, ও প্রাথমিক আয়তন (V₁) = V

নে করি, T₂ তাপমাত্রায় গ্যাসের আয়তন হবে, (V₂) = 2V ; যেহেতু গ্যাসটির চাপ স্থির, সেহেতু চার্লসের সূত্রানুযায়ী,

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{T_1}{T_2}$ বা, $V_1{T}_2=V_2{T}_1$ বা, $T_2=\frac{V_2{T}_1}{V_1}$

বা, $T_2=\frac{2V\times 300}{V}$ বা, $T_2=600 K$

∴ সেলসিয়াস স্কেলে গ্যাসের অন্তিম তাপমাত্রা 600-273 = 327°C

760 mm Hg চাপে 0°C তাপমাত্রায় কিছু পরিমাণ গ্যাসের আয়তন 300 cm³ ; একই চাপে 546°C তাপমাত্রায় ওই গ্যাসের আয়তন কত হবে?

গ্যাসের প্রাথমিক আয়তন (V₁) = 300 cm³, প্রাথমিক তাপমাত্রা (T₁) = 0 + 273 = 273 K এবং অন্তিম তাপমাত্রা (T₂)546+273 = 819 K

মনে করি, গ্যাসের অন্তিম আয়তন = V₂ ; যেহেতু গ্যাসটির চাপ স্থির, সেহেতু চার্লসের সূত্রানুযায়ী,

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$ বা, $V_1{T}_2=V_2{T}_1$ বা, $V_2=\frac{V_1{T}_2}{T_1}$ বা, $V_2=\frac{300\times 819}{273}$ বা, $V_2=900 c{m}^3$

∴ একই চাপে 546°C তাপমাত্রায় ওই গ্যাসের আয়তন হবে 900 cm³

কোনো হ্রদের তলদেশ থেকে 1 mm ব্যাসার্ধের একটি বুদ্বুদ উপরিতলে এলে ব্যাসার্ধ হয় 2 mm ; বায়ুমণ্ডলীয় চাপ 76 cm পারদস্তম্ভের চাপের সমান হলে হ্রদের গভীরতা কত? পারদের ঘনত্ব 13.6 g/cm³, অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 980 cm/s², জলের ঘনত্ব = 1 g/cm³ ; হ্রদের সর্বত্র উষ্ণতা স্থির আছে ধরে নাও।

হ্রদের তলদেশে বুদবুদের ব্যাসার্ধ (r₁) = 1mm =0.1 cm ও আয়তন $V_1=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}_1^3$ উপরিতলে বুদ্বুদের ব্যাসার্ধ (r₂) = 2 mm = 2r₁ ও আয়তন $\left(V_2\right)=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}_2^3=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }8{\mathrm{r}}_1^3=8{\mathrm{V}}_1$

পারদস্তম্ভের চাপ = 76 x 13.6 x 980 dyn/cm²

হ্রদের গভীরতা h হলে তলদেশে চাপ, P₁ = P_a+h x 1 x 980 ও উপরিতলে চাপ, P₂ = P_a বয়েলের সূত্রানুযায়ী, P₁V₁ = P₂V₂

বা, (P_a +980 h) x V₁ = Px8V₁

বা, P_a+980h = 8p_a বা, 980h = 7P_a

বা, 980 h = 7 x 76 x 13.6 x 980 বা, h = 7235.2 cm বা, h = 72.352 m

∴ হ্রদের গভীরতা হল 72.352 m

একটি কাচের পাত্রে 67°C উষ্ণতায় বায়ু আছে। চাপ অপরিবর্তিত রেখে উষ্ণতা বৃদ্ধি করা হলে কোন্ উষ্ণতায় $\frac{1}{3}$ অংশ বাতাস বেরিয়ে যাবে?

বায়ুর প্রাথমিক তাপমাত্রা (T₁) = 67 + 273 = 340 K মনে করি, প্রাথমিক আয়তন = V₁ এবং T₂ K উষ্ণতায় $\frac{1}{3}$ অংশ বেরিয়ে যাবে। বায়ুর অন্তিম আয়তন V₂ হলে, $V_2=\left(1+\frac{1}{3}\right) V_1=\frac{4}{3}{V}_1$

যেহেতু চাপ স্থির, সেহেতু চার্লসের সূত্রানুযায়ী,

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$ বা, $V_1{T}_1=V_2{T}_2$ $V_1\times T_2=\frac{4}{3}{V}_1\times 340$ বা, T₂ = 453.33 K

∴ সেলসিয়াস স্কেলে বায়ুর অন্তিম উষ্ণতায় 453.33 – 273 = 180.33°C

ঘরের তাপমাত্রায় 76 cm পারদ চাপে। কোনো নির্দিষ্ট ভরের গ্যাসের আয়তন 1 L ; তাপমাত্রা অপরিবর্তিত রাখলে 19 cm পারদ চাপে ওই গ্যাসের আয়তন কত হবে?

গ্যাসের প্রাথমিক আয়তন (V₁) = 1L ও প্রাথমিক চাপ (p₁) = 76 cm Hg এবং অন্তিম চাপ (p₂) = 19 cm Hg

মনে করি, গ্যাসের অন্তিম আয়তন = V₂

যেহেতু গ্যাসের উষ্ণতা স্থির, সেহেতু বয়েলের সূত্রানুযায়ী,

$P_1{V}_1=P_2{V}_2$ বা, $P_2=\frac{P_1{V}_1}{P_2}$ বা, $V_2=\frac{76\times 1}{19}$ বা, V₂ = 4 L

∴ তাপমাত্রা অপরিবর্তিত রাখলে 19 cm পারদ চাপে ওই গ্যাসের আয়তন হবে 4L

100 cm³ আয়তনের একটি বেলুনকে হ্রদের 103.3 m গভীরে নিয়ে গেলে বেলুনের আয়তন কত হবে? বায়ুমণ্ডলীয় চাপ 10.33m জলস্তম্ভের চাপের সমান।

বায়ুমণ্ডলীয় চাপ 10.33m জলস্তম্ভের চাপের সমান। হ্রদের উপরিতলে বেলুনে বায়ুর আয়তন (V₁) = 100 cm³ ও চাপ (p₁) = P_a, যেখানে p_a হল বায়ুমণ্ডলীয় চাপ। হ্রদের তলদেশে চাপ (p₂) = P + 103.3 m

জলস্তম্ভের চাপ $=P_a+\frac{103.3}{10.33}{P}_a=11P_a$

মনে করি, হ্রদের তলদেশে বেলুনে বায়ুর আয়তন = V₂ হ্রদের সর্বত্র উন্নতা স্থির আছে ধরে নিলে, বয়েলের সূত্রানুযায়ী, P₁V₁ = P₂V₂

বা, $V_2=\frac{P_1{V}_1}{P_2}$ বা, $V_2=\frac{P_a\times 100}{11P_a}$ বা, $V_2=9.09 c{m}^3$

∴ হ্রদের তলদেশে বেলুনের আয়তন হবে 9.09 cm³

1m দীর্ঘ একটি ব্যারোমিটার নলে কিছু পরিমাণ বাতাস প্রবেশ করানোয় ব্যারোমিটারের পাঠ 76 cm থেকে কমে 70 cm হলে, প্রমাণ বায়ুমণ্ডলীয় চাপে ওই বাতাসের আয়তন কত হবে? প্রমাণ বায়ুমণ্ডলীয় চাপ = 76 cm Hg, নলের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল = 1 cm²

ব্যারোমিটার নলের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল (A) = 1 cm² ব্যারোমিটার নলে বায়ু প্রবেশ করানোয় ব্যারোমিটারের পাঠ 76 cm থেকে কমে 70 cm হয়।

∴ব্যারোমিটার নলে বায়ুর চাপ (p₁) = 76-70 = 6 cm Hg ও আয়তন (V₁) = (100-70) x1 = 30 cm³ প্রমাণ চাপে বা p₂ = 76 cm Hg – তে ওই বায়ুর আয়তন V₂ অ্যাভোগাড্রো প্রকল্প হলে বয়েলের সূত্রানুযায়ী,

$P_1{V}_1=P_2{V}_2$ বা, $V_2=\frac{P_1{V}_1}{P_2}$ বা, $V_2=\frac{6\times 30}{76}$ বা, $V_2=2.368 c{m}^3$

একটি ঘরের আয়তন 8 m x 5 m x 5 m ; দিনের উষ্ণতা 20°C থেকে বেড়ে 40°C হলে কত শতাংশ বাতাস ঘর থেকে নির্গত হবে? (বায়ুর চাপ স্থির আছে ধরে নাও)

প্রাথমিক তাপমাত্রা (T₁) = 20 +273 = 293 K এবং অন্তিম তাপমাত্রা (T₂) = 40 + 273 = 313 K

মনে করি, ঘরের বায়ুর অন্তিম আয়তন = V₂ ; যেহেতু, চাপ স্থির সেহেতু চার্লসের সূত্রানুযায়ী,

বা, $\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

বা, $V_1{T}_2=V_2{T}_1$ বা, $V_2=\frac{V_1{T}_2}{T_1}$

বা, $V_2=\frac{V_1\times 313}{293}$ বা, $V_2=1.0683V_1$

∴ $\frac{V_2–V_1}{V_1}\times 100\%=\frac{1.0683V_1–V_1}{V_1}\times 100\%=6.83\%$

∴ দিনের উষ্ণতা 20°C থেকে বেড়ে 40 °C হলে 6.83% বাতাস ঘর থেকে নির্গত হবে।

27°C উষ্ণতায় কোনো গ্যাসের আয়তন 3 L ; চাপ স্থির রেখে উষ্ণতা 127°C করা হলে গ্যাসটির আয়তন হয় 4 L ; পরম শূন্য উষ্ণতার মান নির্ণয় করো।

মনে করি, পরম শূন্য উষ্ণতা = T₀ °C

∴ গ্যাসটির প্রাথমিক উষ্ণতা (T₁) = (27-T₀) K ও আয়তন (V₁) = 3 L এবং গ্যাসটির অন্তিম উষ্ণতা (T₂) = (127-T₀) K ও আয়তন (V₂) = 4 L

যেহেতু গ্যাসটির চাপ স্থির, সেহেতু চার্লসের সূত্রানুযায়ী,

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

বা, $\frac{3}{27–T_0}=\frac{4}{127–T_0}$

বা, $381–3T_0=108–4T_0$

বা, T₀ = – 273

∴ পরম শূন্য উষ্ণতার মান হল -273 °C

22 g কার্বন ডাইঅক্সাইড এবং 9 g জলের অণুর সংখ্যা কত?

অ্যাভোগাড্রো সংখ্যা, N = 6.022 × 10²³

CO₂ – এর মোলার ভর = 44 g

∴ $22g C{O}_2=\frac{22}{44}mol C{O}_2=\frac{1}{2}mol C{O}_2$

22 g CO₂ – তে অণুর সংখ্যা

$=\frac{N}{2}=\frac{6.022\times {10}^{23}}{2}=3.011\times {10}^{23}$ টি।

আবার, H₂O – এর মোলার ভর = 18’g

∴ $9g H_{2}O=\frac{9}{18}mol H_{2}O=\frac{1}{2}mol H_{2}O$

∴ 9 g $H_{2}O$ -তে অণুর সংখ্যা $=\frac{N}{2}=\frac{6.022\times {10}^{23}}{2}=3.011\times {10}^{23}$ টি।

STP – তে 5.6 L N₂ গ্যাসের ভর 7 g হলে N₂ – এর মোলার ভর কত?

STP – তে 5.6L N₂ গ্যাসের ভর = 7g

∴ STP – তে 1 L $N_2$ গ্যাসের ভর = $\frac{7}{5.6}g$

∴ STP – তে 22.4 L $N_2$ গ্যাসের ভর = $\frac{7}{5.6}\times 22.4=28 g$

∴ N₂ – এর মোলার ভর 28 g

3 mol NH₃ গ্যাসের ভর কত? STP – তে ওই পরিমাণ গ্যাসের আয়তন কত?

NH₃ এর মোলার ভর = (14+1×3) g = 17 g

∴ 3 mol NH₃ গ্যাসের ভর = 17 × 3g = 51 g

STP – তে 3 mol NH₃ গ্যাসের আয়তন = 22.4 × 3 L =67.2 LI

1 টি O₂ অণুর ভর কত?

0₂ – এর মোলার ভর = 32 g

অ্যাভোগাড্রো সংখ্যা, N = 6.022 × 10²³

অর্থাৎ, 6.022 × 10²³ টি O₂ অণুর ভর 32g

1 টি $O_2$ অণুর ভর = $\frac{32}{6.022\times {10}^{23}}=5.31\times {10}^{–23}g$

1g N₂ গ্যাসে অণুর সংখ্যা কত?

N₂ – এর মোলার ভর = 28 g

অ্যাভোগাড্রো সংখ্যা, N = 6.022 × 10²³

28 g N₂ গ্যাসে অণুর সংখ্যা 6.022 × 10²³ টি।

∴ $1g N_2$ গ্যাসে অণুর সংখ্যা $\frac{6.022\times {10}^{23}}{28}=2.15\times {10}^{22}$ টি।

2 mol N₂ ও 1 mol NH₃ -এর মধ্যে কোনটিতে পরমাণুর সংখ্যা বেশি?

1 টি নাইট্রোজেন অণুতে পরমাণুর সংখ্যা = 2

∴ 2 mol N₂ গ্যাসে পরমাণুর সংখ্যা = 2 × 6.022 × 1023 x 2 = 24.088 × 10²³ টি।

1 টি NH₃ অণুতে পরমাণুর সংখ্যা = 4

∴ 1 mol NH₃ গ্যাসে পরমাণুর সংখ্যা = 4 x 6.022 x 1023 = 24.088 × 10²³ টি।

∴ 2 mol N₂ 1 mol NH₃ উভয় গ্যাসেই পরমাণুর সংখ্যা সমান।

30 °C উষ্ণতায় এবং 108 cm পারদস্তম্ভের চাপে একটি গ্যাসের আয়তন 256 cm³ ; 0°C উষ্ণতায় এবং 76 cm পারদস্তম্ভের চাপে ওই গ্যাসের আয়তন কত হবে?

গ্যাসের প্রাথমিক চাপ (p₁) = 108 cm পারদস্তম্ভের চাপ,

প্রাথমিক উষ্ণতা (T₁) = 30+273 = 303 K,

প্রাথমিক আয়তন (V₁) = 256 cm³,

অন্তিম চাপ (p₂) = 76 cm পারদস্তম্ভের চাপ, এবং অন্তিম উষ্ণতা (T₂) = 0 +273 = 273 K

মনে করি, গ্যাসের অন্তিম আয়তন = V₂

আমরা জানি,

$\frac{P_1{V}_1}{T_1}=\frac{P_2{V}_2}{T_2}$

বা, $\frac{108\times 256}{303}=\frac{76V_2}{273}$ বা, $V_2=327.77 c{m}^3$

∴ গ্যাসের অন্তিম আয়তন হবে 327.77 cm³

কোনো নির্দিষ্ট ভরের গ্যাসের তাপমাত্রা 27°C ; গ্যাসটিকে এমনভাবে উত্তপ্ত করা হল যাতে গ্যাসের চাপ ও আয়তন দ্বিগুণ হয়। গ্যাসের অন্তিম উষ্ণতা নির্ণয় করো।

গ্যাসের প্রাথমিক উষ্ণতা (T₁) = 27+273 = 300 K

গ্যাসের প্রাথমিক চাপ, p₁ = p ও প্রাথমিক আয়তন, V₁ = V হলে অন্তিম চাপ, p₂ = 2p ও অন্তিম আয়তন, V₂ = 2V

মনে করি, গ্যাসের অন্তিম উষ্ণতা = T₂

চার্লস ও বয়েলের সমন্বয় সূত্র থেকে পাই,

$\frac{P_1{V}_1}{T_1}=\frac{P_2{V}_2}{T_2}$

বা, $\frac{P^V}{300}=\frac{2P\times 2V}{T_2}$ বা, $T_2=1200K$

∴ সেলসিয়াস স্কেলে গ্যাসের অন্তিম উষ্ণতা =(1200-273)°C = 927°C

SIP – তে কোনো গ্যাসের আয়তন 10 L হলে গ্যাসটির মোল সংখ্যা কত?

গ্যাসের চাপ (p) = 1 atmosphere, আয়তন, (V) = 10 L, তাপমাত্রা, (T) = 273 K ; সর্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক (R) = 0.08205 $L·atm·mo{l}^{–1}·K^{–1}$

গ্যাসের মোল সংখ্যা n হলে, আদর্শ গ্যাস সমীকরণ, $N=\frac{PV}{RT}$

বা, $n=\frac{1\times 3}{0.08205\times 273}$ বা, $n=0.446$

বিকল্প পদ্ধতি – STP – তে 1 mol গ্যাসের আয়তন = 22.4 L

∴ গ্যাসের মোল সংখ্যা, $n=\frac{10}{22.4}=0.446$

127°C উষ্ণতায় 5 বায়ুমণ্ডলীয় চাপে 8.31 L মিথেন গ্যাসের ভর কত? মিথেন গ্যাসের মোলার ভর $16g·mo{l}^{–1}$ পারদের ঘনত্ব = $13.6g/c{m}^3$

মিথেন গ্যাসের আয়তন (V) = 8.31 L = 8.31 x 1000 cm³ উষ্ণতা (T) = 127+273 = 400 K,

চাপ (P) = 5 atm = 5 x 76 x 13.6 x 980 dyn/$c{m}^2$, ও মোলার ভর (M) = $16g·mo{l}^{–1}$

মনে করি, মিথেন গ্যাসের ভর = W

আদর্শ গ্যাস সমীকরণ, $PV=\frac{W}{M}RT$ থেকে পাই,

$W=\frac{PVM}{RT}$

বা, $W=\frac{5\times 76\times 13.6\times 980\times 8.31\times 1000\times 16}{8.31\times {10}^7\times 400}=20.26g$ (প্রায়)

27 °C উষ্ণতায় ও 570 mm পারদস্তম্ভের চাপে 2.2 g কার্বন ডাইঅক্সাইডের আয়তন কত?

কার্বন ডাইঅক্সাইড গ্যাসের ভর (W) = 2.2 g,

মোলার ভর (M) = $44g·mo{l}^{–1}$

উষ্ণতা (T) = 27+273 = 300 K,

চাপ (P) = 570 mm Hg = 57 x 13.6 x 980 dyn/cm²

মনে করি, গ্যাসের আয়তন = V

আদর্শ গ্যাস সমীকরণ, $PV=\frac{W}{M}RT$ থেকে পাই,

$PV=\frac{WRT}{MP}$

বা, $V=\frac{2.2\times 8.31\times {10}^7\times 300}{44\times 57\times 13.6\times 980}=1640.8 c{m}^3=1.641L$

1 বায়ুমণ্ডলীয় চাপে এবং ঘরের উষ্ণতায় 16.62 L বায়ুতে কতগুলি অণু আছে? ঘরের উষ্ণতা 27° C এবং R = 8.31 $J·mo{l}^{–1}·k^{–1}$

বায়ুর আয়তন (V) = 16.62 L = 16.62 × 1000 cm³, উষ্ণতা (T) = 27 + 273 = 300 K,

চাপ (P) = 1 atm = 76 x 13.6 x 980 dyn/cm²

মনে করি, মোল সংখ্যা = n

∴ আদর্শ গ্যাস সমীকরণ, pV = nRT থেকে পাই,

$n=\frac{PV}{RT}$ বা, $n=\frac{76\times 13.6\times 980\times 16.62\times 1000}{8.31\times {10}^7\times 300}$ বা, n = 0.675

অ্যাভোগাড্রো সংখ্যা, N = 6.022 x 10²³

∴ প্রদত্ত বায়ুতে অণুর সংখ্যা =nN = 0.675 × 6.022 × 10²³ = 4.065 × 10²³ টি

মাধ্যমিক ভৌত বিজ্ঞানের “গ্যাসের আচরণ” অধ্যায়ে বিভিন্ন গাণিতিক সমীকরণ ব্যবহার করা হয় যা গ্যাসের চাপ, আয়তন, তাপমাত্রা এবং মোল সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে। এই সমীকরণগুলি বোঝা এবং সঠিকভাবে প্রয়োগ করা গ্যাসের আচরণ সম্পর্কিত বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য অপরিহার্য।

এই আর্টিকেলটিতে, আমরা মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক উদাহরণগুলি তুলে ধরেছি। আপনি যদি এই উদাহরণগুলি মুখস্ত করেন এবং নিয়মিত অনুশীলন করেন, তাহলে আপনি যেকোনো ধরণের প্রশ্নের উত্তর দিতে সক্ষম হবেন।

মনে রাখবেন, কেবল মুখস্ত করাই যথেষ্ট নয়। সমীকরণগুলির পেছনের ধারণাগুলি বোঝা এবং বিভিন্ন পরিস্থিতিতে সেগুলি কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় তা শেখা গুরুত্বপূর্ণ। নিয়মিত অনুশীলন এবং বিভিন্ন ধরণের সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে আপনি এই দক্ষতাগুলি অর্জন করতে পারবেন।

এই গাণিতিক উদাহরণগুলি শেখা আপনাকে শুধুমাত্র ভালো নম্বর পেতে সাহায্য করবে না, বরং এটি আপনাকে গ্যাসের আচরণ সম্পর্কে একটি গভীর বোঝার প্রদান করবে যা আপনার ভবিষ্যতের পড়াশোনা এবং কর্মজীবনে সহায়ক হতে পারে।